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学案 2.7.1二次根式
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．理解二次根式和最简二次根式的定义。
2．探究二次根式的性质，并能利用性质对二次根式进行化简。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得平方根的定义及性质吗？请填空！
（1）定义：一般地，如果一个 的平方等于即 那么这个 就叫做的 。（也叫做二次方根）。21教育网
（2）性质：一个正数有 ，它们互为 。0只有 ，它是 。负数没 。一个正数a有两个平方根,它们互为相反数。正数a的正的平方根,记作“”，正数a的负的平方根,记作“ ”，这两个平方根合在一起记作“ ”，读作：“ ”。
二、探究新知
1．问题情境：1．观察下列各式，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？21cnjy.com
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ． 叫做被开方数。
名师点拨
（1）还可以写作 ，2为 ，可省略.
（2）要判别一个式子是不是二次根式(不要将式子化简)一定要具备两个特征：① ；② .21·cn·jy·com
（3）双重非负性：①中被开方数 ；② 。
小试牛刀
1.判断下列各式，哪些一定是二次根式？哪些一定不是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（ 6）
一定是： ；一定不是：
2.(2017济宁)若在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．探究学习
(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？
＝ ； ＝ ，
＝ ；＝ ；
＝ ；＝ ．
(2). 根据上面的猜想，与是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流。
名师点拨
( a≥0，b≥0)
积的算术平方根等于
(a≥0， b＞0)
商的算术平方根等于
三、巩固新知
例1： 化简下列各式，并回答下列问题:
（1）；（2）；（3）.
问题1：观察化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
名师点拨
一般地，被开方数 ，也不含 ，这样的二次根式，叫做最简二次根式.21世纪教育网版权所有
问题2：化简要化到什么形式为止？
小试牛刀
1．下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.在、、、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列二次根式化简正确的是( )
A.＝× B.＝＝4
C.＝ D.＝
4.如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释=吗
例2：化简：
（1） （2） （3）
学以致用：
1.对于任意实数a，下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.化简a的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.观察下列各数，，，，……，则第6个数是（ ）
A. B. C. D.
4.若，则a= ，b= .
5．定义运算“@”的运算法则为：则(2@6)@6= ．
6．化简: (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .
7．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证： = = = 2；
=3，验证： = ==3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
四、当堂检测
1.等式成立的条件是（ ）
A.a≤-2或a≥2 B. a≥2 C. a≥-2 D. -2≤a≤2
2. k，m，n为三个整数，若，，，则下列关于k，m，n的大小关系正确的是（ ）
A.k3.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为
4.若，则=
5.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2 = =
那么12※6=
6.化简
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）
7.已知a+b=-6,ab=8,化简
8.阅读下列解题过程：
请回答下面的问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出的值
（2）计算：
【课堂小结】
你认为在二次根式中我们应该收获些什么呢？
1．一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ． 叫做被开方数。
2．一般地，被开方数 ，也不含 ，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
3. ( a≥0，b≥0)
积的算术平方根等于
(a≥0， b＞0)
商的算术平方根等于
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学案 2.7.1二次根式
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．理解二次根式和最简二次根式的定义。
2．探究二次根式的性质，并能利用性质对二次根式进行化简。
【学习过程】
一、复习回顾
1．你还记得平方根的定义及性质吗？请填空！
（1）定义：一般地，如果一个 数 的平方等于即那么这个 数 就叫做的平方根。（也叫做二次方根）。21世纪教育网版权所有
（2）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。一个正数a有两个平方根,它们互为相反数。正数a的正的平方根,记作“”，正数a的负的平方根,记作“-”，这两个平方根合在一起记作“±”，读作：“正负根号a”。21教育网
二、探究新知
1．问题情境：1．观察下列各式，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？21cnjy.com
【解答】①都含有开方运算；②被开方数都是非负数。
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．a叫做被开方数。
名师点拨
（1）还可以写作，2为根指数，可省略.
（2）要判别一个式子是不是二次根式(不要将式子化简)一定要具备两个特征：①含根号且根指数为2；②被开方数为非负数.21·cn·jy·com
（3）双重非负性：①中被开方数≥0；②≥0。
小试牛刀
1.判断下列各式，哪些一定是二次根式？哪些一定不是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（ 6）
一定是：（1）（5） ；一定不是：（2）（3）（6）
2.(2017济宁)若在实数范围内有意义，则满足的条件是（ C ）
A． B． C． D．
2．探究学习
(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？
＝ 6 ； ＝ 6 ，
＝ ；＝ ；
＝ ；＝ ．
猜想：＝ ＝ ＝．
(2). 根据上面的猜想，与是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流。
解答：＝
名师点拨
( a≥0，b≥0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积．
(a≥0， b＞0)
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
三、巩固新知
例1： 化简下列各式，并回答下列问题:
（1）；（2）；（3）.
答案：（1）；
（2）
（3）
问题1：观察化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
解答：①被开方数不能含分母；②分母中不能含能开的尽方的因数
名师点拨
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
问题2：化简要化到什么形式为止？
解答：①分母不能含根号；②最简二次根式
小试牛刀
1．下列二次根式是最简二次根式的是( B )
A. B. C. D.
2.在、、、、、、中，最简二次根式的个数是（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列二次根式化简正确的是( C )
A.＝× B.＝＝4
C.＝ D.＝
4.如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释=吗
解答：大正方形的边长，大正方形的边长，利用大正方形的边长是小正方形的边长的2倍，∴=
例2：化简：
（1） （2） （3）
解答：
学以致用：
1.对于任意实数a，下列各式中一定成立的是（ D ）
A. B. C. D.
2.化简a的结果是（ ）
A. B. C. D.
解：∵a有意义∴≥0，∴-a＞0
∴原式=故选（C）。
3.观察下列各数，，，，……，则第6个数是（ D ）
A. B. C. D.
4.若，则a= 2 ，b= 1 .
5．定义运算“@”的运算法则为：则(2@6)@6=．
6．化简: (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .
解答： (1)4； (2)6； (3) ；(4)； (5)
7．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证： = = = 2；
=3，验证： = ==3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
解答：（1）
（2）
四、当堂检测
1.等式成立的条件是（ B ）
A.a≤-2或a≥2 B. a≥2 C. a≥-2 D. -2≤a≤2
2. k，m，n为三个整数，若，，，则下列关于k，m，n的大小关系正确的是（ D ）
A.k3.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥0且x≠0
4.若，则=
5.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2 = =
那么12※6= ．
6.化简
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）
解答：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
7.已知a+b=-6,ab=8,化简
8.阅读下列解题过程：
请回答下面的问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出的值
（2）计算：
【课堂小结】
你认为在二次根式中我们应该收获些什么呢？
1．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．a叫做被开方数。
2．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
3. ( a≥0，b≥0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积．
(a≥0， b＞0)
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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