课件30张PPT。11.1 与三角形有关的线段第2课时 三角形的高、中
线与角平分线第十一章 三角形1课堂讲解三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回顾旧知垂线的定义：线段中点的定义： 当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 把一条线段分成两条相等的线段的点.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.知1－导1知识点三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的
对边的垂线吗?你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 从三角形的一个顶点向它
的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形
这边上的高，简称三角形的高.
如图所示.ABC知1－导如图, 线段AD是BC边上的高.注意：标明垂直的记号和垂足
的字母.知1－讲锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.知1－讲知1－讲直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形.将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______; AB直角边AB边上的高是______;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______. BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.ABCDEF钝角三角形的三条高(1) 钝角三角形的三条高交于
一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.O钝角三角形的三条高不相交于
一点.钝角三角形的三条高所在直线
交于一点.知1－讲 叫做三角形这边上的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段知1－讲三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部知1－讲如图，(1) (2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？知1－练1(1)中的∠B是锐角，高AD在△ABC内部．
(2)中的∠B是直角，高AD与边AB重合．
(3)中的∠B是钝角，高AD的垂足在CB的延长线上，
即高AD在△ABC的外部．
当∠C是锐角时，如果∠B是锐角，高AD在△ABC
的内部；如果∠B是直角，高AD与边AB重合；如
果∠B是钝角，高AD的垂足在CB的延长线上，即
高AD在△ABC的外部．解：知1－练规律：(长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )2知1－练A知1－练在直角三角形中，有两条高是它的________，
另一条高在这个三角形的________．锐角三角形
的三条高的交点在______________，直角三角形的三条高的交点在_______________________，钝角三角形的三条高所在直线的交点在_________________．3直角边内部三角形的内部三角形的外部两直角边的交点处知2－导2知识点三角形的中线如图 (1)，连接△ABC的顶点A和 它所对的边BC的中点D，
所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的中线.用同样方法， 你能画出△ABC 的另两条边上的中 线吗？知2－导在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形这边上的中线.如图 (2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三
条中线的交点叫做三角形的重心.取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条 中线的
交点，木板会保 持平衡，这个平衡点就 是这块三
角形木板的 重心.知2－讲在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
知2－讲例1因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC＋
CD)和(AD＋AB)，无法确定谁为12 cm，谁为15
cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因
此可建立方程的模型，利用设未知数来求解．导引：设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，
10 cm，7 cm.解：知2－讲知2－练填空： 如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB= 2 __________, BD=_______, AE=
________.1AD或BFCDAC知2－练若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是( )
A．AB＝BC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC2三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形3AB知2－练如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是( )
A．2 B．3 C．6 D．不能确定4A知3－导3知识点三角形的角平分线 如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，
你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？叫做三角形的角平分线.ABCD因为AD是△ABC的角平分线，任意画一个三角形,然后利用
量角器画出这个三角形三个角
的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的
内部.知3－讲知3－讲ACBFEDO因为BE是△ABC的角平分线，所以______=________= _______.所以∠ACB=2_______
=2__________.∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF因为CF是△ABC的角平分线，∠BCF知3－讲1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；
它们的联系是都是平分角。2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶
点，另一个端点要落在对边上.如下页图（2)，AD, BE, CF是△ ABC的三条角平分线，则∠1=______, ∠3=
_______, ∠ACB= 2_______.
1知3－练∠2∠ABC∠4如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线2知3－练D今天我们学了什么呢？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们
的画法.
2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应
用.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
一、学习目标：
1.通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；
2.会画出任意三角形的高线、角平分线、中线；
3.通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．
二、学习重、难点：
重点：能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．
难点：在钝角三角形中作高
三、学习过程：
知识点：三角形的高
定义：
(2)高的叙述方法（如图）：
几何语言
画出下列三角形的高
由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条高相交三角形的 ；
（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的 ；
（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；
（5）交点我们叫做三角形的垂心。
知识点：三角形的中线
定义：
作出下列三角形三边上的中线
2、由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条中线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 ；
（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 ；
（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 ；
（5）交点我们叫做三角形的 。
知识点：三角形的角平分线
定义：
1、作出下列三角形三角的角平分线：
2、由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条角平分线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；
（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；
（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；
（5）交点我们叫做三角形的 。
总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条 。
四、达标检测：
三角形的三条高在（ ）
A.三角形的内部 B. 三角形的外部
C.三角形的边上 D.三角形的内部，外部或边上
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.在三角形ABC中，D是BC边上的任意一点，AE垂直于BC于E，图中以AE为高的三角形个数有 个。21世纪教育网版权所有
5．如图所示，已知△ABC：
（1）过A画出中线AD；（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高．
6如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出
图中所有相等的角和相等的线段。
7.在直角三角形ABC中，∠BAC=900，AD是BC边上的高，BC=13CM,AB=12CM,AC=5CM.
