课件21张PPT。第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时 利用两角一边判定
三角形全等1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角
判定两三角形全等的基本事实的推论：角角边2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1. 什么是全等三角形？2. 我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.边边边(SSS)和边角边(SAS).1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角知1－导 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？画一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB, ∠A′＝∠A ， ∠B′＝
∠B ：
(1)画A ′ B′=A B；
(2)在A′B′ 的同旁画∠DA′ B′ ＝∠A, ∠EB′ A′ ＝
∠B, A′D, B′E相交于点C′ .知1－导知1－导1.判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的两个三
角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
2. 证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A＝∠A′,
AB＝A′B′，
∠B＝∠B′ ，
∴△ABC≌△A′B′C′. ∵ 例1 已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，
AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE.
知1－讲 AC=AB ， ∠C=∠B ，
∴△ACD≌△ABE（ASA）.
∴AD=AE.分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出AD=AE.∠A=∠A（公共角），证明：在△ACD和△ABE中，知1－讲 在证两三角形全等所需要的角相等时，目前通常采
用的方法有：(1)公共角、对顶角分别相等；(2)等角加(减)
等角，其和(差)相等，即等式的性质；(3)同角或等角的
余(补)角相等；(4)角平分线得到相等角；(5)平行线的同
位角、内错角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形对应
角相等；(8)第三角代换，即等量代换等．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的图形是( )
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙知1－练C如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是( )
A．带(1)和(2)去 B．只带(2)去
C．只带(3)去 D．都带去知1－练 C(中考?安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A．∠A＝∠C B．AD＝CB
C．BE＝DF D．AD∥BC知1－练 B如图，AB ⊥ BC, AD ⊥ DC，垂足分别为 B，D, ∠1 = ∠2.求证AB=AD.知1－练知1－练 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△ADC中，
∠B＝∠D，
∠1＝∠2，
AC＝ AC （公共边），
∴△ABC≌△ADC(AAS)．
∴ AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．2知识点判定两三角形全等的推论：角角边知2－讲例2 如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及
AD的延长线的垂线CF，BE.求证：BE＝CF.知2－讲导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和
对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BED＝∠CFD，
∠BDE＝∠CDF，
BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴BE＝CF.知2－讲 判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的
结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方
法看缺什么条件，再去证什么条件，简言之：即综
合利用分析法和综合法寻找证明途径．(中考?六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所
给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
知2－练 D知2－练2 (中考?通辽)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，
其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝
CE. 求证：△ABC与△DEC全等．知1－练 证明： ∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2＋∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(AAS)．利用两角一边判定，三角形全等两角及其夹边
（ASA）两角和其中一角的对边（AAS)(1) 本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？
分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
(2) 本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，
则三角形全等” 来代替？
利用两角一边判定三角形全等
通过学生动手操作动脑思考等活动主动探索，发现规律；互动合作，解决问题
学生动手画图、剪贴探索三角形全等的“角边角”判定方法及“角角边“的推导
提前预习感知本节课的重难点提高课堂效率
并能灵活运用这些判定定理解决一些证明题
课上认真听课做好笔记课下总结并及时反思交流
使用说明
【学习目标】1．三角形全等的条件：角边角、角角边．
2．三角形全等条件小结．
3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．
4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
【教学重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明．
【学习过程】
一、复习回顾
1、三角形全等的判定Ⅰ、三角形全等的判定II的内容是什么？
2、判断两个三角形全等的推理过程，叫做________________.
3、证明三角形全等的步骤：
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②书写证明三角形全等三步骤： ⑴写出在哪两个三角形中 ⑵摆出三个条件用大括号括起来 ⑶写出全等结论
③写出最终要证得的结论
此步骤不是一成不变的，同学们应根据做题经验灵活掌握
4、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．
二、活动探究
思考探究5的结果反映了什么规律？
我们可以得出一个判定两个三角形全等的方法：
__________________________________________（可以简写成“边角边”或者“________”
[例1]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
思考探究6
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
那么由此我们能得到什么结论
_______________________________两个三角形全等（可简写成“角角边”或“_____”）
三、学以致用
图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
四、当堂检测
家庭作业同步学习全等三角形判定第三课时
五、我的收获与反思
至此，我们有五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
利用两角一边判定三角形全等
【知识与技能】
掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.
