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学案 2.4估算
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能估算比较两个数的大小。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得平方根和立方根的定义吗？
2．填空
（1）同分母的两个正分数，分子大的分数 ；同分母的两个负分数，分子大的分数 。
（2）两个正数，绝对值大的 ；两个负数，绝对值大的 。
（3）（）2= （a≥0），（）3= （a为任意实数）
二、探究新知
1．问题情境：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.21教育网
(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1米)
【解答】（1）（2）
解：设公园的宽为x米，则长为x米，得该公园面积为2x2=400000，可得x2=200000.
( )2 = 160000 < 200000 < 5002
4402= , 4502= < x < 21·世纪*教育网
精确到10米 （注意：精确到10米是指估算到个位四舍五入到十位。）
4452= , 4502= < x < www-2-1-cnjy-com
精确到10米
∴ x应为 。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（结果精确到1米）
解：设圆形花圃的半径为R米，则R2=800，R2 254.7
152= ，162 = < R <
又15.52= ，162 = ； < R <
精确到1米 ∴ R应为
名师点拨：
①对于带根号的无理数的近似值，可以通过 运算或 运算，采用“ ”两边逐级 ，先确定 部分范围，再确定 ， 等小数部分。
②精确到1米指： ；精确到10米指： 。
趁热打铁：
1.一段圆钢，长2分米，体积为10π立方分米。已知1立方分米钢的质量是7.8千克，那么这段圆钢横截面的半径是多少分米（精确到0.01分米）？这段圆钢重多少千克？（π取3.14）
2．有两根电线杆AB，CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m．现在要在两根电线杆底端之间 (线段BD上) 选一点E，由点E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE，CE．2·1·c·n·j·y
(1) 要使AE=CE，那么点E应该选在何处 为什么
(2) 试求出钢索AE的长．(精确到0．01 m)
2．探究学习
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
≈0.066；≈96；≈60.4
(2)你能估算的大小吗？(结果精确到1)．
【解答】
①先确定 。因为1的立方为 ，10的立方为 ，900 1 1000，所以应是 . 21*cnjy*com
②确定 .因为9的立方为 ，所以个位上的数字应为 .
趁热打铁：
1.某工厂有一长方体的储藏柜，其体积为27m3，已知长是宽的2倍，高是宽的1.5倍，估算这个柜子的宽是多少？www.21-cn-jy.com
三、巩固新知
例1： 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？21·cn·jy·com
学以致用：
1.如图所示，在一次暴风雨后，一颗大树从离地面3米的A点折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树底端的距离为2米,若在该树C正上方离地面7m处有高压电线,请你探究,该树在折断前是否接触到高压电线 说明你的理由.【来源：21·世纪·教育·网】
2.如图，长方形ABCD面积为300cm2，长和宽的比为2:3，在长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积为147cm2圆（π取3），试通过计算说明理由！2-1-c-n-j-y
议一议
（1）通过估算，你能比较与的大小吗？你是怎样想的？与同伴交流。
（2）小明是这样想的：和的分母相同，只要比较它们的分子就可以了。因为>2，所以>1，因此>。他的想法对吗？2·1·c·n·j·y
【解答】小明的想法 。
≈ ≈ > =
-= = >0
∴>
深呼吸：①若a﹣b>0，则 ；若a﹣b=0，则 ； 若a﹣b<0，则
② ；
拓展延伸
1.比较和大小
= ，=
∵ >
∴
深呼吸： ；
2.观察:
的整数部分是2，小数部分是-2，请你观察上述式子后解决下面问题
规定用符号[ m]表示实数m的整数部分，例如[ ]=0，[ π]=3
（1）填空：[]= ；[7-]=
（2）如果5+的小数部分是a，5-的小数部分是b,求a+b的值
学以致用：
1．（2017重庆）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
2.在数轴上标注了4段范围，如图，则表示的点落在 段（填①②③④）
3.规定一种新运算：a△b=ab-a+1,如3△4=3×4-3+1，试比较-3△与△（-3）的大小
4.已知一灯塔A周围2000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得OA=4000米，如图，若使舰艇到达与灯塔最近B，还需航行3500米，问舰艇再向东前进有无触礁危险？
四、当堂检测
