青岛版数学六上总复习教案（3课时27页）
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文档简介
回顾整理——总复习
教材分析
本单元复习的主要内容有，数与代数，包括分数的乘除法、比、分数四则混合运算、百分数。图形与几何，圆。可能性。
本单元总复习共分两部分。第一部分是回顾整理，这一部分又分为两个板块：第一板块是知识点自主回顾，第二板块是数学思想方法提升。第二部分是综合练习。教材精心设计了涵盖全册各个单元知识的练习题，旨在让学生通过系统、综合的练习，全面巩固所学知识，提高灵活运用知识解决问题的能力。
本单元教材编写的主要特点：
1．重视引导学生参与复习整理的过程，提高学生的反思能力。
2．重视数学学习方法的总结提升。。
教学目标
知识与能力
通过对全册内容的回顾与整理，全面复习和巩固本学期所学知识，沟通知识之间的联系，形成良好的认知结构。
过程与方法
经历知识的整理与复习的系统过程，提高归纳、整理知识和综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力。
情感、态度与价值观
通过交流整理与复习的不同思路，学会整理知识的方法，逐步养成回顾与反思的习惯。
重点、难点
重点:
数与代数部分计算和分数乘除法意义的应用及典型模型，图形与几何部分的圆。
难点:
乘除乘除法的意义以及数学思想方法在学习中的应用。
教学建议
1．结合本班实际，制定切实可行的复习计划。
2．重视引导学生总结和提炼数学思想方法。
3．关注复习过程中的评价，发挥评价的激励作用。
课时安排
本单元用3课时完成教学，其中机动3课时。
数与代数
数的运算
1课时
意义的应用及典型数学模型
1课时
图形与几何
圆
1课时
1
数的运算
教学内容
教材第103~105页，数的运算
教学提示
转化思想在计算中的使用。
教学目标
知识与能力
能非常熟练的进行分数的四则运算、求比值、化简比和经行分数、小数、百分数之间的互化，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算；养成检查和验算的习惯。
过程与方法
进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；感受数学思想方法在解决新问题时作用。
情感、态度与价值观
激发学生学习数学的积极性，养成规范、认真的好习惯。
重点、难点
重点：能非常熟练的进行分数的四则运算，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算。
难点：数学思想方法具体实施的手段。
教学准备
教师准备：课件、实物投影仪。
学生准备：练习本。
教学过程
（一）复习回顾：
1.师：怎样计算分数的乘法？
生：分数的分子乘分子的积作分数，分母乘分母的积作分母，先约分，在计算。
师：我们是怎样得到这个法则的。
生：回忆
师生共同回忆：先回想分数乘整数，借助整数乘法的意义及分数的意义，归纳，分子乘整数作积的分子，分母不变。类推分数乘分数的计算方法，整数可以看做分母是1的分数，分数乘整数变成了分数乘分数，分子乘分子的积作分数，分母乘分母的积作分母，先约分，在计算，通过画图验证法则的正确性。
2、师：怎样计算分数的除法？
生：除以一个数等于乘这个数的倒数。
师：我们是怎样得到这个法则的。
生：回忆
师生共同回忆：先回想分数除以整数，借助整数除法的意义及分数的意义，归纳分数除以整数等于乘这个整数的倒数。借助分数的意义及类推分数除以整数的法则，观察、总结、猜想分数除法的法则——除以一个数等于乘这个数的倒数。通过画图验证法则的正确性。
3、分数的混合运算和简便运算，根据算式的实际意义，类比整数的混合运算和简便运算，得出结论，整数的运算顺序和运算律在分数中同样适用。
4、求比值和化简比，各根据比值的定义和比的基本性质。
5、分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系。
设计意图：学生回顾计算方法，教师帮助学生计算方法的得出过程，及过程中用到的数学思想方法。
（二）梳理总结：
设计意图：引导学生寻找计算之间的内在联系。
（三）巩固新知：
1、综合练习1，练习分数的乘除的简单运算。（要求熟练）
答案：，72，，，，，，，，。
2、综合练习2，脱式计算。（要求熟练）
答案：，300，，4，，5。
3、综合练习4，简便运算（主要是乘法分配律）
答案：1，，，10，，。
4、综合练习5，解方程（复习解方程方法的同时练习分数的乘除）
答案：，，，。
5、除法、分数、比之间的练习。
答案：6÷5，2÷3，，，1:2，6:5。
设计意图：综合练习的题目比较简单，要求学生要熟练掌握；这一部分练习对求比值没有涉及，化简比也仅仅体现了一个整数比化成最简整数比，百分数和分数小数之间的互化也没有涉及。
（四）达标反馈
1、不计算，你能比较大小吗？
×○
×○3
4a×1○a
12÷○12
16÷○16
＋○1
2、直接写得数。
×3=
×15=
2－=
1＋5%=
÷=
5÷=
×75%=
×4×=
＋×=
3、脱式计算。
××
÷×
×＋
÷【（＋）×】
4、简便运算。
（＋）×36
×＋÷
＋（－）×
27－－
5、解方程、
＋X=
X÷=
X＋=
X＋X=75
6、先化简比，在求比值。
51：34
：
3.1:0.15
0.625：
7、把下列分数化成百分数。
答案：1、＞，＜，≥，＞，＜，＞。2、，9，1，105%，，，1，4，。3、2，，，。4、17，，，26。5、，，，60。6、3:2，，7:10，，62:3，，1:2，。7、75%，12.5%，37.5%，62.5%，87.55，20%，40%，60%，80%。
设计意图：检验前面学习的效果，确定哪些同学还有下大力气进行计算的练习。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
同桌互相说说自己的收获。
设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将
所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。
（六）布置作业
第1课时：数的运算
1、不计算，你能比较大小吗？
×○
×○
÷○
÷○
a×b○a(a＞0，0＜b＜1)
2、直接写得数。
÷4=
×=
1.4－=
2.4×=
100÷20%=
0.25＋=
1.3÷100%=
××72%=
3、脱式计算。
[1－（＋
）]÷
＋（
＋
）×28%
(15－15×)×
4、简便运算。
1.75×＋＋×25%
12×（
＋－）
7－2－3
5、解方程、
X＋30%
X
=220×10%
X＋50×50%=40
11X－=
6、先化简比，在求比值。
26：65
：
2.3:0.25
0.75：
答案：1、＜，＞，＞，＜，＜。2、，，，2，500，1，1.3，。3、，，。4、1，1，1。5、，25，。6、2:5，，5:6，，46:5，，2:1，2。
板书设计
计算
教学反思
计算时学生应该掌握的基本能力，但有相当一部分学生，没有认真训练，导致计算能力十分低下，因此要引起教师的重视。
教学资料包
教学资源
一、乘法分配律。(a＋b)×c=a×c＋b×c
7×（－）
8×（＋）
(
＋)×15
二、乘法分配律的逆运算。A×c＋B×c=（A＋B）×c
×＋÷3
×＋×
÷＋×
答案：一、2，8，13，二、，，。
资料链接
卡尔·弗里德里希·高斯
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann
Carl
Friedrich
Gauss
，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
家庭背景
高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。
当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
父亲格尔恰尔德 迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。高斯很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
在成长过程中，幼年的高斯主要得力于他的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。
若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
罗捷雅真的希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约问道：高斯将来会有出息吗？波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
初显天分
高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。
一天，老师布置了一道题，1+2+3 这样从1一直加到100等于多少。
高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101 1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。
布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
得到资助
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。他的教师们和慈母把他推荐给伯伦瑞克公爵，希望公爵能资助这位聪明的孩子上学。
布伦兹维克公爵卡尔 威廉 斐迪南召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
高斯的花体亲笔签名。
1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。
1796年高斯19岁，发现了正十七边形的尺规作图法，[1]
解决了自欧几里德以来悬而未决的一个难题。[1]
同年，发表并证明了二次互反律。这是他的得意杰作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”[2]
。
1799年，高斯完成了博士论文，获黑尔姆施泰特大学的博士学位，回到家乡布伦兹维克，虽然他的博士论文顺利通过了，被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。
公爵继续慷慨资助高斯的研究，使得他能在1803年谢绝圣彼得堡提供的教授职位，他一直是圣彼得堡科学院通讯院士。
公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词："献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
历经变故
1806年，卡尔 威廉 斐迪南公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸在耶拿战役阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷。
但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字："对我来说，死去也比这样的生活更好受些。"慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年莱昂哈德 欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von
Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。
从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
投身研究
1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。
高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。
其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、
洛巴切夫斯基，波尔约。其中波尔约的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小波尔约还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老波尔约把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。
早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。
他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。
他的父亲死于1808年4月14日，1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica
Wilhelmine
（1788-1831）。他们又有三个孩子：Eugen
（1811-1896）,Wilhelm
（1813-1883）
和
Therese
（1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日，他的母亲在哥廷根逝世，享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在哥廷根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记发现于1898年。[3]
