冀教版数学四上探索乐园教案（2课时21页）
文档属性
| 名称 | 冀教版数学四上探索乐园教案（2课时21页） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 745.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-09-09 11:52:08 | ||
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文档简介
第九单元
探索乐园
教材分析
本单元教材共安排两个主题内容：一是植树问题，探索并总结解答植树问题的一般思路和方法，构建解决植树问题的数学模型；二是数图形问题，探索线段上的点数与线段条数之间的关系，总结出数线段的方法和规律。结合这两个主题内容，教材还设计了一些用类似方法解答的其他问题。
本单元的两个主题内容，从表面上看，一个是数与代数中的典型问题，一个是图形与几何中的典型问题，好像没有什么直接的联系；但是从直观图示看，二者有着密切的关系。如：线段上的点就相当植树问题中两端都种树的情况，线段上相邻两个字母组成的线段就相当于植树问题中每两个树之间的间隔。
教学目标
1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。
2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。
3、在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力。
4、了解分析实际问题的方法，获得解决问题的经验，尝试解释自己的思考过程。
5、在教师的鼓励和引导下，体验总结、归纳解题规律的过程，获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。
重点、难点
重点
1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。
2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。
难点
在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力
教学建议
1、引导学生经历解决问题的全过程。
教学时可结合情境图（示意图）出示问题，让学生经历整个分析、思考的全过程并且初步感受到：遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
2、培养学生建立数学模型的能力。
教师要指导学生通过线段图建立数学模型。可让学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察示意图或线段图，把分割点数和栽树的棵数一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数与间隔数之间的关系。此外，还可适当拓展植树问题数学模型的逆向应用。
3、重视知识的迁移和转化。
教学数线段的条数时，要鼓励学生用自己的方法迁移植树问题的问题解决模型来探索规律，让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法。
4、注意学生核心学习素养的培养。
教学时，教师要注重学生读题、审题习惯的培养,放手让学生自主探究，在对比与沟通中，“让学生掌握以思想方法作灵魂的数学知识，把数学‘学懂’、‘学活’、‘学深’”。
课时安排
本单元用3课时完成教学，其中机动1课时。
课题
课时
植树问题
1
探索数线段的规律
1
机动
1
总计
3
9.1
植树问题
教学内容
教材第94、95页
植树问题
教学提示
解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而让学生在获得对数学理解的同时也在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。本单元，教材在编排上注重了引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），从而培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
教学目标
知识与能力
了解间隔数的含义，建构解答植树问题的一般方法模型，能解答类似的简单实际问题。
过程与方法
结合具体事例，经历分析问题、解决问题、总结解答植树问题一般方法的过程，建立起解答植树问题的思想方法模型。
情感、态度与价值观
在用植树问题的思路和方法解答其他问题的过程中，获得成功的体验，感受数学与生活的密切联系。
重点、难点
重点
理解间隔数的含义，能求出间隔数并根据两端植树的情况，利用模型思想求出植树的棵数。
难点
运用植树问题的模型思想方法解决简单实际问题。
教学准备
教师准备：
多媒体教学课件。
学生准备：
铅笔、橡皮、直尺。
教学过程
（一）新课导入
猜谜导入。
师：在上新课之前，我们先猜个谜语放松一下，好吗？
（课件显示）：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。
生：手
师：大家真聪明，就是我们的手。瞧，我们每个人都有一双灵巧的手，其实，在我们的手上也隐藏了好多数学只是，同学们想知道吗？
师：看着老师的手，你从中得到了什么数字？
（5
5个手指）
师：老师也从中得到了一 个数字“4”，你们知道它指的是什么吗？
（4个空格）
师： 对了，手指间的空格，在数学上我们叫做间隔。我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细看老师的手，5个手指，有几个间隔？
师：4个手指有几个间隔，3个手指呢？
师：手指数与间隔数其中的关系你发现了吗？
（手指数比间隔多1）
师：还可以这样说？
（间隔数+1=手指数）
师：在我们的手上都有数学只是，看来数学真的是无处不在。今天我们学习和间隔数有关的问题，它就是“植树问题”。
设计意图：
在猜谜语活动中，体验间隔数的含义、手指个数与间隔数的关系，为本课时教学“植树问题”探究间隔数和棵数大小基础。
（二）探究新知
1、出示情境，获取信息。
师：学校为了改变校园环境，要在校园内种上一些树，校委会决定公开招聘植树方案设计师，你们想不想成为我们校园的植树方案设计师呢？
师：我们一起来先看看设计的具体要求吧!（课件显示）
学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树，每隔5米种一棵。
请按照要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。
师：从要求上，你获得哪些信息？
生：40米长的教学楼前，每隔5 米种一棵玉兰树 。
师：每隔5 米是什么意思？
生：两棵树之间的间隔是5 米，也就是每两棵树之间的距离是5米。
2、提出问题，设计方案。
师：现在，请4 个同学为一组开始设计吧，看看哪组设计的方案最多，各需要多少棵玉兰树呢？（教师巡视）
3、讨论交流、展示方案。
方案一：一端不种，另一端种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8个间隔，我们只种一头，另一头不种，所以我们只用8棵树。
方案二：两端都种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵）就说明有8个间隔，为了让我们的学校更美，我们在两头都种上树，所以我们再用8+1=9棵树。
方案三：两端都不种 。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8个间隔，我们想学校的树已经很多了，为了让我们的活动范围更大，所以在两头都不种树，所以把8－1=7棵。
4、探究发现、总结规律。
师：同学们设计的真不错，来我们一起看看这三个设计方案中种的棵数与间隔数有什么关系呢？
第一方案
一端植树，另一端不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：只栽一端时，种树棵数=间隔数
第二方案
两端都植树，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端栽树时，种树棵数=间隔数+1
第三方案
两端都不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端都不种，种树棵数=间隔数－1
5、教学例2 。
师：我们一起来看一个生活中的一个问题吧，你会解答吗？（课件显示 ）
同学们在全长是60米的小路同一侧植树，每隔6米种一棵，两端各种一棵，一共需要多少棵树苗？
师：大家一起把题读一遍，从题中你了解到了哪些信息？
（预设）
生1：路程是60米。
生2：小路同一侧植树，两端各种1棵。
生3:每两棵树之间的间隔是60米。
师：两端各种一棵是什么意思？同桌讨论一下，怎么计算？
（预设）
60÷6+1=11（棵）
师：同学们真棒，什么也难不倒你们。
师：如果这条路的两侧都植树，怎样计算？
学生自己独立完成。
使学生明白：要求出两侧都种树苗的棵数，只要求出一侧种树的棵数，再乘2就可以了。
设计意图：
在方案征集中体验三种不同的植树方案，在讨论交流中理解“间隔”的含义，在探究画图中建构起三种方案解决的数学模型，最后在实际问题解决中体验运用模型思想解决问题的优越性。
（三）巩固新知
1、教材第95页“练一练”第1、2、3题。
2、教材第95页“练一练”第4题。
设计意图：
1、在练习中进一步熟悉植树问题的一端种、一端不种；两端都种、两端都不种的三种情形，逐步熟悉和建构解决此类问题的数学模型方法。
2、利用植树问题的模型方法解答上下楼的台阶问题，体会数学模型思想在解决问题中的运用。
（四）达标反馈
1、填一填。
（1）工人叔叔在路的一边安装路灯，一共安装了6座，从第一座到最后一座一共有（
）个间隔。
（2）一排同学之间有7 个间隔，这一排有（
）个同学。
（3）小红住的楼房每上一层要走20个台阶，从二楼到四楼要走（
）个台阶。
2、有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗
3、在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根？
4、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗
5、有一条路长 1000 米,在路的一侧每隔5米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵
