2.1
合情推理与演绎推理（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )
A．28
B．32
C．33
D．27
[解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.
2．下列关于归纳推理的说法错误的是( A )
①归纳推理是由一般到一般的推理过程；
②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；
③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；
④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
[解析] 归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( B )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[解析] 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N
)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )
A．
B．△
C．□
D．○
[解析] 图形涉及○、△、□三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色 符号，即应画上才合适．
6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( C )
A．
B．
C．
D．不可类比
[解析] 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，∴S扇＝lr.
二、填空题
7．已知：sin2
30°＋sin2
90°＋sin2
150°＝；sin2
5°＋sin2
65°＋sin2
125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin2
α＋sin2
(α＋60°)＋sin2
(α＋120°)＝ .
[解析] 观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin2
α＋sin2
(α＋60°)＋sin2
(α＋120°)＝.
在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式： ＋＋＋…＋≥
[解析] 不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式＋＋＋…＋≥成立．
三、解答题
9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数.
(1)求f(4)；
(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．
[解析] (1)如图所示，可得f(4)＝5.
(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，
f(5)＝9＝f(4)＋4，
f(6)＝14＝f(5)＋5.
……
∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，
累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
B级 素养提升
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )
A．27
B．28
C．29
D．30
[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )
A．白色
B．黑色
C．白色的可能性大
D．黑色的可能性大
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
3．(2015·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C．
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
二、填空题
4．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝__30__.
[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a＝21，b＝9，故a＋b＝30.
5．(2016·天津五区县高二检测)在等差数列{an}中，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)，则am＋an＝2ap，类比上述结论，在等比数列{bn}中，若m＋n＝2p，则得到的结论是__bmbn＝b__.
[解析] 设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，
∴bm·bn＝bqm＋n－2，
b＝bq2p－2，
∵m＋n＝2p，∴bmbn＝bq2p－2＝b.
6．(2015·陕西文)观察下列等式
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
……
据此规律，第n个等式可为 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ .
[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．
三、解答题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式.
[解析] 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－；∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N
)．
C级 能力提高
1．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为__S＝S△OBC·S△DBC__.
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．
2．若a1、a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.
[解析] 本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：≥()2，
≥()2，…，
≥()2；
第二类型：≥()3，≥()4，…，≥()n；
第三类型：≥()3，…，≥()m.
上述a1、a2、…、an∈R＋，m、n∈N
.2.1
合情推理与演绎推理（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin
(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin
(x2＋1)是奇函数．以上推理( C )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
[解析] 函数f(x)＝sin
(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．
2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( D )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠A＝∠B
B．某校高一(1)班有45人，高一(2)班有46人，高一(3)班有48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过50
C．由平面上圆的性质，推测空间球的性质
D．数列{an}满足：a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠A＝∠B，因此是演绎推理．
4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( A )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
[解析] “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线”错误，故选A．
5．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( A )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
6．若a>b>0，c
A．>
B．<
C．>
D．<
[解析] ∵cb>0，∴<.选B．
二、填空题
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形__.
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提__所有一次函数的图象都是一条直线__．
小前提__函数y＝2x＋5是一次函数__．
结论__函数y＝2x＋5的图象是一条直线__．
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理.
[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，
则这两个三角形全等．(大前提)
如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)
则这两个三角形全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC △ABC≌△CDA．
②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)
如果△ABC和△CDA全等，(小前提)
则它们的对应角相等，(结论)
符号表示：
△ABC≌△CDA ∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．
③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)
直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]
则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]
④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)
四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)
四边形ABCD为平行四边形．(结论)
符号表示：AB∥DC且AD∥BC 四边形ABCD为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( A )
A．省略了大前提
B．省略了小前提
C．是完整的三段论
D．推理形式错误
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( B )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．
3．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( A )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A．
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．
二、填空题
5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A城市__.
[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
6．以下推理中，错误的序号为__①__.
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
7．已知数列{an}满足a1＝，且前n项和Sn满足Sn＝n2an，则an＝ .
[解析] 解法一：(归纳法)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
寻找分母的规律，
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
所以an＝.
解法二：(演绎推理)Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，所以(n2＋2n)an＋1＝n2an，
所以＝，＝，…，＝，＝，＝，
所以＝.
因为a1＝，所以an＋1＝.
又因为a1＝＝.
三、解答题
8．用三段论证明：已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝，n＝1,2,3…，证明{bn}为等比数列.
[解析] 因为lga1，lga2，lga4成等差数列，
所以2lga2＝lga1＋lga4，
即a＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，这样d2＝a1·d，从而d(d－a1)＝0.
而d＝0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d，
bn＝＝·.
这时{bn}是首项为b1＝，公式为的等比数列．
综上知{bn}为等比数列．
C级 能力提高
1．(2017·北京文，14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__6__；
(2)该小组人数的最小值为__12__.
[解析] (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.
(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.
2．已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1.
(2)当－1≤x≤1，求证：－2≤g(x)≤2.
[解析] (1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.