个人信仰
高斯的信仰是基于寻求真理的。他相信“精神个性上的不朽，像是个人在死后的持久性，还有最后命令的东西，以及永恒的、正义的、无所不知和无所不能的上帝。”高斯也坚持宗教的宽容，他相信打扰其他正处在他们自己和平信念中的人是不对的。[4]
他说：”微小的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。“
高斯具有浓厚的宗教感情、贵族的举止和保守的倾向。他一直远离他那个时代的进步政治潮流。在高斯身上表现出的矛盾是与他实际上的和谐结合在一起的。高斯身为才气横溢的算术家，对於数具有非凡的记忆力。他既是一个深刻的理论家，又是一个杰出的数学实践家。教学是他最讨厌的事，因此他只有少数几个学生。但他的那些影响数学发展进程的论著(大约155篇)却使他呕心沥血。有3个原则指导他的工作︰他最喜欢说的「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下进一步要做的事」；和他的极度严格的要求。
从他死后出版的著作中可以看出，他有许多重要和内容广泛的论文从未发表，因为按他的意见，它们都不符合这些原则。高斯所追求的数学研究题目都是那些他能在其中预见到具有某种有意义联系的概念和结果，它们由於优美和普遍而值得称道。
伟人之死
1849年举办了高斯获博士学位50周年庆祝会，为此高斯准备了他早期对代数基本定理证明的一个新版本。由於健康状况愈来愈差，这成了他最后的著作。给他带来最大欢乐和荣誉的还是哥廷根市赠与他的荣誉公民头衔。由於他在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成就，他被选为许多科学院和学术团体的成员。他谢绝了许多大学请他当教授的邀请而一直留在哥廷根大学的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就铸造了纪念他的钱币。
个人成就
数学成就
欧几里德已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。
这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法)作出了贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。1831年(发表於1832年)他给出了一个如何藉助於x,y平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。
高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与该直线平行的线。
不久就有人推测︰这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的几何学的人之一。他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表(参阅非欧几里得几何条)。
当1830年前后匈牙利的波尔约(Janos
Bolyai)和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非欧几何学时，高斯宣称他大约在30年前就得到同样的结论。高斯也没有发表特殊复函数方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。
1830年前后，极值(极大和极小)原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体粒子和与它接触的固体或流体粒子之间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从1830年起高斯就与物理学家威廉 爱德华 韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为他们的资金有限，所以试验都是小规模的。
天文发现
1801天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。
1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（Ceres）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。
我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。
高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。
果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是“最小平方法”。在天文学中这一成就立即得到公认。
他在《天体运动理论》(1809)中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星「智神星」方面也获得类似的成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。
这时他的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了。
1807年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世。1809年，在结婚4年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第二次婚姻(1810～1831)带给他两个儿子和一个女儿。
在1812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。
地理测量
1820年前后，高斯把注意力转向大地测量——用数学方法测定地球表面的形状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。
为了增加测量的精确度，他发明了回光仪(一种利用日光以保证比较精确测量的仪器)。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线(一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础)来表示。
他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透过测量曲面上曲线的长度就能确定。
这种「内蕴曲面论」启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几何学。这是黎曼1854年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大约60年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广义相对论的数学基础。
与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在1840年发表的实分析论文。这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他本人高标准要求的一个。只有到20世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。
1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯（Withelm
Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。
研究领域
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。
高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。
人物著作
著作
出版时间
著作介绍
《算术研究》
1801年
介绍了同余、二次互逆定理
《天体运动理论》
1809年
天体运动的著作
《曲面的一般研究》
1827年
阐述了空间曲面的微积分几何学
关于代数基本定理的博士论文
1799年
证明了每个复系数方程必有复数解
《高等大地测量学理论》上
1843/44年
地理测量
《高等大地测量学理论》下
1846/47年
地理测量
《地磁的一般理论》
1839年
《地磁概念》
1840年
《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》
1840年
人物评价
高斯不仅对纯粹数学作出了意义深远的贡献，而且对20世纪的天文学、大地测量学和电磁学的实际应用也作出了重要的贡献。
高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。
如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
高斯是"人类的骄傲"。天才、早熟、高产、创造力不衰……人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分。
爱因斯坦曾评论说：“高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越一切，无与伦比的。”
贝尔曾经这样评论高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。
人物名言编辑
浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。——高斯
数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。——高斯
后世纪念
从1989年直到2001年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国10马克的钞票中。
另一方面，在汉诺威有和他有关的鸡血石以及三角测量方法。在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票。第一种邮票(第725号)发行于1955年 他死后的第100周年；另外两种邮票(第1246号.第1811号)发行于1977年，他出生的第200周年。
在高斯的荣耀中，以他命名的事物包括：
1.用在磁场的CGS制计量单位以高斯来命名。
2.月球上的坑洞以他来命名。
3.小行星1001又称为「高斯星」。
4.1901年德国建造了一艘名为“高斯”的船，并进行了被称为“高斯号远征的”南极探险活动。[5]
2007年的时候，高斯的半身像被引进瓦尔哈拉神殿。
2
意义的应用及典型数学模型
教学内容
教材第103~110页，意义的应用及典型数学模型
教学提示
题目要求，和题目特点决定应用的知识。
教学目标
知识与能力
进一步分数乘除法的意义、比、百分数的意义、以及在整数和小数中存在的模型，在分数中同样适用。
过程与方法
进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；掌握所学的常见数量关系和解决问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中一些简单的实际问题，增强学生的应用意识，提高学生进行数学思考的能力。
情感、态度与价值观
激发学生学习数学的积极性，养成定期归纳总结的习惯。
重点、难点
重点：意义和模型的灵活应用。
难点：意义的灵活运用。
教学准备
教师准备：实物投影仪。
学生准备：练习本。
教学过程
（一）复习回顾：
1、师：我们已经学习了分数、百分数的意义，分数乘除法的意义，比的意义。谁能来说一说。（生回忆，不全的师补全）
生：分数，可以表示一个数量，也可以表示一个数是另一个数的几分之几
生：百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，也就是分数、百分数都可以表示两者之间的关系，用除法进行计算。
生：分数乘法，表示一个数的几分之几是多少
分数除法，可以看做1、表示一个数是另一个数的几分之几（或几倍）2、表示一个数里有多少个另一个数。
生：比：是描述两者之间一种相除的关系，比值则是分数除法的第一个意义。
2、师：我们学过哪些数学模型。
生：分数意义得到的，一个数是另一个数的几分之几。一个数我们用甲数，另一个数用乙数，几分之几用来表示，那么模型变成：甲数是乙数的。
生：一个数比另一个数的几分之几多（或少）多少，模型化：甲数比乙数的多（少）丙数。
生：一个数比另一个数多（少）几分之几，即甲数比乙数多（少）
生：按比分配，转化成甲数是乙数的几分之几
生：三个模型根据已知和待求的量不同，可以变换成3种类型的题目。
师：同学们总结的太好了。
师：我稍稍补充一下，甲数比乙数多（少）丙数。下面我们一起看看它们之间的联系。
设计意图：通过回忆，确定学过的一些模型，时间足的话，可以说说怎么来的。
（二）梳理总结：
设计意图：通过构建知识网络，让学生明确知识间的内在联系。
（三）巩固新知：
1.一个班有45人，期中考试数学有42人及格，这个班的及格率是多少？
2.蒋集镇中心小学信息兴趣小组有32人，其中男生占，男生有多少人？
3.大胡村蔬菜大棚去年出产蔬菜800吨，是今年出产蔬菜的，今年出产蔬菜多少吨？
4.六年级三班有男生25人，女生人数比男生的还多3人，女生有多少人？
5.蒋集镇中心小学舞蹈队有23名成员，比合唱队的少2人，合唱队有多少名同学？
6.天天鲜蔬菜店，今天运来西红柿200千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点运来白菜多少千克
7.
