北师大版2017春季班七年级下册数学全册学案(无答案)

第一章
整数的乘除
1．1　同底数幂的乘法
【知识重点】
【类型一】
底数为单项式的同底数幂的乘法
1.计算：(1)23×24×2；
（－a）3·(－a)2·(－a)3
mn＋1·mn·m2·m.
m2n+1
·mn-1
【类型二】
底数为多项式的同底数幂的乘法
1.计算：
(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(y－x)2·(y－x)5.
(x+y)n·(x+y)n+1·(x+y)m-1+(x+y)2n+1·(x+y)m-1
【类型三】
指数的奇偶性计算
1.（1）、－23·(－2)2·(－2)3
（
2）、（x－y）4·(y－x)7
（
3)、xp·(－x)2p·(－x)2p+1
(p为正整数)
（4）、64·（－2）2n·(-2n)
(n为正整数)
【类型四】
运用同底数幂的乘法求代数式的值
1.（1）、若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【类型五】
同底数幂的乘法法则的逆用
1.（1），已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
（2），已知2x+3=64，求x的值
【巩固练习】
一、填空题
1.计算：10×10=
.
2.计算：（a－b）·（a－b）=
.
3.计算：a·a·a=
.
4.计算：2·2=2.（在括号内填数）
5.计算：37·3-1·312=
.
6.计算：(a-b)11·(b-a)4=
7.计算：4×2×64=
二、选择题
1.的计算结果是（
）
A.；
B.；
C.；
D..
2.下列各式正确的是（
）
A．3a·5a=15a；
B.－3x·（－2x）=－6x；
C．x·x=x；
D.（－b）·（－b）=b.
3.下列各式中，①，②，③，④，⑤.正确的式子的个数是(
)
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
4.计算(a3)2+a2·a4的结果为(
)
A.2a9；
B.2a6；
C.a6+a8；
D.a12.
5.若，则x等于（
）
A.7；
B.4；
C.3；
D.2.
三、解答题
1、计算：
（1）、
（2）、；
（3）、（n是正整数）.
（4）、；
2、.一台电子计算机每秒可作次运算，它工作秒可作运算多少次？
3、已知，，求的值.
4、已知22n+1·8n=64，求n的值.
已知，，，求a、b、c之间有什么样的关系？
1．2　幂的乘方与积的乘方
第1课时　幂的乘方
【知识重点】
【类型一】幂的乘方
1.计算：
(a3)4;
(2)(xm－1)2；
[(24)3]3;
(4)[(m－n)3]4.
【类型二】
逆用幂的乘方比较数的大小
1.
请比较2100与375的大小．
【类型三】
逆用幂的乘方，求代数式的值
1.已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
【类型四】
逆用幂的乘方结合方程思想求值
1.已知221＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式x＋y的值为________．
【巩固练习】
一、选择题
1．计算（x3）2的结果是（
）
A．x5
B．x6
C．x8
D．x9
2．下列计算错误的是（
）
A．a2·a=a3
B．（ab）2=a2b2
C．（a2）3=a5
D．－a+2a=a
3．计算（x2y）3的结果是（
）
A．x5y
B．x6y
C．x2y3
D．x6y3
4．计算（－3a2）2的结果是（
）
A．3a4
B．－3a4
C．9a4
D．－9a4
5．计算（－0.25）2010×42010的结果是（
）
A．－1
B．1
C．0.25
D．44020
二、填空题
1．－（a3）4=_____．
2．若x3m=2，则x9m=_____．
3．－27a6b9=（
）3．
4．若a2n=3，则（2a3n）2=____．
5.若27x=1000,求3x=
.
三、计算题
1．计算：x2·x3+（x3）2．
计算：（）100×（1）2100×（）2009×42010．
解答题
已知3x+y-5=0,求27x·3y的值
2.已知216＝4y＋1，27y＝3x－9，则代数式x－y的值为________．
1．2　幂的乘方与积的乘方
第2课时
积的乘方
【知识重点】
【类型一】
直接运用积的乘方法则进行计算
1.
计算：(1)(－5ab)3;
(2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3;
(4)(－xmy3m)2.
【类型二】
含积的乘方的混合运算
1.
计算：
(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
（2）(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
【类型三】
积的乘方的实际应用
1.太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)
【类型四】逆用积的乘方进行简便运算
1.计算：()2014×()2015.
2.若（an·bm·b）3=a9b15,求m、n的值
【类型五】
逆用积的乘方比较数的大小
1.
试比较大小：213×310与210×312.
【巩固练习】
1．计算：[－（x3y2n）3]
2．
2．（一题多变题）已知am=5，an=3，求a2m+3n的值．
（1）一变：已知am=5，a2m+n=75，求an；
（2）二变：已知am=5，bm=2，求（a2b3）m．
3．已知273×94=3x，求x的值．
4．某养鸡场需定制一批棱长为3×102毫米的正方体鸡蛋包装箱（包装箱的厚度忽略不计），求一个这样的包装箱的容积．（结果用科学记数法表示）
5．试比较35555，44444，53333三个数的大小．
1．3　同底数幂的除法
第1课时　同底数幂的除法
【知识重点】
【类型一】
直接运用同底数幂的除法进行运算
1.
计算：
(－xy)13÷(－xy)8；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；
(a2＋1)7÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【类型二】
逆用同底数幂的除法进行计算
1.
已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【类型三】
同底数幂除法的实际应用
1.声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：【来源：21·世纪·教育·网】
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
【类型四】
比较数的大小
1.
若a＝(－)－2，b＝(－1)－1，c＝(－)0，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【类型五】
含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算
1.
计算：－22＋(－)－2＋(2015－π)0－|2－|.
【巩固练习】
一、填空题
1.计算：=
，=
.
2.在横线上填入适当的代数式：，.
3.计算：
=
，
=
．
4.计算：=
.
5.计算：＝___________．
二、选择题
1.下列计算正确的是（
）
A．（－y）7÷（－y）4=y3
B．（x+y）5÷（x+y）=x4+y4；
C．（a－1）6÷（a－1）2=（a－1）3
D．－x5÷（－x3）=x2.
2.下列各式计算结果不正确的是(
)
A.ab(ab)2=a3b3
B.a3b2÷2ab=a2b；
C.(2ab2)3=8a3b6
D.a3÷a3·a3=a2.
3.计算：的结果，正确的是（
）
A.
B.
C.
D..
4.
对于非零实数，下列式子运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.若，,则等于(
)
A.
B.6
C.21
D.20
6.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则89的个位数字是（
）
A.2
B．4
C．8
D．6
三、解答题
1.计算：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
2.计算：
⑴；
⑵；
⑶；
(4)2-2×8×64÷32
(5)35n÷92n－27n÷(－3)2n
(6)(－)－1－2＋(π-3.1423)0－(－2)－3
3.地球上的所有植物每年能提供人类大约大卡的能量，若每人每年要消耗大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？
4.
解方程：（1）；
（2）.
5.
已知,求的值.
6.已知,求(1)；(2).
1．3　同底数幂的除法
第2课时　用科学记数法表示较小的数
【类型一】
用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.
2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为(　　)21教育网
A．1.06×10－4
B．1.06×10－5
C．10.6×10－5
D．106×10－6
【类型二】
将用科学记数法表示的数还原为原数
1.用小数表示下列各数：
(1)2×10－7;
(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3;
(4)2.17×10－1.
