2.4 分式方程
分式方程：
概念： 里含有未知数的 叫做分式方程。
分式方程的解：使分式方程 的 的值叫做分式方程的解。
解分式方程：
一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“ 方程”。
：方程两边都乘以 ；
：若有括号应先去括号，注意 变 号，合并同类项，把系数化为1 求出 的值；21·世纪*教育网
：将所得的根代入 ，若等于零，就是增根，应该 ；若不等于零，就是原方程的根。www-2-1-cnjy-com
分式方程的特殊解法： .
分式方程的增根：
增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使 不为零。若整式方程的根使最简公分母为 （根使整式方程成立，而在分式方程中分母为 ）那么这个根叫做原分式方程的增根。【版权所有：21教育】
分式方程的应用：
1、 ：审清题意,找出相等关系和数量关系；
2、 ：根据所找的数量关系设出未知数；
3、列：根据所找的 关系和 关系列出方程；
4、 ： 这个分式方程；
5、检：对所解的分式方程进行检验,包括两层：不仅要对 有意义，还要对 有意义；
6、 ：写出分式方程的解.
考点一：分式方程与分式方程的解
（2017春?英德市校级月考）在方程=7，﹣=2，+x=，=+4，=1中，分式方程有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义，可得答案．
【解答】解：﹣=2，=1是分式方程，故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，分母中含有字母的方程是分式方程．
变式跟进1（2017春?闵行区校级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的个数是（ ）
①﹣x3+3x=0； ②+b=1； ③﹣1=2； ④=6．21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个．
（2016春?深圳期末）已知分式方程的的解x是正数，则m的取值范围是 m＜7且m≠6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：6﹣x+1=m，
解得：x=7﹣m，
由分式方程的解为正数，得到7﹣m＞0，且7﹣m≠1，
解得：m＜7且m≠6．
故答案为：m＜7且m≠6．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
变式跟进2（2016春?深圳校级期末）关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A．m＜﹣5时，方程的解为负数 B．方程的解是x=m+5
C．m＞﹣5时，方程的解是正数 D．无法确定
考点二：解分式方程
（2017春?深圳校级期末）分式方程=1的解是（ ）
A．x=2 B．x=5 C．x=﹣1 D．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣7=x﹣2，解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21世纪教育网版权所有
变式跟进3（2016春?罗湖区期末）解分式方程﹣4=时，去分母后可得（ ）
A．1﹣4（2x﹣3）=﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）=5
C．2x﹣3﹣4=﹣5 D．2x﹣3﹣4=5（2x﹣3）
（2017?深圳模拟）解方程：．
【分析】因为4﹣x=﹣（x﹣4），所以最简公分母为（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣4），
得：3+x+x﹣4=﹣1，
整理解得x=0．
经检验x=0是原方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．21*cnjy*com
（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时要注意符号的变化．
变式跟进4（2017春?揭西县期末）解方程：．
考点三：分式方程的增根
（2017春?宝安区校级期末）解方程会产生增根，则m等于（ ）
A．﹣10 B．﹣10或﹣3 C．﹣3 D．﹣10或﹣4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5=m，即﹣3x﹣7=m，
由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，即x=1或x=﹣1，
把x=1代入整式方程得：m=﹣10，把x=﹣1代入整式方程得：m=﹣4，
故选D
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式跟进5（2016春?山亭区期末）若解分式方程产生增根，则m=（ ）
A．1 B．0
C．﹣4 D．﹣5
考点四：分式方程的应用
（2017?广东模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A． B．=
C． D．
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．故选：D．
【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
变式跟进6（2017?深圳模拟）初三学生周末去距离学校120km的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1小时候，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度，设慢车的速度是xkm/h，根据题意列方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．+=1 D．=1
一、选择题
1．（2017?黑龙江）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
2．（2017?河南）解分式方程﹣2=，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3
C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
3．（2016?十堰）换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（ ）
A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
4．（2017?毕节市）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2016?深圳）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣=2 B．﹣=2
