1.4
全称量词与存在量词（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( B )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C )
A． x∈R，|x|>0
B． x0∈R，|x0|>0
C． x∈R，|x|≤0
D． x0∈R，|x0|≤0
[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．
3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p： x∈R，x2＋2x＋2>0，则 p是( C )
A． x0∈R，x＋2x0＋2<0
B． x∈R，x2＋2x＋2<0
C． x0∈R，x＋2x0＋2≤0
D． x∈R，x2＋2x＋2≤0
[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确．
4．已知命题p： x∈(0，)，sin
x＝，则 p为( B )
A． x∈(0，)，sin
x＝
B． x∈(0，)，sin
x≠
C． x∈(0，)，sin
x≠
D． x∈(0，)，sin
x>
[解析] p表示命题p的否定，即否定命题p的结论，由“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M， p(x)”知选B．
5.
下列说法正确的是( A )
A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
B．命题“ x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋3>0”
C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件
D．命题p：“ x∈R，sin
x＋cos
x≤”，则 p是真命题
[解析] a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sin
x＋cos
x＝sin
(x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而 p为假命题，∴D错误．
6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是( C )
A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
[解析] p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是 任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0 .
[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.
[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
三、解答题
9．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
[解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是 p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此 p是真命题．
(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．
(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2015·浙江理)命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”的否定形式是( D )
A． n∈N
,
f(n) N
且f(n)>n
B． n∈N
,
f(n) N
或f(n)>n
C． n0∈N
,
f(n0) N
且f(n0)>n0
D． n0∈N
,
f(n0) N
或f(n0)>n0
[解析] 命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”
其否定为：“ n0∈N
，f(n0) N
或f(n0)>n0”．
2．命题“ x∈R，ex>x2”的否定是( C )
A．不存在x∈R，使ex>x2
B． x∈R，使ex
C． x∈R，使ex≤x2
D． x∈R，使ex≤x2
[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C．
3．已知命题“ a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是( B )
A． a、b∈R，如果ab<0，则a<0
B． a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C． a、b∈R，如果ab<0，则a<0
D． a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
[解析] 条件ab>0的否定为ab≤0；
结论a>0的否定为a≤0，故选B．
4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“ x∈R,2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1)
B．(－1,3)
C．(3，＋∞)
D．(－3,1)
[解析] 由题意知， x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，恒成立，
∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3<0，∴－15．已知命题p： x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q： x∈R.sin
x－cos
x＝.则下列判断正确的是( D )
A．p是真命题
B．q是假命题
C． p是假命题
D． q是假命题
[解析] p中：∵Δ＝4－4＝0，∴p是假命题，q中，当x＝π时，cosx＝，cosx＝－时，是真命题，故 q是假命题．
二、填空题
6．已知命题p： x∈R，x2－x＋<0，命题q： x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝，则p∨q，p∧q， p， q中是真命题的有__p∨q__ p__.
[解析] ∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sin
x0＋cos
x0＝，故q是真命题，因此p∨q是真命题， p是真命题．
7．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是__m≤－2或－1[解析] p：m≤－1，q：－28．命题“ x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是__a>2或a<－2__.
[解析] 由于 x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.
C级 能力提高
1．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p： a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin
(＋)的周期不大于4π.
(1)写出 p；
(2)当 p是假命题时，求实数b的最大值．
[解析] (1) p： a0∈(0，b](b∈R，且b>0)，
函数f(x)＝
sin(＋)的周期大于4π.
(2)∵ p是假命题，∴p是真命题，
∴ a∈(0，b]，≤4恒成立，
∴a≤2，∴b≤2.
故实数b的最大值是2.
2．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p： x0∈[－1,2]，4x0>m.
(1)写出 p；
(2)当 p是真命题时，求实数m的取值范围．
[解析] (1) p： x∈[－1,2]，4x≤m.
(2) p是真命题，即当－1≤x≤2时，m≥(4x)max
，
∴m≥42＝16，
∴实数m的取值范围是[16，＋∞)．常用逻辑用语
学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中，命题的个数是( C )
①|x＋2|；②－5∈Z；③π R；④{0}∈N.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①不能判断真假，故不是命题，其他都是命题．
2．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
[解析] “－13．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A B”为假，故其逆否命题为假．
4．(2017·北京文，7)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cos
θ＝－|m||n|<0.