6、两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵
答案：
1、（1）5（2）8（3）40
2、 800÷20+1=41（棵）
3、 500÷50-1=9（根）
4、50÷5=10 （面）
10+1=11 （面） 11×2=22 （面）
5、 1000÷5+1=201(棵)
6、 56÷4-1=13(棵)
（五）课堂小结
师：同学们，生活中植树问题的例子有很多很多，有时也不一定非得真的种树，比如马路旁每隔一定距离放置一座路灯，路灯的数量和间隔的多少可以看成是植树问题。还比如电线杆呀！教室的课桌安排呀等等都是植树问题。今天我们大家一起探究了植树问题，体会了植树问题与生活间的密切联系。现在和同桌说一说，通过本课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？
设计意图：
反思是基于学生的思维状态，让学生对当堂课的知识和收获做一个回顾，就是学生整理知识、内化知识的过程，能起到画龙点睛的作用，更能培养学生的归纳能力。
（六）布置作业
1、植树节到了，同学们在一条长120米的小路的一边栽树，每隔6米栽一棵。如只有一端栽树，需要多少棵树
2、有一根木料，把它锯成8段，每锯开一处，需要5分钟，全部锯完需要多少分钟
3、一条彩带长1米，把它剪成长度相同的几小段，已知剪了4次，每段长多少分米？
4、
5、一列高速列车共20节，每节长18米，每两节之间的距离是1米，你知道这列高速列车有多长吗？
6、业务员小李要到六楼联系工作，他从1楼到4楼用了54秒，照这样计算，小李走到6楼共需要几秒
答案：
1、120÷6=20（棵）
2、8-1=7（次）
5×7=35（分钟）
3、1米=10分米
4+1=5（段）
10÷5=2（分米）
4、20×（10-1）=180（米）
5、20-1=19（米）
20×18+19=379(m)
6、54÷（4-1）=18（秒）
18×（6-1）=90（秒）
板书设计
教学反思
1、在操作体验中经历建模。
有意义的学习是学生在具体情境中通过活动体验而自主建构模型。体验和建构是学生活动化学习的关键。体验是建构的基础，没有体验，建构就失去意义。体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。本节课在提示课题理解完间隔的含义以后，通过三次种树的数学活动，并辅助与多媒体课件，让学生充分感知到了“间隔数”与“棵数”之间的一一对应的关系，使学生清楚地理解两头种树棵树为什么要+1，两头都不种棵数为什么－1，以及一头种为什么棵数与间隔数是相等的，达到建构学习主题的水平,在学生的头脑中留下了深刻的印象。
2、数形结合——促进方法渗透。
如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。
教学资料包
教学精彩片段
两端都栽植树问题
教学片断
1、提出问题。
课件：在全长1000米的路的一边植树，每隔10米栽一棵树（两端都栽），一共需要多少棵树苗？
学生的猜测可能有不同的结果：100；101；102或99。
2、自主探究。
棵数和间隔数到底之间有什么关系呢？让学生大胆地猜想，并用图示的方法验证。
课件显示：隔10米种一棵，再隔10米种一棵……，一直画到1000米！学生会感觉：这样一棵一间隔画下去，方法是可以的，但太麻烦了，又浪费时间。
引导学生：要研究棵数和间隔数之间有什么关系，有更简单的方法吗？
让学生思考、交流，尝试从简单入手，用“把大数变小数”的方法进行研究，渗透“化繁为简”的数学思想。
3、发现规律。
学生开始动手画图、填表、比较分析，然后展示他们的研究结果，发现在小数据中两端都种的情况下，都有“棵数比间隔数多1”的规律。
师：“棵数比间隔数多1”的规律是同学们用较小的数据研究出来的，如果数据增大，这个规律还成立吗？
课件动态演示：一个间隔对应一棵，这样一直对应下去，
100个间隔就有100棵，种完了吗？
师：如果这条路变得很长很长、无限长，两端都种还有这样的规律吗？
让学生从中体会到，不管数字多大，用“一一对应”的方法，最后还要补上一棵才能达到两端都种的结果。这个环节，潜移默化地渗透“极限”的思想。
4、总结归纳。
归纳“化繁为简”的解题策略。
让学生体会到研究问题可以从简单入手，将困难的变为容易的，将复杂的变为简单的，用这样的方法，可以有效地解决问题。把抽象的数学化归思想渗透在教学中，让学生在“润物细无声”中体验到数学思想方法的价值，提高思维的素质。
5、总结规律。
师：你们能用一个式子把规律表示出来吗？
（板书）间隔数+1=棵数
棵数－1=间隔数
说课设计
（1）教材分析
教材的地位与作用：
“植树问题”主要是为了向学生渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出隐含的数学模型，然后再用发现的模型解决生活中的一些简单实际问题。
（2）学情分析
这部分知识学生在生活中有过接触，但是对植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间等数学概念还是比较陌生，所以，本课教学的重点培养学生的读题理解能力、审题分析能力、归纳、概括能力、运用数学语言表达的能力。
（3）教学目标
1）知识与技能目标：
1、通过生活中的事例，经历探索日常生活中的植树问题，抽象出植树问题模型的过程，初步体会解决植树问题的思想方法。
2、通过实践操作，学会利用线段图理解和掌握植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间的关系，找出解决问题的有效方法的能力。
2）过程与方法目标：
1、经历感知、理解知识的过程，培养从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力
2、通过观察、操作、交流等活动探索新知，渗透数形结合的数学思想。
3）情感与态度目标：
1、在解决问题的过程中，感受到数学与现实生活的密切联系，体验学习的喜悦。
2、理解和掌握植树问题的思想方法，从而体验到数学学习的价值与数学思维的乐趣，增强学好数学的信心。
（4）重点、难点
植树问题与生活联系密切，学生并不陌生。但是要从具体的事物中发现规律、找到规律，并进行建模，对于四年级的学生来说，具有一定的难度。利用熟悉的生活情境，通过操作、分析、合作交流发现、理解植树的棵数和间隔数之间的关系是本节课的教学重点；灵活运用所学的知识解决有关的实际问题是本课的教学难点。
（5）教法、学法
教法：直观演示法、引导发现法、讨论法、讲解法
学法：自主探究法、合作交流法
（6）说教学过程
1、猜谜导入、引出课题。
上新课之前，师生一起猜谜语：（课件显示）两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。
在猜谜语的过程中，熟悉和理解“五指四空”，同时也发现我们的手上也隐藏了数学知识，生活中处处有数学；接着教师指出：手指间的空格，在数学上叫做间隔，每两个手指之间有一个间隔；探讨：手指数与间隔数的关系（手指数比间隔多1），引出本课探究学习的内容“植树问题”并板书课题。
2、直观演示，解决问题。
通过创设“学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树的现实情境（每隔5米种一棵），给出“植树可有不同方法的”的提示，先让学生借助直观图探究“一端种、一端不种”的情形，学生画出线段图，在画图过程中理解和感悟“种树的棵数和间隔数之间的关系”得出“种树的棵数=间隔数”的结论。
接着让学生借助线段图或（示意图）探究“两头都种”、“两头都不种”时，间隔数与棵数的关系：
两头都种：
间隔数＋1＝植树棵数
两头都不种：间隔数-1=植树棵数
3、利用模型解决问题。
波利亚曾说：“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生解决问题的能力。”上述模型基础上教材给出了例2：“两端都种”和“路的两侧都种”一个实际问题的两种情形，让学生在合作探究中熟悉、理解和体会“模型思想”给问题的解决带来的方便与便捷。
3、巩固应用。
完成教材第97页“练一练”习题1、2、3、4，在练习中迁移数线段的方法来数角、数三角形、数长方形和正方形。在练习中感知、感悟和理解，在练习中迁移、转化；在练习中建构起解决此类问题的数学模型。使学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件，都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义
4、归纳总结。
各位同学在小组里交流一下自己的表现和所得的收获，然后说给大家听。让学生再一次感受学习的快乐成就感，从而培养学生归纳总结的能力。
5、说板书。
板书是课堂教学的重要组成部分，教学是，教师抓住了本节关键的节点植树问题的三种情形进行板书进行对比，让学生在比较中、在对比中分析和建构起解决此类问题的数学模型。
教学资源
非封闭、封闭线路上、正方形四周植树问题方法梳理
1、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株数－1)
株距=全长÷(株数－1)
2、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
3、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么
株数=段数－1=全长÷株距－1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
4、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
5、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。
棵数=(每边的棵数-1)×边数。
资料链接
20棵树植树问题
数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪。20棵树植树问题：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？
20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列。
进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱（图2）。
