课件36张PPT。第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课时 利用三边判定
三角形全等1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实:“边边边”
全等三角形判定“边边边”的简单应用
应用“边边边”的尺规作图2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回顾旧知对应边相等，对应角相等.1、 什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形.2、 全等三角形有什么性质？①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别
相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条
件中，有些条件是相关的. 能否在上述六个条件
中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
本节我们就来讨论这个问题.1知识点判定两三角形全等的基本事实：“边边边”知1－导1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).①只给一条边：知1－导②只给一个角：可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等.知1－导2. 给出两个条件：①一边一内角：②两内角：知1－导③两边：可以发现按这些条件画的三角形也都不能保证一定全等. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使
A′ B′=AB , B′C′=BC，C′A′ =CA.把画好的△ A′B′C′
剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？知1－导画一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ：
（1）画B′C′=BC；
（2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径
画弧，两弧相交于点A′;
(3)连接线段A′B′，A′C′.知1－导知1－导 两个三角形全等的判定1：
三边对应相等的两个三角形全等．
简写为“边边边”或“SSS”.思考 作图的结果反映了什么规律？你能用文字语
言和符号语言概括吗？注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定
了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也
是三角形具有稳定性的原理.知1－导用符号语言表达：
在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝A′B′，
AC＝A′C′，
BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).例1 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接
A与BC中点D的支架.
求证：△ABD≌ △ACD.
知1－讲分析：要证明△ABD≌△ACD，
首先看这两个三角形的三条边是
否对应相等.在△ABD和△ACD中，AB=AC （已知）,BD=CD （已证）,AD=AD （公共边）,∴ △ABD ≌ △ACD （SSS）.证明：∵ D是BC的中点,
∴ BD=CD,知1－讲知1－讲①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中；摆出三个条件用大括号括起来；写出全等结论.证明的书写步骤：如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )知1－练C如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，
F 在一条直线上，要利用“SSS”证明
△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条
件是( )
A．AD＝FB B．DE＝BD
C．BF＝DB D．以上都不对知1－练A如图，C 是AB 的中点，AD=CE，CD=BE。
求证△ACD ≌△ CBE.知1－练在△ACD和△CBE中AC=C B,AD=CE ,CD= BE ,∴ △ACD≌△CBE(SSS)． 证明：∵ C是AB的中点， ∴ A C=CB. 知1－练2知识点全等三角形判定“边边边”的简单应用知2－导 根据条件用“SSS”判定两三角形全等，再从全等
三角形出发，可证两角相等，也可求角度.知2－讲例2 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.
求证：∠BAC＝∠DAE.
导引：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显
然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为
证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证
明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得
∠BAD＝∠CAE.知2－讲证明：在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，
AD＝AE，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAE.
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.知2－讲 综合法：利用某些已经证明过的结论和性质及已知条件，
推导出所要证明的结论成立的方法叫综合法．其思维特点是：
由因索果，即从已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和
公式，推出结论．本书的证明基本上都是用综合法．
本题运用了综合法，根据条件用“SSS”可得到全等的三角
形，从全等三角形出发可找到与结论有关的相等的角．1 如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D
等于( )
A．30° B．50° C．60° D．100°
知2－练D知2－练2 如图是一个风筝模型的框架，由DE＝DF，EH＝
FH，就能说明∠DEH＝∠DFH . 试用你所学的知
识说明理由．知2－练证明：连接DH.在△DEH和△DFH中
DE＝DF，
EH＝FH，
DH＝ DH ，
∴△DEH≌△DFH(SSS)．
∴∠DEH＝∠DFH(全等三角形的对应相等 )．3知识点应用“边边边”的尺规作图知3－导 我们利用前面的结论，你可以得到作一个角等于已知角的方法吗？知3－讲例3 已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB.OABCDO′A′B′C′D′作法：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.知3－讲 作一角等于已知角的依据是利用三边分别相等
作一个三角形全等于已知的三角形.再根据全等三角
形得对应角相等.1 求作一个三角形，使它三边的长分别为3 cm，4 cm，
5 cm；并根据你作出的图形特征指出它是什么三角
形．(不说理由，不写作法，保留作图痕迹)知3－练2 如图所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB，使
∠AOB＝2∠α－∠β.
