角的平分线的判定
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解角的平分线的判定定理；
2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；
难点：角的平分线的判定.
三、教法学法
自主探索,合作交流的学习方式.
四、教学过程
（一）
引入新课
问题1 如图，要在S
区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500
m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P
应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
（2）．比例尺为1：20000是什么意思？
（二）合作探究
问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
【典型例题】
例 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
（三）展示点评
练习：第2题
（四）课堂小结
请你说说本届课的收获与困惑.
（五）当堂检测（满分100分）
1.到角的两边距离相等的点在
上。
2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（
）
A.三条边上的高线的交点；
B.
三个内角平分线的交点；
C.三条边上的中线的交点；
D.以上结论都不对。
3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是
。
4.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
（六）作业
习题12.3
3、7
（七）教学反思
S
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A(共20张PPT)
第十二章
全等三角形
12.3
角的平分线的性质
第2课时
角的平分线
的判定
1
课堂讲解
角平分线的判定
三角形的角平分线
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两
边的距离相等.
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
回顾旧知
1
知识点
角平分线的判定
知1－导
如图，由
于点
D
，
于点E，PD=
PE
，
可
以得到什么结论
？
OB
PE
^
PD
^
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等
的点，
在这个角的平分线上.
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
知1－讲
例1
如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于
点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
知1－讲
导引：要证AD平分∠BAC，已知
条件中有两个垂直，即有
点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即
可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证
明△BDE和△CDF全等来完成．
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
知1－讲
总
结
知1－讲
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线
上”来判定
.
判定角平分线时，需要满足两个条件：
“垂直”和“相等”.
1
解决课时导入提出的问题.
2
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB
两边距离相等的点应是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
知1－练
A
如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距
离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的
垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
知1－练
C
4
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的
外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正
确的是( )
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
知1－练
B
(中考 永州)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，
BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝
S△PCD，则满足此条件的点P( )
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
知1－练
D
2
知识点
三角形的角平分线
知2－讲
如图，△ABC的角平分线BM，
CN相交于点P.求证：点P到
三边AB，BC，
CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
直于
AB，BC,
CA，垂足分别
为D,
E，F.
∵
BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴
PD=PE.
同理PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
探究思考：
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
知2－讲
总
结
知2－讲
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，
这个交点叫作三角形的内心.
1
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
知2－练
B
知2－练
2
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，
50，60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝
______________.
4
∶
5
∶6
3
如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相
交于点P.求证：点P到
三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
知2－练
知2－练
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线
AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H.
因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点
P在BD上，
所以PG＝PH(角的平分线上
的点到角的两边的距离相等)．
同理PF＝PH，
所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA
所在直线的距离相等．
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的距离
相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就
一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，
都应在角的平分线上．
性质
判定定理角的平分线的判定
学习内容：教材P21，通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。
学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用
学习重点：角平分线的性质及运用
学习难点：角平分线的性质的灵活运用
学习方法：探究、交流、练习
学习过程：
课前巩固
画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等
学习新知
思考：教材P21
证明一个几何命题的一般步骤：
①
；
②
；
③
。
（二）应用：
1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
（2．比例尺为1：20000是什么意思？
三、基础练习
1.到角的两边距离相等的点在
上。
2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（
）
A.三条边上的高线的交点；
B.
三个内角平分线的交点；
C.三条边上的中线的交点；
D.以上结论都不对。
3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是
。
4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证
:
∠BAO=∠CAO
四、拓展延伸
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
五、课堂小结
六、当堂检测
1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处
2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，
求证：DF＝EF
3.
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
七、课后反思：
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
A
F
E
C
D
B
