2.5 一元二次方程
一元二次方程
一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程.
一元二次方程的一般形式： .其中叫做 ，a叫做二次项 ；bx叫做 ，b叫做 ；c叫做 .21*cnjy*com
一元二次方程的解： .21
一元二次方程的解法
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时， ， ，当b<0时，方程 实数根.
配方法
配方法的理论根据是完全平方公式 ，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 .
公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程的求根公式：
因式分解法
因式分解法就是利用 求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.
换元法
一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程中， 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 .
根的判别式的性质：△ 0,则方程有两个不相等的实数根；当△ 0，则方程有两个相等的实数根；当△ 0，方程无实数根.
一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么方程两根之和等于方程的 除以 所得的商的 ；两根之积等于 除以 所得的商.即x1+x2 ，x1x2 .21教育名师原创作品
五、一元二次方程的实际应用
（1） ：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
（2） ：根据题中的数量关系设出未知数；
（3） ：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的 ；
（4） ：求出所列方程的解；
（5） ：检验未知数的值是否符合题意；
（6） ：根据题意，写出答案.
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝________-成本；
②利润率＝ ×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一：一元二次方程的概念
（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+5=0 B．x2﹣3x=2 C．x2+x+1=（x+1）2 D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、含有两个未知数，故选项错误；
B、符合一元二次方程定义，故选项正确；
C、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误；
D、不是整式方程，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．
变式跟进1（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的个数有（ ）
（1）x2+2x+1=0 （2）++2=0 （3）x2﹣2x+1=0
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0 （5）x2+x=4﹣x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2017春?芝罘区校级月考）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．
变式跟进2（2017秋?徐闻县期中）方程3x2﹣1=0的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．1
考点二：一元二次方程的解
（2016秋?深圳校级期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．﹣2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．
【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0可得：m2﹣m﹣2=0，即m2﹣m=2，
故选B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．
变式跟进3（2016秋?深圳校级期中）已知关于x的方程（m+2）x2+5x+m2﹣4=0有一个解是0，则m的值为（ ）21·cn·jy·com
A．2 B．﹣2 C．+2或﹣2 D．不确定
考点三：一元二次方程的解法
（2016?深圳）给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（ ）
A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2
C．x1=x2=0 D．x1=2，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，
∴3x2=12，
x2=4，
x=±2，
x1=2，x2=﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．【出处：21教育名师】
变式跟进4（2016秋?宝安区期末）一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=2，x2=0 D．x=16
（2016秋?深圳月考）用配方法解方程x2+4x=﹣2下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2=14 B．（x+2）2=6 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x=﹣2，
∴x2+4x+4=﹣2+4，即（x+2）2=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式跟进5（2016?新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
（2017?福田区三模）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3
C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先将原方程移项，然后提前公因式（x+1），将方程转化为两式之积为0的形式，然后解方程．
【解答】解：由原方程移项，得
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x=﹣1，或x=3．
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答此题是利用提前公因式法分解因式的．
变式跟进6（2017?宝安区二模）定义一种新运算：a?b=a（a﹣b），例如，4?3=4×（4﹣3）=4，若x?2=3，则x的值是（ ）【版权所有：21教育】
A．x=3 B．x=﹣1
C．x1=3，x2=1 D．x1=3，x2=﹣1
考点四：一元二次方程根的判别式
（2016?深圳二模）方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，
∴△=b2﹣4ac=16﹣16=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
故选A．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
变式跟进7（2016秋?深圳校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）21*cnjy*com
A．4 B．3 C．2 D．0
考点五：一元二次方程根与系数的关系
（2016秋?深圳期末）设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2016=0，即a2=﹣a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的实数根，
∴a2+a﹣2016=0，
∴a2=﹣a+2016，
∴a2+2a+b=﹣a+2016+2a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=﹣1+2016=2015．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
变式跟进8（2016秋?薛城区期中）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0
C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
考点六：一元二次方程的应用
（2017春?深圳期末）某公司今年一月产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=1400
