2.2
双曲线（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )
A．2
B．2
C．4
D．4
[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )
A．(，＋∞)
B．(，2
)
C．(1，)
D．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝.
∴c2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，
∴1
4．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是( B )
A．±5
B．±3
C．25
D．9
[解析] 依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．
5．若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
[解析] ∵06．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( D )
A．(x－2)2＋y2＝4
B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2
D．x2＋(y－2)2＝4
[解析] 双曲线y2－＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D．
二、填空题
7．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝__5__.
[解析] ∵双曲线的标准方程－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝5.
8．(2016·北京文)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝__1__；b＝__2__.
[解析] 由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( D )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．
2．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( C )
A．m>
B．m≥1
C．m>1
D．m>2
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．
3．(2015·全国卷Ⅰ理)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( A )
A．(－，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(－，)
[解析] 由双曲线方程可知F1(－，0)、F2(，0)，
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，
即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，
∴－4．(2016·重庆八中高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－)2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( B )
A．
B．2
C．
D．
[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝1，∴b＝a.
∴离心率e＝＝＝＝＝2.
5．(2016·吉林实验中学)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
二、填空题
6．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x .
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆＋＝1的离心率e＝ .
[解析] 由条件知＝，即a＝2b，
∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b，∴e＝＝＝.
三、解答题
8．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
C级 能力提高
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 －＝1 .
[解析] 椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，
∴离心率e1＝，焦点(±，0)，
∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，
∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，
∴双曲线方程为－＝1.
2．设双曲线－＝1(0[解析] 由l过两点(a,0)、(0，b)，得
l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
162－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
由e＝有e＝.故e＝或e＝2.
因0，
所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.2.3
抛物线（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小( C )
A．小于90°
B．等于90°
C．大于90°
D．不能确定
2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝( B )
A．13
B．
C．6
D．4
[解析] 代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( B )
A．(，±)
B．(，±)
C．(，)
D．(，)
[解析] 设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，
∴y＝，∴y0＝±，故选B．
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( B )
A．2
B．4
C．8
D．16
[解析] 根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( C )
A．
B．1
C．
D．
[解析] 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，
∴x1＋x2＝，
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( C )
A．
B．2
C．2
D．3
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条.
[解析] ∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．
8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.
[解析] 由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
三、解答题
9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.
[解析] 如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由，消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.
∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－2
B．－1
C．2
D．3
[解析] 由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
2．(2016·山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为( B )
A．
B．2
C．
D．3
[解析] F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.
3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( B )
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
[解析] 设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由，得A(2p,2p)．
则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是( D )
A．12
B．－12
C．3
D．－3
[解析] 设A(，y1)、B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，
又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( B )
A．
B．2
C．
D．3
[解析] 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.故选B．
二、填空题
6．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__a≥1__.
[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.∴a≥1.
7．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为 .
[解析] 设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.
三、解答题
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长.
[解析] 设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，
∴x1＝2，∴A点坐标为(2,2)，
则直线AB的斜率为k＝＝2.
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由，消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝2，x2＝.
∴|BF|＝x2＋1＝.
C级 能力提高
1．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝ 3＋2 .
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，
消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，
故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.
2．(2017·全国Ⅰ文，20)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解析] (1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)解：由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.第二章 圆锥曲线与方程
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线x2－5y2＝5的焦距为( B )
A．
B．2
C．2
D．4
[解析] 双曲线方程化为标准方程为－y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2＋b2＝6，∴c＝.∴焦距为2c＝2.
2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，
∴设其方程为：y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.
3．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为( D )
A．5
B．3
C．2
D．2
[解析] 由题意得9－m2＝1，∴m2＝8，又m>0，∴m＝2.
4．3A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
[解析] 当30，
∴方程＋＝1表示双曲线．
若方程＋＝1表示双曲线，则
(m－5)(m2－m－6)<0，
∴m<－2或35．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝.
6．如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y2＝4x上，则|PF|＝( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线x＝－1的距离d＝|2－(－1)|＝3，故C正确．
7．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[解析] 双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由·＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．
8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( B )
A．3
B．6
C．9
D．12
[解析] 如图：
∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴c＝2，
∵＝，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝12.