当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
方法2：∵m＝λn，
∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0 cos〈m，n〉<0 〈m，n〉∈(，π]，
当〈m，n〉∈(，π)时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
5．(2017·天津文，2)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.
∵当x≤2时，不一定有x≥0，当0≤x≤2时，一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
故选B．
6．(2016·江西抚州高二检测)以下说法正确的个数是( C )
(1)“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的充分不必要条件；
(2)“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；
(3)“A＝B”是“tan
A＝tan
B”的充分不必要条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] (1)中，a＝b＝0时，b2＝ac，但b不是a，c的等比中项，若b为a，c的等比中项，则b2＝ac，故“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件；(2)中，|a|>|b| a2>b2，故“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；(3)中，A＝B＝时，tan
A、tan
B无意义，当A＝，B＝时，tan
A＝tan
B，而A≠B，故“A＝B”是“tan
A＝tan
B”的既不充分也不必要条件，故选C．
7．已知命题p： x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则 p是( C )
A． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[解析] 根据全称命题的否定是存在性命题求解．
p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
8．(2016·重庆巴蜀中学高二检测)设a、b∈R，那么“>1”是“a>b>0”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由>1 －1>0 >0 b(a－b)>0 a>b>0或a1”是“a>b>0”的必要不充分条件．
9．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a<0时，Δ＝4－4a>0，
∴方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，
不妨设两根分别为x1、x2.
则x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，
故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一负根.
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一负根为－，
∴a<0 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，
方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根a<0，故选A．
10．下列命题中是假命题的是( D )
A． m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B． a>0，函数f(x)＝ln2
x＋ln
x－a有零点
C． α、β∈R，使cos
(α＋β)＝cos
α＋sin
β
D． φ∈R，函数f(x)＝sin
(2x＋φ)都不是偶函数
[解析] ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2
x＋ln
x的值域为[－，＋∞)，∴对 a>0，方程ln2
x＋ln
x－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝，β＝2π时，cos
(α＋β)＝cos
α＋sin
β成立，故C真；当φ＝时，
f(x)＝sin
(2x＋φ)＝cos
2x为偶函数，故D为假命题．
11．下列命题中的真命题是( D )
A． x∈[0，]，sin
x＋cos
x≥2
B． x∈，tan
x>sin
x
C． x∈R，x2＋x＝－1
D． x∈R，x2＋2x>4x－3
[解析] ∵对任意x∈R，有sin
x＋cos
x＝sin
(x＋)≤，∴A假；∵x∈(，π)时，tan
x<0，sin
x>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)>0恒成立，故D真．
12．命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是( A )
A．(－2，1]∪[2，＋∞)
B．(－2，2)
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，2)
[解析] ∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，
∴△＝a2－8<0，∴－2∴p：－2∵函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.
∴q：a>1.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．
当p真q假时，－2当p假q真时，a≥2.
综上可知，实数a的取值范围为(－2，1]∪[2，＋∞)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·北京昌平区高二检测)若命题p： x∈R，x2－x＋≤0，则 p： x∈R，x2－x＋>0 .
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，故 p： x∈R，x2－x＋>0.
14．给出命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__1__.
[解析] 因为命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是指数函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.
15．已知命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是 .
[解析] 由题意可知，命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”为真命题，
∴(－5)2－4×a<0，即a>.
∴实数a的取值范围为.
16．(2016·贵州安顺高二检测)已知命题p： x0∈R，使tan
x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1[解析] 命题p： x0∈R，使tan
x0＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断是全称命题还是特称命题，并判断真假.
(1)有一个实数α，tan
α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率吗？
(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径；
(4)圆内接四边形的对角互补；
(5)对数函数都是单调函数．
[解析] (1)特称命题．α＝时，tan
α不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tan
α无意义”是真命题．
(2)不是命题．
(3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题．
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．
(5)虽然不含全称量词，但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．
18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[解析] 逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
19．(本题满分12分)已知P＝{x|a－4[解析] P＝{x|a－4∵x∈P是x∈Q的必要条件，
∴x∈Q x∈P，即Q P.
∴，解得，∴－1≤a≤5.