求（1）△ABC的面积;(2)AD长。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
教学目标
认识三角形的高、中线与角平分线.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点.www.21-cn-jy.com
重点、难点
1.重点:(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.2·1·c·n·j·y
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
2.难点:(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)不同的三角形三条高的位置关系.
教学过程
看一看
三角形按边分可以,分成几类?按角分呢?
(1)三角形按边分类如下:
三角形 不等三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
(2)三角形按角分类如下:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
把下面图表投影出来:
三角形的
重要线段
意义
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.
2.BE=EC=BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=∠BAC.
仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系?
(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的高、中线和角平分线是代表线段而不是射线或直线注意区别！！
三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.21世纪教育网版权所有
二、做一做
1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.
三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.21教育网
2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.
3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?21cnjy.com
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.21·cn·jy·com
三、议一议
通过以上观察和操作你发现了哪些规律？
四、作业
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
说教材
（一）教材的地位和作用
本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为以后三角形的内心、重心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。故学好本节内容是十分必要的。因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。21世纪教育网版权所有
（二）教学目标分析
本节课的教学设计力图体现“尊重学生，注重发展”的教学理念，着重培养和发展学生基本作图能力、语言表达能力、观察能力等，根据这一目的确定本节教学目标为：21教育网
教
学
目
标
知识技能
1、理解三角形的高、中线、角平分线的概念
2、能正确作出一个三角形的高、中线、角平分线
数学思考
1、通过观察、探究与描述等数学活动，感受数学语言的准确性，提高观察能力，语言表达能力，发展推理能力。
2、通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力
解决问题
通过对三角形的高、中线及角平分线定义的理解，运用它们解决问题
情感态度
通过学生作图、观察、比较、描述图形等数学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，提高学生学习数学的热情及大担探究新知识的创新能力。
重点
掌握三角形的高、中线、角平分线的概念，并能在具体三角形中画出它们
难点
在各种三角形中作出它们的高
说教法
情境创设法 利用人字型屋顶钢架的中柱，三角形状的风筝骨架等，引出三角形
中的特殊线段，使数学能密切联系实际体现知识的形成和应用过程。以实际问题为出发点和归宿，更能贴近学生生活，体现由具体到抽象再到具体的过程，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。
2、加强新旧知识的联系 三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系，进一步丰富了学生对图形的认识和感受。
3、加强学生学习的主动性与探究性 在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究图中的发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。当学生在探究过程中遇到困难时，我层层设问，启发诱导，设计适当的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不是替代他们思考，并鼓励探究多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获。21cnjy.com
4、运用多媒体《几何画板》等作为教辅工具，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
三、说学法
1、本节重点是三角形的三种重要线段，难点是对三角形的角平分线、中线、高的准确理解、作图与正确运用，而突破难点的关键是运用好数形结合的数学思想从画图入手，获得三种线段的直观形象，进一步架起数与形之间的桥梁，加强知识间的相互联系。21·cn·jy·com
