课件30张PPT。11.2 与三角形有关的角第1课时 三角形的内角——三
角形的内角和第十一章 三角形1课堂讲解三角形内角和定理
三角形内角和的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点三角形内角和定理问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内
角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 方法：度量、剪拼图、折叠 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在
一起，就得到一个 平角.从这个操作过程中，你能发现
证明的思路吗？知1－导◎探究追问1 在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，
三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直
线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
直线l 与边BC 平行．知1－讲追问2 在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的
直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明
“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边BC
平行的辅助线l，利用
平行线的性质和平角
的定义即可证明结论．追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.知1－讲 如图, 过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC,
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,
得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角
的和等于180°.证明：知1－讲 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的
线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁
内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.知1－讲知1－练1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求
∠C的度数.解：∠C＝180°×2－(40°＋40°＋150°)＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的
度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°2知1－练D知1－练在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A
大20°，则∠A等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°3A三角形内角和定理的“三个应用”
1.已知两个角的度数求第三个角的度数.
2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.知2－讲2知识点三角形内角和的应用如图 ，在△ABC 中，∠BAC =40°， ∠B = 75°, AD是△ ABC的角平分线.求 ∠ADB 的度
数.
由∠BAC=40°，AD是
△ ABC的角平分线，
得∠BAD= ∠BAC=20°.
在△ ABD中，
∠ADB =180°－∠B－∠BAD
= 180° － 75°－ 20°=85°.例1 解：知2－讲三角形的三内角和是180o ，所以三内角可能出现的情况：一个钝角 两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角 两个锐角直角三角形三个都为锐角知2－讲知2－讲图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在
B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角
∠ ABC是多少度？从C岛 看A, B两岛的视角∠ ACB呢？例2 知2－讲A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB
是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB, ∠ ABC,
就能求出∠ ACB. 分析：解：∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80° － 50°=30°.
由 AD//BE，得
∠ BAD － ∠ ABE=180°.方法一：所以
∠ ABE=180° － ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
从B岛看A, C两岛的视角∠ ABC是
60°, 从C岛看A, B两岛的视
角∠ ACB是90°.答：知2－讲你还能想到其他解法吗？B 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，∴ CF∥ BE，∴∠2＝∠CBE ＝40 °∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °知2－讲解： 北方法二：知2－练如图，从A处观测C处的仰角∠CAD = 30°,从B
处观测C处的仰角 ∠CBD=45°.从C处观测A, B
两处的视角∠ACB是多少度？1知2－练在△ACD中，因为∠CAD＝30°，∠D＝90°，所以∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
在△BCD中，因为∠CBD＝45°，∠D＝90°，所以∠BCD＝180°－90°－45°＝45°.
所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD
＝60°－45°＝15°.解：答：从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°.
(中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( )
A．45° B．54° C．40° D．50°知2－练2C知2－练?(中考·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角
尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．340°知2－练4如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？知2－练因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，
所以∠ABD＝60°.
又因为∠DBE＝90°，
所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
所以∠ACE＝90°－40°＝50°.
所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.解：通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角
或同旁内角互补辅助线三角形的
内角和等
于180 °作平行线
转化思想三角形的内角
一、新课导入
1、平行线有哪些性质？ 2、1平角= °；3、三角形的内角和等于 °
二、学习目标
1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、自主探究
在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果。 21世纪教育网版权所有
（图1） （图2）
活动2、议一议
从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。
把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个 角。说明在中， 。 从中得出：
三角形内角和定理 。
活动3、想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？
已知： . 求证： . 21教育网
证明：如右图，过点A作直线DE，
使DE//BC
因为DE//BC，
所以∠B=∠ （ ）
同理∠C=∠
因为∠BAC、∠DAB、∠EAC组成 角，
所以∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ）
所以∠BAC + ∠B + ∠C= （ ）
说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示。 21cnjy.com
3、思考：在图2中，CM与的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？
活动4、例题
如右下图，C岛在A岛的北偏东方向， B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
(先独立解决，再小组合作，教师点评)
解：∠CBA= - = 80°- 50°=30°
由AD//BE,可得： + =180°
所以∠ABE=180°- =180°-80°=100°
∠ABC= - =100°-40°=60°
在⊿ABC中，∠ABC=180°- - =180°- 60°- 30°=90°
答： 。
想一想：你还有其他解法吗？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___；
2、在△ABC中,若∠A=80°,则∠B＋∠C=__ __；
3、在△ABC中,若∠A=400，∠A=2∠B，则∠C = 。
【B】组
4、判断对错：
（1）三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（ ）
（2）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）
（3）一个三角形最少有一个角不大于（ ）
5、如右图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，
AD是∠BAC的平分线，则∠BAD= ，
∠DAC=__ _ ,∠ADB=__ __。
6、如图,在△ABC中,∠ABC=700,∠C=650,BD⊥AC于D，
求∠ABD,∠CBD的度数
三角形的内角
教
学
目
标
知识
技能
①理解“三角形的内角和等于180°”.