(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，
所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.
当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.2.2
直接证明与间接证明（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( C )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．
2．如果两个数之和为正数，则这两个数( D )
A．一个是正数，一个是负数
B．都是正数
C．不可能有负数
D．至少有一个是正数
[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为( D )
A．自然数a、b、c都是奇数
B．自然数a、b、c都是偶数
C．自然数a、b、c中至少有两个偶数
D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数
[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．
4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( B )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
[解析] ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.
5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( B )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
[解析] 三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．
6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( A )
A．a＋>b＋
B．>
C．a＋>b＋
D．>
[解析] 可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．
二、填空题
7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于 .
[解析] 假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一个数不小于.
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__.
[解析] 假设AC与BD共面于平面
α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB α，CD α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
三、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.
[解析] 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
而b2＝ac，即b＝，
则有a＋c＋2＝4.
即(－)2＝0.
所以＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题不适合用反证法证明的是( C )
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1
[解析] A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．
2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.
3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2
只有当＞0时，才有＋≥2成立，
∴应选C．
二、填空题
5．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是__①__.
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为 p∈(－3，) .
[解析] 解法一：(补集法)
令，
即，
即，
∴p≤－3或p≥，
∴实数p的取值范围是－3解法二：(直接法)
依题意，有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
∴－7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__丙__.
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝ax＋(a>1).
用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
[解析] 假设x0为方程f(x)＝0的负根，
则有ax0＋＝0，
即ax0＝＝＝－1＋，
显然x0≠－1.
1°当0>x0>－1时，1>x0＋1>0，
>3，－1＋>2.
而x0>－1的解．
2°当x0<－1时，x0＋1<0，<0，－1＋<－1.
而ax0>0，矛盾，即不存在x0<－1的解．
综上所述方程f(x)＝0没有负数根．
C级 能力提高
1．设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( C )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
[解析] ∵a＋b＋c＝(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2＋2＋2＝6，
∴a，b，c三个数中至少有一个不小于2，否则会出现a＋b＋c<6.故选C．
2．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数.
[解析] 解法一：假设＋为有理数，令＋＝t，
则＝t－，两边平方，得b＝t2－2t＋a，
∴＝.
∵a、b、t均为有理数，∴也是有理数．
即为有理数，这与已知为无理数矛盾．
故假设不成立．
∴＋一定是无理数．
解法二：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数，即a－b为有理数．
∴为有理数，∴－为有理数．
∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．2.2
直接证明与间接证明（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( C )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．
2．“对任意角θ，都有cos4
θ－sin4
θ＝cos2
θ”的证明过程：“cos4
θ－sin4
θ＝(cos2
θ－sin2
θ)(cos2
θ＋sin2
θ)＝cos2
θ－sin2
θ＝cos2
θ”应用了( B )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．间接证法
[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．
3．若aA．<
B．a＋>b＋
C．b＋>a＋
D．<
[解析] ∵a，
又∵b>a，∴b＋>a＋.
4．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( B )
A．p≥q
B．p≤q
C．p>q
D．不确定
[解析] q＝≥＝＋＝p.
5．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( A )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
6．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.
[解析] a＋b>a＋b a＋b－a－b>0 a(－)＋b(－)>0 (a－b)(－)>0 (＋)(－)2>0
只需a≠b且a、b都不小于零即可．
7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__.
[解析] 设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，
即a＋4b＝30，＋＝(＋)·
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝2b时等号成立．
又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5.
三、解答题
8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
[解析] 解法一(分析法)：
要证lg＋lg＋lg>lg
a＋lg
b＋lg
c，
即要证lg(··)>lg(abc)，
只需证··>abc.
∵≥>0，≥>0，≥>0，
∴··≥abc>0.(
)
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴(
)式中等号不成立，∴原不等式成立．
解法二(综合法)：∵a、b、c∈R
，
∴≥>0，≥>0，·≥>0.
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴··>abc.
∴lg(··)>lg
(abc)．
∴lg＋lg＋lg>lg
a＋lg
b＋lg
c.
B级 素养提升
一、选择题
1．设0A．a
B．b
C．c
D．不确定
[解析] ∵b－c＝1＋x－＝<0，
∴b又∵b＝1＋x>＝a，
∴a2．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分与不必要条件
[解析] ∵·>0，∴∠A为锐角，但∠B、∠C的大小不确定，故选B．
3．在R上定义运算⊙︰a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( B )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1＋∞)
D．(－1,2)
[解析] x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0 x2＋x－2<0 －24．要使－<成立，a、b应满足的条件是( D )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析] －< a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
二、填空题
5．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为__m>n__.
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
6．已知sin
x＝，x∈(，)，则tan
(x－)＝__－3__.
[解析] ∵sin
x＝，x∈(，)，∴cos
x＝－，
∴tan
x＝－，∴tan
(x－)＝＝－3.
7．若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝ － .
[解析] 条件变为sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋cos
β＝－cos
γ，两式平方相加可推得结论cos
(α－β)＝－.