1.4
整式的乘法
【知识重点】
【类型一】
单项式乘以单项式
1.（1）（2xy3）·（xy2）
（2）（x2y）·（－y2z）
（3）－6a2b2
·
4b3c
（4）（－2a3b4）·（－3ac）
【类型二】
单项式乘以多项式
1.(1)2ab(5ab2+3a2b)
(2)
(3)(－12xy2－10x2y+21y3)(－6xy3）
(4)
2(x+y2z+xy2z3)
·xyz
【类型三】
多项式乘以多项式
1.(1)(1 x)(0.6 x)；
（2）
(2x
+
y)(x y)
(3)
(x+y)(x–y);
(4)
(x+y)(x2–xy+y2)
【类型四】
整式乘法的化简求值
1.先化简，再求值：（x+2y）(2x+y)－(3x－y)(x+2y),其中x=9,y=
【巩固练习】
1．下列计算正确的是
(
)
A．9a3·2
a2＝18
a5
B．2
x5·3
x4＝5
x9
C．3
x3·4
x3＝12
x3
D．3
y3·5
y3＝15
y9
2．下列计算错误的是
(
)
A．(-2.4
x2
y3)·(0.5
x4)＝-1.2
x6
y3
B．(-8
a3bc)·=
a4
b2cx
C．(-2
an)
2·(3
a2)3＝-54
a2n+6
D．x2n+2·(-3
xn+2)=-3x3n+4
3．一个长方体的长、宽、高分别是3
x-4，2
x和x，则它的体积是
(
)
A．3
x3-4
x2
B．22
x2-24
x
C．6x2-8x
D．6
x3-8
x2
4．下列各式中，运算结果为a2-3
a-18的是
(
)
A．(a-2)(
a+9)
B．(a-
6)(
a+3)
C．(a+6)(
a
-3)
D．(a+2)(
a-9)
5．(-x5)
2·(-x5·x2)
2＝
．
6．(xn)
2+5
xn-2·xn+2＝
．
7．=
.
8．(4×103)
3·(-0.
125×102)
2＝
．
9．(0.1ab3)·(0.3a3bc)＝
．
10．a3
x3(-2
ax2)＝
．
11．xy·
=-x
y2z.
12．计算．
(1)(-3
an+2b)
3(-4abn+3)2；
(2)(-7
a2
xn)(-3
ax2)(-
am
xn)(m>0，n>0)；
(3)2
xy(x2+xy+y2)；
(4)0.5mn(5
m2
+10
mn-4
n2)；
(5)
an
(an-
a2-2)；
(6)
xn+1
(xn-
xn-1+
x)(n>1)；
(7)(-0.5a)．
化简求值：(3m-
7)(3
m
+7)-2m，其中m＝-3；
解方程(x-3)(
x+1)＝x
(2x+3)-(
x2+1)．
15，探索题．
(1)计算(x+1)(
x-1)；
(2)计算(x2+
x+1)(
x
-1)；
(3)计算(x3+
x2+
x+1)(
x-1)；
(4)猜想(xn+
xn-1+
xn-2+…+
x+1)(
x-
1)等于什么．
1.5
整式的除法
【知识重点】
【类型一】单项式除以单项式
1.计算：（1）8a3÷(－2a)
(2)8a6b4c÷4a2b2
(3)(a3b4)÷(－ab2)
(4)9x4y5z÷(3x3y4)·x2y
【类型二】多项式除以单项式
1.计算：（1）（6a3+3a2）÷a
(2)(－4a3－7a3b2+12a2b)÷(－2a)2
(3)(3a2b－ab2)÷(－ab)
(4)(－4m3n－7m3n2+4m2n)÷(－2m2)
（5）
（6）
【类型三】解答题
1.凤燕和丽君做游戏，两人各报一个整式，丽君报的整式作为除式，凤燕报的整式作为被除式，要求商式必须是4x2y.
若凤燕报的是x7y5－4x5y4+16x2y,则丽君报的整式是什么？
（2）若凤燕报的是（－2x3y2）2+5x3y2,丽君能报出一个整式吗？请说明理由。
【巩固练习】
一、选择题
1．计算[(－a)3]
4÷(－a4)3的结果是（
）
A．－1
B．1
C．0
D．－a
2．下列计算正确的是（
）
A．2x3b2÷3xb=x2b
B．m6n6÷m3n4·2m2n2=m
C．xy·a3b÷（0.5a2y）=xa2
D．4a6b4c÷a3b2=4a2b2c
3．64a9b3c÷（
）=16a8b3c，括号中应填入（
）
A．a
B．4a
C．4abc
D．4a2
4．如果M÷（－3xy）=4x3－xy，则M=（
）
A．－12x4y+3x2y2
B．12x4y－3x2y2
C．－12x4y－3x2y2
D．12x4y+3x2y2
5．若（x－1）0－3（x－2）0有意义，那么x的取值范围是（
）
A．x>1
B．x>2
C．x≠1或x≠2
C．x≠1且x≠2
二、填空题
1．计算：
（1）（－3m2n2+24m4n－mn2+4mn）÷（－2mn）=_______
（2）（32x5－16x4+8x3）÷（－2x）2=_______
2．光的速度为3.0×108米/秒，那么光走6×1021米要用_____秒？
3．一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边为2ab，则周长为___．
4．与anb2相乘的积为5a2n+3b2n+3的单项式是________．
三．计算：
（1）、（5a2b2c3）4÷（－5a3bc）2
、（2a2b）4·3ab2c÷3ab2·4b
（3）、（4×105）2÷（－2×102）3
解答题
1、若（xm÷x2n）3÷xm－n与4x2为同类项，且2m+5n=7，
求4m2－25n2的值．
2．化简求值：（－x4y7+x3y8－x2y6）÷（－xy3）2，
其中x=－1，y=－2．
1.6
平方差公式
【知识重点】
【类型一】
直接运用平方差公式进行计算
1.
利用平方差公式计算：
(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(－7m＋8n)(－8n－7m)
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【类型二】
利用平方差公式进行简便运算
1.利用平方差公式计算：
(1)20×19；
(2)13.2×12.8.
（3）99×
101
（4）105×135
【类型三】
化简求值
1.
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【类型四】
平方差公式的几何背景
1.
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
【类型五】
平方差公式的实际应用
1.
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
【巩固练习】
一、选择题
1、20022－2001×2003的计算结果是（
）
A、
1
B、-1
C、2
D、-2
2、下列运算正确的是（
）
A.(a+b)
2=a2+b2
B.
(a-b)
2=a2-b2
C.
(a+m)(b+n)=ab+mn
D.
(m+n)(-m+n)=-m2+n2
二、填空题
1、若x2-y2=12，x+y=6则x=_____;
y=______.
2、(
+
)(
-
)=a2
-
9
3、一个正方形的边长增加
3cm
，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长为_____________.
三、利用平方差公式计算：
(１)502×498；
(2)
704×696

(3)
(22+1)(24+1)(26+1)(28+1)
1.7
完全平方公式
【知识重点】
【类型一】
直接运用完全平方公式进行计算
1.
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2
【类型二】
利用完全平方公式求字母的值
1.
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值
【类型三】
灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值
1.
若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
求＋的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
【类型四】
完全平方公式的几何背景
1.
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b
【类型五】
与完全平方公式有关的探究问题
1.