②运用三角形内角和结论解决问题.
数学
思考
①通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力.
②理解三角形内角和的计算、验证，其本质就是想法把三个内角集中在一起转化为一个平角，其方法可以用拼合的方法，也可以用引平行线的方法.
解决问题
通过小组学习等活动经历得出三角形的内角和等于180°的过程，进一步提高学生应用所学知识解决问题的能力.
情感
态度
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展同学们的合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.
重点
三角形内角和定理的推导及应用.
难点
三角形内角和定理的推导、验证过程.
教学方法
问题解决教学法
教 具
课件、三角板、三角形纸片若干
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1：实践出真知
1、想想、议议：如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能否想办法知道塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法。(课件)
2、量一量：一幅三角板的每个角各是多少度?一个三角板三个内角的和各是多少?
3、猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？(动画演示)
4、动动手，仔细观察：
(1)拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角。
(2)观察，小组内观察比较，会得出什么结论？
5、你能行：
你能设计一种方案来说明你的结论吗？即三角形的三个内角之和为180°。
(课件出示两种基本的说理方法)
这样作辅助线，行吗？快试一试！
6、你真行：(课件演示)
几种常见的验证方法的辅助线作法。7、定理：三角形的内角和等于1800
生：看图读题，并思考怎样做，在小组内交流。
师：需要什么知识来解决呢？
生：小组汇总意见，推荐代表发言--可以测出侧面三角形底边的两个角后，求出塔尖处的侧面角。
生：两个直角三板的各个角的度数,一个三角板三个内角的和的度数. (口答)
生：猜一猜，说一说。
师：用几何画板演示，三角形变化，而三个内角和始终保持不变。
生：将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起，并观察思考，可能得出什么结论。
师：指导拼合形成平角。
生：分组交流与研讨，并抽一名学生说一说本组的方法。
师：深入参与活动、指导、倾听学生交流，引导多种方法说明。
师：在测量、拼图等感性活动的基础上，引导学生利用添加辅助线。
师：“感性需理性说明，得出结论要有根据”的科学态度。
创设情景，激发学生的好奇心及求知欲，适当渗透环保知识。
培养学生小组协作意识.