C．﹣=2 D．﹣=2
二、填空题
6．（2016?广州）分式方程的解是 ．
7．（2017?宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
8．（2017?营口）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ．
9．（2015?滨州）解方程时，若设，则方程可化为 ．
10．（2017?荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 ．
11．（2016?杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
12．（2015?深圳）解方程：．
13．（2015?葫芦岛）若x=k是方程=1的解，求k﹣1的值．
14．（2017?广州）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．21cnjy.com
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
15．（2016?广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．www.21-cn-jy.com
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？21教育名师原创作品
16．（2017?牡丹江）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A种设备，航空运输每次运2台B种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．2-1-c-n-j-y
一、选择题
1．（2017春?深圳期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x= B．= C．=2 D．3x﹣2y=1
2．（2017?深圳模拟）方程=的解为（ ）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
3.（2016春?福田区期末）解关于x的方程+1=（其中m为常数）产生增根，则常数m的值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
4．（2017春?深圳期末）龙华轻轨将于2017年6月底投入使用，拟在轨道沿途种植花木共20000棵，为尽量减少施工队交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高25%，结果提前5天完成种植任务，设原计划每天种植花木x棵，根据题意可列方程为（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5
C．﹣=5 D．﹣=5
5．（2016?梅州模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b=，这里等式右边是实数运算．例如：1?3=．则方程x?（﹣2）=﹣1的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
二、填空题
6.（2017?广东模拟）分式方程的解是 ．
7．（2016?龙岗区二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
8．（2012?深圳模拟）阅读材料：的解为；则方程的解x1=2009，x2= ．
9．（2016?梅州模拟）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 ．
三、解答题
10．（2017春?深圳期末）解方程：+x=．
11．（2016?深圳模拟）若a是正整数，且a满足，试解分式方程+=1．
12．（2016春?深圳校级期末）已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
13．（2017?深圳模拟）某工程，乙工程队单独先做10天后，再由甲、乙两个工程队合作20天就能完成全部工程，已知甲工程队单独完成此工程所需天数是乙工程队单独完成此工程所需天数的，21·cn·jy·com
（1）求：甲、乙工程队单独做完成此工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的费用为0.67万元，乙工程队每天的费用为0.33万元，该工程的预算费用为20万元，若甲、乙工程队一起合作完成该工程，请问工程费用是否够用，若不够用应追加多少万元？【出处：21教育名师】
14．（2017春?深圳期末）某共享单车公司计划在规定时间内向市场投放3000辆共享单车，实际每天比原计划多投放50辆，结果在规定时间内多投放了600辆，该公司实际每天投放多少辆共享单车？21教育网
15．（2016?深圳二模）某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球，购买A品牌蓝球花费了2400元，购买B品牌蓝球花费了1950元，且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？
（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个，恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球？2·1·c·n·j·y
2.4 分式方程
分式方程：
概念： 分母 里含有未知数的 方程 叫做分式方程。
分式方程的解：使分式方程 成立 的 未知数 的值叫做分式方程的解。
解分式方程：
一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“ 整式 方程”。
去分母 ：方程两边都乘以 最简公分母 ；
移项 ：若有括号应先去括号，注意 变 号，合并同类项，把系数化为1 求出 未知数 的值；
验根 ：将所得的根代入 最简公分母 ，若等于零，就是增根，应该 舍去 ；若不等于零，就是原方程的根。
分式方程的特殊解法： 换元法 .
分式方程的增根：
增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使 原方程分母 不为零。若整式方程的根使最简公分母为 0 （根使整式方程成立，而在分式方程中分母为 0 ）那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程的应用：
1、 审 ：审清题意,找出相等关系和数量关系；
2、 设 ：根据所找的数量关系设出未知数；
3、列：根据所找的 相等 关系和 数量 关系列出方程；
4、 解 ： 解 这个分式方程；
5、检：对所解的分式方程进行检验,包括两层：不仅要对 实际问题 有意义，还要对 分式方程 有意义；【来源：21·世纪·教育·网】
6、 答 ：写出分式方程的解.
