1.4 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是 数。21教育网
2.最简二次根式：
①定义：若二次根式满足“被开方数的因数是 ，因式是 ；被开方数中不含能开得尽方的 或 ；分母中不含 ”，这样的二次根式叫做最简二次根式。
②化简方法：分母 化。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。21·世纪*教育网
二、二次根式的性质
（1）非负性： (a≥0）
（2）双重非负性： ≥ (a≥0）
（3）= =
（4）积的算术平方根的性质：= (a≥0，b≥0)
（5）商的算术平方根的性质： = (a≥0，b＞0)
（6）若a>b≥0，则 > ≥ 0.
三、二次根式运算
1．二次根式的乘除：
二次根式的乘法法则： = (a≥0，b≥0)
二次根式的除法法则：= (a≥0，b＞0)
2．二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算：
运算顺序：先 ，再 ，最后 ，有括号的先算 的（或先去括号）。
运算结果：①结果的形式为 或 ；②分母中不含 。
考点一：二次根式定义及其有意义的条件
（2017春?潮南区期末）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义进行判断．
【解答】解：A、被开方数x2+1≥1，符合二次根式的定义，故本选项正确；
B、当x＜0时，它没有意义，故本选项错误；
C、它属于三次根式，故本选项错误；
D、当x2﹣1＜0时，它没有意义，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，一般地我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
变式跟进1（2016春?封开县期中）下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2017?深圳模拟）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，解得，x≤2，故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
变式跟进2（2017春?韶关期末）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
考点二：最简二次根式、同类二次根式
（2016春?封开县期中）根式与是可以合并的最简二次根式，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
【解答】解：∵根式与是可以合并的最简二次根式，
∴，解得，
∴a+b=4．
故选C．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
变式跟进3（2016春?广州校级期中）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
考点三：二次根式的混合运算
（2017春?韶关期末）÷﹣×2．
【分析】先算除法和乘法，进一步化简合并即可．
【解答】解：原式=2﹣6=﹣4．
【点评】此题二次根式的混合运算，注意先化简再求值．
变式跟进4（2017?深圳一模）计算：（0.5）﹣2﹣+（﹣6）0﹣
考点四：二次根式的化简与求值
（2017?广州）下列运算正确的是（ ）
A．= B．2×= C．=a D．|a|=a（a≥0）
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、2×=，故此选项错误；
C、=|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
变式跟进5（2016?广州）下列计算正确的是（ ）
A． B．xy2÷
C．2 D．（xy3）2=x2y6
（2017春?越秀区校级期中）若a＜2，化简=（ ）
A．a﹣5 B．5﹣a C．1﹣a D．﹣1﹣a
【分析】根据a＜2，得出=2﹣a，代入求出即可．
【解答】解：∵a＜2，
∴
=2﹣a﹣3
=﹣1﹣a．
故选：D
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是求出=2﹣a，注意：a≥0时，=a，a≤0时，=﹣a．21世纪教育网版权所有
变式跟进6（2017春?潮阳区期中）若1＜x＜2，则|x﹣3|+的值为（ ）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
一、选择题
1．（2016?广州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
2．（2015?广州）下列计算正确的是（ ）
A．ab?ab=2ab B．（2a）3=2a3
C．3﹣=3（a≥0） D．?=（a≥0，b≥0）
3．（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
4．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016?巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2017?南京）计算：+×= ．
7．（2017?南京）计算：|﹣3|= ；= ．
8．（2015?曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）．
9．（2015?黔西南州）已知x=，则x2+x+1= ．
10．（2016?厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是 或 ，r是 或 ．21cnjy.com
11．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= = ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
三．解答题
12．（2008?广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
13．（2016?呼伦贝尔）计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．
14．（2016?盐城）计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
15．（2016?锦州）先化简再求值：，x=﹣3﹣（π﹣3）0．
16．（2016?襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
17．（2015?山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．21·cn·jy·com
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
一．选择题
1．（2017秋?深圳期末）如果y=+3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
2．（2016秋?高台县校级月考）下列各式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016秋?深圳期末）下列运算中，错误的是（ ）
A．=+ B．=×
C．= D．（）3=2
4．（2017?深圳模拟）下列说法或计算正确的是（ ）
A．与不是同类二次根式
B．在将分式方程化为整式方程时，可将方程两边同时乘以x（x﹣1）
C．函数中，自变量x的取值范围是x≥5
D．已知∠A=50°，则∠A的补角是40°
5．（2016秋?深圳期末）设M=，其中a=3，b=2，则M的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
二．填空题（共5小题）
6．（2016秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= ；÷= ；±= ．
7．（2016春?广水市期末）若是正整数，则最小的整数n是 ．
8．（2017春?东莞市期末）若式子有意义，则a的取值范围为 ．
9．（2017秋?深圳校级期中）若，则﹣6x﹣5y的值是 ．