20．(本题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：任意m∈R，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析] (1) p：存在m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m<0，则m<－，所以 p为真．
(2) q：所有x∈R，x2＋x＋1>0.
因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以 q为真．
21．(本题满分12分)(2016·广东汕头高二检测)已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点；命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围.
[解析] p真：(1－2＋a)(4－4＋a)<0，
∴a(a－1)<0，∴0∴p假：a≤0或a≥1.
q真：(2a－3)2－4>0
∴4a2－12a＋5>0，∴a>或a<.
q假：≤a≤.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p、q一真一假．
当p真q假时，∴≤a<1.
当p假q真时，∴a≤0或a>.
综上可知，a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.
22．(本题满分12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若 p是 q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
[解析] 由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，
令A＝{x|≤x≤1}．
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
令B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由 p是 q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A?B，
∴，∴0≤a≤.
∴实数a的取值范围是[0，]．1.2
充分条件与必要条件（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p：11，则p是q成立的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵11，
而
2x>112．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )
A．m>1，n<－1
B．mn<0
C．m>0，n<0
D．m<0，n<0
[解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以 从而A，B，C，D中只有B满足题意．
3．“x>1”是“log(x＋2)<0”的( B )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] log(x＋2)<0＝log1，∴x＋2>1
即x>－1，而x>1 x>－1，反之不然．故选B．
4．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a＝2，则ax＋2y＝0即为x＋y＝0与直线x＋y＝1平行，反之若ax＋2y＝0与x＋y＝1平行，则－＝－1，a＝2，故选C．
5．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a (a－mb)·a＝0 |a|2－ma·b＝0 m＝1，故选C．
6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( A )
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
[解析] ∵a>b＋1 a－b>1 a－b>0 a>b，
∴a>b＋1是a>b的充分条件．
又∵a>b a－b>0a>b＋1，
∴a>b＋1不是a>b的必要条件，
∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．
二、填空题
7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要__条件.
[解析] 因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以28．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的__充分不必要__条件.
[解析] 点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
三、解答题
9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[解析] (1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似两个三角形全等，
而两个三角形全等 两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为m<－2 方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m<－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)因为矩形的对角线相等，所以p q.
而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以qp.
所以p是q的充分不必要条件．
B级 素养提升
一、选择题
1．设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则02．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 由条件知，甲 乙 丙 丁，
∴甲 丁且丁甲，故选B．
3．“φ＝π”是“曲线y＝sin
(2x＋φ)过坐标原点”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．
当φ＝π时，y＝sin
(2x＋π)＝－sin
2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A．
4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A．
5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )
A．a<0
B．0C．D．a≤0或a>1
[解析] 因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点 函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点 函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无交点．数形结合可得，a≤0或a>1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0二、填空题
6．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要__条件.
[解析] 圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
7．已知全集S，若p：A?B，q： SB? SA，则p是q的__充要__条件.
[解析] 利用集合的图示法，如下图，
A?B SB? SA， SB? SA A?B S.
∴p是q的充分条件，也是必要条件，
即p是q的充要条件．
8．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__m≤－8__.
[解析] p：x>－，q：x<0或x>4，由条件知p q，
∴－≥4，∴m≤－8.
C级 能力提高
1．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[解析] 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
2．(2016·浙江杭州高二检测)设p：，q：x2＋y2>r2(x、y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数r的取值范围.
[解析] 设A＝，
B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x、y∈R，r>0}．
如图，集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心、r为半径的圆的外部．
设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，
则d＝＝.
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴0∴实数r的取值范围是(0，)．1.3
简单的逻辑联词（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么( B )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B．
2．如果命题“ (p∨q)”为假命题，则( C )
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为假命题
[解析] “ (p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．
3．(2016·辽宁大连高二检测)已知U＝R，A U，B U，命题p：∈A∪B，则 p是( D )
A． A
B．∈ UB
C． A∩B
D．∈( UA)∩( UB)
[解析] p： A∪B，即∈( UA)∩( UB)，故选D．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧( q)；④( p)∨q中，真命题是( C )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x25．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是( B )
A．p∧q
B．p∨q
C． p
D．( p)∧( q)
[解析] ∵p为真，q为假，∴ p为假， q为真．
∴p∧q为假，p∨q为真， p为假，
( p)∧( q)为假．故选B项．
6．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则 p是 q的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|a|≤1得－1≤a≤1，
∴ p：a>1， q：a<－1或a>1，
∴ p q，但 q p，故选A．
二、填空题
7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m?α，
n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中：①p∨q；②p∧q；③p∨( q)；④( p)∧q.真命题的序号是__①④__(写出所有真命题的符号).