天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点运来白菜多少千克
8.
天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280千克，西红柿200千克，天天鲜蔬菜点运来的白菜比西红柿多几分之几？
9.明德小学今年购进科技书和故事书共2000册，科技书与故事书的比是3:7，明德小学今年购进故事书多少册？
10.宁阳县举行学科素养大赛，决定按1:3:5的比例设置一、二、三等奖，其中，活动二等奖的有30人，那么，获一等奖的有多少人？
答案：93.3%，24人，850吨，23人，20人，280千克，200千克，，1400册，10人。
设计意图：对上面理论内容，进行实践。
（四）达标反馈
1.学期末，体育老师对六年级五班的学生进行体育考查，全部有40人，其中过关的有36人，过关率是多少？
2.宁庄王大爷家今年共种植黄姜5小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家共种植黄姜多少小亩？
3.
宁庄肖大爷家今年共种植黄姜3.5小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家共种植黄姜多少小亩？
4.水果店运来苹果200千克，运来的香蕉比苹果的还少20千克，运来香蕉多少千克？
5.
水果店运来香蕉130千克，运来的香蕉比苹果的还少20千克，运来香蕉多少千克？
6.今天农贸市场上，香菜每千克6元，山药的价格比香菜的多0.5元，山药每千克多少元？
7.
今天农贸市场上，黄瓜每千克4元，比藕价格的少1元，藕每千克多少元？
8.猪肉每千克24元，羊肉每千克68元，猪肉比羊肉便宜几分之几？
9.刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，共180只，白兔和黑兔的比是5:1，刘叔叔家饲养的黑兔有多少只？
10.
刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，白兔和黑兔的比是5:2，其中白兔有150只，刘叔叔家饲养的黑兔有多少只？
答案：90%，3.5小亩，5小亩，130千克，200千克，4.5元，6元，，30只，60只。
设计意图：检验理论的应用效果效果。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将
所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。
（六）布置作业
第2课时：意义的应用及典型数学模型
1、工程队原计划一周修路20千米，实际修了24千米。实际修的是原计划的百分之几？
2、一根绳子用去，正好用去6米。绳子全长有多少米？
3、小红读一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了45页，还剩下15页没有读。这本故事书一共有多少页？
4、育才小学有一个直径是6米的圆形花坛，为美化校园，把这个花坛进行了扩建，扩建后花坛的直径与原来直径的比是4:3。扩建后花坛的面积是多少平方米？
5、学校举办美术作品展览。绘画作品有80件，比书法作品少。书法作品有多少件？
6、一辆汽车从甲地去乙地，已行了全程的，这时距中点还有15千米。全程有多少千米？
7.
一张课桌比一把椅子贵20元，如果椅子的单价是课桌的，课桌和椅子的单价各是多少？
8.
学校计划投资7200元举办才艺展示活动，实际的费用比计划节约了。实际的费用是多少元？
9.
学校举行朗诵比赛，获三等奖的有120人，获二等奖的人数是获三等奖的，获一等奖的人数是获二等奖的。获一等奖的有多少人？
10.
“六·五”班共有学生48人，其中男生占。班级里组织学生成立科技小组，共有22人报名参加。问这个班参加科技小组的男生最多可能有多少人？
答案：1、120%，30米，100页，50.24平方米，112幅，150千米，桌子80元，椅子60元，2700元，40人，22人。
板书设计
意义的应用及典型数学模型
教学反思
题目分类后，看着很简单，学生在对比练习时做的还好，也就是当有意识的去区分，还能区分清楚，一旦打乱顺序，做起来就不理想了。因此，要学生重点理解公式归纳总结的过程。才能有利于掌握。
教学资料包
教学资源
1、列综合算式或方程计算。
2.中心小学有110人参加书写大赛，其中获一、二等奖的人数分别占和。获一、二等奖的一共多少人？
3.一个篮球的价钱是120元，一个排球的价钱是一个篮球价钱的，一个排球的价钱是一个足球价钱的，一个足球多少钱？
4.某工厂四月份下半月用水5400吨，比上半月节约20%，上半月用水多少吨？
5.学校购进一批图书，按3:5的比例分给四、五年级，五年级分得150本。这批图书共有多少本？
6.某厂九月份用水28吨，十月份比九月份节约。十月份比九月份节约多少吨？
7.舞蹈队有男生28人，是女生人数的，舞蹈队有女生多少人？
8.生产一批零件，已经生产了1200个。如果再生产300个就完成任务了，已经生产了百分之几？
9.水果店运来梨、苹果和橘子共600千克，其中梨运来240千克，运来的苹果和橘子的重量比是5:4，水果店运来苹果多少千克？
答案：20，280；40人；84元；6750吨；240本；24吨；32人；80%；200千克。
资料链接
数学三大危机
数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！
第一次数学危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学
古希腊哲学家毕达哥拉斯
术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的
的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机
导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。但经过牛顿和莱布尼兹等著名科学家的努力（主要是柯西用极限的方法定义了无穷小量），微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
第三次数学危机
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定
相关书籍
的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
第三次数学危机的解决排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
3
完美图形——圆
教学内容
教材第103～110页，圆
教学提示
构建知识网络
教学目标
知识与能力
使学生熟练掌握圆的周长和面积的计算方法；应用圆的周长和面积的相关解决实际生活问题。
过程与方法
让学生经历系统整理圆的知识的过程，借助结构图采用归纳概括、对比、想象等数学方法解决生活中的实际问题。
情感、态度与价值观
在学校过程中让学生感悟到生活中处处有数学，体会到数学的价值。
重点、难点
重点：对圆的知识进行系统整理，使之条理化，构建知识网络。
难点：应用圆的周长和面积的相关知识解决实际生活中的问题。
教学准备
教师准备：实物投影仪、多媒体课件、作业纸。
学生准备：练习本、笔。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们，前面我们认识了完美图形圆——圆。（画圆）在圆的世界，我们学会了很多有趣的知识，昨天老师已经布置大家进行了整理，请同学们以小组为单位将自己整理的知识进行交流。交流时，一人说，其余同学认真倾听，有不同的意见要及时补充和修改，最后要选出你们认为最优秀的一份到前面展示，参与全部交流，好吗？开始。
生：开始交流，补充修改课前整理的内容。
………
设计意图：依作业为依据，调动学生交流自己整理的结果，取长补短，在内使自己整理的结果得到提升。
（二）探究新知：
（1）小组交流，初步构建知识网络。（教师巡视了解情况）
（2）全班交流，构建知识网络。
师：哪位同学愿意代表你们小组到前面交流一下？（第一个同学交流时，教师、学生都认真倾听。）
师：同学们，他们小组总结的怎么样？谁想评价一下？（学生评价）
师：请大家想一想，我们学习了哪些知识？（学生回忆，教师板书，构建如下知识网络。）
教师根据学生说的内容和关系，随机补充让学生口答。如：一个圆的半径是3厘米，它的直径是多少厘米？周长呢？面积呢？再如：一个圆的周长是12.56厘米，它的直径是多少厘米？用的公式是哪一个？面积呢？公式是什么？（数值选取排10倍以内的，便于口算）。
师：还学习了什么内容？
生：半圆的周长和面积，环形的面积。（教师板书公式）
师：还学习了什么？
生：画圆。
师：画圆（用圆规）必须知道什么？半径决定什么？圆心决定什么？（学生口答）
师：还学习了什么？
生：借助圆环的面积，复习了求不规则图形的面积。
设计意图：引导学生回顾知识，并建立知识之间的联系，形成网络，并口述一下简单可口算的题目，复习圆的有关公式。
（三）巩固新知：
1、按要求画圆。
师：我们画圆，比比谁的手儿巧，画的又快又好，好吗？请拿出1号作业纸。看清要求，开始画圆。
（1）画一个半径是3厘米的圆。
（2）画一个周长是12.56厘米的圆。
师：谁想展示一下你画的圆？（学生展示，并说出画法）
师：这两个要求有什么不同？（学生回答）
师：这两道题的半径一个已知，一个可以求出来，然后你自己点上圆心，确定圆的位置，就可以画出我们需要的圆。下面这道题圆心和半径怎样确定呢？请大家自己读题，试着画一画。请哪出2号作业纸。（教师巡视指导）
（3）在正方形内画一个最大的圆。在正方形外画一个圆，使它的四个顶点都在圆上。
师：谁想说说你是怎样画的？（教师问题确定圆心和半径提问）
师：这两题有什么相同点？又有什么不同点？（学生回答，圆心，半径）
师：同学们真聪明，会思考，手儿巧，真了不起。大家能灵活运用所学知识解决一些实际问题吗？请看。
2、解决实际问题。
师：求半圆的周长关键要记住什么 (学生回答)
师：求它的周长必须分清什么？（学生回答）
师：有如一个门洞，下部分做一扇门，上部分做一个固定的玻璃窗，这个玻璃窗需要多少平方米的玻璃，如果在玻璃窗周长镶上金边，需要多少米长的金色木条？
师：同学们真聪明，能灵活运用所学知识解决实际问题。
设计意图：通过以下简单的题目设计，帮助学生回忆圆有关的小知识点，同时熟练公式的应用。
（四）达标反馈
1.综合练习25，已知半径求圆的面积。答案：19.625平方千米。
2.
