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学案 2.6实数
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．掌握实数的概念，能对实数按要求进行分类；
2．了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；
3. 知道数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得无理数的定义吗？
2．填图
二、探究新知
1．动手操作：把下列各数分别填入相应的集合内。
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
知识点：有理数和无理数统称实数。即实数可分为有理数与无理数。
名师点拨：实数按定义分类
跟踪训练：判断正误
（1）实数不是有理数就是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数.（ ）
（3）无理数都是无限小数.（ ）
（4）带根号的数都是无理数.（ ）
（5）无理数一定都带根号.（ ）
（6）无限小数都是无理数（ ）
（7）不能除尽的分数是无理数（ ）
（8）除了π之外不带根号的数都是有理数（ ）
（9）实数包括有理数、无理数和零（ ）
2．探究学习
议一议 无理数与有理数一样，也有正负之分，如是正的，是负的。
你能把，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
名师点拨：实数按符号分类
跟踪训练
－，0，0.27，5，0.35，，－，，，，3.141 592 6，0.202 002 0002….
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
名师点拨：实数的相关概念
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
深呼吸：
（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；当a≠0时，它的倒数是
（2）性质：①a与b互为相反数
②a与b互为倒数
③正数的倒数是 ，负数的倒数是 ，0
④正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；
即：
⑤实数和有理数一样，可以进行 运算，有理数的运算法则和运算律，对实数 。
跟踪训练
1．下列说法错误的是( )
A．a2与(－a)2相等 B.与互为相反数
C.与互为相反数 D.与－互为相反数
2．下列各组数中互为倒数的一组是( )
A．－2与 B.与
C．－2与 D．－与－
3.下列各式中，计算正确的是（ ）
A.+= B.2+=2
C.a－b=(a－b) D.=+=2+3=5
4．计算
5. 已知x，y互为相反数，z，w互为倒数，x是3的平方根，求的值
议一议：如图所示，认真观察，探讨下列问题：
（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
（2）你能在数轴上找到吗？
（3）如图已知圆的直径为1，能否在数轴上找到π？
名师点拨：
（1）每一个实数都可以用 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示 ，即实数与数轴上的点是 ；
（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ．
跟踪训练
1. 如图点A表示的实数是（ ）
2.如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是 ( )
A. B. C. D.
3．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4.有下列说法：
①任何无理数都是无限小数；
②有理数与数轴上的点一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有 ， ， ， 这4个；
④ 是分数，它是有理数．
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305．
其中正确的有 （填序号）．
5．如何在数轴上画出表示的点？
6. 在数轴上作出表示些列个数的点，比较它们的大小，并用<连接它们。
0，-7，，，-4，-
三、当堂检测
1．下列说法：①数轴上的点对应的数，如果不是有理数，那么一定是无理数；②介于4与5之间的无理数有无数个；③数轴上的任意一点表示的数都是有理数；④任意一个有理数都可以用数轴上的点表示．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2017天水）关于 的叙述不正确的是（ ）
A． =2 B．面积是8的正方形的边长是
C． 是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点
3．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A．p B．q C．m D．n
4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1.现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72进行3次操作后变为1，类似地，①对81进行________次操作后变为1；②进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．【来源：21·世纪·教育·网】
5．将下列各数填入相应的大括号内：
3．141 592 6，，，－6，8，，2－π，0.014 545 454 5…，－，0，，0.323 223 222 3….
(1)有理数：{ …}；
(2)无理数：{ …}；
(3)正无理数：{ …}；
(4)整数：{ …}．
6. 已知x，y互为倒数，c，d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求的值
7. 如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长；
(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【课堂小结】
你认为在实数中我们应该收获些什么呢？
1．实数的分类
2.实数的相关概念及性质
（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；当a≠0时，它的倒数是
（2）性质：①a与b互为相反数
②a与b互为倒数
③正数的倒数是 ，负数的倒数是 ，0
④正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；
即：
⑤实数和有理数一样，可以进行 运算，有理数的运算法则和运算律，对实数 。
小数
有理数
无理数
无理数集合
有理数集合
小数
实数
正数集合
负数集合
实数
0
1
2
-1
-2
A
B
小数
实数
实数
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学案 2.6实数
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．掌握实数的概念，能对实数按要求进行分类；
2．了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；
3. 知道数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得无理数的定义吗？
【解答】无限不循环小数叫做无理数；
2．填图
二、探究新知
1．动手操作：把下列各数分别填入相应的集合内。
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
，，，，0， ，，，，，
，0.3737737773……
知识点：有理数和无理数统称实数。即实数可分为有理数与无理数。
名师点拨：实数按定义分类
跟踪训练：判断正误
（1）实数不是有理数就是无理数.（ √ ）
（2）无理数都是无限不循环小数.（ √ ）
（3）无理数都是无限小数.（ √ ）
（4）带根号的数都是无理数.（ × ）
（5）无理数一定都带根号.（ × ）
（6）无限小数都是无理数（ × ）
（7）不能除尽的分数是无理数（ × ）
（8）除了π之外不带根号的数都是有理数（ × ）
（9）实数包括有理数、无理数和零（ × ）
2．探究学习
议一议 无理数与有理数一样，也有正负之分，如是正的，是负的。
你能把，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
名师点拨：实数按符号分类
跟踪训练
－，0，0.27，5，0.35，，－，，，，3.141 592 6，0.202 002 0002….