∵抛物线的准线为x＝－2，
∴|AB|＝＝＝6.
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( C )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
[解析] ∵2x2＝x1＋x3，
∴2(x2＋)＝(x1＋)＋(x2＋)，
∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．
10．(2016·山东济宁高二检测)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( A )
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析] 由椭圆方程可知，a2＝16，∴a＝4.
在△
AF1B中，由椭圆定义可知周长为4a＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.
11．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是( D )
A．线段
B．直线
C．圆
D．椭圆
[解析] 如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．
12．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( B )
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
[解析] ∵直线与圆无交点，∴>2，
∴m2＋n2<4，∴点P在⊙O内部，
又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，
∴过点P的直线与椭圆有两个交点．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为__2__.
[解析] 如图所示，F为抛物线x2＝4y的焦点，直线y＝－1为其准线，过点P作准线的垂线，垂足为A且交x轴于点B．
∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.
14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 .
[解析] ∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
∴椭圆离心率为＝.
15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±x .
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，
即y1＋y2＝p，
∴＝p，
即＝，
∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C：y2＝2x的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则l的方程为 y＝±(x－) .
[解析] 由题意得，抛物线y2＝2x的焦点F(，0)．设l：y＝k(x－)，A(x1，y2)、B(x2，y2)，则由|AF|＝3|BF|得x1＋＝3(x2＋)，即x1＝3x2＋1；联立，
得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，则x1x2＝x2(3x2＋1)＝，解得x2＝，又x1＋x2＝4x2＋1＝1＋，即k2＝3，k＝±，即直线l的方程为y＝±(x－)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线；
(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线.
[解析] (1)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(20－a2>0)
又点(3，2)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为＋＝1，
其焦点坐标为(±，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±，0)，
设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴＝，∴＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2，
即所求的双曲线方程为：－＝1.
18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.
[解析] (1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，所以p＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x2＝－8y.
(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y2＝－10x.
19．(本题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
[解析] (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1、x2＝4，y1＝－2、y2＝4，
从而A(1，－2)、B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
20．(本题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，离心率e＝，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.
[解析] (1)由条件知，解之得.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)依题意，设l的方程为y＝kx＋，
由，消去y得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，
显然Δ>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得，
a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)(－)＋k·＋3＝0，解得k＝±.
21．(本题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
[解析] (1)依题意，
解得a2＝3，b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由，消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知：1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)>0 m2＋1>3k2①
设C(x1，y1)、D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1②
联立①②得m2－4m>0，
所以m<0或m>4，又3k2＝4m＋1>0，
所以m>－，因此－4.
22．(本题满分12分)(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
[解析] (1)由椭圆的离心率为，
得a2＝2(a2－b2)，
又当y＝1时，x2＝a2－，
得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2.
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程，得
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
由Δ>0得m2<4k2＋2，(
)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D(－，)．
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝(－)2＋(＋m)2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3，
故2k2＋1＝.
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，
由函数单调性可知y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4.
由(
)得－故≥.
设∠EDF＝2θ，则sin
θ＝≥，
所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，
此时直线l的斜率是0.
综上所述，当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.2.1
椭圆（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( D )
A．4
B．5
C．7
D．8
[解析] 由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，
∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝＝.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析] 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)，
∵b＝2，∴a2＝25，故选B．
4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设椭圆的焦距为2c，短轴长为2b，长轴长为2a，由题意得(2b)2＝4ac，即b2＝ac.
又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，
∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
∵e∈(0,1)，∴e＝.
5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( A )
A．
B．
C．2
D．4
[解析] 由题意＋x2＝1，且＝2，
∴m＝.故选A．
6．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为 ＋＝1或＋＝1 .
[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.
又两个焦点将长轴三等分，
∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
∵焦点位置不确定，
∴方程为＋＝1或＋＝1.
8．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ 3或 .
[解析] 当焦点在x轴上时，e＝＝，
∴m＝3.
当焦点在y轴上时，e＝＝，∴m＝.