综合练习26，求不规则图形的面积，（1）正方形面积－圆的面积，长方形面积－两个圆的面积。答案：21.5平方厘米，43平方厘米。
3.
综合练习27，已知半径求周长。答案：周长18.84厘米，面积28.26平方厘米。
4
.综合练习28，已知半径，求圆的周长。答案：12.56米。
5
.综合练习29，借助半径求出铁丝的长，也就是正方形的周长，已知周长求边长。答案：9.42厘米
6
.综合练习30，已知直径求周长，求面积。答案：188.4厘米，2826平方厘米。
7
.综合练习31，求圆环的面积。答案：37.68平方厘米。
8
.综合练习32，注意：石子路的宽，即圆环的宽，d外=d内＋2×环宽，r外=r外＋环宽。答案：（1）59.66平方米，（2）157盏。
9
.综合练习33，周长30，长和宽的和15，长和宽可能是（14,1）（13，2）（12，3）（11，4）（10，5）（9，6）（8，7）；面积：14，26，36，44，50，54，56。
10
.综合练习34，化圆为方的过程中，长由圆周长的一半变来（πr），宽由半径变来（r）。先由周长的一半（πr）求半径，得：5厘米，面积：78.5平方厘米
设计意图：本部分采用课本练习，除26、32、34。有点难度外，其余题目都适合回顾复习使用。26、32、34存在，又提高学生能力。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
谁能把我们今天的问题再叙述一下？思路是怎样的？你理解了吗？
预设：1、我学会了求不规则图形的面积。
2、我知道了图形的特征（圆，正方形，长方形）对解决问题的重要帮助。
……
设计意图：在语言叙述的过程中，加深学生对百分数意义的理解，更好地对知识进行巩固。
（六）布置作业
第1课时：圆的复习
1、一根长15.7米的绳子正好绕一棵树的树干10圈。这棵树树干横截面的直径大约是多少厘米？
2、在田径比赛中，铅球的投掷圈是一个直径为2.1米的圆，铁饼的投掷圈是一个直径为2.5米的圆。铁饼投掷圈的面积比铅球投掷圈的面积大多少平方米？
3、求下面涂色部分的面积。（单位：厘米）
4、从右边正方形铝板上剪下一个最大的圆。这个圆的周长和面积分别是多少？
5、下面3个正方形的边长都是5厘米，各图中涂色部分的面积相等吗？为什么？
答案：1、50厘米，2、5.7776平方米，3、6.88平方厘米，32.13平方厘米，4、周长125.6厘米，1256平方厘米，5、相等。
板书设计
板书设计:
完美图形——圆
教学反思
通过复习，发现学生虽然知道“化曲为直”和“化圆为方”等数学思想，但操作过程不清楚，体现在圆转化为长方形后，长与宽与圆的联系忘记了。说明学生没有理解。另外正方形的内切圆和外接圆之间的关系弄不清，这说明学生学习的正方形，长方形、圆的特征理解不深刻，会说不会用。
教学资料包
教学精彩片段
说课设计
教学资源：
下面的题目非常有趣，比一比，看谁最会观察、分析问题。
（1）有三个相同的圆，半径都是2厘米，连接3个圆心，求阴影部分面积的和是多少？
（2）中间空白部分的周长是多少？
（3）有四个相同的圆，半径都是2厘米，根据这幅图，你又能提出什么问题。
答案：（1）、每个圆心角是60°，三个小扇形组成一个圆形角是180°的大扇形，即半圆，面积：6.28平方厘米（2）、周长6.28厘米（3）、
可以中间涂色，涂色部分的面积？周长？答案：3.44平方厘米，12.56厘米。
资料链接
圆形在国内外著名景观设计中的应用
【导读】无论是在传统亦或是现代!东方亦或是西方,圆形在各类设计作品中都大量的存在,它的出现常常伴随着神秘的色彩,并被人们赋予了更多丰富的内涵。本文从圆在景观设计的平面表达开始,去研究和探索圆作为图形的表象,所传达出的设计师真实的设计本质,通过对大量作品的分析,总结出圆在景观平面表达中的各种形式,并提出具体的表达原则。
经典圆形景观作品：
美国谷歌总部
这是由SWA设计的美国加州谷歌总部，获得了ASLA百年勋章，成为上个世纪最重要的景观之一。前SGI园区(现在的谷歌公司)和相邻的Charleston公园，打破传功的公共和私人空间的限定，采用了挑战传统的设计方案。该场地始自山景城举办的26英亩棕地竞标——建立R&D园区和一座5英亩的公园。该项目设计创建了一个标志性的身份，并提供了急需的公民空间，而模糊的私人和公共领域之间的区别。
多洛蕾丝公园
多洛蕾丝公园设计方案旨在打造一个以旅游休闲为主的高品质的区域，该方案由Estudio
ZIMarquitextura设计。水作为设计方案的主要元素结合建筑、景观给有个提供一个发呆、享受舒适安逸的公园场所。设计方案选择了圆圈这个元素作为主要的建筑景观元素，圆圈具有很好的运动性、连续性。
水中的圆弧装置
设计师的所有项目都试图将建筑与周围的景观相结合，而在这里，那就是与邻近的海滨创建关联。广阔的水平面，总会吸引人们的眼球，让人不自觉的沿着其平静宽阔的水平面眺望，从而让人拥有一种特别愉快的视觉和心理体验。能给人带来这种感觉，是景观设计的最高境界。一系列的结构组成圆形的开口连接，在海滨风景中，惹人喜欢。自然界中的任何事物都是不断变化的，景观艺术家需要根据变化做出适当的设计，寻找新的元素，增强人类与自然的共存。
圆形公园与广场：
上海宝山路运动公园
日本佐伯和平纪念公园
塞舌尔共和国格拉特广场
西班牙莱加内斯幼儿园
西班牙仙境般的幼儿园
澳大利亚的儿童游乐场
泰国希尔顿中央芭堤雅酒店
悉尼城市屋顶花园
西班牙彩伞中心
基本性质求比值，根据比值的定义。化简比根据比的基本性质（比的基本性质类比分数的、商不变的原理）
分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系
分数乘法（根据整数乘法的意义，结合观察、总结、猜想，最后验证得出法则）
分数除法（结合整数除法的意义，分数的意义，转化成分数乘法
四则运算类比整数的四则运算
简便运算类比整数的简便运算
基本性质求比值，根据比值的定义。化简比根据比的基本性质（比的基本性质类比分数的、商不变的原理）
分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系
分数乘法（根据整数乘法的意义，结合观察、总结、猜想，最后验证得出法则）
分数除法（结合整数除法的意义，分数的意义，转化成分数乘法
四则运算类比整数的四则运算
简便运算类比整数的简便运算
eq
\f(2,5)
少
eq
\f(2,9)
50米
（
）米
360米
（
）米
①、
②、
教材分析
本单元复习的主要内容有，数与代数，包括分数的乘除法、比、分数四则混合运算、百分数。图形与几何，圆。可能性。
本单元总复习共分两部分。第一部分是回顾整理，这一部分又分为两个板块：第一板块是知识点自主回顾，第二板块是数学思想方法提升。第二部分是综合练习。教材精心设计了涵盖全册各个单元知识的练习题，旨在让学生通过系统、综合的练习，全面巩固所学知识，提高灵活运用知识解决问题的能力。
本单元教材编写的主要特点：
1．重视引导学生参与复习整理的过程，提高学生的反思能力。
2．重视数学学习方法的总结提升。。
教学目标
知识与能力
通过对全册内容的回顾与整理，全面复习和巩固本学期所学知识，沟通知识之间的联系，形成良好的认知结构。
过程与方法
经历知识的整理与复习的系统过程，提高归纳、整理知识和综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力。
情感、态度与价值观
通过交流整理与复习的不同思路，学会整理知识的方法，逐步养成回顾与反思的习惯。
重点、难点
重点:
数与代数部分计算和分数乘除法意义的应用及典型模型，图形与几何部分的圆。
难点:
乘除乘除法的意义以及数学思想方法在学习中的应用。
教学建议
1．结合本班实际，制定切实可行的复习计划。
2．重视引导学生总结和提炼数学思想方法。
3．关注复习过程中的评价，发挥评价的激励作用。
课时安排
本单元用3课时完成教学，其中机动3课时。
数与代数
数的运算
1课时
意义的应用及典型数学模型
1课时
图形与几何
圆
1课时
1
数的运算
教学内容
教材第103~105页，数的运算
教学提示
转化思想在计算中的使用。
教学目标
知识与能力
能非常熟练的进行分数的四则运算、求比值、化简比和经行分数、小数、百分数之间的互化，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算；养成检查和验算的习惯。
过程与方法
进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；感受数学思想方法在解决新问题时作用。
情感、态度与价值观
激发学生学习数学的积极性，养成规范、认真的好习惯。
重点、难点
重点：能非常熟练的进行分数的四则运算，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算。
难点：数学思想方法具体实施的手段。
教学准备
教师准备：课件、实物投影仪。
学生准备：练习本。
教学过程
（一）复习回顾：
1.师：怎样计算分数的乘法？
生：分数的分子乘分子的积作分数，分母乘分母的积作分母，先约分，在计算。
师：我们是怎样得到这个法则的。
生：回忆
师生共同回忆：先回想分数乘整数，借助整数乘法的意义及分数的意义，归纳，分子乘整数作积的分子，分母不变。类推分数乘分数的计算方法，整数可以看做分母是1的分数，分数乘整数变成了分数乘分数，分子乘分子的积作分数，分母乘分母的积作分母，先约分，在计算，通过画图验证法则的正确性。
2、师：怎样计算分数的除法？
生：除以一个数等于乘这个数的倒数。
师：我们是怎样得到这个法则的。
生：回忆
师生共同回忆：先回想分数除以整数，借助整数除法的意义及分数的意义，归纳分数除以整数等于乘这个整数的倒数。借助分数的意义及类推分数除以整数的法则，观察、总结、猜想分数除法的法则——除以一个数等于乘这个数的倒数。通过画图验证法则的正确性。
3、分数的混合运算和简便运算，根据算式的实际意义，类比整数的混合运算和简便运算，得出结论，整数的运算顺序和运算律在分数中同样适用。
4、求比值和化简比，各根据比值的定义和比的基本性质。
5、分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系。
设计意图：学生回顾计算方法，教师帮助学生计算方法的得出过程，及过程中用到的数学思想方法。
（二）梳理总结：
设计意图：引导学生寻找计算之间的内在联系。
（三）巩固新知：
1、综合练习1，练习分数的乘除的简单运算。（要求熟练）
答案：，72，，，，，，，，。
2、综合练习2，脱式计算。（要求熟练）
答案：，300，，4，，5。
3、综合练习4，简便运算（主要是乘法分配律）
答案：1，，，10，，。
4、综合练习5，解方程（复习解方程方法的同时练习分数的乘除）
答案：，，，。
5、除法、分数、比之间的练习。
答案：6÷5，2÷3，，，1:2，6:5。
设计意图：综合练习的题目比较简单，要求学生要熟练掌握；这一部分练习对求比值没有涉及，化简比也仅仅体现了一个整数比化成最简整数比，百分数和分数小数之间的互化也没有涉及。
（四）达标反馈
1、不计算，你能比较大小吗？
×○
×○3
4a×1○a
12÷○12
16÷○16
＋○1
2、直接写得数。
×3=
×15=
2－=
1＋5%=
÷=
5÷=
×75%=
×4×=
＋×=
3、脱式计算。
××
÷×
×＋
÷【（＋）×】