【分析】三年的总产值=今年的产值+明年的产值+后年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个百分数为x，则有
200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
故选C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．www.21-cn-jy.com
变式跟进9（2017?龙岗区一模）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80
一．选择题
1．（2016?广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
2．（2017?广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
4．（2017?广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
5．（2015?广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
6．（2015?佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
二．填空题（共10小题）
7．（2016?鄂州）方程x2﹣3=0的根是 ．
8．（2016?菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．
9．（2016?吉林）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
10．（2016?新疆）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
11．（2016?梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 ．
三．解答题
12．（2015?广东）解方程：x2﹣3x+2=0．
13．（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
14．（2016?梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．
15．（2015?珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．21世纪教育网版权所有
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
16．（2015?广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
17．（2016?赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
一．选择题（共28小题）
1．（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x+2）（x+1）=x2 B．﹣2=0 C．x2=5 D．x2+2x=x2﹣1
2．（2016秋?临河区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）www-2-1-cnjy-com
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0
3．（2016秋?深圳校级月考）若1是方程x2﹣2x+m=0的解，则m的值（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
4．（2017春?深圳校级月考）一元二次方程x2﹣4=0的根为（ ）
A．x=2 B．x1=2，x2=﹣2 C．x=﹣2 D．x=4
5．（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
6．（2016秋?深圳月考）三角形两边长分别为6和5，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．15或13 B．15 C．15或17 D．13
7．（2017?安顺二模）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
8．（2017?潮阳区模拟）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C．﹣1 D．﹣5
9．（2016秋?深圳校级月考）用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果为（ ）
A．（x+2）2+100 B．（x﹣2）2﹣100 C．（x+2）2﹣100 D．（x﹣2）2+100
10.（2017?潮阳区模拟）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）21教育网
A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
二、填空题
11．（2016秋?深圳校级月考）关于x的方程（m﹣2）﹣x=5是一元二次方程，则m= ．
12．（2016秋?昌平区期中）方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，化成一般形式是 ，其二次项的系数和一次项系数的和是 ．
13．（2016秋?龙岗区期末）若关于x的方程x2﹣2x+m=0有且只有1个实数根，则m= ．
14．（2016?龙岗区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是 ．2·1·c·n·j·y
15．（2016秋?宝安区期末）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 元出售这种水果．
三、解答题
16．（2016春?深圳校级月考）解方程：x2+4x=5．
17．（2016秋?深圳校级月考）（1）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
（2）已知a≠0，b≠0，且x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解，求的值．
18．（2016秋?深圳校级月考）已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0；当m为何非负整数时：21cnjy.com
（1）方程没有实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根．
19．（2016秋?福田区校级期中）如果一元二次方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值．21·世纪*教育网
（1）x12+x22；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）．
20．（2016秋?深圳期末）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．
2.5 一元二次方程
一元二次方程
一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.
一元二次方程的一般形式：.其中叫做 二次项 ，a叫做二次项 系数 ；bx叫做 一次项 ，b叫做 一次项系数 ；c叫做 常数项 .
一元二次方程的解：
一元二次方程的解法 （10分）
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.
配方法
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.
公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程的求根公式：
因式分解法
因式分解法就是利用 因式分解 求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.www.21-cn-jy.com
换元法
一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
根的判别式的性质：△ > 0,则方程有两个不相等的实数根；当△ = 0，则方程有两个相等的实数根；当△ < 0，方程无实数根.2·1·c·n·j·y
一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么方程两根之和等于方程的 一次项系数 除以 二次项系数 所得的商的 相反数 ；两根之积等于 常数项 除以 二次项系数 所得的商.即x1+x2 ，x1x2 .
五、一元二次方程的实际应用
（1） 审 ：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
（2） 设 ：根据题中的数量关系设出未知数；
（3）列：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的 一元二次方程 ；
（4） 解 ：求出所列方程的解；
（5） 验 ：检验未知数的值是否符合题意；
（6） 答 ：根据题意，写出答案.