增强学生的感性认识。
用信息技术初步检测验证。
进一步增强感性认识，动手操作、实验说明，以引起学生思考理论说明。
培养学生合作学习，降低知识学习难度，培养多元化思维，让学生体验数学活动充满探索。
活动2：学会应用
例1：在△ABC中，∠A :∠ B: ∠ C＝ 1: 2: 3，
求∠ A、∠ B 、∠ C的度数。
分析：
解法一：
解法二；
(略)
例2：如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
师生共同探索求解：
解法一：由已知可设∠A＝x0，则∠B＝2x0，∠C＝3x0，由三角形的内角和为1800可得：
x+2x+3x＝180 解得x=30，
∴ ∠A＝300，∠B＝600 ∠C＝900。
解法二： ∵ ∠A :∠B: ∠C＝ 1: 2: 3， ∴ ∠B＝2∠A，∠C＝3 A
又∠A+∠B+∠C＝1800
∴∠A+2∠A+3∠A＝1800∴∠A＝300，∠B＝600，∠C＝900。
解法一：(师生共讲，详见书上)
探索第二种解法。(利用过C点作平行线等方法,详见课件)
解法二：(师生共讲)（略)
使学生养成说理的思维习惯，培养逻辑能力、论证能力，设比份为x求解是常用方法。
利用比例得出倍分关系求解，体现方法的多样性，应用定理进行说理，培养学生合情推理能力，利用平行线说理更快捷。
活动3：比一比，赛一赛
1、填空:(1) 在△ABC中，∠A=300，∠B=500， 则∠C＝＿＿＿＿。
(2) 在△ABC中，∠C=900，∠B=500， 则∠A＝＿＿＿＿。
(3)在△ABC中, ∠A=400，∠A=2∠B，则∠C＝＿＿＿＿。
(4)在△ABC中,∠A等于直角的一半，∠B等于直角的，则∠C＝＿＿。
2.如图,在△ABC中,∠ABC=700,∠C=
650,BD⊥AC于D，求∠ABD,
∠CBD的度数。
3、完成教材80页练习1、2题。
师：1、2题做成答题卷，巡回辅导，共评谁快谁准。
生：小组练习，合作完成。
本活动中,教师重点关注：
(1)学生是否运用三角形内角和解决问题；
(2)学生能否有条理地表达自己的思考过程；
(3)学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度；
(4)学生从中是否感受到了数学结论的严谨性。
(5)注意后进生的辅导工作.
生：规范化课堂作业。
师：师生共评，强调书定格式。
设计适当练习，使学生对刚学知识进行内化。了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心。
推理的严谨性及书写
活动4：指导实践
1、一块模板如图所示，按规定AF、DE的延长线相交成850角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连结AD，测得∠FAD=340，∠ADE=630，这时就知道AF、DE的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？(课件演示)
2、金字塔一侧面角的顶角到底是多少度呢？请翻到书第35页吧！做一做！
师：初步介绍题目。
生：小组内讨论说理。
师生：课件演示，师生共评。
生：画三角形，测量底角，利用三角形内角和，求顶角。
检验机器零件是否合格，将实际问题转化为数学问题，利用三角形内角和验证，培养学生数学建模，解决实际问题的能力。
5、回顾与小结
(1)三角形内角和定理实践探究及其运用。
(2)学好数学的方法及信心。
必要作业：教材P82第3、4题
生：口述本节课所学的内容。
生：补充
师生：共同回顾小结。
生：课后规范作业。
复习巩固本节的知识，学会总结反思，初步学会处我评价。
课后再探索:
1、一个三角形最多有几个直角？为什么？
2、一个三角形最多有几个钝角？为什么？
3、一个三角形最多有几个锐角？最少有几个锐角？
4、你能否利用三角形的内角和，求出四边形、五边形的内角和？
生；课后再探。
师：教师重点关注：
(1)学生在做题的过程中能否正确地分析问题和解决问题；
(2)学生能否用文字、字母符号等清楚的表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。
(3)学生是否愿意表达自己的观点。
给学生提供现实的、有意义的、富有挑战性的习题，通过竞赛的方式，激发学生的学习兴趣，给学生以发展空间。
板书设计:
几何描述:
论证:(例题)
论证:(练习)
教学反思
1.符合学生的认知规律．本设计先让学生动手操作以便使学生对三角形内角和有感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅人深，循序渐进，学生易接受．
2.体现自主学习、合作交流的新课程理念．无论是例题还是习题的教学均采用“尝试—交流—讨论”的方式，充分发挥学生的主体性，教师起引导、点拨的作用．
3.结合评价表，对学生的课堂表现进行激励性的评价，一方面有利于调动学生的积极性，另一方面有利于学生进行自我反思．
11.2.1 三角形的内角
[教学目标]
〔知识与技能〕
掌握三角形内角和定理。
〔过程与方法〕
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
〔情感、态度与价值观〕
体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
[重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？21世纪教育网版权所有
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]
图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
证明一
过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
即：三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
三、例题
例 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。
四、课堂练习
课本13頁1、2题。
五作业：
16頁1、3、4；
六、教后记