三、解答题
8．已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
[分析] 这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a＋b＋c＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．
[解析] 解法一：(综合法)
(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝··＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
解法二：(分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证··≥8成立．
∵a＋b＋c＝1，∴只需证··≥8成立，即··≥8.只需证··≥··≥8成立．而··≥8显然成立，∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
C级 能力提高
1．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__①③⑤__(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1 ②＋≤ ③a2＋b2≥2 ④a3＋b3≥3 ⑤＋≥2
[解析] 本题考查了不等式的有关性质和推理论证能力．
令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2 ab≤1，命题①正确；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；＋＝＝≥2，命题⑤正确.
2．已知：a≥－，b≥－，a＋b＝1.
求证：＋≤2.
下面是证明过程：
要证＋≤2，
只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
∵a＋b＝1，∴即证·≤2，
只需证(2a＋1)(2b＋1)≤4，
即证ab≤.∵≤，∴ab≤2＝.
∵ab≤成立，因此＋≤2成立．
试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正．
[解析] 上述解法中，对ab≤的证明是错误的．
因为≤成立的条件是a≥0，b≥0，
而原题条件是a≥－，b≥－，不满足上述条件．
正确解答为：在错解中，得·≤2.
∵a≥－，b≥－，
∴2a＋1≥0,2b＋1≥0.
∴·≤
＝＝2，即·≤2成立，
因此原不等式成立．第二章
推理与证明
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( C )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析] 大前提是错误的，故选C．
2．已知aA．a2B．<1
C．a<4－b
D．<
[解析] 令a＝－2，b＝－1，满足ab2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C．
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<”，索的因应是( C )
A．a－b>0
B．a－c<0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．
只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－c2－ac>0，即证a2－c2＋a2－ac>0，即证(a＋c)(a－c)＋a(a－c)>0，即证(a－c)[(a＋c)＋a]>0.又b＝－(a＋c)，即证(a－c)(a－b)>0.故选C．
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( C )
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab.
7．(2017·全国Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D．
8．已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2016(x)等于( A )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
[解析] 由已知，有f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sin
x，f4n＋1(x)＝cos
x，f4n＋2(x)＝－sin
x，
f4n＋3(x)＝－cos
x(n∈N
)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sin
x.
9．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N
.下列命题中真命题是( A )
A．若 n∈N
总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若 n∈N
总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若 n∈N
总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若 n∈N
总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
[解析] ∵对 n∈N
总有cn∥bn，则存在实数λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差数列．
10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( A )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A．
11．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( B )
A．b
B．－b
C．
D．－
[解析] f(x)定义域为(－1,1)，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( A )
A．一定大于零
B．一定等于零
C．一定小于零
D．正负都有可能
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．“因为AC、BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形对角线互相垂直且平分__.
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ .
[解析] 由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上类比得到的结论正确的是__①②__.
[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
16．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3
13＋23＝9
1＋2＋3＝6
13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10
13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝ .(n∈N
，用含有n的代数式表示)
[解析] 由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
＝[]2＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：≥.
[解析] 分析法：要证≥，
只需证：≥()2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
综合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥.
18．(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明．
[解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.
∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
19．(本题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin2
13°＋cos2
17°－sin
13°cos
17°.
(2)sin2
15°＋cos2
15°－sin
15°cos
15°.
(3)sin2
18°＋cos2
12°－sin
18°cos
12°.
(4)sin2
(－18°)＋cos2
48°－sin
(－18)°cos
48°.
(5)sin2
(－25°)＋cos2
55°－sin
(－25)°cos
55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] ①选择(2)式计算如下sin2
15°＋cos2
15°－sin
15°cos
15°＝1－sin2
30°＝.
②三角恒等式为
sin2
α＋cos2
(30°－α)－sin
αcos
(30°－α)＝.
证明如下：sin2
α＋cos2
(30°－α)－sin
αcos
(30°－α)＝sin2
α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sinα
(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2
α＋cos2
α＋sin
αcos
α＋sin2
α－
sin
αcos
α－sin2
α
＝sin2
α＋cos2
α＝.
20．(本题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C为等差数列，且a，b，c分别为角A、B、C的对边.
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[分析] 利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．
[解析] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3.
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cosB＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
21．(本题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
[解析] (1)设等差数列公差为d，
则3a1＋d＝9＋3，
解得d＝2，∴an＝1＋＋(n－1)×2＝2n＋－1，
Sn＝n＝n(n＋)．
(2)bn＝＝n＋.用反证法证明．
设bn，bm，bk成等比数列(m、n、k互不相等)，则bnbk＝b，即(n＋)(k＋)＝(m＋)2，整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何不同三项都不可能成等比数列．
22．(本题满分12分)(2017·哈六中期中)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.
[解析] (1)f
′(x)＝(x－1)(ex－1)，
当x＜0或x＞1时，f
′(x)＞0，当0＜x＜1时，f
′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，
则g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，则u′(x)＝ex－，
当x≥1时，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x.