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．2-1-c-n-j-y
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.2
【巩固练习】
一、判断题；
（1）
（a－b）2=
a2－b
2
（
）
（2）
(a＋2b)
2=a2＋2ab＋2b2
（
）
（3）
（－a－b）2=
－a2－2ab＋b
2
（
）
（4）
（a－b）2=（b－a）2
（
）
二、填空题
1、（x＋y）2＋（x－y）2=
；
2、x2＋
＋9＝（_____＋______）2；
3、4a2＋kab＋9b2是完全平方式，则k＝
；
4、（
）2－8xy＋y2＝（
-
y）2
三、运用平方差或完全平方公式计算：
（1）（2a＋5b）（2a－5b）
（2）（－2a－1）（－2a＋1）；
（3）（2a－4b）2
（4）（2a＋b）2
（5）
10022
（6）（－4m－n）2
四、解答题
1、要给一边长为a米的正方形桌子铺上桌布，四周均留出0.1米宽，问桌布面积需要多大？
2、已知：（a＋b）2=7
，（a－b）2=9，求a2＋b
2及ab的值。
整式的运算测试
填空题：
单项式－x2y3次数是_____，系数是　　．
多项式是___次__项式．
3．同底数幂相乘，底数_____,指数______.
4．计算(1)
x3·x5=____.
(2)
－x·(－x)4=____
.(3)
(
x2)3·x5=____.
(4)
(－3x3)2=_____.
5．计算(1)
x6÷x2=___.
(2)
3－3=____.
(3)
(－2)0=___.
(4)
()－2=___.
6．计算_______．
7．计算2x2y·(－3xy+y3)=________.
8．计算(x－3y)(
x－5y)=
．
9．计算(x+5y)(x－5y)
=___________.
10．计算：①(x+2y)2=
；②(2x－3)2=
．
二．选择题
11．在代数式、2x2y、、－5、a
中，单项式的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．某工厂第一年生产a件产品，第二年比第一年增产了20%，则两年共生产的件数为
(
)
A．0.2a
B．a
C．1.2a
D．2.2a
13．若
3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m、
n的值是
(
)
A．3和－2
B．－3和2
C．3和2
D．－3和－2
14．下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(a－nb)(nb－a)
B．(－m+n)(－m－n)
C．(－1－a)(a+1)
D．(ax+b)(a－bx)
15．计算：0.1253×(－8)3的结果是
(
)A．－8
B．8
C．1
D．－1
16．计算(－a)6÷(－a)3的结果是(
)A．a3
B．－a2
C．－a3
D．a2
三．解答题：
17．计算:－a2b4+(－4ab3)·(ab)
计算(x+2y)(x－2y)－(2x－y)(x－y)
19.先化简再求值：
(－x2+5x+4)+(5x－4+2x2),其中x=－2
先化简，再求值：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a+b)(a－b)，其中a=，b=－1．
光的速度约为3×108米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒的时间，你知道地球距离太阳大约有多远吗？
选作题
22．(－x2－y)2的运算结果正确的是
(
)
A．－x2－2xy+y2
B．－x4－2x2y+y2
C．x4+2x2y+y2
D．x4－2x2y+y2
23．长方形的面积为6a2－3ab+9a，若它的一边为3a，则它另一边长为_________________.
24．解方程：x(3x－4)=3x(x－3)+8
‘
第二章
相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
【知识重点】
【类型一】
判断和寻找对顶角
1.如图2，图中共有________对对顶角
【类型二】
求余角和补角
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
1.找对顶角
∠α
∠α的余角
∠α的补角
32°
62°23′
x
2.一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角
【类型三】
求最短距离
（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
1.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短 画出图来，并说明原因．
【巩固练习】
1．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有(
)
A.7个
B.6个
C.5个
D.3个
2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是(
)
A.相交、平行
B.相交、垂直
C.平行、垂直
D.平行、相交、垂直
3．下列说法中错误的个数是(
)
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(3)不相交的两条直线叫做平行线；
(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．21教育名师原创作品
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是(
)
A.
B.
C.
D.
5．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于(
)
A.30°
B.34°
C.45°
D.56°
6．如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表示点P到直线AB距离的是线段(
)
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
二、填空题
7．如图，两条直线a、b相交于点O，若∠1=70°，则∠2=_____．
8．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是_____．
9．如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为_____．
三、解答题
10．
如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．
11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25°，求∠AOE和∠DOF的度数．
2.2三线八角
1.同位角
【知识重点】
【类型一】
三线八角
1.
【类型二】
判断同位角
1.下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是(　　)
【类型三】
数同位角的个数
1.如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
2.内错角和同旁内角
【类型一】
判断内错角、同旁内角
1.
如图，下列说法错误的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
【类型二】
一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题
1.
如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．
【巩固练习】
一、填空题
1．如右图所示，∠1和∠2是直线___
___和直线___
__
被直线_______所截得的同位角.∠2和∠3是直线_____
_
2.
如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，∠1的同位角是_______，同旁内角是_______；当直线AB、AC被直线BC所截时，∠1的同位角是________；当直线AB、BC被直线CD所截时，∠2的内错角是________和直线__________被直线____
___所截得的____
___角.
3．如图，
(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；
(2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；
(3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；
(4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线
所截得的________角；
(5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线
所截得的________角．
4
.如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3的同位角等于________，∠3的内错角等于________，∠3的同旁内角等于________．
选择题
5．如图1，AB与CD为直线，图中共有对顶角（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
6．如图2所示，三条直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3等于（
）
A．90°
B．120°
C．180°
D．360°
7．如图3所示∠AOC，∠BOC，∠DOE都是直角，则相等的角有（
）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
8．如图4所示，同旁内角共有（
）
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
如图5所示，同位角共有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
10．如图6所示，图中内错角的对数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如右图，与∠ABC构成同位角的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
三、简答题
12、如图所示，已知，分别找出同位角，内错角和同旁内角各3对.
13．已知∠是∠的2倍，∠的余角的3倍等于∠的补角，求∠、∠.
2.3.1平行线的性质
【类型一】
两直线平行，同位角相等
1.
如图，直线a，b与直线c，d相交，且a//b，∠3＝70°，则∠4的度数是(　　)
A．35°
B．70°
C．90°
D．110°
【类型二】
两直线平行，内错角相等
1.
如图，AB＝CD，如果∠B＝20°，那么∠C为(　　)
A．40°
B．20°
C．60°
D．70°
【类型三】
两直线平行，同旁内角互补
1.
如图，已知a//b，∠4＝125°，则∠3的度数为(　　)
A．95°
B．85°
C．70°
D．55°
【类型四】
平行线的传递性
平行于同一直线的两直线平行
同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
1.已知AB//CD，求∠B、∠C、∠D的角度之和
2.3.2平行线的判定
【类型一】
同位角相等，两直线平行
1.
如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是(　　)
A．35°
B．70°
C．90°
D．110°
【类型二】
内错角相等，两直线平行
1.
如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为(　　)
A．40°
B．20°
C．60°
D．70°
【类型三】同旁内角互补，两直线平行
1.
如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为(　　)
A．95°
B．85°
C．70°
D．55°
【巩固练习】
一、判断题
1．两直线被第三直线所截，则内错角相等.
（
）
2．若，则是两条平行线
被第三条直线所截而成的同旁内角.