进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾。数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图3）。
今天，人类已跨入了21世纪。20棵树植树问题又被数学家们从新提出：跨入21世纪，20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。
数学模型
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。
数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型（Mathematical
Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
9.2
探索数线段的规律
教学内容
教材第96、97页
探索数线段的规律
教学提示
探索数线段的规律，是在认识了线段，会用字母表示线段等内容的基础上安排的。教学的重点是经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。难点是有规律的数线段，并用式子表示出来。课堂活动中，要按照教材的设计意图，抓住每个活动的重点，突破难点，让学生经历由个别到一般规律的总结过程。发现图形中隐含的简单规律，发展初步的归纳和推理能力；在有规律的数线段，并用式子表示时，学生可能有难度。
教学目标
知识与能力
能发现线段上的点数与线段条数之间的关系，了解数线段、数图形的一般规律和方法。
过程与方法
经历数线段、交流数的方法、发现规律以及应用规律的过程，掌握数线段的方法。
情感、态度与价值观
在总结数线段的规律、用规律进行推算的过程中，发展初步的归纳和推理能力。
重点、难点
重点
经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。
难点
有规律的数线段，并用式子表示出来。
教学准备
教师准备：多媒体教学课件、计数线段空的表格
学生准备：
铅笔、橡皮或计数线段空的表格
教学过程
（一）新课导入
谈话引入课题。
师：同学们好！今天我们学习《探索数线段的规律》。我们先来回忆一下，线段有什么特点？
线段是直直的，有两个端点，线段还可量出长度。
设计意图：
直奔主题，抓住线段的本质特征：两个端点，可以度量，为探索计数线段的条数规律打下基础。
（二）探究新知
1、探索计数线段条数的方法。
（课件出示）数一数，一共有几条线段？
师：上图中有几条线段，你是怎样数出来的？独立数，小组讨论交流。
（预设）
生： 以A点为左端点的线段有AB、AC、 AD三条，以B点为左端点的线段有BC 、BD两条，以C点为左端点的线段有CD一条，共有3+2+1=6（条）。 如图：
生2： AB、BC、CD都是只含有一段的线段，我们把它叫基本线段，有3条；AC和BD是含有两段的线段，有两条；AD则是含有三小段的线段，只有一条，所以共有3+2+1=6（条）。
如图：
师：上面的两种数法，有什么不同？小组讨论，全班交流。
（预设）
师：第一种是按A、B、C等一定的顺序，依次为左端点，往下数，即按序数数；第二种是按线段的组成不同来数，即分类数。（课件动态播放）
2、计数线段，找规律。
师：好了我们学习了两种计数线段的方法，按照刚才学习的方法计数线段，完成下表，你发现了什么规律？画画看。
（1）初填表格、答案各异。
师：老师手中有一张空的表格，发给你们，看能不能通过填写表格得出规律。在填写的过程中有疑问可以参照教材第96页，也可以和同桌或小组交流。
（2）汇报交流、动态演示。
（预设）
生1：2个点可以连1条线段。
（同步演示课件，动态连出一条线段，之后缩小放至表格内，并出现相应数据）
生2：如果增加1个点，就有3个点。如果每2个点连1条线段，这样会增加2条线段，课件动态连出增加的2条线段。那么3个点就连了3条线段。
师：你说得很好！为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在表格里。（课件动态演示）
生3：现在有4个点可以连出6条线段。同样的道理，5个点就可以连出10条线段。（课件动态演示）
……
（3）观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？
（引导学生明确：2个点时总条数是1，3个点时就增加2条线段，总条数是3；4个点时增加了3条线段，总条数是6；5个点时增加了4条线段，总条数是10。）
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
（学生尝试回答出：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段。每次增加的线段数和点数相差1。）
师：当3个点时，增加条数是几？
（生：2条）
师：那点数是4时，增加条数是多少？
（生：3条）
师：点数是5时呢？
（4条）
师：你们有什么新发现？
生：我们发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。
3、进一步探究，推导总线段数的规律。
分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，6个点可以连多少条条线段，现在你们有什么办法知道6个点可以连多少条线段吗？
（尝试让学生回答，学生可能会从5个点连线的情况去推理6个点的连线情况。）
师：如果当点数再大一些，10个点时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线。
师：接着想想4个点共连了6条线段，又可以怎么计算呢？
生：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就再增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为1＋2＋3＝6（条）。
师：那么按着这个方法，你能列出5个点共连线段的算式吗？（根据学生回答，动态演示：1+2+3+4＝10）
师：6个点呢？（生：1+2+3+4+5=15，课件动态演示）
（2）观察算式，探究算理。
师：下面，同学们仔细观察这些算式，有什么发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1＋2，计算4个人的总线段数是1＋2＋3，计算5个点的总线段数是1＋2＋3＋4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加。
比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数数减1的那个数。
生3:根据上面的规律，6个点的时候是：1+2+3+4+5=15。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？
（生：就是每次增加一个点时，增加的线段条数。）
归纳小结，应用规律。
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，你们明白了吗？
师：下面我们运用这条规律去计算一下10个点时共连的线段数。 （学生独立填写，教师巡视，之后学生交流算式集体评议）
师：有10个好朋友，每两人握一次手，一共要握几次手？
设计意图：以“猜想—验证-尝试—归纳-总结-运用-再验证”的学习方式，放手让学生自主探索规律，建构起解决问题的数学模型。
（三）巩固新知
1、教材第97页“练一练”第1题。
2、教材第97页“练一练”第2、3、4题。
设计意图：
在练习中，通过数线段的方法来数角，进一步巩固计数图形的方法。
在数三角形、长方形和正方形的过程中，迁移、类推数线段的方法，构建计数图形数量的模型。
（四）达标反馈
1、细心认真填一填。
（1）若直线上有3个点，则有线段（
）条，若一条直线上有4个点，则有（
）条线段，如一条直线上有5个点，则有（
）条线段。
（2）若一条直线上有N个点，则有（
）条线段。
2、数一数，图中有多少个角？你能说说射线的条数和角的个数之间是什么关系吗？
3、下图中有多少个三角形？
4、数一数，图中一共有多少个长方形？
5、下图中一共有多少个三角形？
答案：
1、（1）3
6
10
（2）1+2+3+…+(n-1)
2、21
3、10
4、（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）
5、 16＋7＋3＋1＝27(个)
（五）课堂小结
师：归纳小结。
（电脑显示：我的收获）
（1）同学们,今天我们学习了什么
（2）你对你自己的表现满意吗
（3）你认为这节课,谁的表现最棒 为什么
（4）数角，数三角形、数长方形、正方形与数线段有什么内在联系？
设计意图：
在思索问题答案的过程中，梳理、内化图形的计数方法，找到自己的优点与不足，以更好促进自己数学学习。
（六）布置作业
1、你能从下图中数出几条线段来？
2、你能从图中数出多少个锐角？
3、你能从下图中数出多少个三角形？
4、你能从下图中数出多少个长方形来？
5、在一条线段中间共刻有11个不重合的点，请问，从这条线段中共可以数出多少条线段来？
6、下列图形中，包含“
”号的三角形有多少？
答案：
1、1+2+3+4+5=15（条）
2、1+2+3+4+5=15（个）
3、1+2+3+4+5=15（个）
4、6×6=36（个）
5、1+2+3+…+9+10=55（条）
6、1+2+2+1=6(个)
板书设计
教学反思
探索规律是教材改革的新变化之一，它蕴涵着深刻的数学思想，对学生进行思维训练，是学生今后学习、生活最基础的知识之一。
本节课预设了五个教学环节：1、导入新课；2、创设问题情境、直奔主题；3、探究规律，体验方法；4、应用规律；5、课堂小结。有效的数学活动意味着教师需要唤醒、引导、促进和激励学生学习的“主动性”，不断引发学生学习的内在需求。
教学是，教师做到了：鼓励学生大胆猜想、培养自主思考探究的方法、及时提供充分的探究时空，让学生选择自己喜欢的方法自主探寻规律；让学生用自己的语言表达规律，适时进行数学化。学生探究后，及时引导学生用不同的方式来表达自己的发现，表达点的个数与线段条数之间的关系。让学生亲身经历“从具体形象表示——用数学语言描述——用数学模型表示”这一逐步符号化、形式化的过程，不断提升学生的“数学化”水平。
教学资料包
教学精彩片段
数线段导入
教学片断
谈话导入、明确目标。
师：老师和你初次见面，表示友好可以握一次手，这一动作你能用什么样的符号来表示？
（生尝试表示，个性化展示）
师：我们可以用这样的符号表示出来：（板书：●——●）