4、简便运算。
（＋）×36
×＋÷
＋（－）×
27－－
5、解方程、
＋X=
X÷=
X＋=
X＋X=75
6、先化简比，在求比值。
51：34
：
3.1:0.15
0.625：
7、把下列分数化成百分数。
答案：1、＞，＜，≥，＞，＜，＞。2、，9，1，105%，，，1，4，。3、2，，，。4、17，，，26。5、，，，60。6、3:2，，7:10，，62:3，，1:2，。7、75%，12.5%，37.5%，62.5%，87.55，20%，40%，60%，80%。
设计意图：检验前面学习的效果，确定哪些同学还有下大力气进行计算的练习。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
同桌互相说说自己的收获。
设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将
所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。
（六）布置作业
第1课时：数的运算
1、不计算，你能比较大小吗？
×○
×○
÷○
÷○
a×b○a(a＞0，0＜b＜1)
2、直接写得数。
÷4=
×=
1.4－=
2.4×=
100÷20%=
0.25＋=
1.3÷100%=
××72%=
3、脱式计算。
[1－（＋
）]÷
＋（
＋
）×28%
(15－15×)×
4、简便运算。
1.75×＋＋×25%
12×（
＋－）
7－2－3
5、解方程、
X＋30%
X
=220×10%
X＋50×50%=40
11X－=
6、先化简比，在求比值。
26：65
：
2.3:0.25
0.75：
答案：1、＜，＞，＞，＜，＜。2、，，，2，500，1，1.3，。3、，，。4、1，1，1。5、，25，。6、2:5，，5:6，，46:5，，2:1，2。
板书设计
计算
教学反思
计算时学生应该掌握的基本能力，但有相当一部分学生，没有认真训练，导致计算能力十分低下，因此要引起教师的重视。
教学资料包
教学资源
一、乘法分配律。(a＋b)×c=a×c＋b×c
7×（－）
8×（＋）
(
＋)×15
二、乘法分配律的逆运算。A×c＋B×c=（A＋B）×c
×＋÷3
×＋×
÷＋×
答案：一、2，8，13，二、，，。
资料链接
卡尔·弗里德里希·高斯
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann
Carl
Friedrich
Gauss
，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
家庭背景
高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。
当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
父亲格尔恰尔德 迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。高斯很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
在成长过程中，幼年的高斯主要得力于他的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。
若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
罗捷雅真的希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约问道：高斯将来会有出息吗？波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
初显天分
高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。
一天，老师布置了一道题，1+2+3 这样从1一直加到100等于多少。
高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101 1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。
布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
得到资助
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。他的教师们和慈母把他推荐给伯伦瑞克公爵，希望公爵能资助这位聪明的孩子上学。
布伦兹维克公爵卡尔 威廉 斐迪南召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
高斯的花体亲笔签名。
1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。
1796年高斯19岁，发现了正十七边形的尺规作图法，[1]
解决了自欧几里德以来悬而未决的一个难题。[1]
同年，发表并证明了二次互反律。这是他的得意杰作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”[2]
。
1799年，高斯完成了博士论文，获黑尔姆施泰特大学的博士学位，回到家乡布伦兹维克，虽然他的博士论文顺利通过了，被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。
公爵继续慷慨资助高斯的研究，使得他能在1803年谢绝圣彼得堡提供的教授职位，他一直是圣彼得堡科学院通讯院士。
公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词："献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
历经变故
1806年，卡尔 威廉 斐迪南公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸在耶拿战役阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷。
但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字："对我来说，死去也比这样的生活更好受些。"慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年莱昂哈德 欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von
Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。
从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
投身研究
1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。
高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。
其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、
洛巴切夫斯基，波尔约。其中波尔约的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小波尔约还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老波尔约把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。
早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。
他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。
他的父亲死于1808年4月14日，1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica
Wilhelmine
（1788-1831）。他们又有三个孩子：Eugen
（1811-1896）,Wilhelm
（1813-1883）
和
Therese
（1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日，他的母亲在哥廷根逝世，享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在哥廷根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记发现于1898年。[3]
个人信仰
高斯的信仰是基于寻求真理的。他相信“精神个性上的不朽，像是个人在死后的持久性，还有最后命令的东西，以及永恒的、正义的、无所不知和无所不能的上帝。”高斯也坚持宗教的宽容，他相信打扰其他正处在他们自己和平信念中的人是不对的。[4]
他说：”微小的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。“
高斯具有浓厚的宗教感情、贵族的举止和保守的倾向。他一直远离他那个时代的进步政治潮流。在高斯身上表现出的矛盾是与他实际上的和谐结合在一起的。高斯身为才气横溢的算术家，对於数具有非凡的记忆力。他既是一个深刻的理论家，又是一个杰出的数学实践家。教学是他最讨厌的事，因此他只有少数几个学生。但他的那些影响数学发展进程的论著(大约155篇)却使他呕心沥血。有3个原则指导他的工作︰他最喜欢说的「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下进一步要做的事」；和他的极度严格的要求。
从他死后出版的著作中可以看出，他有许多重要和内容广泛的论文从未发表，因为按他的意见，它们都不符合这些原则。高斯所追求的数学研究题目都是那些他能在其中预见到具有某种有意义联系的概念和结果，它们由於优美和普遍而值得称道。
伟人之死
1849年举办了高斯获博士学位50周年庆祝会，为此高斯准备了他早期对代数基本定理证明的一个新版本。由於健康状况愈来愈差，这成了他最后的著作。给他带来最大欢乐和荣誉的还是哥廷根市赠与他的荣誉公民头衔。由於他在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成就，他被选为许多科学院和学术团体的成员。他谢绝了许多大学请他当教授的邀请而一直留在哥廷根大学的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就铸造了纪念他的钱币。
个人成就
数学成就
欧几里德已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。
这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法)作出了贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。1831年(发表於1832年)他给出了一个如何藉助於x,y平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。