（
）
3．若直线∥，与相交，则、必相交.（
）
二、据图填空题
1．（1）∵∥（已知）
（如图1所示）
∴
（
）
（
）
=（
）
（2）∵∥
（已知）（如图2所示）
∴=
（
）
（3）∵∥
（已知）（如图2所示）
∴=
（
）
（4）∵
=（已知）（如图2所示）
∴∥
（
）
2．∵∥（已知）（如图3所示）
∴
（
）
∵∥（已知）
∴
（
）
∴(
)
3．如图4所示，∥∥，则
（1）相等的同位角有
；
（2）相等的内错角有
；
（3）互补的同旁内角有
.
4．如图（6）所示，∥，，则
.
5．如图（7），，∥，∥，则的大小关系是
.
6．若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是
.
7．如图（8），若∥∥，则
.
第三章
变量之间的关系
3.1用表格表示变量之间的关系
【知识重点】
【类型一】
常量与变量的判断
1.
写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；
(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s＝40t
【类型二】
自变量、因变量的确定
1.
A，B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y，到达时间为x.请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．
2.课堂上，学生对概念的接受能力与老师提出概念的时间（单位：分）之间有如下关系：
时间/分
0
2
10
12
13
14
16
24
接受能力/﹪
43
47．8
59
59．8
59．9
59．8
59
47．8
（1）表中反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表中的数据，你认为老师在第
分钟提出观念比较适宜？说出你的理由
【类型三】
利用表格对数据进行分析
1.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：
x(kg)
0
1
2
3
4
5
y(cm)
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法不正确的是(　　)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
2.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表:
年龄x(岁)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
身高h(cm)
48
100
130
140
150
158
165
170
170.4

下列说法错误的是(
)
A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢;
B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了;
C.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm;
D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm.
【类型四】
从表格中获取信息解决问题
1.某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月产量y/万辆
8
8.5
9
10
11
12
10
9.5
9
10
10
10.5
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？
(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
2.在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:
所挂重量x(kg)
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y(cm)
18
20
22
24
26
28
(1)上述反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当所挂重物为3kg时,弹簧多长 不挂重物呢
(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内,你能说出此时弹簧的长度吗
【巩固练习】
1．根据下表回答问题．
时间/年
1995
1996
1997
1998
1999
2000
小学五年级女同学的平均身高/米
1．530
1．535
1．540
1．541
1．543
1．550
(1)这个表格反映哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)这个表格反映出因变量的变化趋势是怎样的
2．李明为了了解自家用电量的多少，在六月初连续几天同一时刻记录了电表显示的读数，记录如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
电表读数/千瓦时
117
120
124
129
135
138
142
145
请估计李明家六月份的总用电量是多少．
3．声音在空气中的传播速度y(米/秒)(简称音速)随气温x(℃)的变化而变化．下表列出了一组不同气温时的音速．
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)当x的值逐渐增大时，y的变化趋势是什么
(2)
x每增加5℃，y的变化情况相同吗
(3)估计气温为25℃时音速是多少．
4．某商店售货时。在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y之间的关系如下
表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y与数量x之间的关系式，并求出
当数量x＝2．5
kg时，售价y是多少元．
数量x/克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
5．一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用a表示，测得的有关数据如下表：(树
苗原高100
cm)
年数a
高度h/cm
1
100+5
2
100+10
3
100+15
4
100+20
…
…
(1)试用年数a的代数式表示h；
(2)此树苗需多少年就可长到200
cm高
6．研究表明，弹簧挂上物体后会伸长，知弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
物体质量/kg
0
1
2
3
4
…
弹簧长度/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
　　（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？因变量？
　　（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是多少？
　　（3）如果物质质量为kg，弹簧的长度为cm，根据上表写出与的关系式．
　　（4）当物体质量为3.5kg，你能说出弹簧的长度吗？
　　（5）当弹簧长度为12.5cm时，根据（3）求出所挂物体质量．
3．2　用关系式表示的变量间关系
【知识重点】
列关系式时，表格同排比较，或者同列比价
【类型一】
列关系式表示变量之间的关系
1.
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)
1
2
3
4
…
距离s(m)
2
8
18
32
…
　　写出用t表示s的关系式：________．
2.
已知两个变量之间的关系满足下表（x为自变量），则y与x之间的关系式为（
）
x
…
-2
-3
-6
6
3
…
y
…
1
1.5
3
-3
-1.5
…
A.y=2x
B.y=-2x
C.y=-
D.
y=
【类型二】
用关系式表示图形的变化规律
1.
图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(　　)
A．y＝4n－4
B．y＝4n
C．y＝4n＋4
D．y＝n2
2.用形状和大小相同的黑色棋子按如图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要黑色妻子枚，则m=
,
第11个图形有
枚黑色棋子。
【类型三】
列关系式并求值
1.已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
2.用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为　
　．
【类型四】
关系式与表格的综合
1.一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
行驶时间t(h)
0
1
2
3
4
…
油箱中剩余油量Q(L)
54
46.5
39
31.5
24
…
请你根据表格，解答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？
(3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
1.小强买了一张100元的乘车IC卡，如果用x表示他乘车的次数，那么卡内的余额y（元）如表所示：
次数
x
余额
y（元）
1
100﹣1.6
2
100﹣3.2
3
100﹣4.8
4
100﹣6.4
…
…
（1）写出余额y与乘车的次数x的关系式；
（2）利用上述关系式计算小强乘了25次车后，卡内的余额还有多少元？
（3）小强用这张IC卡最多能乘多少次车？
【课后巩固】
一．选择题
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0
cm
C．物体质量每增加1
kg，弹簧长度y增加0.5
cm
D．所挂物体质量为7
kg时，弹簧长度为13.5
cm
2．一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（　　）
A．y=10x+30
B．y=40x
C．y=10+30x
D．y=20x
3．地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10﹣来表示，如图，根据这个关系式，当d的值是900时，相应的T值是（　　）
A．4℃
B．5℃
C．6℃
D．16℃
4．某次试验中，测得两个变量v和m的对应数据如下表，则v和m之间的关系最接近下列函数中的（　　）
m
1
2
3
4
5
6
7
v
﹣6.10
﹣2.90
﹣2.01
﹣1.51
﹣1.19
﹣1.05
﹣0.86
A．v=m2﹣2
B．v=﹣6m
C．v=﹣3m﹣1
D．v=
　
二．填空题（共5小题）
5．函数的自变量取值范围是　
　．
6．某公交车每月的利润y（元）与乘客人数x（人）之间的关系式为y=2.5x﹣6000，该公交车为使每月不亏损，则每月乘客量至少需达到　
　人．
7．一辆汽车以平均速度60千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程s（千米）与所用的时间t（时）的关系表达式为　
　．
8．如图的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的结果y为　
　．
　
三．解答题（共6小题）
9．为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（L）
100
94
88
82
…
（1）根据上表的数据，你能用t表示Q吗？试一试；
（2）汽车行驶6h后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）若汽车油箱中剩余油量为52L，则汽车行驶了多少小时？
（4）若该种汽车油箱只装了36L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗，为什么？
10．如图所示，圆柱的高是4厘米，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是　
　，因变量是　
　．
（2）圆柱的体积V与底面半径r的关系式是　
　．
（3）当圆柱的底面半径由2变化到8时，圆柱的体积由　
　cm3变化到　
　cm3．
11．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：
所挂重量x（kg）
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y（cm）
18
20
22
24
26
28
（1）上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）写出y与x之间的关系式，并求出当所挂重物为6kg时，弹簧的长度为多少？
12．如图所示，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径x（cm）由小变大时，剩下的一个圆环面积y（cm2）也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
（2）写出用挖去的圆的半径x（cm）表示剩下的圆环面积y（cm2）的关系式．
（3）当挖去圆的半径为9cm时，剩下的圆环面积S为多少cm2？（结果保留π）
13．小明做观察水的沸腾实验，所记录的部分数据如下表：
时间/分
0
1
2
3
4
5
6
7
8
温度/℃
20
25
30
35
40
45
50
55
60
（1）此表反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）在0﹣8分钟这段时间内，水的温度是怎么随着时间的变化而变化的？
（3）若时间记作t，温度记作w，请写出w和t之间的关系式．
你预计第几分钟时水将沸腾（水的温度达到100℃）？
　
3．3　用图象表示的变量间关系
【类型一】
用图象表示两个变量间的关系
1.