三、解答题
9．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求△PF1F2的面积．
[解析] (1)由题意可知a2＝49，b2＝24，
∴a＝7，b＝2，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝.
(2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，
∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( C )
A．＋＝1或＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
[解析] 由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( C )
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析] 根据条件可知＝，且4a＝4，
∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.
3．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( D )
A．1
B．
C．2
D．2
[解析] 由，得
(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，
由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，
∴椭圆的长轴长为2.
4．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( C )
A．1
B．1或2
C．2
D．0
[解析] 因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
5．(2015·江西八校联考)已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，
∴只需 0<≤.
即椭圆离心率的取值范围是.
二、填空题
6．若椭圆的一个焦点将其长轴分成︰两段，则椭圆的离心率为 5－2 .
[解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，
∴＝，
∴(－)a＝(＋)c，
∴e＝＝5－2.
7．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__(0,1]∪[9，＋∞)__.
[解析] 方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan
120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
方法2：当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan
60°＝，即≥，
解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan
60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
三、解答题
8．(2017·北京文，19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.
[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.
C级 能力提高
1．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为 .
[解析] 如图，由已知得b＝c＝a，
∴e＝＝.
2．(2017·全国Ⅱ文，20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝
.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解析] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝
，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.2
双曲线（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( C )
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
[解析] ∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴动点P的轨迹是一条射线．
2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( D )
A．(±5,0)
B．(0，±)
C．(±，0)
D．(0，±)
[解析] 双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，
又∵焦点在y轴上，故选D．
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( A )
A．－1B．k>0
C．k≥0
D．k>1或k<－1
[解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－14．(2016·山东济宁高二检测)已知双曲线2mx2－my＝4的一个焦点为(0，)，则m的值为( B )
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析] 将双曲线方程化为－＝1.因为一个焦点是(0，)，所以焦点在y轴上，所以c＝，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝6.所以m＝－1.
5．双曲线－＝1的焦距为( D )
A．3
B．4
C．3
D．4
[解析] 由双曲线的标准方程，知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4，故选D．
6．(2015·福建理)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( B )
A．11
B．9
C．5
D．3
[解析] 由题，＝2a＝6，
即＝2a＝6，解得|PF2|＝9.
二、填空题
7．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于__48__.
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16.
∴S△PF1F2＝×16×＝48.
8．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为__2或22__.
[解析] 设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；
当点P在双曲线右支上时，
|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，c＝且经过点(－5,2)；
(2)过P(3，)和Q(－，5)两点．
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得，
解之得a2＝5，b2＝1，
故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得
，解之得.
∴所求双曲线方程为－＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( B )
A．－y2＝1
B．x2－＝1
C．－＝1
D．－＝1
[解析] 由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，
∴－＝1，
又a2＋b2＝5，∴，故选B．
2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
故选D．
3．已知m、n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是( C )
[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y＝mx＋n，＋＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m和截距n的正负，从而断定曲线的形状．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( D )
A．16
B．18
C．21
D．26
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
5．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( C )
A．(－∞，1)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2,1)
[解析] 由题意，方程可化为－＝3，
∴，解得m<－2.故选C．
二、填空题
6．(2016·浙江丽水高二检测)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为 －＝1 .
[解析] 解法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.
解法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1.
7．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于__4__.
[解析] 在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
三、解答题
8．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值.
[解析] 由题意知c＝3，若焦点在x轴上，
则方程可化为－＝1，∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1.
∴－k＋(－)＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
C级 能力提高
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值为__－1__.
[解析] 将双曲线的方程化为－＝1，
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，
所以焦点在y轴上，且c＝3.
所以a2＝－，b2＝－.
所以－－＝9，
解得k＝－1.
2．当0°≤α≤180°时，方程x2cos
α＋y2sin
α＝1表示的曲线如何变化？
[解析] (1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．2.1
椭圆（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( D )
A．8
B．12
C．2
D．4
[解析] 把点(－2，)代入＋＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2，∴2c＝4.