考点一：分式方程与分式方程的解
（2017春?英德市校级月考）在方程=7，﹣=2，+x=，=+4，=1中，分式方程有（ ）21教育名师原创作品
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义，可得答案．
【解答】解：﹣=2，=1是分式方程，故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，分母中含有字母的方程是分式方程．
变式跟进1（2017春?闵行区校级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的个数是（ ）
①﹣x3+3x=0； ②+b=1； ③﹣1=2； ④=6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【解答】解：①方程的分母中不含未知数x，故①不是分式方程；
②方程的分母中不含未知数x，故②不是分式方程；
③方程的分母中含表示未知数的字母x，故③是分式方程；
④方程分母中含未知数x，故④是分式方程；
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
（2016春?深圳期末）已知分式方程的的解x是正数，则m的取值范围是 m＜7且m≠6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：6﹣x+1=m，
解得：x=7﹣m，
由分式方程的解为正数，得到7﹣m＞0，且7﹣m≠1，
解得：m＜7且m≠6．
故答案为：m＜7且m≠6．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
变式跟进2（2016春?深圳校级期末）关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A．m＜﹣5时，方程的解为负数 B．方程的解是x=m+5
C．m＞﹣5时，方程的解是正数 D．无法确定
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解为负数”、“解是正数”建立不等式求m的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：去分母得m=x﹣5 ，解得x=m+5
检验：当m+5﹣5=0时，x=5是增根，原方程无解．
当方程的解为负数：∴m+5＜0，解这个不等式得m＜﹣5；
方程的解是正数：∴m+5＞0，解这个不等式得m＞﹣5．
但当m+5﹣5=0，即m=0时，x=5是增根，原方程无解．
故选A．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
考点二：解分式方程
（2017春?深圳校级期末）分式方程=1的解是（ ）
A．x=2 B．x=5 C．x=﹣1 D．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣7=x﹣2，解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
变式跟进3（2016春?罗湖区期末）解分式方程﹣4=时，去分母后可得（ ）
A．1﹣4（2x﹣3）=﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）=5
C．2x﹣3﹣4=﹣5 D．2x﹣3﹣4=5（2x﹣3）
【分析】方程变形后，两边乘以最简公分母2x﹣3去分母得结果，即可做出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣4（2x﹣3）=﹣5，故选A
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（2017?深圳模拟）解方程：．
【分析】因为4﹣x=﹣（x﹣4），所以最简公分母为（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣4），
得：3+x+x﹣4=﹣1，
整理解得x=0．
经检验x=0是原方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时要注意符号的变化．
变式跟进4（2017春?揭西县期末）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣3），约去分母得x+x﹣3=﹣3，
解得：x=0，
经检验：x=0是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考点三：分式方程的增根
（2017春?宝安区校级期末）解方程会产生增根，则m等于（ ）
A．﹣10 B．﹣10或﹣3 C．﹣3 D．﹣10或﹣4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5=m，即﹣3x﹣7=m，
由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，即x=1或x=﹣1，
把x=1代入整式方程得：m=﹣10，把x=﹣1代入整式方程得：m=﹣4，
故选D
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21*cnjy*com
变式跟进5（2016春?山亭区期末）若解分式方程产生增根，则m=（ ）
A．1 B．0
C．﹣4 D．﹣5
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+4），得x﹣1=m，
∵原方程增根为x=﹣4，
∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5，
故选D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
考点四：分式方程的应用
（2017?广东模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A． B．=
C． D．
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．故选：D．
【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
变式跟进6（2017?深圳模拟）初三学生周末去距离学校120km的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1小时候，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度，设慢车的速度是xkm/h，根据题意列方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．+=1 D．=1
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程．
【解答】解：设慢车的速度是xkm/h，则快车的速度是2xkm/h，
依题意得：﹣=1．故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键
一、选择题
1．（2017?黑龙江）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2．（2017?河南）解分式方程﹣2=，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3
C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，
去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，
故选A
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2016?十堰）换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（ ）
A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．
【解答】解：∵设=y，
∴﹣=3，可转化为：y﹣=3，
即y﹣﹣3=0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．
4．（2017?毕节市）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．（2016?深圳）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．﹣=2 B．﹣=2
C．﹣=2 D．﹣=2
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：﹣=2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题
6．（2016?广州）分式方程的解是 x=﹣1 ．
【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程的解，记住最后要进行检验，本题得以解决．
【解答】解：