【过程与方法】
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.
【情感态度】
敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
【教学重点】
理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.
【教学难点】
探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？
鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 教材探究4.
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.
把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.
二、思考探究，获取新知
【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.
强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.
例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
证明:△ABE和△ACD中,
∠B=∠C,
AB=AC,
∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴AD=AE.
【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.
如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.
【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.
例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.
【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.
上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.
【课堂练习】
如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
【答案】利用三角形全等得到DE=AB.
证明：在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=90°,
BC=DC,
∠ACB=∠ECD.
∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.
三、运用新知，深化理解
1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.
【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.
(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.
2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).
四、师生互动，课堂小结
1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.
3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.
同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.
利用两角一边判定三角形全等
各位评委、老师大家好：
今天我说课的题目是《三角形全等的判定》，我将从以下几方面进行阐述。首先是教材分析:
一、教材分析
1.地位与作用
《三角形全等的判定》编排在本节课，教师要利用学生已有知识储备，指导学生验证新知并结合新知选择恰当的方法进行综合应用。三角形全等的判定公理是初中几何知识学习的关键，也是今后几何证明的起点。此内容对培养学生各方面智能也起着很大的促进作用。
2.教学目标
知识与技能
①掌握“已知两角及夹边画三角形”的方法，培养学生视觉空间智能的发展；
②掌握“角边角”公理及其推论，并能灵活运用它们解决实际问题。培养学生的自然观察智能和数学逻辑智能。
过程与方法：
在掌握定理及推论的基础上，灵活运用新知进行变式训练，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学方法。
情感态度与价值观：
通过变式训练，培养学生勤动手、勤动脑、勤思考的良好思维品质，以及团结协作，勇于探索的精神。
3.重点、难点
重点：“角边角”公理及其推论的应用。
难点：如何根据题目的条件和结论，选择恰当的方法证
明两个三角形全等。
二、教材处理
《新课程标准》理念中强调过程比结论重要，方法比知识重要。学习新知时，引导学生在生活中发现问题，在讨论中分析问题，在操作中验证问题，重视知识的形成过程。我将书中的例题、习题进行重组，由一题展开，由浅入深，层层铺垫，更好地体现了几何图形之间的内在联系。
三、教与学的方法及手段