水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与A、B、C、D匹配的图象(　　)21世纪教育网版权所有
A．(3)(2)(4)(1)
B．(2)(3)(1)(4)
C．(2)(3)(4)(1)
D．(3)(2)(1)(4)
2.小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家，下面能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的大致图象是(　　)
3.2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行.小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s.下面能反映s与t的关系的大致图象是(
)
【类型二】
从图象中获取变量信息
1.如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(　　)
A．这天15时温度最高
B．这天3时温度最低
C．这天最高温度与最低温度的差是13℃
D．这天0～3时，15～24时温度在下降
2.星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？
3.如图，表示一骑自行车者和一骑摩托车者在两城镇间旅行的图象，两城镇间的距离为80
km，由图可知，骑自行车者用了6
h,骑摩托车者用了2
h，根据这个图象，你还能得到关于这两个旅行者在这一旅途中的哪些信息？
【课后巩固】
1．如图6—13所示的是一游泳池断面图，分为深水区
和浅水区，排空池里的水进行清理后，打开进水阀门连续向该池注水(此时已关闭排水阀门)．则游泳池
的蓄水高度h(米)与注水时间t
(时)之间的关系的大致图象是(如图6—14所示)
(
)
2．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时(洗衣机内无水)，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种变量关系，其图象(如图6—15所示)大致为
(
)
3．早晨小强从家出发，以v1的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以v2的速度向学校行进．已知v1>
v2，如图6—16所示的图象中表示小强从家到学校的时间t(分钟)与路程s(千米)之间的关系的是
(
)
4．如图6—17所示的是一位护士统计某病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为
(
)21·cn·jy·com
A．39．0℃
B．38．5℃
C．38．2℃
D．37．8℃
5．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”．如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，横轴x表示父亲离家的时间，那么如图6—18所示的图象中与上述诗的含义大致吻合的是
(
)
6，如图6-19所示，向高为h的圆柱形水杯注水，已知水杯底面半径为2，那么水深y与注水量x之间关系的图象是
(
)
7．甲、乙两个水桶内水面的高度y(cm)与放水(或注水)的时间x(分)之间关系的图
象如图6-20所示，当两个水桶内水面的高度相同时，x约为
分．(精确到0．1分)
8．城镇人口占总人口比例的大小表示城镇化水平的高低，如图6-21所示，可知城镇化水平提高最快的时期是
9．四个容量相等的容器形状如图6—22所示，用同一流量的水管分别向这四个容器注水，所需时间都相同，如图6—23所示的是容器水位(h)与时间(t)的关系的图象．
请把适当的图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接．
10．如图6—24所示的图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化．的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：21世纪教育网版权所有
(1)20时的温度是
℃，温度是0℃时的时刻是
时，最暖和的时刻是
时，温度在-3℃以下的持续时间为
时；
(2)从图象中还能获取哪些信息 (写出1~2条即可)
11．如图6—25所示的是甲、乙两人在争夺冠军中的比赛图，其中t表示赛跑时所用时间，s表示赛跑的距离，根据图象回答下列问题：
(1)图象反映了哪两个变量之间的关系
(2)他们进行的是多远的比赛
(3)谁是冠军
(4)乙在这次比赛中的速度是多少 21世纪教育网
第四章
三角形
【知识重点】
三角形的性质
三角形内角和为180°
三角形三条边，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
三角形的角平分线、高和中线都是线段，三角形的重心是三条中线的交点
三角形的面积
三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和
考点一：三角形内角和为180°
【类型一】
求三角形内角的度数
1.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（　　）
A．120°
B．80°
C．60°
D．40°
3.如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．2
【类型二】
判断三角形的形状
1.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法判定
2.若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角
考点二：三角形边长的关系
【类型一】
判定三条线段能否组成三角形
1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)
A．2cm，3cm，5cm
B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm
D．3cm，4cm，9cm
2.下列线段能组成三角形的是（　　）
A．1，1，3
B．1，2，3
C．2，3，5
D．3，4，5
3.下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3
B．1，2，4
C．3，4，5
D．4，4，8
【类型二】
判断三角形边的取值范围
1.已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜5
B．2＜a＜6
C．3＜a＜7
D．4＜a＜6
2.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　)
A．3＜x＜11
B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11
D．x＞3
3.在下列长度的四根木棒中，能与3cm和7cm的两根木棒围成一个三角形的是（　　）
A．7cm
B．4cm
C．3cm
D．10cm
【类型三】
三角形三边关系与绝对值的综合
1.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
考点三：三角形的高、中线、角平分线
【类型一】
应用三角形的中线求线段的长
1.
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
【类型二】
利用中线解决三角形的面积问题
1.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
2.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【类型三】
三角形高的画法
3.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
【类型四】
根据三角形的面积求高
1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．
【类型五】
三角形的内角与角平分线、高的综合运用
1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
【课后巩固】
1．有长度分别为10
cm，7
cm，5
cm和3
cm的四根铁丝，选其中三根组成三角形，则
(
)21·世
A．共有4种选法
B．只有3种选法
C.
只有2种选法
D．只有1种选法
2．如图5—17所示，在ΔABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线
BD上向右移动，则
(
)
A．ΔACB将变为锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．ΔACB将先变为直角三角形，然后再变为锐角三角形，而不
会再是钝角三角形
C.ΔACB将先变为直角三角形，然后变为锐角三角形，接着又
由锐角三角形变为钝角三角形
D．ΔACB先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角
形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
3．如图5—18所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，
∠BAD＝30°，则∠C的度数是
(
)
A．70°
B．80°
C．100°
D．1l0°
4．如图5—19所示，ΔABC中，点D，E分别在AB，BC边上，DE∥AC，∠B＝50°，
∠C＝70°，那么∠1的度数是
(
)
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
5．如图5—20所示，在ΔABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则
∠BDC＝
．
6．如图5—21所示，在ΔABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点
D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝36°，则∠B＝
度．
7．任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，然后画出经过每个三
角形中最大角的顶点的角平分线、中线和高．观察这三个图形，说出所画的角平分
线、中线和高在三角形的内部还是外部．
8．如图5—22所示，DE是过ΔABC的顶点A且与BC平行的直线，请利用这个图形
说明∠BAC+∠B+∠C＝180°．
9．如图5—23所示，已知∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动．BE是
∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，则∠ACB的
大小是否变化 如果保持不变，请说明原因；如果随点A，B的移动而发生变化，求
出变化范围．
10．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：
①平行线之间的点在连接线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；
②符合①要求的线段必须全部画出．
如图5—24所示，图(1)展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图(2)展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．
(1)当n＝3时，请在图(3)中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个
数为
．
(2)试猜想：当有n对点时，按上述规则画出的图形中最少有多少个三角形
(3)当n＝2006时，按上述规则画出的图形中最少有多少个三角形
3　三角形全等的条件
1.三角形的全等模型
SSS
【类型一】
利用“SSS”判定两个三角形全等
1.如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.试说明：△ABC≌△DEF.