方程两边同乘以2x（x﹣3），得x﹣3=4x
解得，x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，
故原分式方程的解是x=﹣1，
故答案为：x=﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最后要进行检验．
7．（2017?宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2017?营口）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ﹣=8 ．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，
根据题意可得：﹣=8，
故答案为：﹣=8．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到题目蕴含的相等关系．
9．（2015?滨州）解方程时，若设，则方程可化为 2y﹣=2 ．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是明确方程各部分与y的关系，再用y代替即可．
【解答】解：因为，所以原方程可变形为2y﹣=2．
故答案为：2y﹣=2．
【点评】用换元法解分式方程是常用方法之一，要注意总结能用换元法解的方程的特点．
10．（2017?荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2016?杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ＜m＜ ．21世纪教育网版权所有
【分析】先解方程组，求得x和y，再根据y＞1和0＜n＜3，求得x的取值范围，最后根据=m，求得m的取值范围．21cnjy.com
【解答】解：解方程组，得
∵y＞1
∴2n﹣1＞1，即n＞1
又∵0＜n＜3
∴1＜n＜3
∵n=x﹣2
∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5
∴＜＜
∴＜＜
又∵=m
∴＜m＜
故答案为：＜m＜
【点评】本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．根据x取值范围得到的取值范围是解题的关键．
三、解答题
12．（2015?深圳）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x1=1，x2=，
经检验x1=1与x2=都为分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．（2015?葫芦岛）若x=k是方程=1的解，求k﹣1的值．
【分析】首先代入求得k的值，然后代入求得代数式的值即可．
【解答】解：∵x=k是方程=1的解，
∴=1，
解得：k=2，
∴k﹣1=2﹣1=．
【点评】本题考查了分式方程的解及负整数指数幂的指数，解题的关键是解分式方程求得k的值，难度不大．
14．（2017?广州）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．21·cn·jy·com
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【分析】（1）根据甲队筑路60公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，即可求出乙队筑路的总公里数；
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据甲队比乙队多筑路20天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）60×=80（公里）．
答：乙队筑路的总公里数为80公里．
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，
根据题意得：﹣=20，
解得：x=0.1，
经检验，x=0.1是原方程的解，
∴8x=0.8．
答：乙队平均每天筑路0.8公里．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）找准等量关系，列出分式方程．
15．（2016?广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
【分析】（1）设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可；
（2）由（1）的结论列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，
可得：，
解得：x=100，
经检验x=100是原方程的解，
答：原计划每天修建道路100米；
（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，
可得：，
解得：y=20，
经检验y=20是原方程的解，
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
16．（2017?牡丹江）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A种设备，航空运输每次运2台B种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．
【分析】（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元．根据数量=总价÷单价结合“投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A种设备生产a台，则B种设备生产（60﹣a）台．根据销售后获利不低于126万元且A种设备至少生产53台，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再根据a为正整数即可得出a的值，进而即可得出该公司生产方案种数；
（3）设水路运输了m次，则航空运输（4﹣m）次，该公司赠送4m台A种设备，（8﹣2m）台B种设备，根据利润=销售收入﹣成本结合公司获利44万元，即可得出关于a、m的二元一次方程，根据a、m的取值范围结合a、m均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元．
根据题意得：+=10，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴1.5x=6．
答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元．
（2）设A种设备生产a台，则B种设备生产（60﹣a）台．
根据题意得：，
解得：53≤a≤57．
∵a为整数，
∴a=53，54，55，56，57，
∴该公司有5种生产方案．
（3）设水路运输了m次，则航空运输（4﹣m）次，该公司赠送4m台A种设备，（8﹣2m）台B种设备，
根据题意得：6（a﹣4m）+10[60﹣a﹣（8﹣2m）]﹣4a﹣6（60﹣a）=44，
整理得：a+2m﹣58=0，
解得：m=29﹣a．
∵53≤a≤57，0＜m＜4，且a、m均为正整数，
∴m=1或2．
∴水路运输的次数为1次或2次．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出分式方程；（2）根据数量关系，列出一元一次不等式组；（3）根据利润=销售收入﹣成本，列出二元一次方程．
一、选择题
1．（2017春?深圳期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x= B．= C．=2 D．3x﹣2y=1
【分析】根据分式方程的定义求解即可．
【解答】解：A、是整式方程中的一元一次方程，故A不符合题意；
B、是整式方程中的一元一次方程，故B不符合题意；
C、是分方程，故C符合题意；
D、是整式方程中的二元一次方程，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的定义，分母含含有未知数的方程是分式方程．
2．（2017?深圳模拟）方程=的解为（ ）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
3.（2016春?福田区期末）解关于x的方程+1=（其中m为常数）产生增根，则常数m的值等于（ ）21教育网
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣5=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．2·1·c·n·j·y
【解答】解：去分母得：x﹣6+x﹣5=m，
由分式方程有增根，得到x﹣5=0，即x=5，
把x=5代入整式方程得：m=﹣1，
故选D
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【出处：21教育名师】