在学法上，倡导学生主动参与，通过画、剪、比较等手段验证新知,在猜想、尝试与反馈中得到提高。
教法方面，教师向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究交流的过程中，真正理解和掌握基本数学知识和技能，师生共同体验发现的乐趣，形成了积极主动的学习氛围.
教学手段：利用计算机辅助教学，增加了知识的趣味性，提高了课堂时效性。
四、教学流程
1.创设情境 导入新课
老师的一个硬纸板教具不小心损坏了，希望得到学生的帮助。
设计这道题的目的在于拉近师生的距离，拉近数学和生活的距离，让学生感受到求证三角形全等也是生活的需要，从而激发学生的认知兴趣和参与愿望，使学生产生学习的兴趣。
2.实践交流 探索新知
在这个环节中，我设计了以下几个活动：
①引导：借助生活中的实际问题，教师引导学生抓住问题的实质：两个三角形有两角及夹边对应相等能否证明两个三角形全等？从而引发思索，展开讨论
②讨论：两个三角形有两角及夹边对应相等能否证明两个三角形全等？这是我们本节所要解决的中心问题。抓住这个时机，让学生展开讨论，调动已有的知识储备，但已有的知识已不能解决这个问题，进入验证的环节
③验证：教师要放手，让学生动手去做，遇到困难，产生疑问，寻求解决的办法，教师再适时加以引导，印象深刻。做出图后，我们要把它剪下来与原来的图形进行比较，验证公理，得出结论。
④结论：注意学生的主体性，让学生总结,培养语言文字智能。
得到“ASA”判定公理后，进一步启发学生利用三角形内角和定理对角进行置换，结果得到“AAS”这一推论，使学生在较短的时间内理解、掌握了两种判定全等的方法。
教师在整个环节应注意对学生给以鼓励和评价，激发学生学习的兴趣。让学生体会到成功的乐趣.要对导入的问题进行释疑，学以致用。知识重在应用，数学学习不能讲题海战术，要注重思维迁移,一题多变，注重方法的形成。
3.应用变式 内化新知
在应用方面，我注意基础和提高的双向衔接，让学生在兴奋的状态下由浅入深的解决问题。
首先，出示基本图形，
它是对ASA公理的直接应用。
已知：如图∠B=∠C ， BE=CE
求证：AB=CD
变式一，新知综合：
将BA,CD 延长相交于点F，
求证：BF=CF。
它是对新知ASA公理和AAS推论
的综合运用。
变式二：活学活用
连结EF
求证：EF平分∠BFC
学生经过分析、探索，得出，应再次使用一次SAS公理，使问题得证、突破难点、锻炼了学生的分析能力，也培养了学生解决问题的能力。
变式三：结论开放。
让学生分小组去讨论、分析、猜想、证明。适时加以点拨进行分类考虑，可以训练学生思维的深度和广度，培养学生的发散思维的能力。
变式四—-生活中的数学
可以培养学生利用所学解决实际问题的能力，达到学以致用的目的。
以上都是书中例题习题的重组，体现了条件变式、结论变式、图形变式……，从而突出了重点，突破了难点，优化了课堂结构，扩大了课容量，减轻了学生课下的学习负担，这也是素质教育对课堂教学的呼唤！在层层推进的过程中，学生会有内心体验.几何的复杂图形都是由一些基本图形演化而来的，应注重图形间的区别与联系，同时也对知识的后续发展,预备了思想和方法。
4.开放训练 体验成功
已知：如图，∠CAB=∠CDE=90°
∠B=∠ECD，AC=DE，点A、C、D在一条直线上
问：△ABC与△CDE是否全等？
BC与CE有怎样的数量关系和位置关系？
变换：将△ABC沿CD所在直线向右平移得到图2,要求点C 、D重合；图3：点C′在CD 的延长线上，BC′与CE的关系与又将如何呢？在解决这三道问题的过程中，实现了方法上的迁移，并以图3为例，让学生练习。
图4:线段AD、AB、DE又有怎样的数量关系?预测学生的情况容易得出结论AD=AB-DE，再将△ABC，△CDE分别以BC、CE为轴翻转AD、AB、DE的数量关系有将如何呢？
图4 图5
给学生以思考的空间、时间，相互交流、讨论，使学生学会学习、学会合作。得出结论AD=AB-DE。培养学生与人合作交流的能力，并让学生以此练习,动手证明。
这组提高题是围绕着图1展开的，在拓展思维的同时也培养了学生综合运用知识的能力，实现了方法上的迁移。
学生运用所学由浅入深，由一题展开，攻克了一个个难关，在提高综合运用知识的同时，也体会到较复杂图形都是由一些基本图形经过几何变换得来的。体会变化中不变的量，提供分析的思路和方法，突出了“训练为主线，思维为主攻”的原则。
5.反思小结 持续发展
学习要善于总结，在总结中提高。我给学生搭建了一个质疑、交流和相互学习的平台，保证了此环节的时间和质量（3-4分钟）引导学生从知识、方法、学习习惯等多方面进行总结和反思。
知识、方法方面的收获，教师要适时点拨，点出本节课所用到的数学思想、方法，这是学习的精髓。但不能忽视孩子们其它方面的收获.如好的听课习惯，好的思维、设想，要互相学习。这些好的收获更有助于学生的全面、和谐发展。
6.布置作业 思维延伸
⑴分层次作业：可达到因材施教，各有所获，同时可以夯实基础；
⑵探究性作业：形成知识体系。
五、板书设计
板书以两个全等的三角形为主画面，体现了本节教学的知识、方法和能力三条主线，便于学生形成表象，印象深刻。
反思：
本节课体现了：重形成、善变化；起点低、小台阶、高密度；多练习、勤反馈、抓落实、上水平。教师还要善于抓住学生智慧的火花、保护创新的萌芽，保证高质量的提问，努力营造民主、平等、和谐的教育氛围，在知识的王国里在兴趣、方法的引导下自由驰骋。