[解析] 易知p是假命题，q是真命题．
∴ p为真， q为假，∴p∨q为真，p∧q为假，p∨( q)为假，( p)∧q为真．
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”，“ q”都是假命题，则x的值组成的集合为__{－1,0,1,2}__.
[解析] 因为“p∧q”为假，“ q”为假，
所以q为真，p为假．
故，即，
因此x的值可以是－1,0,1,2.
三、解答题
9．写出下列命题的否定和否命题：
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)若a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0；
(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角.
[解析] (1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．
(2)原命题的否定：若a2＋b2＝0，则a和b中至少有一个不为0.
原命题的否命题：若a2＋b2≠0，则a和b中至少有一个不为0.
(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2017·湖北武汉高二检测)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题( p)∨( q)表示( D )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
[解析] p表示“甲的试跳成绩不超过2米”， q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故( p)∨( q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．
2．(2017·山东文，5)已知命题p： x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q
B．p∧ q
C． p∧q
D． p∧ q
[解析] ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题， p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题， q为真命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题， q为真命题．
根据真值表可知p∧ q为真命题，p∧q， p∧q， p∧ q为假命题．
故选B．
3．(2017·辽宁锦州高二检测)已知命题
p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，
在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∨( p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
[解析] 函数y＝2x－2－x是一个增函数与一个减函数的差，故函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p1是真命题；
由于2x＋2－x≥2＝2，故函数y＝2x＋2－x在R上存在最小值，故这个函数一定不是R上的单调函数，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．
4．已知命题p：对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题 p是真命题，那么实数a的取值范围是( C )
A．a<
B．0C．a≤
D．a≥
[解析] ∵命题 p是真命题，∴命题p是假命题．
∵对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，∴，
∴a>.
∴当a>时，命题p为真命题，
∴命题p是假命题时，a≤.
5．下列各组命题中满足：“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“ p”为真命题的是( C )
A．p：0＝ ；q：0∈
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin
x在第一象限内是增函数
C．p：若a>b，则<；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：若a·b<0，则a与b的夹角不一定是钝角
[解析] 选项A中，命题p假，q假，所以不满足题意；选项B中，命题p真，q假， p为假命题，也不满足题意；选项C中，命题p假，q真，p∨q为真命题．p∧q为假命题， p为真命题，满足题意；选项D中，p，q都是真命题，不符合题目要求．
二、填空题
6．(2016·湖北孝感高二检测)在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p是“第一次射击击中目标”，q是“第二次射击击中目标”．则命题“两次都没有击中目标”用p、q及逻辑联结词可以表示为__( p)∧( q)__.
[解析] p是第一次射击击中目标，则 p是第一次没有击中目标，q是第二次射击击中目标，则 q是第二次没有击中目标，两次都没有击中目标用p，q及逻辑联结词可以表示为( p)∧( q)．
7．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[解析] ∵ x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假， p为真；
∵≤0 1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假， q为假．
8．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“ q且p”为真，则x的取值范围是__(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)__.
[解析] 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，
∴p：x<－3或x>1.
由>1,
得<0，∴2∴q：2若“ q且p”为真，则有，
∴x<－3或1C级 能力提高
1．已知命题p：不等式x2＋kx＋1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根，若p且q为假，p或q为真．求实数k的取值范围.
[解析] 当p为真命题时，Δ＝k2－4≤0，所以－2≤k≤2.
当q为真命题时，令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根
∴，
即， 所以k<－2.
要使p且q为假，p或q为真，则p真q假，或者是p假q真．当p真q假时，－2≤k≤2，当p假q真时，k<－2.综上：k≤2.
2．(2017·江西抚州市高二检测)命题p：实数x满足<0，其中m<0；命题q：实数x满足x2－x－6<0或x2＋2x－8<0，且 p是 q的必要不充分条件，求m的取值范围.