10．（2016春?广州校级期中）已知﹣=，那么+的值是 ．
三．解答题
11．（2016秋?深圳期末）计算题
（1）（+）（﹣）+
（2）+（+）×﹣10．
12．（2016春?深圳期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2+．
13．（2017春?岳池县月考）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．www.21-cn-jy.com
14．（2016秋?龙岗区校级期中）阅读下列解题过程：
===﹣=﹣2
===﹣
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．= ﹣ ．
（2）利用上面提供的信息请化简：
+++…+ 的值．
15．（2017春?潮南区期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．2·1·c·n·j·y
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤ ；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
16．（2017春?越秀区校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求【来源：21·世纪·教育·网】
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
1.4 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是 非负 数。
2.最简二次根式：
①定义：若二次根式满足“被开方数的因数是 整数 ，因式是 整式；被开方数中不含能开得尽方的 因数 或 因式 ；分母中不含 根号 ”，这样的二次根式叫做最简二次根式。
②化简方法：分母 有理 化。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方 数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
二、二次根式的性质
（1）非负性： 0 (a≥0）
（2）双重非负性： a ≥ 0 (a≥0）
（3）= |a| =
（4）积的算术平方根的性质：= (a≥0，b≥0)
（5）商的算术平方根的性质： = (a≥0，b＞0)
（6）若a>b≥0，则 > ≥ 0.
三、二次根式运算
1．二次根式的乘除：
二次根式的乘法法则： = (a≥0，b≥0)
二次根式的除法法则：= (a≥0，b＞0)
2．二次根式的加减运算：先化简，再运算，
3.二次根式的混合运算：
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
运算结果：①结果的形式为 最简二次根式 或 有理式 ；②分母中不含 根号 。
考点一：二次根式定义及其有意义的条件
（2017春?潮南区期末）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义进行判断．
【解答】解：A、被开方数x2+1≥1，符合二次根式的定义，故本选项正确；
B、当x＜0时，它没有意义，故本选项错误；
C、它属于三次根式，故本选项错误；
D、当x2﹣1＜0时，它没有意义，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，一般地我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
变式跟进1（2016春?封开县期中）下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】确定根指数为2，被开方数为非负数的根式即可．
【解答】解：二次根式有；；三个．故选B．
【点评】考查了二次根式的定义，用到的知识点为：式子（a≥0）叫做二次根式；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数
（2017?深圳模拟）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，解得，x≤2，故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
变式跟进2（2017春?韶关期末）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解∵二次根式有意义，∴x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
考点二：最简二次根式、同类二次根式
（2016春?封开县期中）根式与是可以合并的最简二次根式，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
【解答】解：∵根式与是可以合并的最简二次根式，
∴，解得，
∴a+b=4．
故选C．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
变式跟进3（2016春?广州校级期中）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【解答】解：A、=2，=4，故能与合并，本选项错误；
B、=2，==，故能与合并，本选项错误；
C、=2，﹣=﹣5，故﹣能与合并，本选项错误；
D、=2，=3，故不能与合并，本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
考点三：二次根式的混合运算
（2017春?韶关期末）÷﹣×2．
【分析】先算除法和乘法，进一步化简合并即可．
【解答】解：原式=2﹣6=﹣4．
【点评】此题二次根式的混合运算，注意先化简再求值．
变式跟进4（2017?深圳一模）计算：（0.5）﹣2﹣+（﹣6）0﹣
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式
=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．
【解答】解：原式=4﹣4+1﹣
=1﹣2
=﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．
考点四：二次根式的化简与求值
（2017?广州）下列运算正确的是（ ）
A．= B．2×= C．=a D．|a|=a（a≥0）
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、2×=，故此选项错误；
C、=|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
变式跟进5（2016?广州）下列计算正确的是（ ）
A． B．xy2÷
C．2 D．（xy3）2=x2y6
【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简判断即可．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、xy2÷=2xy3，故此选项错误；
C、2+3，无法计算，故此选项错误；
D、（xy3）2=x2y6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及分式除法运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2017春?越秀区校级期中）若a＜2，化简=（ ）
A．a﹣5 B．5﹣a C．1﹣a D．﹣1﹣a
【分析】根据a＜2，得出=2﹣a，代入求出即可．
【解答】解：∵a＜2，
∴
=2﹣a﹣3
=﹣1﹣a．
故选：D
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是求出=2﹣a，注意：a≥0时，=a，a≤0时，=﹣a．
变式跟进6（2017春?潮阳区期中）若1＜x＜2，则|x﹣3|+的值为（ ）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
【分析】根据题意确定x﹣3和x﹣1的符号，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
则|x﹣3|+
=3﹣x+x﹣1