2、三角形的高、角平分线与垂线、角的平分线有很强的联系，但又有区别，故要用比较法讲清其联系与区别，加深对所学知识的理解，又复习已学内容。
3、小组讨论、合作探究，既可让学生互相启发，互相促进，积极交流，表达思想又可促进数学思考，扩大和加深对问题的认识，本节课中我让学生以小组进行探究，归纳图形特征，做到仔细观察，大胆探索，勇于发现，抽象概括。让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，从而改变学生学习的方式，发展创新思维能力。www.21-cn-jy.com
四、说教学流程
依据本节课的教材知识结构及学生认知规律和发展水平，为优化教学过程，实现“尊重学生、注重发展”的课堂教学要求，特制定本节课的教学流程如下：
活动流程图
时间安排
活动内容和目的
活动1 创设情景，引出新知
2’
通过生活实例，引出新知，激发学生求知欲
活动2 探究三角形的高
10’
了解三角形高、中线、角平分线的定义，能在各类三角形的中正确作出它们，以培养学生探究能力，合作精神，提高作图能力与语言表达能力
活动3 探究三角形的中线
9’
活动4探究三角形的角平分线
9’
活动5 练习巩固，深化拓展
15’
巩固新知
五、说教学过程
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1 创设情景，引出新知
生活实例演示：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段
生欣赏图片，师引导生从观察实物中抽取数学图形
从生活实例引出新问题，调动学生学习积极性
活动2 探究三角形的高
问题1 已知的边AB= 6cm,BC=4cm,AC=3cm高AD=2cm,求
问题2 你能描述三角形的高吗？
问题3 一个三角形有几边？那么高有几条呢？
问题4 你能做出下列三角形的高吗？
问题5 观察上面三图，你有哪些发现？
问题6 你能解决以下问题吗？
① 如图，AD
为的高
则=
=
②若一个三角形有高在它的外部，则这个三角形为
③ 如图，ADBC
CEAB，AD与CE交于点O，连结BO并延长，交于AC于下，则BF AC
④下图中作的高正确的是（ ）
师提出问题，生独立解答，教师关注学生对高和边的对应关系是否明确
利用上图，让生用语言描述，师加以修正。
生动手作图，师巡视指导，重点关注学生作图的基本功
生观察，小组交流，师加以辅导，再让他们叙述小组所探究的结论，师加以适当修正与鼓励。
在活动中，师应重点关注：
①学生能否多方位的加以探究
②学生能否用流利的语言描述自己的发现
③学生能否对不同的观点进行质疑，感受数学结论的正确性
学生独立思考，解决问题，师巡视辅导
本次活动中，教师应重点关注：
①学生对高的定义是否理解；
②学生对作图方法的掌握；
③学生对自己所发现结论的灵活运用
借助生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高的认识与确认，有助于新知的解决
发展学生的观察力与语言表述能力
提高学生的基本作图能力
通过小组共同活动，培养学生合作精神，发展探究能力，提高他们的语言表达能力及观察能力
通过学生练习，对三角形高的的有关知识加以巩固，让学生从运用所学知识解决问题的过程，获得成功的体验，从而激发他们学习的积极性。
活动3 探究三角形的中线
问题1
你能将
分为面积相等的两个三角形吗？
问题2 请用语言叙述三角形中
线的定义
问题3 你能作出三角形的所有
中线吗？
问题4 小组探究 观察你们所
作图形，你又有哪些发现？
4、练习：如图：AD、BE为的中线交于点O
①若AB=4cm
BC=6cm，AC=
5cm，则BD=
AE=
②若=12cm，则=③连结CO并延长交AB于F，则AF=
让生小组探究，并描述方法，师作图
生描述定义，师适当修正
生作图，师指导并关注学生对定义的理解及基本作图能力。
生以小组活动，探究所画图中蕴含了哪些特征，师重点关注
①学生的参与意识与合作意识
②学生的观察能力与语言表达能力
学生独立思考，解决问题，师重点关注：
①学生对三角形中线定义的理解及运用
②学生对图形的观察能力及数形结合的能力
培养学生动脑、动手能力，语言表达能力以及合作探究意识，检验学生对三角形中线定义的理解
了解学生对三角形的中线定义的理解及运用
活动4探究三角形的角平分线
问题1 你能作出的角平分线吗？
2、中的的平分线，又该如何做？
问：三角形的角平分线与角的平分线有何异同：
问题3 你能用同样的方法作出的另两条角平分线吗？
问题4 你从图中还可发现什么？
5、练习： BD、CE为
角平分线，且
，
，则 ，
复习作角平分线的方法，让生回顾角平分线为射线
师作图，讲解，要求生区分三角形的角平分线与角的平分线，师关注学生对新旧知识的比较
生作图，师巡视，关注学生对三角形角平分线的理解。
让生独立探究新知，师加以适当辅导。
生独立完成
检验学生对三角形角平分线的定义的理解
复习旧知识，为三角形的角平分线的学习作铺垫。
提高学生对不同知识点的识别能力，感受数学语言的准确性。
提高学生作图能力。
培养学生探究能力
活动5练习巩固，深化拓展
1、P72 1、2 P75 3、4
2、回放人字型屋顶钢架，让生判断中柱是三角形哪种特殊线段的运用。
3、思考题（选做）：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它平均分给4个儿子，在菜地的一角点A处，
有一口池塘，为了使分开后的每块菜地都就近取水，王大爷为此很伤脑筋，
你能想出什么办法帮帮大爷吗？
若不考虑水源因素，你还可以怎
样分？
先以抢答形式解决2、4，再由生独立完成了，最后小组探究1
让生利用所学知识，独立解决生活问题。
本次活动中，教师应重点关注
①学生对三角形的高、中线、角平分线定义的理解与运用。
②学生作图能力的综合体现
③学生探究能力的发展
通过练习，可以检验学生对新知是否掌握，而练习方式的多样化，是根据题目的难易程度而定，这样可调动学生学习的热情，必做题的设计，可让学习困难的学生掌握数学基础知识，而选做题的设计又可让学有余力的学生发展思维，拓展能力。生活实例的解决，是让学生感受数学和生活的联系及数学在生活中的重要性，充分体现数学来源于生活又还原于生活。