[解析] 由<0，得(x＋m)(x＋3m)<0，
又∵m<0，∴－3m>－m.
∴－m由x2－x－6<0或x2＋2x－8<0得－4∵ p是 q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴ ∴－1≤m<0.命题及其关系（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是( A )
A．π是无限不循环小数
B．3x≤5
C．什么是“绩效工资”
D．今天的天气真好呀！
[解析] 由命题的定义可知，选项A正确．
2．下列命题为真命题的是( A )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析] B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则与无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足xy2，故选A．
3．下列语句中，不能成为命题的是( B )
A．5>12
B．x>0
C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．
4．下列命题正确的是( D )
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定四个平面
[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．
5．下列四个命题中，真命题是( D )
A．a>b，c>d ac>bd
B．aC．< a>b
D．a>b，cb－d
[解析] ∵c－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．
6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( B )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．
二、填空题
7．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；
③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.
[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．
对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．
8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.
[解析] ①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．
三、解答题
9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
[解析] (1)是疑问句，所以不是命题．
(2)(6)不能判断真假，不是命题．
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( A )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
[解析] A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．
2．下列命题中的真命题是( A )
A．二次函数的图象是一条抛物线
B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形
C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0
D．平行于同一直线的两个平面平行
[解析] A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，则ac>bc；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( A )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ①中，当x＝1，y＝0时，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，则ac＝－2，bc＝－1，ac4．下列命题中的假命题是( B )
A．若log2x<2，则0B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sin
x图象上一点
[解析] B中当a与b共线，但方向相反时，a与b的夹角为180°，所以B是假命题．
5．(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为( C )
①函数y＝x2－3x＋1的图象关于x＝对称；②若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最大值为；③若△ABC为锐角三角形，则sin
A>cos
B．
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
[解析] ①由y＝2－知①正确，②表示平面直角坐标系中(x，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C．
二、填空题
6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是__0__.
[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，
∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
综上所述，真命题的个数为0.
7．下列语句中是命题的有__①③④⑤__，其中是真命题的有__①④__(填序号).
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”
③“一个数不是正数就是负数”；
④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“若x＋y为有理数，则x、y都是有理数”；
⑥作一个三角形．
[解析] ①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．
②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
③是假命题，数0既不是正数也不是负数．
④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边．
⑤是假命题，如x＝，y＝－.
⑥祈使句，不是命题．
8．在△ABC中，若·>0，则△ABC是__钝角__三角形.
[解析] ∵·>0，∴·<0，∴∠B为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
C级 能力提高
1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1；
(5)正三角形的重心、内心、外心、垂心重合．
[解析] (1)若ac>bc，则a>b.假命题．
(2)若m>，则方程mx2－x＋1＝0无实根．真命题．
(3)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.真命题．
(5)若一个三角形为正三角形，则这个三角形的重心、内心、外心、垂心重合．真命题．
2．将命题“已知a、b为正数，当a>b时，有>”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论.
[解析] 根据题意，“若p，则q”的形式为：
已知a、b为正数，若a>b，则>.
其中条件p：a>b，结论q：>.1.2
充分条件与必要条件（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( A )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
[解析] 首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”)，p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q p，显然只有A满足．
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( A )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析] B项中，x2＝1 x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( B )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin
x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①中，周期函数还有很多，如y＝cos
x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．
4．(2016·广西南宁高二检测)“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝，故x(2x－1)
x＝0一定成立，而x＝0 x(2x－1)＝0成立，
∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
5．“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互直垂直”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，
解得a＝－1或a＝－2，故选A．
6．(2016·天津文)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
二、填空题
7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
[解析] x＝3 x2＝9，x2＝9x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要__条件.
[解析] a>0且b>0 a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0 a>0且b>0，故填充要．
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1； q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5； q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；
q：三角形是等腰三角形．
[解析] (1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β”是“α∥β”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由面面平行的判定定理可知，由m∥βα∥β，故充分性不成立；而α∥β m∥β，必要性成立．
2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p是q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] x＋y＝－2x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1 x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．
3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的( C )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，
则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3 命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3 x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5 命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．
4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( B )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．
5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，
∵A?B，
∴p是q的充分不必要条件．故选A．
二、填空题
6．下列不等式：①
x<1；②
0[解析] 由于x2<1，即－17．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析] 当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．
由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0，
∵b<5，∴k>4.故填“充要”．
8．命题p：sin
α＝sin
β，命题q：α＝β，则p是q的__必要不充分__条件.