高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与该直线平行的线。
不久就有人推测︰这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的几何学的人之一。他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表(参阅非欧几里得几何条)。
当1830年前后匈牙利的波尔约(Janos
Bolyai)和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非欧几何学时，高斯宣称他大约在30年前就得到同样的结论。高斯也没有发表特殊复函数方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。
1830年前后，极值(极大和极小)原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体粒子和与它接触的固体或流体粒子之间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从1830年起高斯就与物理学家威廉 爱德华 韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为他们的资金有限，所以试验都是小规模的。
天文发现
1801天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。
1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（Ceres）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。
我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。
高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。
果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是“最小平方法”。在天文学中这一成就立即得到公认。
他在《天体运动理论》(1809)中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星「智神星」方面也获得类似的成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。
这时他的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了。
1807年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世。1809年，在结婚4年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第二次婚姻(1810～1831)带给他两个儿子和一个女儿。
在1812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。
地理测量
1820年前后，高斯把注意力转向大地测量——用数学方法测定地球表面的形状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。
为了增加测量的精确度，他发明了回光仪(一种利用日光以保证比较精确测量的仪器)。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线(一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础)来表示。
他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透过测量曲面上曲线的长度就能确定。
这种「内蕴曲面论」启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几何学。这是黎曼1854年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大约60年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广义相对论的数学基础。
与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在1840年发表的实分析论文。这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他本人高标准要求的一个。只有到20世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。
1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯（Withelm
Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。
研究领域
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。
高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。
人物著作
著作
出版时间
著作介绍
《算术研究》
1801年
介绍了同余、二次互逆定理
《天体运动理论》
1809年
天体运动的著作
《曲面的一般研究》
1827年
阐述了空间曲面的微积分几何学
关于代数基本定理的博士论文
1799年
证明了每个复系数方程必有复数解
《高等大地测量学理论》上
1843/44年
地理测量
《高等大地测量学理论》下
1846/47年
地理测量
《地磁的一般理论》
1839年
《地磁概念》
1840年
《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》
1840年
人物评价
高斯不仅对纯粹数学作出了意义深远的贡献，而且对20世纪的天文学、大地测量学和电磁学的实际应用也作出了重要的贡献。
高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。
如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
高斯是"人类的骄傲"。天才、早熟、高产、创造力不衰……人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分。
爱因斯坦曾评论说：“高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越一切，无与伦比的。”
贝尔曾经这样评论高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。
人物名言编辑
浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。——高斯
数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。——高斯
后世纪念
从1989年直到2001年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国10马克的钞票中。
另一方面，在汉诺威有和他有关的鸡血石以及三角测量方法。在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票。第一种邮票(第725号)发行于1955年 他死后的第100周年；另外两种邮票(第1246号.第1811号)发行于1977年，他出生的第200周年。
在高斯的荣耀中，以他命名的事物包括：
1.用在磁场的CGS制计量单位以高斯来命名。
2.月球上的坑洞以他来命名。
3.小行星1001又称为「高斯星」。
4.1901年德国建造了一艘名为“高斯”的船，并进行了被称为“高斯号远征的”南极探险活动。[5]
2007年的时候，高斯的半身像被引进瓦尔哈拉神殿。
2
意义的应用及典型数学模型
教学内容
教材第103~110页，意义的应用及典型数学模型
教学提示
题目要求，和题目特点决定应用的知识。
教学目标
知识与能力
进一步分数乘除法的意义、比、百分数的意义、以及在整数和小数中存在的模型，在分数中同样适用。
过程与方法
进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；掌握所学的常见数量关系和解决问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中一些简单的实际问题，增强学生的应用意识，提高学生进行数学思考的能力。
情感、态度与价值观
激发学生学习数学的积极性，养成定期归纳总结的习惯。
重点、难点
重点：意义和模型的灵活应用。
难点：意义的灵活运用。
教学准备
教师准备：实物投影仪。
学生准备：练习本。
教学过程
（一）复习回顾：
1、师：我们已经学习了分数、百分数的意义，分数乘除法的意义，比的意义。谁能来说一说。（生回忆，不全的师补全）
生：分数，可以表示一个数量，也可以表示一个数是另一个数的几分之几
生：百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，也就是分数、百分数都可以表示两者之间的关系，用除法进行计算。
生：分数乘法，表示一个数的几分之几是多少
分数除法，可以看做1、表示一个数是另一个数的几分之几（或几倍）2、表示一个数里有多少个另一个数。
生：比：是描述两者之间一种相除的关系，比值则是分数除法的第一个意义。
2、师：我们学过哪些数学模型。
生：分数意义得到的，一个数是另一个数的几分之几。一个数我们用甲数，另一个数用乙数，几分之几用来表示，那么模型变成：甲数是乙数的。
生：一个数比另一个数的几分之几多（或少）多少，模型化：甲数比乙数的多（少）丙数。
生：一个数比另一个数多（少）几分之几，即甲数比乙数多（少）
生：按比分配，转化成甲数是乙数的几分之几
生：三个模型根据已知和待求的量不同，可以变换成3种类型的题目。
师：同学们总结的太好了。
师：我稍稍补充一下，甲数比乙数多（少）丙数。下面我们一起看看它们之间的联系。
设计意图：通过回忆，确定学过的一些模型，时间足的话，可以说说怎么来的。
（二）梳理总结：
设计意图：通过构建知识网络，让学生明确知识间的内在联系。
（三）巩固新知：
1.一个班有45人，期中考试数学有42人及格，这个班的及格率是多少？
2.蒋集镇中心小学信息兴趣小组有32人，其中男生占，男生有多少人？
3.大胡村蔬菜大棚去年出产蔬菜800吨，是今年出产蔬菜的，今年出产蔬菜多少吨？
4.六年级三班有男生25人，女生人数比男生的还多3人，女生有多少人？
5.蒋集镇中心小学舞蹈队有23名成员，比合唱队的少2人，合唱队有多少名同学？
6.天天鲜蔬菜店，今天运来西红柿200千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点运来白菜多少千克
7.