=2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题的关键
一、选择题
1．（2016?广州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠1．故选D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．（2015?广州）下列计算正确的是（ ）
A．ab?ab=2ab B．（2a）3=2a3
C．3﹣=3（a≥0） D．?=（a≥0，b≥0）
【分析】分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．
【解答】解：A、ab?ab=a2b2，故此选项错误；
B、（2a）3=8a3，故此选项错误；
C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；
D、?=（a≥0，b≥0），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
3．（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
4．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
5．（2016?巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；
C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
二、填空题
6．（2017?南京）计算：+×= 6 ．
【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式=2+，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=2+
=2+4
=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．2·1·c·n·j·y
7．（2017?南京）计算：|﹣3|= 3 ；= 3 ．
【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：|﹣3|=3，==3，故答案为：3，3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键．
8．（2015?曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 ﹣2或3 （只需填一个）．
【分析】先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵|x|≤3，
∴﹣3≤x≤3，
∴当x=﹣2时，==3，
x=3时，==2．
故，使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）．
故答案为：﹣2或3．
【点评】本题考查了二次根式的定义，熟记常见的平方数是解题的关键．
9．（2015?黔西南州）已知x=，则x2+x+1= 2 ．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
【解答】解：∵x=，
∴x2+x+1
=（x+）2﹣+1
=（+）2+
=+
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简求值的应用，能正确代入是解此题的关键，难度适中．
10．（2016?厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是 或 ，r是 ﹣或 ．21世纪教育网版权所有
【分析】根据近似公式得到，然后解方程组即可．
【解答】解：由近似值公式得到，∴a+=，
整理得204a2﹣577a+408=0，解得a1=，a2=，
当a=时，r=2﹣a2=﹣；
当a=时，r=2﹣a2=．
故答案为a=，r=﹣或a=，r=．
【点评】本题考查了二次根式的应用：利用类比的方法解决问题．
11．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= =﹣； ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ﹣1 ．
【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：an==﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
∴第n个等式：an==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
三．解答题
12．（2008?广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．
【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b．
【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．21·cn·jy·com
观察数轴确定a、b及a﹣b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．www.21-cn-jy.com
本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b及a﹣b的符号，再分别化简，最后计算．
13．（2016?呼伦贝尔）计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．
【分析】先计算特殊角的三角函数值、分母有理化、零指数幂以及负整数指数幂，然后计算加减法．
【解答】解：原式=3×﹣+1+4=5．
【点评】本题综合考查了分母有理化、零指数幂以及负整数指数幂等知识点，熟记计算法则即可解题，属于基础题．2-1-c-n-j-y
14．（2016?盐城）计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）原式=2﹣3
=﹣1；
（2）原式=9﹣7+2﹣2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．www-2-1-cnjy-com
15．（2016?锦州）先化简再求值：，x=﹣3﹣（π﹣3）0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．
【解答】解：，
=÷，
=×，
=．
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
=×4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
=﹣1．
把x=﹣1代入得到：==．即=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
16．（2016?襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
【解答】解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
17．（2015?山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．21*cnjy*com
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n=1时，
[﹣]
=（﹣）
=×
=1．
第2个数，当n=2时，
[﹣]
=[（）2﹣（）2]
=×（+）（﹣）
=×1×=1．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
一．选择题
1．（2017秋?深圳期末）如果y=+3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x=2，
∴y=3，
则yx=9，
9的算术平方根是3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数和算术平方根的概念是解题的关键．
2．（2016秋?高台县校级月考）下列各式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式无意义的条件就是被开方数是负数，据此即可判断．