2．(2015·广东文)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．9
[解析] ∵椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝，∴m2＝9，∴m＝3，选B．
3．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝( A )
A．11
B．10
C．9
D．16
[解析] 由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．
4．(2016·山东济宁高二检测)设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
[解析] 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
5．对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B．
6．(2016·贵州贵阳高二检测)已知两点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( C )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析] ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，动点P的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，方程为＋＝1.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为 ＋＝1 .
[解析] 由题意可得，∴，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是 ＋＝1 .
[解析] 因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程.
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( C )
A．5
B．3或8
C．3或5
D．20
[解析] 2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故答案为C．
2．设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是( C )
A．k>3
B．3C．4D．3[解析] 由题意得k－3>5－k>0，∴43．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a、b满足( C )
A．a2>b2
B．<
C．0D．0[解析] 将方程变为标准方程为＋＝1，由已知得，>>0，则04．(2016·安徽师大附中高二检测)F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( C )
A．7
B．
C．
D．
[解析] 由已知得a＝3，c＝.
设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，
∴(6－m)2＝m2＋(2)2－2m·2
cos
45°，
解得m＝.
∴6－m＝.
∴S△AF1F2＝××2sin
45°＝，故选C．
5．(2016·长沙模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( C )
A．3
B．3或
C．
D．6或3
[解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.
二、填空题
6．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6__.
[解析] 由题意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__；∠F1PF2的大小为__120°__.
[解析] 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2，
cos
∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
8．(2016·广西南宁高二检测)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是__8__.
[解析] 如图所示，F为椭圆的左焦点，A为其右焦点，△ABC的周长＝|AB|＋|BC|＋|AC|＝|AB|＋|BF|＋|AC|＋|CF|＝4a＝8.
C级 能力提高
1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.
(1)经过两点A(0,2)、B(，)；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
[解析] (1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵椭圆过A(0,2)、B.
∴， 解得.
即所求椭圆方程为x2＋＝1.
(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的方程为＋＝1.
2．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos
＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin
∠F1PF2
＝××＝.2.3
抛物线（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )
A．直线
B．椭圆
C．线段
D．抛物线
[解析] 因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为( B )
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(－1,0)
[解析] 因为准线方程为x＝－2＝－，所以焦点为(，0)，即(2,0)．
3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为( C )
A．
B．1
C．2
D．4
[解析] 抛物线x2＝4y中，P＝2，∴焦点到准线的距离为2.
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( C )
A．(1,0)
B．
C．
D．
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝y，∴p＝，且焦点在y轴的正半轴上，故选C．
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( A )
A．0
B．
C．
D．
[解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
6．从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为( A )
A．10
B．8
C．6
D．4
[解析] 设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2__，准线方程为__x＝－1__.
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.
由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
8．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y2＝－20x__.
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
三、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
[证明] 设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( B )
A．
B．
C．2
D．2
[解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，
又＝，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B．
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( D )
A．2
B．2
C．
D．1
[解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( D )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
[解析] 抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，
∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( C )
A．2
B．2
C．2
D．4
[解析] 设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选A，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．
5．(2015·绵阳二诊)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，抛物线准线方程为x＝－.
设M(a，b)，由抛物线的定义可知，
点M到准线的距离为，
所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，
解得b＝±，
所以S△MFO＝××＝.
二、填空题
6．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x2＝12y__.
[解析] 抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－，
由题意得3－(－)＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
7．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是__y2＝16x__.
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.
三、解答题
8．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值.
[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，
由题意知，
解得，或
.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
C级 能力提高
1．一抛物线拱桥跨度为52
m，拱顶离水面6.5
m，一竹排上载有一宽4
m，高6
m的大木箱，则竹排__能__(填“能”或“不能”)安全通过.
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，
设B(2，y)，
由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52，
所以抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，所以y＝－，
因为6.5－>6，所以能安全通过．
2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要0.5
m．若行驶车道总宽度AB为6
m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1
m)
[解析] 取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，
设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6
m，
∴将x＝3代入抛物线方程，y＝－2.25
m，
∴限度为6－2.25－0.5＝3.25
m
则车辆通过隧道的限制高度是3.25米．