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝___售价_____-成本；
②利润率＝；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一：一元二次方程的概念
（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+5=0 B．x2﹣3x=2 C．x2+x+1=（x+1）2 D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．21cnjy.com
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、含有两个未知数，故选项错误；
B、符合一元二次方程定义，故选项正确；
C、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误；
D、不是整式方程，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．
变式跟进1（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的个数有（ ）
（1）x2+2x+1=0 （2）++2=0 （3）x2﹣2x+1=0
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0 （5）x2+x=4﹣x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：（1）x2+2x+1=0是一元二次方程；
（2）++2=0不是一元二次方程；
（3）x2﹣2x+1=0是一元二次方程；
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0不是一元二次方程；
（5）x2+x=4﹣x2是一元二次方程，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
（2017春?芝罘区校级月考）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．
变式跟进2（2017秋?徐闻县期中）方程3x2﹣1=0的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【解答】解：3x2﹣1=0的一次项系数是0，故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
考点二：一元二次方程的解
（2016秋?深圳校级期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．﹣2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．
【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0可得：m2﹣m﹣2=0，即m2﹣m=2，
故选B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．
变式跟进3（2016秋?深圳校级期中）已知关于x的方程（m+2）x2+5x+m2﹣4=0有一个解是0，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．+2或﹣2 D．不确定
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的一元二次方程，通过解该方程来求m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x2+5x+m2﹣4=0有一个解是0，
∴m2﹣4=0，解得 m=±2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21*cnjy*com
考点三：一元二次方程的解法
（2016?深圳）给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（ ）
A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2
C．x1=x2=0 D．x1=2，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，
∴3x2=12，
x2=4，
x=±2，
x1=2，x2=﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．
变式跟进4（2016秋?宝安区期末）一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=2，x2=0 D．x=16
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】先移项得到x2=4，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2=4，
x=±2，
所以x1=﹣2，x2=2．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2016秋?深圳月考）用配方法解方程x2+4x=﹣2下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2=14 B．（x+2）2=6 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x=﹣2，
∴x2+4x+4=﹣2+4，即（x+2）2=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式跟进5（2016?新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．
（2017?福田区三模）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A．x=2 B．x=3
C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先将原方程移项，然后提前公因式（x+1），将方程转化为两式之积为0的形式，然后解方程．
【解答】解：由原方程移项，得
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x=﹣1，或x=3．
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答此题是利用提前公因式法分解因式的．
变式跟进6（2017?宝安区二模）定义一种新运算：a?b=a（a﹣b），例如，4?3=4×（4﹣3）=4，若x?2=3，则x的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．x=3 B．x=﹣1
C．x1=3，x2=1 D．x1=3，x2=﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先根据新定义得到x（x﹣2）=3，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：∵x?2=3，
∴x（x﹣2）=3，
整理得x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
考点四：一元二次方程根的判别式
（2016?深圳二模）方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，
∴△=b2﹣4ac=16﹣16=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
故选A．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
变式跟进7（2016秋?深圳校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）【版权所有：21教育】
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义可得：△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，再求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵mx2+3x﹣4=3x2，
∴（m﹣3）x2+3x﹣4=0，
∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，
∴m＞且m≠3，
∴m的值可以是4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．www-2-1-cnjy-com
考点五：一元二次方程根与系数的关系
（2016秋?深圳期末）设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2016=0，即a2=﹣a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的实数根，
∴a2+a﹣2016=0，
∴a2=﹣a+2016，
∴a2+2a+b=﹣a+2016+2a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=﹣1+2016=2015．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
变式跟进8（2016秋?薛城区期中）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0
C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
∴3+1=﹣p，3×1=q，
∴p=﹣4，q=3，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
考点六：一元二次方程的应用
（2017春?深圳期末）某公司今年一月产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=1400
【分析】三年的总产值=今年的产值+明年的产值+后年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个百分数为x，则有
200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