师：数学上，我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。今天我们就学习计数线段，希望在今天的课堂上你能清楚的表达出你计数线段的方法和过程。
设计意图：
老师和同学握一次手，老师和学生之间的距离由远及近，好像两个点之间的距离在缩短，当两手相握时形成两点一线，给学生解决本课中的握手问题做下伏笔。
教学资源
线段数的计算方法
把一条较长的线段分成若干小段，例如，把下面的线段分成了6小段：
请问，这时在这条线段上共可以数出多少条线段来？
我想，这对于我们大家来说并不是一道很复杂的题。但是，如果较长的线段被划分成较多段数的话，想要很快而准确地数出线段的条数来，就不那么容易了！有规律吗？
我们先一起来看看下面的思路。
为了方便，我们把较长线段被划分的若干小段称作基本线段，并逐段编号：
再分别按照相邻的6条线段、5条线段、4条线段……连接成线段的几种不同情形找出线段的条数。即：
由6条基本线段连接的线段是①②③④⑤⑥，只有1条；
由5条基本线段连接的线段是①②③④⑤、②③④⑤⑥，共有2条；
由4条基本线段连接的线段是①②③④、②③④⑤、③④⑤⑥，共有3条；
由3条基本线段连接的线段是①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥，共有4条；
由2条基本线段连接的线段是①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥，共有5条；
只有1条基本线段的是①、②、③、④、⑤、⑥，共有6条。
除了上述六种情形外，再也不能数出别的线段了。因此，从这条较长的被划分成6小段的线段中，共可以数出1+2+3+4+5+6=21（条）线段来。
以上排列有序的连加算式，似乎可以让我们联想出更一般情形的计数方法。
如果一条较长的线段被划分成n小段（n为任意自然数），那么，从这条较长的线段中共可以数出多少条线段呢？
你能猜想得出来吗？
一条较长的线段被划分成n小段（n为任意自然数），从这条较长的线段中共可以数出
1+2+3+……+n=（1+n）×n÷2或
线段数
=
端点数×（端点数-1）÷2条线段来。
资料链接
教师如何听课
l、教师听课应该按下面三个步骤来进行。
(1)课前要有一定的准备工作。
(2)听课中要认真观察和记录。
(3)听课后要思考和整理。
2、不仅要关注教师的教，更要关注学生的学：对于教师的教，听课时重点应该关注的是：
(1)课堂教学确定怎样的教学目标(学生要学习哪些知识 学到什么程度 情感如何 )。目标在何时采用何种方式呈现；
(2)新课如何导入，包括导入时引导学生参与哪些活动；
(3)创设怎样的教学情境，结合了哪些生活实际
(4)采用哪些教学方法和教学手段
(5)设计了哪些教学活动步骤 如：设计了怎样的问题让学生进行探究、如何探究；安排怎样的活动让学生动手动口操练，使所学知识得以延伸、迁移、巩固；设计怎样的问题或情景引导学生对新课内容和已有的知识进行整合等。
(6)使哪些知识系统化 巩固哪些知识 补充哪些知识
(7)培养学生哪些方面的技能 达到什么地步
(8)渗透哪些教学思想
(9)课堂教学氛围如何。
对于学生的学习活动，听课时应该关注：
(1)学生是否在教师的引导下积极参与到学习活动中；
(2)学习活动中学生经常做出怎样的情绪反应；
(3)学生是否乐于参与思考、讨论、争辩、动手操作；
(4)学生是否经常积极主动地提出问题；等等。
教师如何评课
1、从教学目标上分析。
教学目标是教学的出发点和归宿，它的正确制订和达成，是衡量课好坏的主要尺度。所以分析课首先要分析教学目标。
(1)从教学目标制定来看，要看是否全面、具体、适宜。依据《课标》，教学目标中的要求，全面是指要从知识、能力、思想感情、学习策略、文化策略等五个方面来确定教学目标；具体是指知识目标要有量化要求，能力、思想情感目标要有明确要求，体现学科特点(参见课标)；适宜是指确定的教学目标，能以大纲为指导，体现年段、年级、单元教材特点，符合学生年龄实际和认识规律，难易适度。
(2)从目标达成来看，要看教学目标是不是明确地体现在每一教学环节中，教学手段是否都紧密地围绕目标，为实现目标服务。要看课堂上是否尽快地接触重点内容，重点内容的教学时间是否得到保证，重点知识和技能是否得到巩固和强化。
2、从处理教材上分析：
评析老师一节课上的好与坏不仅要看教学目标的制定和落实，还要看教者对教材的组织和处理。评析教师一节课时，既要看教师知识教授的准确性、科学性，更要注意分析教师教材处理和教法选择上是否突出了重点，突破了难点，抓住了关键。
3、从教学程序上分析(教学程序评析包括以下几个主要方面)：
(1)看教学思路设计：
教学思路是教师上课的脉络和主线，。它是根据教学内容和学生水平两个方面的实际情况设计出来的。它反映一系列教学措施怎样编排组合，怎样衔接过渡，怎样安排详略，怎样安排讲练等。
教师课堂上的教学思路设计是多种多样的。为此，评课者评教学思路，一要看教学思路设计符不符合教学内容实际，符不符合学生实际；而看教学思路的设计是不是有一定的独创性，超凡脱俗给学生以新鲜的感受；三看教学思路的层次，脉络是不是清晰；四看教师在课堂上教学思路实际运作效果。
(2)看课堂结构安排
教学思路与课堂结构既有区别又有联系，教学思路侧重教材处理，反映教师课堂教学纵向教学脉络，而课堂结构侧重教学技法，反映教学横向的层次和环节。它是指一节课的教学过程各部分的确立，以及它们之间的联系、顺序和时间分配。课堂结构也称为教学环节或步骤。
计算授课者的教学时间设计，能较好地了解授课者授课重点、结构。安排授课时间设计包括：①计算教学环节的时间分配，看教学环节时间分配和衔接是否恰当．看有无前松后紧或前紧后松观象，看讲与练时问搭配是否合理等。②计算教师活动与学生或殴打能够时间分配，看是否与教学目的和要求一致，有无教师占用时间过多，学生活动时间过少现象。③计算学生的个人活动时间与学生集体活动时间的分配。看学生个人活动，小组活动和全班活动时间分配是否合理，有无集体活动过多，学生个人自学、独立思考、独立完成作业时间太少现象。④计算优差生活动时间。看优中差生活动时间分配是否合理。优等生占用时间过多，差等生占用时间太少的现象。⑤计算非教学时间，看教师在课堂上有无脱离教学内容，做别的事情。浪费宝贵的课堂教学时间的现象。
4、从教学方法和手段上分析：
教学方法：是指教师在教学过程中为完成教学目标、任务而采取的活动方式的总称。包括教师“教”的方式，还包括学生在教师指导下“学”的方式，是“教”的方式与”学”的方式的统一。
评析教学方法与手段包括以下几个主要内容：
(1)看是不是量体裁衣，优选活用 教学有法，但无定法，贵在得法。教学是一种复杂多变的系统工程，不可能有一种固定不变的万能方法。一种好的教学方法总是相对而言的，它总是因课程，因学生，因教师自身特点而相应变化的。也就是说教学方法的选择要量体裁衣，灵活运用。
(2)看教学方法的多样化。教学方法最忌单调死板。教学活动的复杂性决定了教学方法的多样性。所以评课既要看教师是否能够面向实际恰当地选择教学方法，同时还要看教师能否在教学办法多样性上下一番功夫，使课堂教学超凡脱俗，常教常新，富有艺术性。
(3)看教学方法的改革与创新。评析教师的教学方法既要评常规，还要看改革与创新。尤其是评析一些素质好的骨干教师的课。既要看常规，更要
看改革和创新。要看课堂上的思维训练的设计，要看创新能力的培养，要看主题活动的发挥，要看新的课堂教学模式的构建，要看教学艺术风格的形成等。
(4)看现代化教学手段的运用。现代化教学呼唤现代教育手段。教师还要适时、适当运用投影仪、录音机、计算机、电视、电影、电脑等现代化教学手段。
第九单元测试卷
一、填一填。（每空2分，共6分）
1、一根木头长15米，要把它平均分成5段，需锯(
)下。
2、刘老师走楼梯从一楼到二楼用了8秒。照这样的速度走到七楼，共用(
)秒。
3、一个正方形的每条边放有4枚棋子（每个角上各有1枚），四条边上共有(
)。
二、公正小法官。（4分）
1、植树问题中的间隔数就是间距。
(
)
2、一个木匠锯一根长6米的木头，一共锯了3下，他一共锯出了4段木头。
(
)
三、对号入座。(4分)
L、在一段公路的两边按树距8米栽树142棵。如果两端都栽， 这条公路长(
)米。
A. 1628 B. 1216 C．1128
2、一个圆形花坛的周长是36米，每隔4米摆一盆花，一共需要 (
)盆花。
A. 8 B.9 C．10 D.11
3、小红家在12楼，她从1楼走到5楼，用了200秒。如果用同样的速度，小红走到自己家所在楼层还要(
)。
A 280秒 B 350秒 C．240秒 ．
4、将一根木头锯成5段，每锯一次要2分钟。锯完一共用(
) 分钟。
A．10 B.8 C．12 D．5
四、解决问题。
1、小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？（10分）
2、计划在长600米的一条堤上，从头到尾每隔5米栽一棵树，那么需要准备多少棵树苗？（10分）
3、在一条大道的一侧从头到尾每隔50米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长多少米？（10分）
4、一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？ （10分）
5、在一条长250米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需 多少根电线杆？（10分）
6、下图中有几个三角形？（5分）
7、数一数，图中有多少条线段？（5分）
8、数一数，图中有多少个角？（10分）
9、数一数，图中有多少个长方形？（6分）
10、把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？ （10分）
第九单元测试卷答案：
一、
1、4
2、48
3、12
二、1、×
2、∨3、
三、1、C2、B3、B4、B
四、
1、3×（9-1） =3×8=24（米）
2、600÷+1=121（棵）
3、（86-1）×50=4000（米）
4、300÷6=50（面）
5、250÷50-1=4（棵）
4×2=8（棵）
6、（1+2+3+4）×3=30（个）
7、1+2+3+4+5=15（条）
1+2+3=6（条）
15+6+1+1=23（条）
8、1+2+3+4+5=15（个）
9、3×3=9（个）
10、 28÷4+1 =7+1 =8（段）
9.1
植树问题
方案一：一端不种，另一端种 种树棵数=间隔数
方案二：两端都种
种树棵数=间隔数+1
方案三：两端都不种
种树棵数=间隔数－1
9.1
植树问题
方案一：一端不种，另一端种 种树棵数=间隔数