【解答】解：被开方数3＞0，10﹣3＞0，（﹣3）2＞0，则﹣，，都有意义；
﹣3＜0，则无意义．故选D．
【点评】主要考查了二次根式的概念和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（2016秋?深圳期末）下列运算中，错误的是（ ）
A．=+ B．=×
C．= D．（）3=2
【分析】根据最简二次根式的对应对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、=2，所以A选项的计算错误；
B、原式=×，所以B选项的计算正确；
C、原式=，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算正确．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．21·世纪*教育网
4．（2017?深圳模拟）下列说法或计算正确的是（ ）
A．与不是同类二次根式
B．在将分式方程化为整式方程时，可将方程两边同时乘以x（x﹣1）
C．函数中，自变量x的取值范围是x≥5
D．已知∠A=50°，则∠A的补角是40°
【分析】根据同类二次根式，余角和补角，解分式方程及函数自变量的取值范围判断各选项即可．
【解答】解：A、=2与是同类二次根式，故本选项正确；
B、在将分式方程化为整式方程时，可将方程两边同时乘以x（x﹣1），本选项正确；
C、函数中，自变量x的取值范围是x＞5，故本选项错误；
D、已知∠A=50°，则∠A的补角是130°，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．21教育网
5．（2016秋?深圳期末）设M=，其中a=3，b=2，则M的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：原式=×﹣×
=1﹣，
=1﹣|a|，
∵a=3，b=2，
∴原式=1﹣3=﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2016秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= 2 ；÷= 7 ；±= ±3 ．
【分析】利用平方差公式计算（+）（﹣）；根据二次根式的除法法则计算÷；根据平方根的定义计算±．【出处：21教育名师】
【解答】解：：（+）（﹣）=5﹣3=2；÷==7；±=±3．
故答案为2，7，±3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
7．（2016春?广水市期末）若是正整数，则最小的整数n是 3 ．
【分析】先化简二次根式，然后依据被开方数是一个完全平方数求解即可．
【解答】解：=4，
∵是正整数，
∴3n是一个完全平方数．
∴n的最小整数值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是二次根式的知识，依据3n是一个完全平方数求得n的值是解题的关键．
8．（2017春?东莞市期末）若式子有意义，则a的取值范围为 a≥﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：若式子有意义，
则2a+1≥0，
解得：a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
9．（2017秋?深圳校级期中）若，则﹣6x﹣5y的值是 18 ．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件以及分母不等于0，即可求得x和y的值，然后代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：x2﹣9=0，且x﹣3≠0，
解得：x=﹣3，
则y=0，
则﹣6x﹣5y=18．
故答案是：18．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，以及分式有意义的条件：分母不等于0，正确求得x的值是关键．21cnjy.com
10．（2016春?广州校级期中）已知﹣=，那么+的值是 2017 ．
【分析】根据题意和平方差公式可以解答本题．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
∴x+2016﹣x﹣2015=，
∴1=，
解得，=2017，
故答案为：2017．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式的化简的方法，巧妙运用平方差公式解答．
三．解答题
11．（2016秋?深圳期末）计算题
（1）（+）（﹣）+
（2）+（+）×﹣10．
【分析】（1）利用平方差公式和二次根式的性质计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式=3﹣2+2
=3；
（2）原式=++﹣5
=6+2+3﹣5
=6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【版权所有：21教育】
12．（2016春?深圳期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2+．
【分析】先根据分式的运算法则化简，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1﹣）÷
=×
=×
=
∴当x=2+时，
原式==．
【点评】本题主要考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
13．（2017春?岳池县月考）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a+c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
14．（2016秋?龙岗区校级期中）阅读下列解题过程：
===﹣=﹣2
===﹣
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．= ﹣ ．
（2）利用上面提供的信息请化简：
+++…+ 的值．
【分析】（1）根据观察，可发现规律：=﹣，
（2）根据规律，可得二次根式的加减，根据二次根式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．=﹣，
故答案为：﹣；
（2）原式=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1=12﹣1．
【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
15．（2017春?潮南区期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．21教育名师原创作品
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤ ；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．
【解答】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），
∴a+b=9，则a+b≥2，即≤；
故答案为：；
（2）由（1）得：m+≥2，
即m+≥2，当m=时，m=1（负数舍去），
故m+有最小值，最小值是2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．21*cnjy*com
16．（2017春?越秀区校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，
∴Rt△ABC的面积是：==4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，
∴AB==2，
即AB的长是2；
（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，AB=2，
∴AB边上的高是：=，
即AB边上的高是．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．