故选C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
变式跟进9（2017?龙岗区一模）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）=80．
故选A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
一．选择题
1．（2016?广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．
（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣m、b2﹣b=﹣m，根据新运算找出b?b﹣a?a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论．
【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a2﹣a=﹣m，b2﹣b=﹣m，
∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）=m﹣m=0．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
2．（2017?广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，
∴22﹣3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21·世纪*教育网
3．（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
（x+2）2=7．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．21·cn·jy·com
4．（2017?广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（2015?广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
6．（2015?佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
7．（2016?鄂州）方程x2﹣3=0的根是 x=± ．
【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．
【解答】解：方程整理得：x2=3，
开方得：x=±，
故答案为：x=±
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
8．（2016?菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= 6 ．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m2﹣2m=3，
∴2m2﹣4m=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．（2016?吉林）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= 3 ．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
10．（2016?新疆）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到△=22+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△=22+4k＞0，
解得k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
11．（2016?梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 x（20﹣x）=64 ．
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=64．
故答案为：x（20﹣x）=64．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．
三．解答题
12．（2015?广东）解方程：x2﹣3x+2=0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2=0，
∴（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x﹣1=0或x﹣2=0，
∴x1=1，x2=2．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
13．（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）=180，21世纪教育网版权所有
解得x1=10（舍去），x2=18，
28﹣x=28﹣18=10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=200，
即x2﹣28x+200=0，
则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长=周长的一半﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．（2016?梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1?x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得：k＞，
即实数k的取值范围是k＞；
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，
∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞，
∴k只能是2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．【来源：21cnj*y.co*m】
15．（2015?珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36公顷，
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．
16．（2015?广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
17．（2016?赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可；
（2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，
解得：x1=（不符合，舍去），x2=．
答：配色条纹宽度为米．
（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
一．选择题（共28小题）
1．（2016秋?深圳校级月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x+2）（x+1）=x2 B．﹣2=0 C．x2=5 D．x2+2x=x2﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是一元一次方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2016秋?临河区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0
【分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣4=0，
解得：m=±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m=﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（2016秋?深圳校级月考）若1是方程x2﹣2x+m=0的解，则m的值（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【分析】把x=1代入方程，得到关于m的一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x=1是方程x2﹣2x+m=0的解，
∴1﹣2+m=0，
解得m=1．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，方程的解就是使方程的左右两边成立的未知数的值，把x的值代入方程求解即可，比较简单．
4．（2017春?深圳校级月考）一元二次方程x2﹣4=0的根为（ ）
A．x=2 B．x1=2，x2=﹣2 C．x=﹣2 D．x=4
【分析】首先移项，把﹣4移到方程右边，然后再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4=0，x2=4，
再直接开平方得：x=±2，
则x1=2，x2=﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．（2016秋?深圳月考）三角形两边长分别为6和5，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．15或13 B．15 C．15或17 D．13
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8=0得到x1=2，x2=4，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边为2或4，然后计算三角形的周长．21教育网
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0或x﹣4=0，
所以x1=2，x2=4，
当三角形第三边为2时，这个三角形的周长为2+6+5=13，
当三角形第三边为4时，这个三角形的周长为4+6+5=15．
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
7．（2017?安顺二模）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
8．（2017?潮阳区模拟）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C．﹣1 D．﹣5