【类型二】
“SSS”与全等三角形的性质综合进行证明
1.如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．试说明：AD⊥BC.
2.已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
【课后巩固】
1．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=
。
2．如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（
）
A．△ABD≌△ACD　　　　　　　
B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半
D．AD平分∠BAC
3．如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH。试用你所学的知识说明理由。
4．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
SAS
【类型一】
利用“SAS”判定三角形是否全等
1.
如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.试说明：△AEF≌△BCD.
2.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．
3.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
4.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）
A．AB=CD
B．EC=BF
C．∠A=∠D
D．AB=BC
【类型二】
利用全等三角形进行证明或计算
1.如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．
2.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.试说明：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
3.如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．
4.
如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.
【课后巩固】
1.如图，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（
）
A、AB=DC;
B、OB=OC;
C、∠A=∠D;
D、∠AOB=∠DOC
2.如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC=AD，则下列结论错误的是（
）
A、BC=BD;
B、CE=DE;
C、BA平分∠CBD;
D、图中有两对全等三角形
3.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC=DF，BE=CF，只要再找出边
=边
，或∠
=∠
，或
∥
,就可以证得△DEF≌△ABC.
4．如图，AE=AF，∠AEF=∠AFE，BE=CF，说明AB=AC。
5.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC,
且
AE∥BC.
说明：（1）△AEF≌△BCD；(2)
EF∥CD.
6.如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
7.如图,OA平分∠BOC，并且OB=OC请指出AB=AC的理由．
8.如图,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？小明是这样分析的：因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA），他的思路正确吗？请说明理由.
9.
如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，请说明AC=BD的理由．
10.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．
求证：AE＝CF．
ASA、AAS
【类型一】：全等三角形判定定理“ASA”
、“AAS”
1.
如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE.
2.
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF.2-1
3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是(
)
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.①②③都带去
【类型二】
利用全等三角形进行证明或计算
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：
(1)△BDA≌△AEC；
(2)DE＝BD＋CE.
2.如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证：BE＝CF.
【课后巩固】
1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　
）
A.
∠A　　　　
B.
∠B　　　
C.
∠C　　　
D.
∠B或∠C
2．如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（
）
A.AB∥DC
B.∠B＝∠D
C.∠A＝∠C
D.AB＝BC
3．下列判断正确的是（
）
A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
4．如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（
）
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
5．如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是(
)
A.边角边
　　　　B.角边角
　　C.边边边　　　　
D.角角边
6．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（
）
A.EC⊥AC
B.EC＝AC
C.ED
＋AB
＝DB
D.DC
＝CB
二、填空题
7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.
9．如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）
10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.
11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B
＝20°，则∠C＝_______．
12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌
，△ADC≌
.
三、解答题
13．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，
求证：CO＝DO．
14．已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．
求证：∠ACD＝∠ADC．
15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
生活中的轴对称
5.1轴对称现象
把具有轴对称特征的图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
【知识重点】
【类型一】
生活中的轴对称
知识点1：把具有轴对称特征的图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
1.下列图形中．不是轴对称图形是(
)。
2.下列图形是轴对称图形的是(
)
3.下列图形中，是轴对称图形有(
)
4.下列图形中，是轴对称图形有(
)．
A．1个
B．2个
C．3个　　D．4个
5.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(
)
6.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．我们扬州的民间剪纸作品享誉中外．下面的一组剪纸作品，属于轴对称图形的有
(
)个。
A.1
B.2
C.
3
D.4
7.下列汽车标志中，是轴对称图形的有（
）个
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8.以下国旗图案中，只有一条对称轴的是（
）
A.2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
9.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【类型二】
中心轴对称图形
知识点2：中心对称图形：将图形旋转180度之后可以得到原图的图形叫做中心对称图形
1.下列图形中，是中心对称图形的是(
)
2.下列图形中，是中心对称图形的是（
）．
3.下列图形中，是中心对称图形的是（　　）．
4.下面四个图形中，不是中心对称图形的是(
)
5.下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是(
)．
6.
观察下列银行标志，从图案看是中心对称图形不是轴对称图形的有（
）个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）www.中考资源网
8.下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　）
A
B．
C．
D．
【类型三】
轴对称图形的画法
知识点：轴对称的性质①在轴对称或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴平方分，对应线段相等，对应角相等
（1）画对称图形
画出下面图像的对称图形
①
②
③
（2）找对称轴
5.
2
等腰三角形
【知识重点】
知识点：等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
【类型一】利用“等边对等角”
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
2.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
3.等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．
5.等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试说明：EC∥DF.
7．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问
△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【类型二】：三线合一
1.
如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，如图①，试说明：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，试说明：AF⊥BC.
2.如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，
①
若△BCD的周长为8，求BC的长；
②
若BC=4，求△BCD的周长．
【课后巩固】
1、下列说法中正确的是（
）
A、角是轴对称图形，它的平分线就是对称轴
B、等腰三角形的内角的平分线,中线和高三线合一
C、直角三角形不是轴对称图形
D、等边三角形有三条对称轴
2、等腰三角形的一个内角是50°，那么其它两个内角分别是（
）
A、50°和80°
B、65°和65°
C、50°和80°或65°和65°
D、无法确定
3、等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是(
).
A、42°
B、60°
C、36°
D、46°
4、如右图，∠ABC中,AD⊥BC,AB=AC,
∠BAD=30°,且AD=AE,则∠EDC等于(
).
A、10°
B、12.5°
C、15°
D、20°
5、如右图,PM=PN,MQ为△PMN的角平分线,若∠MQN=72°,则∠P的度数是(
).
A、18°
B、36°
C、48°
D、60°
6、已知△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,△ABC的周长为36厘米,△ADC的周长为30厘米,那么AD等于(
).
A、6cm
B、8cm
C、12cm
D、20cm
7、如右图,PQ为Rt△MPN斜边上的高,
∠M=45°,则图中等腰三角形的个数是
（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8、在线段、角、等腰三角形、正三角形中，是轴对称图形有（
）个
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
9、如右图,在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、
∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为(
).
A、12
B、10
C、9
D、8
10、如果三角形一边的中线和这边上的高重合,那么这个三角形是(
).
A、等边三角形
B、等腰三角形
C、锐角三角形
D、钝角三角形
11、在△ABC中,
∠B=∠C=40°,D、E是BC上的两点,且∠ADE=∠AED=80°,则图中共有(
)个等腰三角形.
A、6个
B、5个
C、4个
D、3个
12、在△ABC中,
∠ABC=∠ACB,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,过D作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,则图中的等腰三角形有____个,分别有______.
（第9题）
（第10题）
（第12题）
（第13题）
13、如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
14、已知:如下图,P,Q是△ABC边上BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
5.3线段垂直平分线
【知识重点】
知识点1：线段垂直平分线的的定义
知识点2：线段垂直平分线的的性质
性质1：.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
性质2:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
性质3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心(circumcenter)，并且这一点到三个顶点的距离相等。
【类型一】：线段垂直平分线与长度
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）
A、6
B、5
C、4
D、3
2.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）
A、7
B、14
C、17
D、20
第2题图
第3题图
3.