方案二：两端都种
种树棵数=间隔数+1
方案三：两端都不种
种树棵数=间隔数－1
9.2
探索数线段的规律
1、按序数
分类数
3、6个点：1+2+3+4+5=15
10个点：1+2+3+…+9=45
2、
探索乐园
教材分析
本单元教材共安排两个主题内容：一是植树问题，探索并总结解答植树问题的一般思路和方法，构建解决植树问题的数学模型；二是数图形问题，探索线段上的点数与线段条数之间的关系，总结出数线段的方法和规律。结合这两个主题内容，教材还设计了一些用类似方法解答的其他问题。
本单元的两个主题内容，从表面上看，一个是数与代数中的典型问题，一个是图形与几何中的典型问题，好像没有什么直接的联系；但是从直观图示看，二者有着密切的关系。如：线段上的点就相当植树问题中两端都种树的情况，线段上相邻两个字母组成的线段就相当于植树问题中每两个树之间的间隔。
教学目标
1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。
2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。
3、在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力。
4、了解分析实际问题的方法，获得解决问题的经验，尝试解释自己的思考过程。
5、在教师的鼓励和引导下，体验总结、归纳解题规律的过程，获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。
重点、难点
重点
1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。
2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。
难点
在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力
教学建议
1、引导学生经历解决问题的全过程。
教学时可结合情境图（示意图）出示问题，让学生经历整个分析、思考的全过程并且初步感受到：遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
2、培养学生建立数学模型的能力。
教师要指导学生通过线段图建立数学模型。可让学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察示意图或线段图，把分割点数和栽树的棵数一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数与间隔数之间的关系。此外，还可适当拓展植树问题数学模型的逆向应用。
3、重视知识的迁移和转化。
教学数线段的条数时，要鼓励学生用自己的方法迁移植树问题的问题解决模型来探索规律，让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法。
4、注意学生核心学习素养的培养。
教学时，教师要注重学生读题、审题习惯的培养,放手让学生自主探究，在对比与沟通中，“让学生掌握以思想方法作灵魂的数学知识，把数学‘学懂’、‘学活’、‘学深’”。
课时安排
本单元用3课时完成教学，其中机动1课时。
课题
课时
植树问题
1
探索数线段的规律
1
机动
1
总计
3
9.1
植树问题
教学内容
教材第94、95页
植树问题
教学提示
解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而让学生在获得对数学理解的同时也在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。本单元，教材在编排上注重了引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），从而培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
教学目标
知识与能力
了解间隔数的含义，建构解答植树问题的一般方法模型，能解答类似的简单实际问题。
过程与方法
结合具体事例，经历分析问题、解决问题、总结解答植树问题一般方法的过程，建立起解答植树问题的思想方法模型。
情感、态度与价值观
在用植树问题的思路和方法解答其他问题的过程中，获得成功的体验，感受数学与生活的密切联系。
重点、难点
重点
理解间隔数的含义，能求出间隔数并根据两端植树的情况，利用模型思想求出植树的棵数。
难点
运用植树问题的模型思想方法解决简单实际问题。
教学准备
教师准备：
多媒体教学课件。
学生准备：
铅笔、橡皮、直尺。
教学过程
（一）新课导入
猜谜导入。
师：在上新课之前，我们先猜个谜语放松一下，好吗？
（课件显示）：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。
生：手
师：大家真聪明，就是我们的手。瞧，我们每个人都有一双灵巧的手，其实，在我们的手上也隐藏了好多数学只是，同学们想知道吗？
师：看着老师的手，你从中得到了什么数字？
（5
5个手指）
师：老师也从中得到了一 个数字“4”，你们知道它指的是什么吗？
（4个空格）
师： 对了，手指间的空格，在数学上我们叫做间隔。我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细看老师的手，5个手指，有几个间隔？
师：4个手指有几个间隔，3个手指呢？
师：手指数与间隔数其中的关系你发现了吗？
（手指数比间隔多1）
师：还可以这样说？
（间隔数+1=手指数）
师：在我们的手上都有数学只是，看来数学真的是无处不在。今天我们学习和间隔数有关的问题，它就是“植树问题”。
设计意图：
在猜谜语活动中，体验间隔数的含义、手指个数与间隔数的关系，为本课时教学“植树问题”探究间隔数和棵数大小基础。
（二）探究新知
1、出示情境，获取信息。
师：学校为了改变校园环境，要在校园内种上一些树，校委会决定公开招聘植树方案设计师，你们想不想成为我们校园的植树方案设计师呢？
师：我们一起来先看看设计的具体要求吧!（课件显示）
学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树，每隔5米种一棵。
请按照要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。
师：从要求上，你获得哪些信息？
生：40米长的教学楼前，每隔5 米种一棵玉兰树 。
师：每隔5 米是什么意思？
生：两棵树之间的间隔是5 米，也就是每两棵树之间的距离是5米。
2、提出问题，设计方案。
师：现在，请4 个同学为一组开始设计吧，看看哪组设计的方案最多，各需要多少棵玉兰树呢？（教师巡视）
3、讨论交流、展示方案。
方案一：一端不种，另一端种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8个间隔，我们只种一头，另一头不种，所以我们只用8棵树。
方案二：两端都种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵）就说明有8个间隔，为了让我们的学校更美，我们在两头都种上树，所以我们再用8+1=9棵树。
方案三：两端都不种 。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8个间隔，我们想学校的树已经很多了，为了让我们的活动范围更大，所以在两头都不种树，所以把8－1=7棵。
4、探究发现、总结规律。
师：同学们设计的真不错，来我们一起看看这三个设计方案中种的棵数与间隔数有什么关系呢？
第一方案
一端植树，另一端不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：只栽一端时，种树棵数=间隔数
第二方案
两端都植树，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端栽树时，种树棵数=间隔数+1
第三方案
两端都不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端都不种，种树棵数=间隔数－1
5、教学例2 。
师：我们一起来看一个生活中的一个问题吧，你会解答吗？（课件显示 ）
同学们在全长是60米的小路同一侧植树，每隔6米种一棵，两端各种一棵，一共需要多少棵树苗？
师：大家一起把题读一遍，从题中你了解到了哪些信息？
（预设）
生1：路程是60米。
生2：小路同一侧植树，两端各种1棵。
生3:每两棵树之间的间隔是60米。
师：两端各种一棵是什么意思？同桌讨论一下，怎么计算？
（预设）
60÷6+1=11（棵）
师：同学们真棒，什么也难不倒你们。
师：如果这条路的两侧都植树，怎样计算？
学生自己独立完成。
使学生明白：要求出两侧都种树苗的棵数，只要求出一侧种树的棵数，再乘2就可以了。
设计意图：
在方案征集中体验三种不同的植树方案，在讨论交流中理解“间隔”的含义，在探究画图中建构起三种方案解决的数学模型，最后在实际问题解决中体验运用模型思想解决问题的优越性。
（三）巩固新知
1、教材第95页“练一练”第1、2、3题。
2、教材第95页“练一练”第4题。
设计意图：
1、在练习中进一步熟悉植树问题的一端种、一端不种；两端都种、两端都不种的三种情形，逐步熟悉和建构解决此类问题的数学模型方法。
2、利用植树问题的模型方法解答上下楼的台阶问题，体会数学模型思想在解决问题中的运用。
（四）达标反馈
1、填一填。
（1）工人叔叔在路的一边安装路灯，一共安装了6座，从第一座到最后一座一共有（
）个间隔。
（2）一排同学之间有7 个间隔，这一排有（
）个同学。
（3）小红住的楼房每上一层要走20个台阶，从二楼到四楼要走（
）个台阶。
2、有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗
3、在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根？
4、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗
5、有一条路长 1000 米,在路的一侧每隔5米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵
6、两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵
答案：
1、（1）5（2）8（3）40
2、 800÷20+1=41（棵）
3、 500÷50-1=9（根）