4．（2017春?深圳期末）龙华轻轨将于2017年6月底投入使用，拟在轨道沿途种植花木共20000棵，为尽量减少施工队交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高25%，结果提前5天完成种植任务，设原计划每天种植花木x棵，根据题意可列方程为（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5
C．﹣=5 D．﹣=5
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得,，
故选D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
5．（2016?梅州模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b=，这里等式右边是实数运算．例如：1?3=．则方程x?（﹣2）=﹣1的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：根据题意，得=﹣1，
去分母得：1=2﹣（x﹣4），
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二、填空题
6.（2017?广东模拟）分式方程的解是 x=﹣1 ．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可．
【解答】解：原方程可化为：，
方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣4=x﹣2，
解得x=﹣1，
经检验x=﹣1是原方程的解，
故答案为x=﹣1．
【点评】考查解分式方程；若分母中的两个数互为相反数，则应先整理为相同的数；用到的知识点为：分母，分子，分式本身，同时改变2个符号，分式的大小不变．
7．（2016?龙岗区二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为 1 ．
【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．21·世纪*教育网
【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得
x﹣1=m+3（x﹣2）．
m=﹣2x+5．
分式方程的增根是x=2，
将x=2代入，得
m=﹣2×2=5=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．
8．（2012?深圳模拟）阅读材料：的解为；则方程的解x1=2009，x2= ﹣ ．
【分析】根据题中的阅读材料可知：把所求方程两边加上1，变为的形式，得到相应的m和c的值，与阅读材料中解的特点即可求出方程的两个解．
【解答】解：把方程变为：
（x+1）+=2010+，根据题意可知：m=﹣1，c=2010，
即x+1=c或x+1=，
则原方程的解为：x1=c﹣1=2009，x2=﹣1=﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题属于阅读理解型的题，学生作此类题应注意从阅读材料中提取有价值的结论，同时利用题中的结论类比得到所求方程的解．做此题时注意所求方程的未知数是x+1．
9．（2016?梅州模拟）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 ﹣=3 ．2-1-c-n-j-y
【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，等量关系为：6名工人比8名工人完成任务多余3小时，据此列方程即可．【版权所有：21教育】
【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，
由题意得，﹣=3．
故答案为：﹣=3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．21*cnjy*com
三、解答题
10．（2017春?深圳期末）解方程：+x=．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣2+x2﹣2x=x2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2016?深圳模拟）若a是正整数，且a满足，试解分式方程+=1．
【考点】B3：解分式方程；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】求出已知不等式组的解集确定出a的范围，进而确定出正整数a的值，代入分式方程计算即可求出解．
【解答】解：不等式组，
由①得：a＞1；
由②得：a＜3，
∴不等式组的解集为1＜a＜3，
∵a是正整数，
∴a=2，
将a=2代入分式方程得+=1，
去分母，方程两边同时乘以2（x+1）（x﹣1）得：3x+3﹣2x2﹣2x=2x2﹣2，
解得：x=﹣5，
经检验，原分式方程的解是x=﹣5．
12．（2016春?深圳校级期末）已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：由原方程，得3﹣2x+x﹣3=ax+12，
整理，得（a+1）x=﹣12．
当整式方程无解时，a+1=0即a=﹣1，
当分式方程无解时：①x=3时，a=﹣5，
所以a=﹣1或﹣5时，原方程无解．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
【点评】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2017?深圳模拟）某工程，乙工程队单独先做10天后，再由甲、乙两个工程队合作20天就能完成全部工程，已知甲工程队单独完成此工程所需天数是乙工程队单独完成此工程所需天数的，
（1）求：甲、乙工程队单独做完成此工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的费用为0.67万元，乙工程队每天的费用为0.33万元，该工程的预算费用为20万元，若甲、乙工程队一起合作完成该工程，请问工程费用是否够用，若不够用应追加多少万元？
【分析】（1）可设乙工程队单独做完成此工程需x天，根据甲单独完成这项工程所需天数是乙单独完成这项工程所需天数的表示出甲工程队单独做完成此工程需x天，再由乙工程队单独先做10天后，再由甲、乙两个工程队合作20天就能完成全部工程，即可得出等量关系，进而求出即可；
（2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天，则：
+（+）×20=1，解得x=60．
经检验：x=60是原方程的根，
x=×60=40．
故甲队单独完成这项工程需要40天，乙队单独完成这项工程需要60天．
（2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，则：
（+）y=1，
解得y=24，
需要施工费用 （0.67+0.33）×24=24（万元），
24﹣20=4（万元），
故工程费用不够用，应追加4万元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．（2017春?深圳期末）某共享单车公司计划在规定时间内向市场投放3000辆共享单车，实际每天比原计划多投放50辆，结果在规定时间内多投放了600辆，该公司实际每天投放多少辆共享单车？
【分析】设该公司实际每天投放x辆共享单车．根据时间相等，列出方程即可．
【解答】解：设该公司实际每天投放x辆共享单车．
由题意=，
解得x=300，
经检验，x=300是分式方程的解，
答：该公司实际每天投放300辆共享单车
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系列出方程解决问题，注意解分式方程必须检验．
15．（2016?深圳二模）某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球，购买A品牌蓝球花费了2400元，购买B品牌蓝球花费了1950元，且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？
（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个，恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，列出不等式解决问题．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，由题意得
=×2，
解得：x=80，
经检验x=80是原方程的解，
x+50=130．
答：购买一个A品牌的篮球需80元，购买一个B品牌的篮球需130元．
（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30﹣a）个，由题意得
80×（1+10%）（30﹣a）+130×0.9a≤3200，
解得a≤19，
∵a是整数，
∴a最大等于19，
答：该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球．
【点评】此题考查分式方程与一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