1．（2017泰安）下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣
2.已知甲、乙、丙三个数，甲=5+，乙=2+，且甲>丙>乙，则下列符合条件的丙是（ ）21世纪教育网版权所有
3．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
[ m]
4．设[ m]表示不大于m的最大整数，如[π]=3，则[ 1]+[ 2]+……+[ 10]=
5．已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数，求M+N得平方根
6．小明打算用一块100cm2的正方形纸片沿着边的方向剪出一个长方形，要求长方形的长：宽=2:1，且面积为60cm2，请问小明能剪出符合要求的长方形吗？21cnjy.com
7．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用-1表示的小数部分。请解答：
（1）如果的整数部分是a，小数部分是b，求a-b+
（2）已知：10+=2x+y,其中x是整数，且0【课堂小结】
你认为在估算中我们应该收获些什么呢？
1．对于带根号的无理数的近似值，可以通过 运算或 运算，采用“ ”两边逐级 ，先确定 部分范围，再确定 ， 等小数部分。
2．比较无理数大小方法：① ；② ；③ ；④ ．
小强是这样想的！（估算法）
小聪是这样想的！（作差法）
小白是这样想的！（乘方法）
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学案 2.4估算
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能估算比较两个数的大小。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得平方根和立方根的定义吗？
【解答】
平方根：一般地，如果一个数的平方等于即那么这个数就叫做的平方根。（也叫做二次方根）。
立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也 叫做三次方根）．数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数.
2．填空
（1）同分母的两个正分数，分子大的分数 大 ；同分母的两个负分数，分子大的分数 小 。
（2）两个正数，绝对值大的 大 ；两个负数，绝对值大的 小 。
（3）（）2= a （a≥0），（）3= a （a为任意实数）
二、探究新知
1．问题情境：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1米)
【解答】（1）（2）
解：设公园的宽为x米，则长为x米，得该公园面积为2x2=400000，可得x2=200000.
( 400 )2 = 160000 < 200000 < 5002
4402= 193600 , 4502= 202500 440 < x < 450
精确到10米 （注意：精确到10米是指估算到个位四舍五入到十位。）
4452= 198025, 4502= 202500 445 < x < 450
精确到10米
∴ x应为 450 。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（结果精确到1米）
解：设圆形花圃的半径为R米，则R2=800，R2 254.7
152= 225 ，162 = 256 15 < R < 16
又15.52= 240.25 ，162 = 256 ； 15.5 < R < 16
精确到1米 ∴ R应为 16
名师点拨：
①对于带根号的无理数的近似值，可以通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”两边逐级夹逼，先确定整数部分范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
②精确到1米指：精确到1米是指估算到十分位四舍五入到个位；精确到10米指：精确到10米是指估算到个位四舍五入到十位。
趁热打铁：
1.一段圆钢，长2分米，体积为10π立方分米。已知1立方分米钢的质量是7.8千克，那么这段圆钢横截面的半径是多少分米（精确到0.01分米）？这段圆钢重多少千克？（π取3.14）
【解答】
2．有两根电线杆AB，CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m．现在要在两根电线杆底端之间 (线段BD上) 选一点E，由点E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE，CE．2·1·c·n·j·y
(1) 要使AE=CE，那么点E应该选在何处 为什么
(2) 试求出钢索AE的长．(精确到0．01 m)
【解答】
(1) 点E应该选在BD上离点B 3m远的地方．理由：由BE=3，BD=8，可得ED=5．∵AB=ED，BE=DC，∠ABE=∠EDC=90°，∴ △ABE≌△EDC，∴ AE=EC
(2) AE===≈5．83(m)
2．探究学习
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
≈0.066；≈96；≈60.4
(2)你能估算的大小吗？(结果精确到1)．
【解答】
①先确定位数。因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.