天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点运来白菜多少千克
8.
天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280千克，西红柿200千克，天天鲜蔬菜点运来的白菜比西红柿多几分之几？
9.明德小学今年购进科技书和故事书共2000册，科技书与故事书的比是3:7，明德小学今年购进故事书多少册？
10.宁阳县举行学科素养大赛，决定按1:3:5的比例设置一、二、三等奖，其中，活动二等奖的有30人，那么，获一等奖的有多少人？
答案：93.3%，24人，850吨，23人，20人，280千克，200千克，，1400册，10人。
设计意图：对上面理论内容，进行实践。
（四）达标反馈
1.学期末，体育老师对六年级五班的学生进行体育考查，全部有40人，其中过关的有36人，过关率是多少？
2.宁庄王大爷家今年共种植黄姜5小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家共种植黄姜多少小亩？
3.
宁庄肖大爷家今年共种植黄姜3.5小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家共种植黄姜多少小亩？
4.水果店运来苹果200千克，运来的香蕉比苹果的还少20千克，运来香蕉多少千克？
5.
水果店运来香蕉130千克，运来的香蕉比苹果的还少20千克，运来香蕉多少千克？
6.今天农贸市场上，香菜每千克6元，山药的价格比香菜的多0.5元，山药每千克多少元？
7.
今天农贸市场上，黄瓜每千克4元，比藕价格的少1元，藕每千克多少元？
8.猪肉每千克24元，羊肉每千克68元，猪肉比羊肉便宜几分之几？
9.刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，共180只，白兔和黑兔的比是5:1，刘叔叔家饲养的黑兔有多少只？
10.
刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，白兔和黑兔的比是5:2，其中白兔有150只，刘叔叔家饲养的黑兔有多少只？
答案：90%，3.5小亩，5小亩，130千克，200千克，4.5元，6元，，30只，60只。
设计意图：检验理论的应用效果效果。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将
所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。
（六）布置作业
第2课时：意义的应用及典型数学模型
1、工程队原计划一周修路20千米，实际修了24千米。实际修的是原计划的百分之几？
2、一根绳子用去，正好用去6米。绳子全长有多少米？
3、小红读一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了45页，还剩下15页没有读。这本故事书一共有多少页？
4、育才小学有一个直径是6米的圆形花坛，为美化校园，把这个花坛进行了扩建，扩建后花坛的直径与原来直径的比是4:3。扩建后花坛的面积是多少平方米？
5、学校举办美术作品展览。绘画作品有80件，比书法作品少。书法作品有多少件？
6、一辆汽车从甲地去乙地，已行了全程的，这时距中点还有15千米。全程有多少千米？
7.
一张课桌比一把椅子贵20元，如果椅子的单价是课桌的，课桌和椅子的单价各是多少？
8.
学校计划投资7200元举办才艺展示活动，实际的费用比计划节约了。实际的费用是多少元？
9.
学校举行朗诵比赛，获三等奖的有120人，获二等奖的人数是获三等奖的，获一等奖的人数是获二等奖的。获一等奖的有多少人？
10.
“六·五”班共有学生48人，其中男生占。班级里组织学生成立科技小组，共有22人报名参加。问这个班参加科技小组的男生最多可能有多少人？
答案：1、120%，30米，100页，50.24平方米，112幅，150千米，桌子80元，椅子60元，2700元，40人，22人。
板书设计
意义的应用及典型数学模型
教学反思
题目分类后，看着很简单，学生在对比练习时做的还好，也就是当有意识的去区分，还能区分清楚，一旦打乱顺序，做起来就不理想了。因此，要学生重点理解公式归纳总结的过程。才能有利于掌握。
教学资料包
教学资源
1、列综合算式或方程计算。
2.中心小学有110人参加书写大赛，其中获一、二等奖的人数分别占和。获一、二等奖的一共多少人？
3.一个篮球的价钱是120元，一个排球的价钱是一个篮球价钱的，一个排球的价钱是一个足球价钱的，一个足球多少钱？
4.某工厂四月份下半月用水5400吨，比上半月节约20%，上半月用水多少吨？
5.学校购进一批图书，按3:5的比例分给四、五年级，五年级分得150本。这批图书共有多少本？
6.某厂九月份用水28吨，十月份比九月份节约。十月份比九月份节约多少吨？
7.舞蹈队有男生28人，是女生人数的，舞蹈队有女生多少人？
8.生产一批零件，已经生产了1200个。如果再生产300个就完成任务了，已经生产了百分之几？
9.水果店运来梨、苹果和橘子共600千克，其中梨运来240千克，运来的苹果和橘子的重量比是5:4，水果店运来苹果多少千克？
答案：20，280；40人；84元；6750吨；240本；24吨；32人；80%；200千克。
资料链接
数学三大危机
数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！
第一次数学危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学
古希腊哲学家毕达哥拉斯
术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的
的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机
导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。但经过牛顿和莱布尼兹等著名科学家的努力（主要是柯西用极限的方法定义了无穷小量），微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
第三次数学危机
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定
相关书籍
的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
第三次数学危机的解决排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
3
完美图形——圆
教学内容
教材第103～110页，圆
教学提示
构建知识网络
教学目标
知识与能力
使学生熟练掌握圆的周长和面积的计算方法；应用圆的周长和面积的相关解决实际生活问题。
过程与方法
让学生经历系统整理圆的知识的过程，借助结构图采用归纳概括、对比、想象等数学方法解决生活中的实际问题。
情感、态度与价值观
在学校过程中让学生感悟到生活中处处有数学，体会到数学的价值。
重点、难点
重点：对圆的知识进行系统整理，使之条理化，构建知识网络。
难点：应用圆的周长和面积的相关知识解决实际生活中的问题。
教学准备
教师准备：实物投影仪、多媒体课件、作业纸。
学生准备：练习本、笔。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们，前面我们认识了完美图形圆——圆。（画圆）在圆的世界，我们学会了很多有趣的知识，昨天老师已经布置大家进行了整理，请同学们以小组为单位将自己整理的知识进行交流。交流时，一人说，其余同学认真倾听，有不同的意见要及时补充和修改，最后要选出你们认为最优秀的一份到前面展示，参与全部交流，好吗？开始。
生：开始交流，补充修改课前整理的内容。
………
设计意图：依作业为依据，调动学生交流自己整理的结果，取长补短，在内使自己整理的结果得到提升。
（二）探究新知：
（1）小组交流，初步构建知识网络。（教师巡视了解情况）
（2）全班交流，构建知识网络。
师：哪位同学愿意代表你们小组到前面交流一下？（第一个同学交流时，教师、学生都认真倾听。）
师：同学们，他们小组总结的怎么样？谁想评价一下？（学生评价）
师：请大家想一想，我们学习了哪些知识？（学生回忆，教师板书，构建如下知识网络。）
教师根据学生说的内容和关系，随机补充让学生口答。如：一个圆的半径是3厘米，它的直径是多少厘米？周长呢？面积呢？再如：一个圆的周长是12.56厘米，它的直径是多少厘米？用的公式是哪一个？面积呢？公式是什么？（数值选取排10倍以内的，便于口算）。
师：还学习了什么内容？
生：半圆的周长和面积，环形的面积。（教师板书公式）
师：还学习了什么？
生：画圆。
师：画圆（用圆规）必须知道什么？半径决定什么？圆心决定什么？（学生口答）
师：还学习了什么？
生：借助圆环的面积，复习了求不规则图形的面积。
设计意图：引导学生回顾知识，并建立知识之间的联系，形成网络，并口述一下简单可口算的题目，复习圆的有关公式。
（三）巩固新知：
1、按要求画圆。
师：我们画圆，比比谁的手儿巧，画的又快又好，好吗？请拿出1号作业纸。看清要求，开始画圆。
（1）画一个半径是3厘米的圆。
（2）画一个周长是12.56厘米的圆。
师：谁想展示一下你画的圆？（学生展示，并说出画法）
师：这两个要求有什么不同？（学生回答）
师：这两道题的半径一个已知，一个可以求出来，然后你自己点上圆心，确定圆的位置，就可以画出我们需要的圆。下面这道题圆心和半径怎样确定呢？请大家自己读题，试着画一画。请哪出2号作业纸。（教师巡视指导）
（3）在正方形内画一个最大的圆。在正方形外画一个圆，使它的四个顶点都在圆上。
师：谁想说说你是怎样画的？（教师问题确定圆心和半径提问）
师：这两题有什么相同点？又有什么不同点？（学生回答，圆心，半径）
师：同学们真聪明，会思考，手儿巧，真了不起。大家能灵活运用所学知识解决一些实际问题吗？请看。
2、解决实际问题。
师：求半圆的周长关键要记住什么 (学生回答)
师：求它的周长必须分清什么？（学生回答）
师：有如一个门洞，下部分做一扇门，上部分做一个固定的玻璃窗，这个玻璃窗需要多少平方米的玻璃，如果在玻璃窗周长镶上金边，需要多少米长的金色木条？
师：同学们真聪明，能灵活运用所学知识解决实际问题。
设计意图：通过以下简单的题目设计，帮助学生回忆圆有关的小知识点，同时熟练公式的应用。
（四）达标反馈
1.综合练习25，已知半径求圆的面积。答案：19.625平方千米。
2.