4、50÷5=10 （面）
10+1=11 （面） 11×2=22 （面）
5、 1000÷5+1=201(棵)
6、 56÷4-1=13(棵)
（五）课堂小结
师：同学们，生活中植树问题的例子有很多很多，有时也不一定非得真的种树，比如马路旁每隔一定距离放置一座路灯，路灯的数量和间隔的多少可以看成是植树问题。还比如电线杆呀！教室的课桌安排呀等等都是植树问题。今天我们大家一起探究了植树问题，体会了植树问题与生活间的密切联系。现在和同桌说一说，通过本课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？
设计意图：
反思是基于学生的思维状态，让学生对当堂课的知识和收获做一个回顾，就是学生整理知识、内化知识的过程，能起到画龙点睛的作用，更能培养学生的归纳能力。
（六）布置作业
1、植树节到了，同学们在一条长120米的小路的一边栽树，每隔6米栽一棵。如只有一端栽树，需要多少棵树
2、有一根木料，把它锯成8段，每锯开一处，需要5分钟，全部锯完需要多少分钟
3、一条彩带长1米，把它剪成长度相同的几小段，已知剪了4次，每段长多少分米？
4、
5、一列高速列车共20节，每节长18米，每两节之间的距离是1米，你知道这列高速列车有多长吗？
6、业务员小李要到六楼联系工作，他从1楼到4楼用了54秒，照这样计算，小李走到6楼共需要几秒
答案：
1、120÷6=20（棵）
2、8-1=7（次）
5×7=35（分钟）
3、1米=10分米
4+1=5（段）
10÷5=2（分米）
4、20×（10-1）=180（米）
5、20-1=19（米）
20×18+19=379(m)
6、54÷（4-1）=18（秒）
18×（6-1）=90（秒）
板书设计
教学反思
1、在操作体验中经历建模。
有意义的学习是学生在具体情境中通过活动体验而自主建构模型。体验和建构是学生活动化学习的关键。体验是建构的基础，没有体验，建构就失去意义。体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。本节课在提示课题理解完间隔的含义以后，通过三次种树的数学活动，并辅助与多媒体课件，让学生充分感知到了“间隔数”与“棵数”之间的一一对应的关系，使学生清楚地理解两头种树棵树为什么要+1，两头都不种棵数为什么－1，以及一头种为什么棵数与间隔数是相等的，达到建构学习主题的水平,在学生的头脑中留下了深刻的印象。
2、数形结合——促进方法渗透。
如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。
教学资料包
教学精彩片段
两端都栽植树问题
教学片断
1、提出问题。
课件：在全长1000米的路的一边植树，每隔10米栽一棵树（两端都栽），一共需要多少棵树苗？
学生的猜测可能有不同的结果：100；101；102或99。
2、自主探究。
棵数和间隔数到底之间有什么关系呢？让学生大胆地猜想，并用图示的方法验证。
课件显示：隔10米种一棵，再隔10米种一棵……，一直画到1000米！学生会感觉：这样一棵一间隔画下去，方法是可以的，但太麻烦了，又浪费时间。
引导学生：要研究棵数和间隔数之间有什么关系，有更简单的方法吗？
让学生思考、交流，尝试从简单入手，用“把大数变小数”的方法进行研究，渗透“化繁为简”的数学思想。
3、发现规律。
学生开始动手画图、填表、比较分析，然后展示他们的研究结果，发现在小数据中两端都种的情况下，都有“棵数比间隔数多1”的规律。
师：“棵数比间隔数多1”的规律是同学们用较小的数据研究出来的，如果数据增大，这个规律还成立吗？
课件动态演示：一个间隔对应一棵，这样一直对应下去，
100个间隔就有100棵，种完了吗？
师：如果这条路变得很长很长、无限长，两端都种还有这样的规律吗？
让学生从中体会到，不管数字多大，用“一一对应”的方法，最后还要补上一棵才能达到两端都种的结果。这个环节，潜移默化地渗透“极限”的思想。
4、总结归纳。
归纳“化繁为简”的解题策略。
让学生体会到研究问题可以从简单入手，将困难的变为容易的，将复杂的变为简单的，用这样的方法，可以有效地解决问题。把抽象的数学化归思想渗透在教学中，让学生在“润物细无声”中体验到数学思想方法的价值，提高思维的素质。
5、总结规律。
师：你们能用一个式子把规律表示出来吗？
（板书）间隔数+1=棵数
棵数－1=间隔数
说课设计
（1）教材分析
教材的地位与作用：
“植树问题”主要是为了向学生渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出隐含的数学模型，然后再用发现的模型解决生活中的一些简单实际问题。
（2）学情分析
这部分知识学生在生活中有过接触，但是对植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间等数学概念还是比较陌生，所以，本课教学的重点培养学生的读题理解能力、审题分析能力、归纳、概括能力、运用数学语言表达的能力。
（3）教学目标
1）知识与技能目标：
1、通过生活中的事例，经历探索日常生活中的植树问题，抽象出植树问题模型的过程，初步体会解决植树问题的思想方法。
2、通过实践操作，学会利用线段图理解和掌握植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间的关系，找出解决问题的有效方法的能力。
2）过程与方法目标：
1、经历感知、理解知识的过程，培养从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力
2、通过观察、操作、交流等活动探索新知，渗透数形结合的数学思想。
3）情感与态度目标：
1、在解决问题的过程中，感受到数学与现实生活的密切联系，体验学习的喜悦。
2、理解和掌握植树问题的思想方法，从而体验到数学学习的价值与数学思维的乐趣，增强学好数学的信心。
（4）重点、难点
植树问题与生活联系密切，学生并不陌生。但是要从具体的事物中发现规律、找到规律，并进行建模，对于四年级的学生来说，具有一定的难度。利用熟悉的生活情境，通过操作、分析、合作交流发现、理解植树的棵数和间隔数之间的关系是本节课的教学重点；灵活运用所学的知识解决有关的实际问题是本课的教学难点。
（5）教法、学法
教法：直观演示法、引导发现法、讨论法、讲解法
学法：自主探究法、合作交流法
（6）说教学过程
1、猜谜导入、引出课题。
上新课之前，师生一起猜谜语：（课件显示）两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。
在猜谜语的过程中，熟悉和理解“五指四空”，同时也发现我们的手上也隐藏了数学知识，生活中处处有数学；接着教师指出：手指间的空格，在数学上叫做间隔，每两个手指之间有一个间隔；探讨：手指数与间隔数的关系（手指数比间隔多1），引出本课探究学习的内容“植树问题”并板书课题。
2、直观演示，解决问题。
通过创设“学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树的现实情境（每隔5米种一棵），给出“植树可有不同方法的”的提示，先让学生借助直观图探究“一端种、一端不种”的情形，学生画出线段图，在画图过程中理解和感悟“种树的棵数和间隔数之间的关系”得出“种树的棵数=间隔数”的结论。
接着让学生借助线段图或（示意图）探究“两头都种”、“两头都不种”时，间隔数与棵数的关系：
两头都种：
间隔数＋1＝植树棵数
两头都不种：间隔数-1=植树棵数
3、利用模型解决问题。
波利亚曾说：“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生解决问题的能力。”上述模型基础上教材给出了例2：“两端都种”和“路的两侧都种”一个实际问题的两种情形，让学生在合作探究中熟悉、理解和体会“模型思想”给问题的解决带来的方便与便捷。
3、巩固应用。
完成教材第97页“练一练”习题1、2、3、4，在练习中迁移数线段的方法来数角、数三角形、数长方形和正方形。在练习中感知、感悟和理解，在练习中迁移、转化；在练习中建构起解决此类问题的数学模型。使学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件，都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义
4、归纳总结。
各位同学在小组里交流一下自己的表现和所得的收获，然后说给大家听。让学生再一次感受学习的快乐成就感，从而培养学生归纳总结的能力。
5、说板书。
板书是课堂教学的重要组成部分，教学是，教师抓住了本节关键的节点植树问题的三种情形进行板书进行对比，让学生在比较中、在对比中分析和建构起解决此类问题的数学模型。
教学资源
非封闭、封闭线路上、正方形四周植树问题方法梳理
1、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株数－1)
株距=全长÷(株数－1)
2、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
3、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么
株数=段数－1=全长÷株距－1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
4、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
5、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。
棵数=(每边的棵数-1)×边数。
资料链接
20棵树植树问题
数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪。20棵树植树问题：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？
20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列。
进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱（图2）。
进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾。数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图3）。
今天，人类已跨入了21世纪。20棵树植树问题又被数学家们从新提出：跨入21世纪，20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。
