3.1
数系的扩充和复数的概念（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．全集I＝{复数}，集合M＝{有理数}，N＝{虚数}，则( IM)∩( IN)＝( D )
A．{复数}
B．{实数}
C．{有理数}
D．{无理数}
[解析] IM＝{无理数、虚数}， IN＝{实数}，∴( IM)∩( IN)＝{无理数}．
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( D )
A．－2
B．
C．－
D．2
[解析] 由题意得2＋(－b)＝0，∴b＝2.
3．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( A )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋i
D．＋i
[解析] 复数2i－的虚部为2，复数i＋2i2＝－2＋i，∴其实部为－2，故选A．
4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( D )
A．0或－1
B．0
C．1
D．－1
[解析] ∵z为纯虚数，∴，
∴m＝－1，故选D．
5．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( A )
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
[解析] 依题意得，
解得，故选A．
6．复数z＝a2＋b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( D )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a≤0
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，
故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝ ，y＝__1__.
[解析] 由复数相等可知
，∴.
8．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是 2＋，0.618，i2 .
[解析] 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
三、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[分析] 按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．
[解析] (1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0①
且有意义②
解①得a＝－1且a＝6，
解②得a≠±1，
∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0③
且有意义④
解③得a≠－1且a≠6，
解④得a≠±1，
∴a≠±1且a≠6，
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，，
此方程组无解，
∴不存在实数a使z为纯虚数．
B级 素养提升
一、选择题
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1，
B．1＋，0
C．0,1＋
D．0，(1＋)i
[解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( B )
A．－1
B．4
C．－1或4
D．不存在
[解析] 由条件知，，
∴，∴m＝4.
3．若a、b∈R,
且a>b，那么( D )
A．ai>bi
B．a＋i>b＋i
C．ai2>bi2
D．bi2>ai2
[解析] ∵i2＝－1，a>b，∴ai24．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
[解析] 由题意得，解得a＝－4.
二、填空题
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3.
6．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝__－1__.
[解析] ∵z<0，∴∴m＝－1.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
C级 能力提高
1．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为__2__.
[解析] (1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以
解得所以＝2.
2．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．
(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是，解得1(2)若z是纯虚数，则其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是，解得m＝2.3.1
数系的扩充和复数的概念（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( C )
A．0
B．－3
C．－3i
D．3
[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.
3．复数z＝1＋(2－sin
θ)i在复平面内对应的点所在的象限为( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵1>0,2－sin
θ>0，
∴复数对应的点在第一象限．
4．复数z与它的模相等的充要条件是( D )
A．z为纯虚数
B．z是实数
C．z是正实数
D．z是非负实数
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( A )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．
6．复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模为( B )
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
[解析] |z|＝＝＝＝2|cos
|.
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos
<0，
∴2|cos|＝－2cos，故选B．
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z＝1＋2i，则|z|＝ .
[解析] |z|＝＝.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是__(1,2)__.
[解析] 由已知，得，
解得1三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( A )
A．－B．x<2
C．x>－
D．x<－或x>2
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－2．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( C )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴D不正确，∴C正确．
3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( D )
A．1
B．2
C．
D．3
[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z－i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.
4．在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵<2<π，∴sin
2>0，cos
2<0.∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)位于第四象限．
二、填空题
5．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x
O＋y
O(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.∴x＋y＝5.
6．设(1＋i)sin
θ－(1＋icos
θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan
θ的值为 .
[解析] 由题意，得sin
θ－1＋sin
θ－cos
θ＋1＝0，
∴tan
θ＝.
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝__12__.
[解析] 由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
C级 能力提高
1．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
2．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i，证明对一切实数m，该复数z所对应的点不可能位于第四象限.
[解析] 设z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i对应的点Z(m2＋m－6，m2＋m－2)位于第四象限，
则有解得
显然此不等式组无解，因此对一切实数m，
该复数所对应的点不可能位于第四象限．3.2
复数代数形式的四则运算（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·重庆八中高二检测)复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为( A )
A．1－i
B．1＋i
C．－1＋i
D．－1－i
[解析] z＝＝＝＝1－i.