[解析] sin
α＝sin
βα＝β，α＝β sin
α＝sin
β，故填必要不充分．
C级 能力提高
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件.
(用“充分条件”或“必要条件”作答)
(1)向量a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，p：＝，q：a∥b；
(2)p：|x|＝|y|，q：x＝－y；
(3)p：直线l与平面α内两条平行直线垂直，q：直线l与平面α垂直；
(4)f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，p：f(x)、g(x)均为偶函数，q：h(x)为偶函数．
[解析] (1)由向量平行公式可知：p q，
但当b＝0时，a∥b不能推出＝，即q不能推出p，
∴p是q的充分条件．
(2)∵|x|＝|y| x＝±y，∴p不能推出q，但q p，
∴p是q的必要条件．
(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q p，∴p是q的必要条件．
(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p q，但q不能推出p，∴p是q的充分条件．
2．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[解析] (1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，
由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，
又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．
(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，
需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.
综上可知，命题成立．1.3
简单的逻辑联词（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么( D )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p为真命题，q为假命题
D．命题q和命题p的真假不同
[解析] “p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．
2．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是( B )
A．“p∨q”为假
B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真
D．以上都不对
[解析] 命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．
3．(2016·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是( B )
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．9≤7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[解析] 3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．
4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B．
5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若>，则a>b，则( A )
A．p∨q为真
B．p∧q为真
C．p真q假
D．p、q均为假
[解析] x>2 x2>4，x2>4x>2，故p为假命题；由> a>b，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，故选A．
6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q： ＝{0}，则下列判断正确的是( B )
A．p假q假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真
D．p假q真
[解析] ∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．
∵ ≠{0}，∴q假．
故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．
二、填空题
7．“3≥3”是__p∨q__形式的命题.
[解析] 3≥3等价于3>3或3＝3，故“3≥3”是“p∨q”形式的命题．
8．p：ax＋b>0的解集为x>－；
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p∧q是__假__命题(填“真”或“假”).
[解析] p中a的符号未知，q中a与b的大小关系未知，因此命题p与q都是假命题．
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假.
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos
x是周期函数，
q：函数y＝cos
x是奇函数．
[解析] (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．设P、Q是简单命题，则“P∧Q为假”是“P∨Q为假”的( A )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若P∧Q为假，则P与Q至少一假，得不出P∨Q为假；反之若P∨Q为假，则P与Q均为假，从而P∧Q必为假，∴选A．
2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A．
3．由命题p：“函数y＝是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( B )
A．p∨q为真，p∧q为假
B．p∨q为假，p∧q为假
C．p∨q为真，p∧q为假
D．p∨q为假，p∧q为真
[解析] ∵p为假，q为假，
∴p∨q为假，p∧q为假．
4．已知命题p：m<0，命题q：x2＋mx＋1>0对一切实数x恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( D )
A．m<－2
B．m>2
C．m<－2或m>2
D．－2[解析] q：x2＋mx＋1>0对一切实数恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2p：m<0，∵p∧q为真命题，
∴p、q均为真命题，∴，∴－2二、填空题
5．(2016·安徽宿州高二检测)有以下四个命题：
(1)直线a平行于直线b；
(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；
(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；
(4)a2＋1≥1.
其中是p∨q形式的命题的序号__(2)(4)__，p∧q形式的命题的序号为__(3)__．
[解析] (1)是简单命题；(2)是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(3)是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(4)是p∨q形式，其中p：a2＋1>1，q：a2＋1＝1.
6．设命题P：a20，命题P∧Q为假，P∨Q为真，则实数a的取值范围是 －[解析] 由a20恒成立知Δ＝16a2－4<0，∴－C级 能力提高
1．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：a2＋8a－20<0，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
[解析] ax2＋ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式恒成立，满足题意．
当a≠0时，由题意得，解得0q：a2＋8a－20<0，∴－10∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p、q一真一假．
当p真q假时，，
∴2≤a<4.
当p假q真时，，
∴－10综上可知，实数a的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．
2．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题，并指出其真假.