如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　_________　．
4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
【类型二】：线段垂直平分线与角度
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）
A、80°
B、70°
C、60°
D、50°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A、AE=BE
B、AC=BE
C、CE=DE
D、∠CAE=∠B
3.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　_________　度．
4.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
【类型三】：线段垂直平分线与画图（2条弧）
1.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A、△ABC的三条中线的交点
B、△ABC三边的中垂线的交点
C、△ABC三条角平分线的交点
D、△ABC三条高所在直线的交点
2.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）
A、两人都正确
B、两人都错误
C、甲正确，乙错误
D、甲错误，乙正确
3.在AB上找一点P，使P到
M、N两点的距离相等。
4.在直线MN上找一点P点，使P到射线OA和OB的距离相等。
【课后巩固】
一、选择题
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是
（
）
A.∠CAD<∠CBD
B.∠CAD＝∠CBD
C.∠CAD>∠CBD
D.无法判断
2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（
）
A.
AB＋DB>DE
B.
AB＋DBC.
AB＋DB＝DE
D.
无法判断
题2图
题4图
3．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60
cm和38
cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是
（
）
A．24
cm和12
cm
B.16
cm和22
cm
C．20
cm和16
cm
D．22
cm和16
cm
4．如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是
（
）
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P
C.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接
A′B，则A′B与L的交点为P
5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是
（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
二、填空题
6．到线段AB两个端点距离相等的点，在
.
7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2
cm，则BD＝
cm．
题8图
题9图
题10图
三、解答题
8．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求
∠PAQ的度数．
9．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8
cm，AB＝6
cm，BC边的垂直平
分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长
．
如图所示，已知AB＝AC＝20
cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC
于点D，若△DBC的周长为35
cm，求BC的长．
题11图
题12图
题13图
11．如图所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知
△ADE的周长为12
cm，求BC的长．
12．如图所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1
km，B村到公路l的距离BD＝2
km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）
13．如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
5.4角平分线
【知识重点】
知识点1：角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
知识点2：角平分线的性质：
性质定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等。
性质定理2：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线
( http: / / www.21cnjy.com"
\t
"_blank"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )，是线段。角的平分线是射线。
【类型一】：性质定理1
1.
到三角形三边的距离相等的点是三角形（
）
A．三条边上的高的交点
B．三个内角平分线的交点
C．三边上的中线的交点
D．以上结论都不对
2.
下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC
中∠BAC
的平分线上任意一点到三角形的三边的距离
相等，其中正确的（
）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
3.已知
AD
是△ABC
的角平分线，DE⊥AB
于
E，且
DE=3cm，则点
D
到
AC
的距
离是(
)
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.6cm
题3图
题4图
4.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）
A．4㎝　
　
B.
6㎝　
　C.
10㎝　
　
D.
不能确定
5.
如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．
【类型二】：性质定理2
1.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________
题1图
题2图
2.如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（　　）
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
3.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（　　）
A．全部正确
B．仅①和②正确
C．仅①正确
D．仅①和③正确
题3图
题4图
4.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
【类型三】：角平分线的画图
1.作图题（不写作法，保留痕迹，写结论）
（1）作∠AOB角平分线；
（2）作线段AB垂直平分线．
2.如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）
3.阅读材料：如图，AB=AC，BD=CD，则可证得AD平分∠BAC，据此我们引出了“角平分线”的尺规作法．
4.问题：如图，AD=AE，AB=AC，也可证得AP平分∠BAC，据此我们能否引出了“角平分线”的第二种尺规作法呢？请在图中尝试着画出∠α的平分线．
【课后巩固】
一、选择题
1．三角形中，到三边距离相等的点是（
）
（A）三条高线交点．
（B）三条中线交点．
（C）三条角平分线交点．
（D）三边垂直平分线交点．
2．如图，MP⊥NP，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中，不正确的是（
）
（A）TQ＝PQ．
（B）∠MQT＝∠MQP．（C）∠QTN＝90o．
（D）∠NQT＝∠MQT．
（第2题）
（第3题）
（第4题）
3．如图，AB＝AC，AE＝AD，则①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③O在∠BAC的平分线上，以上结论（
）
（A）都正确．
（B）都不正确．
（C）只有一个正确．
（D）只有一个不正确．
4．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC＝60o，则∠A的度数是（
）
（A）10o．
（B）20o．
（C）30o．
（D）40o．
5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（
）
（A）直角三角形．
（B）等腰三角形．
（C）等边三角形．
（D）等腰直角三角形．
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（
）
（A）DE＝DF．
（B）ME＝MF．
（C）AE＝AF．
（D）BD＝DC．
7．已知：如图，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于
D，∠A＝50o，则∠BDC的度数是（
）
（第6题）
（A）70o．
（B）120o．
（C）115o．
（D）130o．
8．已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（
）
（A）2cm、2cm、2cm．
（B）3cm、3cm、3cm．
（C）4cm、4cm、4cm．
（D）2cm、3cm、5cm．
（第7题）
（第8题）
二、填空题
9．到一个角的两边距离相等的点在
．
10．一个三角形三边长为3，a，7，若它的周长是4的倍数，则a＝
．
11．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于
．
12．如图，△APQ为等边三角形，且∠B＝∠BAP＝∠QAC＝∠C，则∠BAC＝
．
（第12题）
（第13题）
（第14题）
13．如图，△ABC≌△A1B1C1，且∠A∶∠ABC∶∠ACB＝1∶3∶5，则∠BCA与∠B1A1C的比等于
．
14．如图，已知BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40o，∠ADG＝130o，则∠DGF＝
．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90o，AM是∠CAB的平分线，CM＝20cm，那么M到AB的距离为
．
（第15题）
（第16题）
16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在
，理由是
．
三、解答题
17．如图，∠AOB是直角，OP平分∠AOB，OQ平分∠AOC，∠POQ＝70o
，求∠AOC的度数．
18．如图，∠B＝∠C＝90o，M是BC上一点，且∠AMD＝90o，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．
19．如图，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的角平分线上．
20．如图，P是△ABC的外角∠EAC的平分线AF上的任意一点，求证：△ABC的周长小于△PBC的周长．
21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．
22．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC,AD为∠BAC的平分线，AE＝BC，DE⊥AB垂足为E，求证△DBE的周长等于AB．
23．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50o，∠OPC＝30o，求∠PCA的大小．
24．如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM＝CN．
25．已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线．
第六章
概率初步
6．1　感受可能性
【知识重点】
必然事件：在一定条件下重复进行实验时，在每次实验中必然会发生的事件（1）
确定性事件
不可能事件：在一定条件下重复进行实验时，在每次实验中不可能会发生的事件（0）
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，也称偶然性事件（0-1）　　　　　　　　　　
【类型一】：必然事件、不可能事件和随机事件的辨别
1.
一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是(　　)
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
2.
下列事件中不可能发生的是(　　)
A．打开电视机，中央一台正在播放新闻
B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范
C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快
D．太阳从西边升起
下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④测量三角形的内角和，结果是180°.其中是随机事件的是________(填序号)．
4.从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（　　）
A．标号小于6
B．标号大于6
C．标号是奇数
D．标号是3
【类型二】：随机事件发生的可能性
1.