【分析】设方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系找出x1+x2=﹣3，代入x1=﹣2即可得出x2的值．
【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣3，
∵方程的一根x1=﹣2，
∴x2=﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的系数找出x1+x2=﹣3是解题的关键．
9．（2016秋?深圳校级月考）用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果为（ ）
A．（x+2）2+100 B．（x﹣2）2﹣100 C．（x+2）2﹣100 D．（x﹣2）2+100
【分析】此题考查了配方法，若二次项的系数为1，则常数项为一次项系数的一半的平方，若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为1即可．
【解答】解：x2+4x﹣96=x2+4x+4﹣4﹣96=（x+2）2﹣100
故选C．
【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时注意常数项的变化，在变形的过程中注意检查不要改变式子的值．
10.（2017?潮阳区模拟）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，
2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
二、填空题
11．（2016秋?深圳校级月考）关于x的方程（m﹣2）﹣x=5是一元二次方程，则m= ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程定义可得m2﹣2=2．且m﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣2=2．且m﹣2≠0，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．（2016秋?昌平区期中）方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，化成一般形式是 x2﹣2x﹣9=0 ，其二次项的系数和一次项系数的和是 ﹣1 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：①由方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，得
x2﹣2x﹣35=﹣26，
即x2﹣2x﹣9=0；
②x2﹣2x﹣9=0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2，
所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）=﹣1；
故答案为：x2﹣2x﹣9=0；﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
13．（2016秋?龙岗区期末）若关于x的方程x2﹣2x+m=0有且只有1个实数根，则m= 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到（﹣2）2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4m=0，
解得m=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
14．（2016?龙岗区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是 8 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=3，然后把（1+x1）（1+x2）展开得到1+x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=3，
所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8．
故答案为8．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．21*cnjy*com
15．（2016秋?宝安区期末）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 9 元出售这种水果．
【分析】设这种商品每千克应降价x元，利用销售量×每千克利润=2090元列出方程求解即可．
【解答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得
（60﹣x﹣40）（100+×20）=2090，
解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=9．
故答案是：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握销售问题中的基本数量关系．
三、解答题
16．（2016春?深圳校级月考）解方程：x2+4x=5．
【分析】首先把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后进行开方即可．
【解答】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，
∴x2+4x+4=9，
∴（x+2）2=9，
∴x+2=±3，
∴x1=1，x2=﹣5．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程的知识，
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．（2016秋?深圳校级月考）（1）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
（2）已知a≠0，b≠0，且x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解，求的值．
【分析】（1）在本题中，把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
（2）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．
【解答】（1）解：x2﹣2x=2，
x2﹣2x+1=3，
（x﹣1）2=3，
x﹣1=±，则x=1±，
解得x1=1+，x2=1﹣；
（2）解：依题意得
a+b=10，==5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（2016秋?深圳校级月考）已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0；当m为何非负整数时：2-1-c-n-j-y
（1）方程没有实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据题意可得：△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＜0且m为非负整数，再进行计算即可，21教育名师原创作品
（2）根据题意可得：△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）=0且m为非负整数，再进行计算即可，
（3）根据题意可得：△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＞0且m为非负整数，再进行计算即可．
【解答】解：（1）∵方程没有实数根，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＜0且m为非负整数，
∴m＞3，
当m＞3时方程没有实数根．
（2）∵方程有两相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）=0且m为非负整数，
∴m=3
∴当m=3时方程有两相等的实根．
（ 3）∵方程有两个不相等的实根
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＞0且m为非负整数，
∴m为0、1，
∴当m为0、1时方程有两不相等的实根．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
19．（2016秋?福田区校级期中）如果一元二次方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值．
（1）x12+x22；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）．
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=3、x1?x2=1．
（1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1?x2的代数式，代入数据即可得出结论；
（2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1?x2=1．
（1）x12+x22=﹣2x1?x2=32﹣2×1=7；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）=x1?x2﹣2（x1+x2）+4=1﹣2×3+4=﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2=3、x1?x2=1是解题的关键．
20．（2016秋?深圳期末）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20x），每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，或60x+80x﹣2x2=650
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）设每件工艺品降价x元出售，则根据题意可得：
（100﹣x﹣40）（200+20x）﹣2000=22500，
整理得：x2﹣50x+625=0
解这个方程得：x=25
答：当售价100﹣25=75元时能达到利润22500元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