名师点拨：实数的相关概念
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
深呼吸：
（1）a是一个实数，它的相反数为 -a ，绝对值为；当a≠0时，它的倒数是
（2）性质：①a与b互为相反数 a+b=0
②a与b互为倒数 ab=1
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数
④正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
即：
⑤实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则和运算律，对实数仍然适用。
跟踪训练
1．下列说法错误的是( C )
A．a2与(－a)2相等 B.与互为相反数
C.与互为相反数 D.与－互为相反数
2．下列各组数中互为倒数的一组是( D )
A．－2与 B.与
C．－2与 D．－与－
3.下列各式中，计算正确的是（ C ）
A.+= B.2+=2
C.a－b=(a－b) D.=+=2+3=5
4．计算
【解答】
5. 已知x，y互为相反数，z，w互为倒数，x是3的平方根，求的值
【解答】
∵x，y互为相反数，z，w互为倒数，x是3的平方根
∴
议一议：如图所示，认真观察，探讨下列问题：
（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
【解答】
数轴上A点对应的数表示，介于1和2之间。
（2）你能在数轴上找到吗？
【解答】
数轴上A点对应的数表示
（3）如图已知圆的直径为1，能否在数轴上找到π？
【解答】圆的直径为1，周长为π，从原点开始沿数轴向右滚动一周。
名师点拨：
（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一 一对应的；
（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
跟踪训练
1. 如图点A表示的实数是（ A ）
2.如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是 ( D )
A. B. C. D.
3．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有( C )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4.有下列说法：
①任何无理数都是无限小数；
②有理数与数轴上的点一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有 ， ， ， 这4个；
④ 是分数，它是有理数．
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305．
其中正确的有①⑤ （填序号）．
5．如何在数轴上画出表示的点？
【解答】
如图，在数轴上，过表示3的点A作数轴的垂线段，且AB＝1，连接OB，则OB＝，以O为圆心，OB的长为半径作弧与数轴的正半轴交于点C，则点C就表示.
6. 在数轴上作出表示些列个数的点，比较它们的大小，并用<连接它们。
0，-7，，，-4，-
三、当堂检测
1．下列说法：①数轴上的点对应的数，如果不是有理数，那么一定是无理数；②介于4与5之间的无理数有无数个；③数轴上的任意一点表示的数都是有理数；④任意一个有理数都可以用数轴上的点表示．其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2017天水）关于的叙述不正确的是（ C ）
A． =2 B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点
3．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ A ）
A．p B．q C．m D．n
4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1.现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72进行3次操作后变为1，类似地，①对81进行________次操作后变为1；②进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】3 255
解析：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，故答案为3；②最大的是255，[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，即进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255.
5．将下列各数填入相应的大括号内：
3．141 592 6，，，－6，8，，2－π，0.014 545 454 5…，－，0，，0.323 223 222 3….
(1)有理数：{ …}；
(2)无理数：{ …}；
(3)正无理数：{ …}；
(4)整数：{ …}．
66..6.
6. 已知x，y互为倒数，c，d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求的值
7. 如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长；
(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【解答】
（1）解：四边形ABCD的面积是 5 ，其边长为 ．
（2）解：如图：在数轴上表示实数 ，
【考点】算术平方根，实数与数轴
【解析】【分析】在求正方形的面积时，可用大的正方形的面积减去三角形的面积可得正方形ABCD的面积；按照（1）的方法，同样可解得该图的面积为8，则其边长为 ．
【课堂小结】
你认为在实数中我们应该收获些什么呢？
1．实数的分类
2.实数的相关概念及性质
（1）a是一个实数，它的相反数为 -a ，绝对值为；当a≠0时，它的倒数是
（2）性质：①a与b互为相反数 a+b=0
②a与b互为倒数 ab=1
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数
④正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
即：
⑤实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则和运算律，对实数仍然适用。
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
有理数
无理数
整数
无理数集合
有理数集合
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
有理数
无理数
整数
实数
分数
正数集合
负数集合
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
正整数
正分数
负整数
负分数
0
1
2
-1
-2
A
B
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
有理数
无理数
整数
实数
分数
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
正整数
正分数
负整数
负分数
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