综合练习26，求不规则图形的面积，（1）正方形面积－圆的面积，长方形面积－两个圆的面积。答案：21.5平方厘米，43平方厘米。
3.
综合练习27，已知半径求周长。答案：周长18.84厘米，面积28.26平方厘米。
4
.综合练习28，已知半径，求圆的周长。答案：12.56米。
5
.综合练习29，借助半径求出铁丝的长，也就是正方形的周长，已知周长求边长。答案：9.42厘米
6
.综合练习30，已知直径求周长，求面积。答案：188.4厘米，2826平方厘米。
7
.综合练习31，求圆环的面积。答案：37.68平方厘米。
8
.综合练习32，注意：石子路的宽，即圆环的宽，d外=d内＋2×环宽，r外=r外＋环宽。答案：（1）59.66平方米，（2）157盏。
9
.综合练习33，周长30，长和宽的和15，长和宽可能是（14,1）（13，2）（12，3）（11，4）（10，5）（9，6）（8，7）；面积：14，26，36，44，50，54，56。
10
.综合练习34，化圆为方的过程中，长由圆周长的一半变来（πr），宽由半径变来（r）。先由周长的一半（πr）求半径，得：5厘米，面积：78.5平方厘米
设计意图：本部分采用课本练习，除26、32、34。有点难度外，其余题目都适合回顾复习使用。26、32、34存在，又提高学生能力。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
谁能把我们今天的问题再叙述一下？思路是怎样的？你理解了吗？
预设：1、我学会了求不规则图形的面积。
2、我知道了图形的特征（圆，正方形，长方形）对解决问题的重要帮助。
……
设计意图：在语言叙述的过程中，加深学生对百分数意义的理解，更好地对知识进行巩固。
（六）布置作业
第1课时：圆的复习
1、一根长15.7米的绳子正好绕一棵树的树干10圈。这棵树树干横截面的直径大约是多少厘米？
2、在田径比赛中，铅球的投掷圈是一个直径为2.1米的圆，铁饼的投掷圈是一个直径为2.5米的圆。铁饼投掷圈的面积比铅球投掷圈的面积大多少平方米？
3、求下面涂色部分的面积。（单位：厘米）
4、从右边正方形铝板上剪下一个最大的圆。这个圆的周长和面积分别是多少？
5、下面3个正方形的边长都是5厘米，各图中涂色部分的面积相等吗？为什么？
答案：1、50厘米，2、5.7776平方米，3、6.88平方厘米，32.13平方厘米，4、周长125.6厘米，1256平方厘米，5、相等。
板书设计
板书设计:
完美图形——圆
教学反思
通过复习，发现学生虽然知道“化曲为直”和“化圆为方”等数学思想，但操作过程不清楚，体现在圆转化为长方形后，长与宽与圆的联系忘记了。说明学生没有理解。另外正方形的内切圆和外接圆之间的关系弄不清，这说明学生学习的正方形，长方形、圆的特征理解不深刻，会说不会用。
教学资料包
教学精彩片段
说课设计
教学资源：
下面的题目非常有趣，比一比，看谁最会观察、分析问题。
（1）有三个相同的圆，半径都是2厘米，连接3个圆心，求阴影部分面积的和是多少？
（2）中间空白部分的周长是多少？
（3）有四个相同的圆，半径都是2厘米，根据这幅图，你又能提出什么问题。
答案：（1）、每个圆心角是60°，三个小扇形组成一个圆形角是180°的大扇形，即半圆，面积：6.28平方厘米（2）、周长6.28厘米（3）、
可以中间涂色，涂色部分的面积？周长？答案：3.44平方厘米，12.56厘米。
资料链接
圆形在国内外著名景观设计中的应用
【导读】无论是在传统亦或是现代!东方亦或是西方,圆形在各类设计作品中都大量的存在,它的出现常常伴随着神秘的色彩,并被人们赋予了更多丰富的内涵。本文从圆在景观设计的平面表达开始,去研究和探索圆作为图形的表象,所传达出的设计师真实的设计本质,通过对大量作品的分析,总结出圆在景观平面表达中的各种形式,并提出具体的表达原则。
经典圆形景观作品：
美国谷歌总部
这是由SWA设计的美国加州谷歌总部，获得了ASLA百年勋章，成为上个世纪最重要的景观之一。前SGI园区(现在的谷歌公司)和相邻的Charleston公园，打破传功的公共和私人空间的限定，采用了挑战传统的设计方案。该场地始自山景城举办的26英亩棕地竞标——建立R&D园区和一座5英亩的公园。该项目设计创建了一个标志性的身份，并提供了急需的公民空间，而模糊的私人和公共领域之间的区别。
多洛蕾丝公园
多洛蕾丝公园设计方案旨在打造一个以旅游休闲为主的高品质的区域，该方案由Estudio
ZIMarquitextura设计。水作为设计方案的主要元素结合建筑、景观给有个提供一个发呆、享受舒适安逸的公园场所。设计方案选择了圆圈这个元素作为主要的建筑景观元素，圆圈具有很好的运动性、连续性。
水中的圆弧装置
设计师的所有项目都试图将建筑与周围的景观相结合，而在这里，那就是与邻近的海滨创建关联。广阔的水平面，总会吸引人们的眼球，让人不自觉的沿着其平静宽阔的水平面眺望，从而让人拥有一种特别愉快的视觉和心理体验。能给人带来这种感觉，是景观设计的最高境界。一系列的结构组成圆形的开口连接，在海滨风景中，惹人喜欢。自然界中的任何事物都是不断变化的，景观艺术家需要根据变化做出适当的设计，寻找新的元素，增强人类与自然的共存。
圆形公园与广场：
上海宝山路运动公园
日本佐伯和平纪念公园
塞舌尔共和国格拉特广场
西班牙莱加内斯幼儿园
西班牙仙境般的幼儿园
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泰国希尔顿中央芭堤雅酒店
悉尼城市屋顶花园
西班牙彩伞中心
基本性质求比值，根据比值的定义。化简比根据比的基本性质（比的基本性质类比分数的、商不变的原理）
分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系
分数乘法（根据整数乘法的意义，结合观察、总结、猜想，最后验证得出法则）
分数除法（结合整数除法的意义，分数的意义，转化成分数乘法
四则运算类比整数的四则运算
简便运算类比整数的简便运算
基本性质求比值，根据比值的定义。化简比根据比的基本性质（比的基本性质类比分数的、商不变的原理）
分数、小数、百分数的互化：结合分数与除法的关系和分数与百分数之间的关系
分数乘法（根据整数乘法的意义，结合观察、总结、猜想，最后验证得出法则）
分数除法（结合整数除法的意义，分数的意义，转化成分数乘法
四则运算类比整数的四则运算
简便运算类比整数的简便运算
eq
\f(2,5)
少
eq
\f(2,9)
50米
（
）米
360米
（
）米
①、
②、