②确定个位上数字.因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.
趁热打铁：
1.某工厂有一长方体的储藏柜，其体积为27m3，已知长是宽的2倍，高是宽的1.5倍，估算这个柜子的宽是多少？
【解答】
解：设这个储物柜的宽为xm，长为2xm，高为1.5m，根据题意得
x×2x×1.5x=27
3x3=27
x3=9
x≈2.1
所以这个柜子的宽为2.1米。
三、巩固新知
例1： 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
【解答】
解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，根据勾股定理，有x2+（）2=62，即x2=32， x=．
∵5.62=31.36<32，所以>5.6．
∴梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6 cm高的墙头．
学以致用：
1.如图所示，在一次暴风雨后，一颗大树从离地面3米的A点折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树底端的距离为2米,若在该树C正上方离地面7m处有高压电线,请你探究,该树在折断前是否接触到高压电线 说明你的理由.
【解答】
2.如图，长方形ABCD面积为300cm2，长和宽的比为2:3，在长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积为147cm2圆（π取3），试通过计算说明理由！
议一议
（1）通过估算，你能比较与的大小吗？你是怎样想的？与同伴交流。
（2）小明是这样想的：和的分母相同，只要比较它们的分子就可以了。因为>2，所以>1，因此>。他的想法对吗？
【解答】小明的想法对。
≈≈0.618>0.5=
-==>0
∴>
深呼吸：①若a﹣b>0，则a>b；若a﹣b=0，则a=b； 若a﹣b<0，则a② ；
拓展延伸
1.比较和大小
=18，=12
∵18>12
∴>
深呼吸： ；
2.观察:
的整数部分是2，小数部分是-2，请你观察上述式子后解决下面问题
规定用符号[ m]表示实数m的整数部分，例如[ ]=0，[ π]=3
（1）填空：[]= 5 ；[7-]= 3
（2）如果5+的小数部分是a，5-的小数部分是b,求a+b的值
【解答】
由题意得a=5+-8=-3,b=5--1=4-
则a+b=-3+4-=1
学以致用：
1．（2017重庆）估计的值在（ C ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
2.在数轴上标注了4段范围，如图，则表示的点落在 ③ 段（填①②③④）
3.规定一种新运算：a△b=ab-a+1,如3△4=3×4-3+1，试比较-3△与△（-3）的大小
【解答】
4.已知一灯塔A周围2000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得OA=4000米，如图，若使舰艇到达与灯塔最近B，还需航行3500米，问舰艇再向东前进有无触礁危险？
【解答】
四、当堂检测
1．（2017泰安）下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（ A ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣
2.已知甲、乙、丙三个数，甲=5+，乙=2+，且甲>丙>乙，则下列符合条件的丙是（ C ）
3．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
[ m]
4．设[ m]表示不大于m的最大整数，如[π]=3，则[ 1]+[ 2]+……+[ 10]= 19
5．已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数，求M+N得平方根
【解答】
6．小明打算用一块100cm2的正方形纸片沿着边的方向剪出一个长方形，要求长方形的长：宽=2:1，且面积为60cm2，请问小明能剪出符合要求的长方形吗？
【解答】
7．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用-1表示的小数部分。请解答：
（1）如果的整数部分是a，小数部分是b，求a-b+
（2）已知：10+=2x+y,其中x是整数，且0【课堂小结】
你认为在估算中我们应该收获些什么呢？
1．对于带根号的无理数的近似值，可以通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”两边逐级夹逼，先确定整数部分范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
2．比较无理数大小方法：①估算法；②同分母法；③平方法；④作差法．
小强是这样想的！（估算法）
小聪是这样想的！（作差法）
小白是这样想的！（乘方法）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