[解析] “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有两个相等的实根，故p真，q假．
∴p或q真，p且q假．1.1
命题及其关系（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( D )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[解析] －1x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D．
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则( C )
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[解析] 如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中( B )
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[解析] 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B．
5．对于实数a、b、c，下列命题中是真命题的是( B )
A．若a>b，则ac>bc
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若a>b，则<
[解析] ∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b.
6．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“对顶角相等”的逆命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
二、填空题
7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5__；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.
8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__(填“真”或“假”)命题.
[解析] 指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
B级 素养提升
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( B )
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的( C )
A．逆否命题
B．逆命题
C．否命题
D．原命题
[解析] 解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．
解法二：如图可知，s与t互否．
3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( D )
A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
[解析] 命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．
4．(2016·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( C )
A．原命题是真命题
B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题
D．逆否命题是真命题
[解析] 原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．
逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”．若f(x)＝3x2，假命题．则否命题也为假命题．
二、填空题
6．(2016·山东枣庄高二检测)有下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中所有真命题的序号为__②__.
[解析] 命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．
7．已知命题“若m－1[解析] 由已知得，若1∴，∴1≤m≤2.
8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为__[3,8)__.
[解析] 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．
C级 能力提高
1．(2016·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.
[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如a＝，b＝－，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝，则a＋b＝2＋是无理数，故逆否命题为假．
2．(2016·山西太原高二检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．
[解析] (1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．
逆否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：
易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：
因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，
即1＋q＝2q2，也就是1－q2＝q2－q，
又Sm＋2－Sm＝－＝，
Sm＋1－Sm＋2＝－
＝＝，
即Sm＋2－Sm＝Sm＋1－Sm＋2.1.4
全称量词与存在量词（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为( C )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是( D )
① x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③ x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①②③都是真命题．
3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( C )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[解析] “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．
4．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．
5．(2016·山东菏泽高二月考)下列命题中为特称命题的是( C )
A．所有的整数都是有理数
B．三角形的内角和都是180°
C．有些三角形是等腰三角形
D．正方形都是菱形
[解析] A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．
6．(2016·山东济南高二月考)下列四个命题中，假命题为( B )
A． x∈R,2x>0
B． x∈R，x2＋3x＋1>0
C． x∈R，lg
x>0
D． x∈R，x＝2
[解析] 当x＝－1时，x2＋3x＋1＝－1<0，故命题“ x∈R，x2＋3x＋1>0”为假命题．
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“ ”写成特称命题为__ x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.
[解析] 根据特称命题的定义改写．
8．四个命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.
[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．
三、解答题
9．(2016·江苏南京高二检测)用符号表示下列全称命题：
(1)对任意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；
(2)对所有实数m，都有<0；
(3)对每一个实数x，都有cos
x<1.
[解析] (1) a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．
(2) m∈R，<0.
(3) x∈R，cos
x<1.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( D )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在大于等于3的实数
[解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．
2．下列命题是真命题的是( D )
A． x∈R，(x－)2>0
B． x∈Q，x2>0
C． x0∈Z,3x0＝812
D． x0∈R,3x－4＝6x0
[解析] A中当x＝时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( B )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[解析] A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．
4．(2016·浙江杭州高二检测)已知命题p： x∈R，mx2＋1≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－2)
B．[－2,0)
C．(－2,0)
D．(0,2)
[解析] p真：m<0.
q真：Δ＝m2－4<0，∴－2∵p∧q为真命题，∴p、q均为真命题，∴－25．(2016·唐山一模)已知命题p： x0∈N，xA．p假q真
B．p真q假
C．p假q假
D．p真q真
[解析] 由x二、填空题
6．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身.
[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
7．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x－1|<2；④对任意的实数x>5，都有x>3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)
[解析] ②是特称命题；③不是命题．
三、解答题
8．判断下列命题的真假：
(1)任给x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
(2)存在α、β∈R，sin
(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；
(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析] (1)∵x∈Q，∴x2与x均为有理数，从而x2＋x＋1是有理数，∴(1)真；
(2)当α＝0，β＝时，sin
(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立，
∴(2)真；
(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；
(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．
C级 能力提高
1．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“ x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__(－∞，－2)__.
[解析] 由条件知，∴m<－2.
2．已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
[解析] 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．
所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.