掷一枚均匀的骰子，前5次朝上的点数恰好是1～5，则第6次朝上的点数(　　)
A．一定是6
B．是6的可能性大于是1～5中的任意一个数的可能性
C．一定不是6
D．是6的可能性等于是1～5中的任意一个数的可能性
2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
3.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性．
（1）买20注彩票，获特等奖500万．
（2）袋中有20个球，1个红的，19个白的，从中任取一球，取到红色的球．
（3）掷一枚均匀的骰子，6点朝上．
（4）100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品．
（5）早晨太阳从东方升起．
（6）小丽能跳100m高．
4.有12张标有数字2，2，2，3，3，4，4，4，5，5，6，7的卡片，从中任意抽取一张，
（1）抽出的数字是4和5的可能性哪个大？
（2）抽出的数字是奇数和偶数的可能性哪个大？
（3）连续抽5次（抽出后不放回去），抽出的五个数组成的五位数最小可能是多少？
【课后巩固】
1、下列说法正确的是（　　）
A．随机事件发生的可能性是50%
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
2、如图，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中，从A地到B地有两条水路、两条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中，从A地不经B地直线到C地，则从A地到C地可供选择的方案有（　　）
A．20种 B．8种 C．5种 D．13种
3、一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
4、有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（　　）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
5、下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．通常水加热到100℃时沸腾
B．测量孝感某天的最低气温，结果为﹣150℃
C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
6、下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放《新闻联播》
B．抛掷一次硬币正面朝上
C．袋中有3个红球，从中摸出一球是红球
D．阴天一定下雨
7、下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　）
A．水中捞月
B．拔苗助长
C．守株待兔
D．瓮中捉鳖
8、抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（　　）
A．出现的点数是7
B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2
D．出现的点数为奇数
9、如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：
①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，
则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．其中正确的判断有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10、“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件
B．随机事件
C．确定事件
D．不可能事件
11、从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（　　）
A．标号小于6
B．标号大于6
C．标号是奇数
D．标号是3
12、下列事件为必然事件的是（　　）
A．小王参加本次数学考试，成绩是150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
13、“a是实数，|a|<0”这一事件是（　）
A．必然事件
B．不确定事件
C．不可能事件
D．随机事件
14、下列事件中，是必然事件的为（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．江汉平原7月份某一天的最低气温是-2℃
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》
15、下列事件中是必然事件的为（　　）
A．有两边及一角对应相等的三角形全等
B．方程x2-x+1=0有两个不等实根
C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比也是1∶4
D．圆的切线垂直于过切点的半径
16、如图，从A地到B地有3条路线可供选择，从B地到C地有2条路线可供选择，则从A地到C地可供选择的方案有_______种．
17、下列说法
（1）抛一枚质量分布均匀的硬币，是“正”是“反”无法预测，全凭运气．因此，抛1000次的话也许只有200次“正”，也许会有700次“正”，没有什么规律；
（2）抛一枚质量分布均匀的硬币，出现“正面”和出现“反面”的机会均等．因此，抛1000次的话一定会有500次“正”，500次“反”．
（3）如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；
（4）如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生；
你认为正确的有　　
个．
18、袋中有5个红球，6个白球，12个黑球，每个球除颜色外都相同，事先选定一种颜色，若摸到的球的颜色与事先选定的一样，则获胜，否则就失败，为了尽可能获胜，你事先应选择的颜色是　　．
19、初一（3）班共有学生50人，其中男生有21人，女生29人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性　　（填“大”或“小”）．
20、玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的2种不同款式的书包和2种不同款式的文具盒中，分别取一个书包和一个文具盒进行款式搭配，则不同搭配的可能有　　种．
21、不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出　　球的可能性最大．
22、从10名学生（6男4女，其中小芳为女生）中，抽选6人参加“防震知识”竞赛．若规定男生选3人，则“选到小芳”的事件应该是____（选填“必然事件、不可能事件、随机事件”）．
23、在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事件是可能发生，还是不可能发生，或者必然发生．
（1）从口袋中任意取出1个球，是一个白球；
（2）从口袋中一次任意取出5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任意取出5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐全了；
（5）从口袋中一次任意取出6个球，有红色的球．
24、（2008 衡阳）不透明的口袋里装有2个红球2个白球（除颜色外其余都相同）．
事件A：随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球；
事件B：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，两次都摸到相同颜色的球．
试比较上述两个事件发生的可能性哪个大？请说明理由．
25、从1，2，3，4，5这五个数中任意取两个相乘，问：
（1）积为偶数，属于哪类事件？有几种可能情况？
（2）积为奇数，属于哪类事件？有几种可能情况？
（3）积为无理数，属于哪类事件？
26、世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）求每小组共比赛多少场？
（2）在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？
27、用十个球设计一个游戏，使摸到红球、白球的可能性相同，并且摸到黄球的可能性比摸到红球的可能性小．
6.2频率的稳定性
【知识重点】
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值
称为事件A发生的频率。
稳定性：在试验次数很大时，事件A发生的频率都会在一个常数附近摆动，即事件的频率具有稳定性，这个常数叫做事件A发生的概率，表示为
P（A）
=
【类型一】：概率与频率
1.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是实验总次数的40%，下列说法错误的是(　　)
A．钉尖着地的频率是0.4
B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C．钉尖着地的概率约为0.4
D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
2.小尚和小文在一次用频率去估计概率的实验中，统计
了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符
合这一结果的实验可能是（
）
A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C.抛一枚硬币，出现正面的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
3.
一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下(结果保留两位小数)：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“車”字朝上的频数
14
18
38
47
52
____
78
88
相应的频率
0.70
0.45
0.63
0.59
0.52
0.55
0.56
____
(1)请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分；
(2)如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的概率，请估计这个概率约是多少？
【类型二】：频率的稳定性
1.在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,……,如此重复大量的摸球实验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%.对此实验,他总结出下列结论:①若进行大量的摸球实验,摸出白球的频率应稳定于30%;②若从布袋中随机摸出一球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是(　　)
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
2.小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是（
）．
A．0
B．1
C．0.5
D．不能确定
3.下列说法正确的是（
）．
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
4.下面4个说法中，正确的个数为（
）．
（1）“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大
（2）袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％”
（3）小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％
（4）“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小
A．3
B．2
C．1
D．0
5.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0．1）
（2）假如摸一次，你到白球的概率P（白球）＝______；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【类型三】相关计算
1.设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，事件C为“取出的是蓝球”，则P（A）＝______，P（B）＝______，P（C）＝______．
2.某批篮球质量检验结果如下：
抽取的篮球数n
400
600
800
1000
1200
优等品频数m
376
570
744
940
1128
优等品频率m/n
0.94
____
____
____
____
(1)填写表中优等品的频率；
(2)这批篮球优等品的概率估计值是多少？
3.
某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表:
移植总数n
400
750
1
500
3
500
7
000
9
000
14
000
成活数m
369
662
1
335
3
203
6
335
8
073
12
628
成活的频率
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
(1)根据表中数据,估计这种幼树移植成活的概率是多少 (精确到0.1)
(2)该地区已经移植这种幼树4万棵,那么这种幼树大约能成活多少棵
(3)在(2)的条件下,如果该地区计划成活9万棵幼树,还需要移植这种幼树多少棵
【课后巩固】
1．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：____________．
2．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______．
3．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，事件C为“取出的是蓝球”，则P（A）＝______，P（B）＝______，P（C）＝______．
4．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．
5．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．
6．从下面的6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数的概率为______．
7．在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．
8．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．
9．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：
被调查人数n
1001
1000
1004
1003
1000
满意人数m
999
998
1002
1002
1000
满意频率
（1）计算表中各个频率；
（2）