数学模型
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。
数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型（Mathematical
Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
9.2
探索数线段的规律
教学内容
教材第96、97页
探索数线段的规律
教学提示
探索数线段的规律，是在认识了线段，会用字母表示线段等内容的基础上安排的。教学的重点是经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。难点是有规律的数线段，并用式子表示出来。课堂活动中，要按照教材的设计意图，抓住每个活动的重点，突破难点，让学生经历由个别到一般规律的总结过程。发现图形中隐含的简单规律，发展初步的归纳和推理能力；在有规律的数线段，并用式子表示时，学生可能有难度。
教学目标
知识与能力
能发现线段上的点数与线段条数之间的关系，了解数线段、数图形的一般规律和方法。
过程与方法
经历数线段、交流数的方法、发现规律以及应用规律的过程，掌握数线段的方法。
情感、态度与价值观
在总结数线段的规律、用规律进行推算的过程中，发展初步的归纳和推理能力。
重点、难点
重点
经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。
难点
有规律的数线段，并用式子表示出来。
教学准备
教师准备：多媒体教学课件、计数线段空的表格
学生准备：
铅笔、橡皮或计数线段空的表格
教学过程
（一）新课导入
谈话引入课题。
师：同学们好！今天我们学习《探索数线段的规律》。我们先来回忆一下，线段有什么特点？
线段是直直的，有两个端点，线段还可量出长度。
设计意图：
直奔主题，抓住线段的本质特征：两个端点，可以度量，为探索计数线段的条数规律打下基础。
（二）探究新知
1、探索计数线段条数的方法。
（课件出示）数一数，一共有几条线段？
师：上图中有几条线段，你是怎样数出来的？独立数，小组讨论交流。
（预设）
生： 以A点为左端点的线段有AB、AC、 AD三条，以B点为左端点的线段有BC 、BD两条，以C点为左端点的线段有CD一条，共有3+2+1=6（条）。 如图：
生2： AB、BC、CD都是只含有一段的线段，我们把它叫基本线段，有3条；AC和BD是含有两段的线段，有两条；AD则是含有三小段的线段，只有一条，所以共有3+2+1=6（条）。
如图：
师：上面的两种数法，有什么不同？小组讨论，全班交流。
（预设）
师：第一种是按A、B、C等一定的顺序，依次为左端点，往下数，即按序数数；第二种是按线段的组成不同来数，即分类数。（课件动态播放）
2、计数线段，找规律。
师：好了我们学习了两种计数线段的方法，按照刚才学习的方法计数线段，完成下表，你发现了什么规律？画画看。
（1）初填表格、答案各异。
师：老师手中有一张空的表格，发给你们，看能不能通过填写表格得出规律。在填写的过程中有疑问可以参照教材第96页，也可以和同桌或小组交流。
（2）汇报交流、动态演示。
（预设）
生1：2个点可以连1条线段。
（同步演示课件，动态连出一条线段，之后缩小放至表格内，并出现相应数据）
生2：如果增加1个点，就有3个点。如果每2个点连1条线段，这样会增加2条线段，课件动态连出增加的2条线段。那么3个点就连了3条线段。
师：你说得很好！为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在表格里。（课件动态演示）
生3：现在有4个点可以连出6条线段。同样的道理，5个点就可以连出10条线段。（课件动态演示）
……
（3）观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？
（引导学生明确：2个点时总条数是1，3个点时就增加2条线段，总条数是3；4个点时增加了3条线段，总条数是6；5个点时增加了4条线段，总条数是10。）
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
（学生尝试回答出：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段。每次增加的线段数和点数相差1。）
师：当3个点时，增加条数是几？
（生：2条）
师：那点数是4时，增加条数是多少？
（生：3条）
师：点数是5时呢？
（4条）
师：你们有什么新发现？
生：我们发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。
3、进一步探究，推导总线段数的规律。
分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，6个点可以连多少条条线段，现在你们有什么办法知道6个点可以连多少条线段吗？
（尝试让学生回答，学生可能会从5个点连线的情况去推理6个点的连线情况。）
师：如果当点数再大一些，10个点时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线。
师：接着想想4个点共连了6条线段，又可以怎么计算呢？
生：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就再增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为1＋2＋3＝6（条）。
师：那么按着这个方法，你能列出5个点共连线段的算式吗？（根据学生回答，动态演示：1+2+3+4＝10）
师：6个点呢？（生：1+2+3+4+5=15，课件动态演示）
（2）观察算式，探究算理。
师：下面，同学们仔细观察这些算式，有什么发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1＋2，计算4个人的总线段数是1＋2＋3，计算5个点的总线段数是1＋2＋3＋4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加。
比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数数减1的那个数。
生3:根据上面的规律，6个点的时候是：1+2+3+4+5=15。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？
（生：就是每次增加一个点时，增加的线段条数。）
归纳小结，应用规律。
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，你们明白了吗？
师：下面我们运用这条规律去计算一下10个点时共连的线段数。 （学生独立填写，教师巡视，之后学生交流算式集体评议）
师：有10个好朋友，每两人握一次手，一共要握几次手？
设计意图：以“猜想—验证-尝试—归纳-总结-运用-再验证”的学习方式，放手让学生自主探索规律，建构起解决问题的数学模型。
（三）巩固新知
1、教材第97页“练一练”第1题。
2、教材第97页“练一练”第2、3、4题。
设计意图：
在练习中，通过数线段的方法来数角，进一步巩固计数图形的方法。
在数三角形、长方形和正方形的过程中，迁移、类推数线段的方法，构建计数图形数量的模型。
（四）达标反馈
1、细心认真填一填。
（1）若直线上有3个点，则有线段（
）条，若一条直线上有4个点，则有（
）条线段，如一条直线上有5个点，则有（
）条线段。
（2）若一条直线上有N个点，则有（
）条线段。
2、数一数，图中有多少个角？你能说说射线的条数和角的个数之间是什么关系吗？
3、下图中有多少个三角形？
4、数一数，图中一共有多少个长方形？
5、下图中一共有多少个三角形？
答案：
1、（1）3
6
10
（2）1+2+3+…+(n-1)
2、21
3、10
4、（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）
5、 16＋7＋3＋1＝27(个)
（五）课堂小结
师：归纳小结。
（电脑显示：我的收获）
（1）同学们,今天我们学习了什么
（2）你对你自己的表现满意吗
（3）你认为这节课,谁的表现最棒 为什么
（4）数角，数三角形、数长方形、正方形与数线段有什么内在联系？
设计意图：
在思索问题答案的过程中，梳理、内化图形的计数方法，找到自己的优点与不足，以更好促进自己数学学习。
（六）布置作业
1、你能从下图中数出几条线段来？
2、你能从图中数出多少个锐角？
3、你能从下图中数出多少个三角形？
4、你能从下图中数出多少个长方形来？
5、在一条线段中间共刻有11个不重合的点，请问，从这条线段中共可以数出多少条线段来？
6、下列图形中，包含“
”号的三角形有多少？
答案：
1、1+2+3+4+5=15（条）
2、1+2+3+4+5=15（个）
3、1+2+3+4+5=15（个）
4、6×6=36（个）
5、1+2+3+…+9+10=55（条）
6、1+2+2+1=6(个)
板书设计
教学反思
探索规律是教材改革的新变化之一，它蕴涵着深刻的数学思想，对学生进行思维训练，是学生今后学习、生活最基础的知识之一。
本节课预设了五个教学环节：1、导入新课；2、创设问题情境、直奔主题；3、探究规律，体验方法；4、应用规律；5、课堂小结。有效的数学活动意味着教师需要唤醒、引导、促进和激励学生学习的“主动性”，不断引发学生学习的内在需求。
教学是，教师做到了：鼓励学生大胆猜想、培养自主思考探究的方法、及时提供充分的探究时空，让学生选择自己喜欢的方法自主探寻规律；让学生用自己的语言表达规律，适时进行数学化。学生探究后，及时引导学生用不同的方式来表达自己的发现，表达点的个数与线段条数之间的关系。让学生亲身经历“从具体形象表示——用数学语言描述——用数学模型表示”这一逐步符号化、形式化的过程，不断提升学生的“数学化”水平。
教学资料包
教学精彩片段
数线段导入
教学片断
谈话导入、明确目标。
师：老师和你初次见面，表示友好可以握一次手，这一动作你能用什么样的符号来表示？
（生尝试表示，个性化展示）
师：我们可以用这样的符号表示出来：（板书：●——●）
师：数学上，我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。今天我们就学习计数线段，希望在今天的课堂上你能清楚的表达出你计数线段的方法和过程。
设计意图：
老师和同学握一次手，老师和学生之间的距离由远及近，好像两个点之间的距离在缩短，当两手相握时形成两点一线，给学生解决本课中的握手问题做下伏笔。