2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i为虚数单位，则()2＝( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[解析] ()2＝＝－1.
3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝( A )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
[解析] －3i(a＋i)＝－3ai＋3，
∴－3a＝3，∴a＝－1.
4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( D )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
[解析] ∵＝3＋i，
∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
∴a＝4，选D．
5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得a<－1.
故选B．
6．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( B )
A．1±3i
B．3±i
C．3＋i
D．3－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得，即z＝3±i.
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.
[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
＝1－i2＋1＋4i＋4i2
＝1＋1＋1＋4i－4
＝－1＋4i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
三、解答题
9．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
[解析] (1)(－＋i)(2－i)(3＋i)
＝(－＋i)(7－i)＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
B级 素养提升
一、选择题
1．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( C )
A．0
B．1
C．
D．2
[解析] ∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝＝1－i，
∴|z＋1|＝.
2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.
3．若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m的值是( B )
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析] (m2＋i)(1＋mi)＝m2＋i＋m3i＋mi2＝(m2－m)＋(m3＋1)i.
∵(m2＋1)(1＋mi)为实数，
∴m3＋1＝0，
∴m＝－1.故选B．
4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( C )
A．－1＋2i
B．1－2i
C．3＋2i
D．3－2i
[解析] 易知z＝3－2i，所以＝3＋2i.
二、填空题
5．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为 .
[解析] 方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，从而，解得
故|z|＝＝.
方法二：因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝.
6．(2015·重庆理)设复数a＋bi(a、b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝__3__.
[解析] 由题易得＝，故a2＋b2＝3.
(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
7．(2017·浙江，12)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.
[解析] (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
三、解答题
8.＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值.
[解析] ∵＝1－ni，
∴＝1－ni，
∴m－mi＝2－2ni，
∴，∴.
C级 能力提高
1．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝ 1－i .
[解析] ∵z0＝3＋2i，
∴z·z0＝3z＋2iz＝3z＋z0，
∴2i·z＝z0.设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴2i(a＋bi)＝3＋2i，即－2b＋2ai＝3＋2i.
∴解得
∴z＝1－i.
2．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，
解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.3.2
复数代数形式的四则运算（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C )
A．2＋i
B．4＋3i
C．2＋3i
D．3＋2i
[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i－1＋i＝2＋3i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，
所以z的虚部是4.
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( D )
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴，∴，
∴a＋bi＝－2－i.
4．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( C )
A．18＋10i
B．18－10i
C．－10＋18i
D．10－18i
[解析] ∵z＝11－20i，
∴1－2i－z＝1－2i－11＋20i
＝－10＋18i.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( D )
A．
B．5
C．
D．5
[解析] ∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
6．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝( D )
A．－＋i
B．－i
C．－－i
D．＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
因此有，解得，
故z＝＋i，故选D．
二、填空题
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝__－1__.
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴，解得a＝－1.
8．在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么对应的复数为__4－4i__.
[解析] B＝－
＝－(＋)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数．
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得，对应的复数，先求出向量、对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
B级 素养提升
一、选择题
1．复数(3m＋mi)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是( A )
A．m<
B．m<1
C．D．m>1
[解析] (3m＋mi)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，由题意得，∴m<.
2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( A )
A．a＝－3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4
D．a＝3，b＝4
[解析] 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，
故，解得a＝－3，b＝－4.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( D )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[解析] 依题意有＝＝－，
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.
故选D．
4．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( C )
A．
B．i
C．＋i
D．＋2i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋＝5＋i，
∴，解得.
∴z＝＋i，故选C．
二、填空题
5．(2016·济南高二检测)设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝__4__.
[解析] ＋＝＋＝(＋)＋(＋)i，
而＝＝＋i，
所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，∴.∴.
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a、b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__3__.
[解析] z1－z2＝[a＋(a＋1)i]－[－3b＋(b＋2)i]＝(a＋3b)＋(a＋1－b－2)i＝4，
∴，解得，∴a＋b＝3.