教学资源
线段数的计算方法
把一条较长的线段分成若干小段，例如，把下面的线段分成了6小段：
请问，这时在这条线段上共可以数出多少条线段来？
我想，这对于我们大家来说并不是一道很复杂的题。但是，如果较长的线段被划分成较多段数的话，想要很快而准确地数出线段的条数来，就不那么容易了！有规律吗？
我们先一起来看看下面的思路。
为了方便，我们把较长线段被划分的若干小段称作基本线段，并逐段编号：
再分别按照相邻的6条线段、5条线段、4条线段……连接成线段的几种不同情形找出线段的条数。即：
由6条基本线段连接的线段是①②③④⑤⑥，只有1条；
由5条基本线段连接的线段是①②③④⑤、②③④⑤⑥，共有2条；
由4条基本线段连接的线段是①②③④、②③④⑤、③④⑤⑥，共有3条；
由3条基本线段连接的线段是①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥，共有4条；
由2条基本线段连接的线段是①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥，共有5条；
只有1条基本线段的是①、②、③、④、⑤、⑥，共有6条。
除了上述六种情形外，再也不能数出别的线段了。因此，从这条较长的被划分成6小段的线段中，共可以数出1+2+3+4+5+6=21（条）线段来。
以上排列有序的连加算式，似乎可以让我们联想出更一般情形的计数方法。
如果一条较长的线段被划分成n小段（n为任意自然数），那么，从这条较长的线段中共可以数出多少条线段呢？
你能猜想得出来吗？
一条较长的线段被划分成n小段（n为任意自然数），从这条较长的线段中共可以数出
1+2+3+……+n=（1+n）×n÷2或
线段数
=
端点数×（端点数-1）÷2条线段来。
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教师如何听课
l、教师听课应该按下面三个步骤来进行。
(1)课前要有一定的准备工作。
(2)听课中要认真观察和记录。
(3)听课后要思考和整理。
2、不仅要关注教师的教，更要关注学生的学：对于教师的教，听课时重点应该关注的是：
(1)课堂教学确定怎样的教学目标(学生要学习哪些知识 学到什么程度 情感如何 )。目标在何时采用何种方式呈现；
(2)新课如何导入，包括导入时引导学生参与哪些活动；
(3)创设怎样的教学情境，结合了哪些生活实际
(4)采用哪些教学方法和教学手段
(5)设计了哪些教学活动步骤 如：设计了怎样的问题让学生进行探究、如何探究；安排怎样的活动让学生动手动口操练，使所学知识得以延伸、迁移、巩固；设计怎样的问题或情景引导学生对新课内容和已有的知识进行整合等。
(6)使哪些知识系统化 巩固哪些知识 补充哪些知识
(7)培养学生哪些方面的技能 达到什么地步
(8)渗透哪些教学思想
(9)课堂教学氛围如何。
对于学生的学习活动，听课时应该关注：
(1)学生是否在教师的引导下积极参与到学习活动中；
(2)学习活动中学生经常做出怎样的情绪反应；
(3)学生是否乐于参与思考、讨论、争辩、动手操作；
(4)学生是否经常积极主动地提出问题；等等。
教师如何评课
1、从教学目标上分析。
教学目标是教学的出发点和归宿，它的正确制订和达成，是衡量课好坏的主要尺度。所以分析课首先要分析教学目标。
(1)从教学目标制定来看，要看是否全面、具体、适宜。依据《课标》，教学目标中的要求，全面是指要从知识、能力、思想感情、学习策略、文化策略等五个方面来确定教学目标；具体是指知识目标要有量化要求，能力、思想情感目标要有明确要求，体现学科特点(参见课标)；适宜是指确定的教学目标，能以大纲为指导，体现年段、年级、单元教材特点，符合学生年龄实际和认识规律，难易适度。
(2)从目标达成来看，要看教学目标是不是明确地体现在每一教学环节中，教学手段是否都紧密地围绕目标，为实现目标服务。要看课堂上是否尽快地接触重点内容，重点内容的教学时间是否得到保证，重点知识和技能是否得到巩固和强化。
2、从处理教材上分析：
评析老师一节课上的好与坏不仅要看教学目标的制定和落实，还要看教者对教材的组织和处理。评析教师一节课时，既要看教师知识教授的准确性、科学性，更要注意分析教师教材处理和教法选择上是否突出了重点，突破了难点，抓住了关键。
3、从教学程序上分析(教学程序评析包括以下几个主要方面)：
(1)看教学思路设计：
教学思路是教师上课的脉络和主线，。它是根据教学内容和学生水平两个方面的实际情况设计出来的。它反映一系列教学措施怎样编排组合，怎样衔接过渡，怎样安排详略，怎样安排讲练等。
教师课堂上的教学思路设计是多种多样的。为此，评课者评教学思路，一要看教学思路设计符不符合教学内容实际，符不符合学生实际；而看教学思路的设计是不是有一定的独创性，超凡脱俗给学生以新鲜的感受；三看教学思路的层次，脉络是不是清晰；四看教师在课堂上教学思路实际运作效果。
(2)看课堂结构安排
教学思路与课堂结构既有区别又有联系，教学思路侧重教材处理，反映教师课堂教学纵向教学脉络，而课堂结构侧重教学技法，反映教学横向的层次和环节。它是指一节课的教学过程各部分的确立，以及它们之间的联系、顺序和时间分配。课堂结构也称为教学环节或步骤。
计算授课者的教学时间设计，能较好地了解授课者授课重点、结构。安排授课时间设计包括：①计算教学环节的时间分配，看教学环节时间分配和衔接是否恰当．看有无前松后紧或前紧后松观象，看讲与练时问搭配是否合理等。②计算教师活动与学生或殴打能够时间分配，看是否与教学目的和要求一致，有无教师占用时间过多，学生活动时间过少现象。③计算学生的个人活动时间与学生集体活动时间的分配。看学生个人活动，小组活动和全班活动时间分配是否合理，有无集体活动过多，学生个人自学、独立思考、独立完成作业时间太少现象。④计算优差生活动时间。看优中差生活动时间分配是否合理。优等生占用时间过多，差等生占用时间太少的现象。⑤计算非教学时间，看教师在课堂上有无脱离教学内容，做别的事情。浪费宝贵的课堂教学时间的现象。
4、从教学方法和手段上分析：
教学方法：是指教师在教学过程中为完成教学目标、任务而采取的活动方式的总称。包括教师“教”的方式，还包括学生在教师指导下“学”的方式，是“教”的方式与”学”的方式的统一。
评析教学方法与手段包括以下几个主要内容：
(1)看是不是量体裁衣，优选活用 教学有法，但无定法，贵在得法。教学是一种复杂多变的系统工程，不可能有一种固定不变的万能方法。一种好的教学方法总是相对而言的，它总是因课程，因学生，因教师自身特点而相应变化的。也就是说教学方法的选择要量体裁衣，灵活运用。
(2)看教学方法的多样化。教学方法最忌单调死板。教学活动的复杂性决定了教学方法的多样性。所以评课既要看教师是否能够面向实际恰当地选择教学方法，同时还要看教师能否在教学办法多样性上下一番功夫，使课堂教学超凡脱俗，常教常新，富有艺术性。
(3)看教学方法的改革与创新。评析教师的教学方法既要评常规，还要看改革与创新。尤其是评析一些素质好的骨干教师的课。既要看常规，更要
看改革和创新。要看课堂上的思维训练的设计，要看创新能力的培养，要看主题活动的发挥，要看新的课堂教学模式的构建，要看教学艺术风格的形成等。
(4)看现代化教学手段的运用。现代化教学呼唤现代教育手段。教师还要适时、适当运用投影仪、录音机、计算机、电视、电影、电脑等现代化教学手段。
第九单元测试卷
一、填一填。（每空2分，共6分）
1、一根木头长15米，要把它平均分成5段，需锯(
)下。
2、刘老师走楼梯从一楼到二楼用了8秒。照这样的速度走到七楼，共用(
)秒。
3、一个正方形的每条边放有4枚棋子（每个角上各有1枚），四条边上共有(
)。
二、公正小法官。（4分）
1、植树问题中的间隔数就是间距。
(
)
2、一个木匠锯一根长6米的木头，一共锯了3下，他一共锯出了4段木头。
(
)
三、对号入座。(4分)
L、在一段公路的两边按树距8米栽树142棵。如果两端都栽， 这条公路长(
)米。
A. 1628 B. 1216 C．1128
2、一个圆形花坛的周长是36米，每隔4米摆一盆花，一共需要 (
)盆花。
A. 8 B.9 C．10 D.11
3、小红家在12楼，她从1楼走到5楼，用了200秒。如果用同样的速度，小红走到自己家所在楼层还要(
)。
A 280秒 B 350秒 C．240秒 ．
4、将一根木头锯成5段，每锯一次要2分钟。锯完一共用(
) 分钟。
A．10 B.8 C．12 D．5
四、解决问题。
1、小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？（10分）
2、计划在长600米的一条堤上，从头到尾每隔5米栽一棵树，那么需要准备多少棵树苗？（10分）
3、在一条大道的一侧从头到尾每隔50米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长多少米？（10分）
4、一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？ （10分）
5、在一条长250米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需 多少根电线杆？（10分）
6、下图中有几个三角形？（5分）
7、数一数，图中有多少条线段？（5分）
8、数一数，图中有多少个角？（10分）
9、数一数，图中有多少个长方形？（6分）
10、把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？ （10分）
第九单元测试卷答案：
一、
1、4
2、48
3、12
二、1、×
2、∨3、
三、1、C2、B3、B4、B
四、
1、3×（9-1） =3×8=24（米）
2、600÷+1=121（棵）
3、（86-1）×50=4000（米）
4、300÷6=50（面）
5、250÷50-1=4（棵）
4×2=8（棵）
6、（1+2+3+4）×3=30（个）
7、1+2+3+4+5=15（条）
1+2+3=6（条）
15+6+1+1=23（条）
8、1+2+3+4+5=15（个）
9、3×3=9（个）
10、 28÷4+1 =7+1 =8（段）
9.1
植树问题
方案一：一端不种，另一端种 种树棵数=间隔数
方案二：两端都种
种树棵数=间隔数+1
方案三：两端都不种
种树棵数=间隔数－1
9.1
植树问题
方案一：一端不种，另一端种 种树棵数=间隔数
方案二：两端都种
种树棵数=间隔数+1
方案三：两端都不种
种树棵数=间隔数－1
9.2
探索数线段的规律
1、按序数
分类数
3、6个点：1+2+3+4+5=15
10个点：1+2+3+…+9=45
2、