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x、y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1、z2.
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以，解得.
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
C级 能力提高
1．(2016·青岛高二检测)已知复数z＝.
(1)求复数z.
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[解析] (1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
2．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C、D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴，解得.
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos
B，
∴cos
B＝＝＝.∴sin
B＝.
∴S＝||||sin
B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.第三章
数系的扩充与复数的引入
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数i(3－2i)＝( C )
A．2－3i
B．3＋2i
C．2＋3i
D．3－2i
[解析] i(3－2i)＝3i－2i2＝3i＋2，故选C．
2．(2016·北京文，2)复数＝( A )
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
[解析] ＝＝＝i.
3．(2016·云南芒市一中高二检测)已知i为虚数单位，则＝( B )
A．－i
B．＋i
C．＋i
D．－i
[解析] ＝＝＝＋i.
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
6．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( D )
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
[解析] 设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴，∴.
∴x＋y＝－1－i.
7．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数 x＝1，故选A．
8．已知复数z满足＝1＋2i，则＝( D )
A．4＋3i
B．4－3i
C．－i
D．i
[解析] 由＝1＋2i，得z＝＝＝＝－i，∴＝i.
9．若z＝cos
θ－isin
θ，则使z2＝－1的θ值可能是( B )
A．0
B．
C．π
D．2π
[解析] z2＝cos2
θ－2isin
θcos
θ－sin2
θ＝cos
2θ－i
sin
2θ＝－1，
∴，∴θ＝.
10．若复数z＝lg(m2－2m＋2)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m的值为( C )
A．1
B．－4
C．1或－4
D．以上都不对
[解析] 由已知，得，
即，
解得m＝1或－4.
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵in＝k∈Z，∴i＋i2＋i3＋…＋i2
013＝503×(i＋i2＋i3＋i4)＋i2
013＝503×0＋i＝i，
∴z＝＝＝，在复平面内的对应点(，)在第一象限．
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)
z3＝(z1]( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ∵ω1]．
∴①左边＝(z1＋z2)3，右边＝z1＋z2＝(z1＋z2)，左边＝右边，正确．
②左边＝z1()＝z1(＋)，右边＝z1＋z1＝z1(＋)，左边＝右边，正确．
③左边＝(z1)，右边＝z1(z2)＝z1(z3)，左边≠右边，不正确．
④左边＝z1，右边＝z2，左边≠右边，不正确，选B．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x＝__1__，y＝__2__.
[解析] (x＋i)(1－i)＝x－xi＋i＋1
＝(x＋1)＋(1－x)i＝y，
∴，
∴.
14．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝__6－2i__.
[解析] ∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，
∴z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i
＝5＋1－2i＝6－2i.
15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝ －4i .
[解析] 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
则，∴.∴z＝－4i.
16．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第__四__象限.
[解析] ∵a、b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴，解得.
∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．(本题满分12分)已知z＝1＋i，a、b∈R.若＝1－i，求a、b的值.
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，所以
＝
＝
＝a＋2－(a＋b)i＝1－i.
所以，所以.
19．(本题满分12分)已知z1、z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
[解析] 设z1＝x＋yi(x、y∈R)，
∴(3＋i)z1＝(3＋i)(x＋yi)
＝3x－y＋(x＋3y)i，
∴x＋3y＝0，∴x＝－3y.
∴z2＝＝＝
＝＝－y＋yi，
∵|z2|＝5，∴|z2|2＝50，
∴(－y)2＋y2＝50，
∴y＝±5，
当y＝5时，
z2＝－5＋5i，
当y＝－5时，z2＝5－5i.
20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)、B(0,2)、C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，
B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝×2×1＝1.
21．(本题满分12分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R).
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
[解析] (1)由已知，得
解①得－1故不等式组的解集为{m|－1因此m的取值范围是{m|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
整理得log2[(1＋m)(3－m)]＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±.
22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
[分析] (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
[解析] (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝.
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1.