知3－练知3－练解：作法：
(1)分别以点E，P为圆心，以适当长为半径画弧，交
∠α的两边于点G，F，交∠β的两边于点M，N；
(2)作射线OA，以点O为圆心，以EF长为半径画弧l，
交射线OA于点C；
(3)以点C为圆心，以GF长为半径画弧，交弧l于点H；
以点H为圆心，以GF长为半径顺次画弧，交弧l于
点 K；知3－练(4)以点K为圆心，以MN长为半径画弧，在C，K之
间与弧l交于点R；
(5)过点R作射线OB，则∠AOB就是所求作的角(如 图)．判定两三角形全等的基本事实：“边边边”全等三角形“SSS”的简单应用应用“边边边”的尺规作图三边对应相等的两个三角形全等(边边边或SSS)；
证明全等三角形书写格式：
①准备条件；
②三角形全等书写的三步骤.
3、证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理，
最后推出结论正确的过程.12.2.1 利用三边判定三角形全等
学习目标
1、理解三角形全等的“边边边”的条件，并利用其解决问题；
2、理解作一个角等于已知角的理由．
学习重点：三角形全等条件的探索过程.
学习难点：寻找判定三角形全等的条件．
学习过程：
一、学习准备
1.全等三角形的定义
2.全等三角形的性质．
3.已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
二、合作探究
探究一：先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
探究二：给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有 种可能．
即： ．
先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
三、例题讲解
例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，
求证△ABD≌△ACD．
尺规作图：
已知：∠BAC．
求作：∠B'A'C' ,使∠B'A'C'=∠BAC．
四、巩固练习
教科书P37练习1
教科书P37练习2
五、课堂小结
1. 这节课在动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？
2. 找全等三角形对应元素的方法有哪些？
六、当堂清
1.如图，中，，，
则由“”可以判定（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．以上答案都不对
2.下列结论错误的是（ ）
Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边
Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角
Ｃ．全等三角形是一种特殊三角形
Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等
3.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知，，下列判断不正确的是（ ）
(第3题) (第4题)
A． B． C． D．
4.如图，中，，，，则________，__________．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为__________．
6.如图，AB=DE，AC=DF，BF=EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．
参考答案：1.B 2.C 3.D 4.F ABE 5. 100° 6.全等
七、学习反思
12.2.1 利用三边判定三角形全等
【知识与技能】
掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
【过程与方法】
经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
【情感态度】
通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
掌握三角形全等的“边边边”条件.
【教学难点】
三角形全等条件的探索过程.
一、情境导入，初步认识
1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.
2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条件吗?如果只满足其中部分条件的两个三角形,是否也能全等呢?
指导学生探究下列两个问题:
探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.
探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
在充分的观察、讨论、交流后,引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边边边”公理，或写成“SSS”.
【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结论,无论对与错,多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师操作演示:
由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变,由此归纳出:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)三角形具有稳定性.
例1 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）
证明:∵D是BC中点,∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
例2如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？
答：还需要AB=FD，这个条件可由AD=FB得到.
证明：∵AD=FB,∴AD+BD=BD+FB,
即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
∴△ABC≌△FDE(SSS)
【教学说明】由以上两例,应让学生掌握:
1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.
2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.
三、运用新知，深化理解
1.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是（ ）
A.△ABC≌△ADC
B.△ABE≌△ADE
C.△CBE≌△CDE
D.以上选项都对
2.如图，△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=100°，则∠DEC= 度.
3.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证:△ABD≌△ACE.
证明:在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS)
上述的证明过程正确吗?若不正确,请写出正确的推理过程.
4.如图,已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC∥EF.
【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:
1.善于利用题中已知条件和隐含条件(如题3的公共线段DE后),联想“SSS”证得三角形全等.
2.要灵活地结合三角形全等性质,以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相垂直等位置关系.
3.熟悉证题格式.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.B 2.80
3.不正确.其证明过程如下:∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
4.先证△ABC≌△DEF(SSS),∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.
四、师生互动，课堂小结
教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?
【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包含的数学思想与规律.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时应抓住以下重点：
1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.
2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.
3.强调思路分析和书写规范.
12.2.1 利用三边判定三角形全等
教材分析：
本节内容在全书和章节的地位
本节内容选自人教版初中数学八年级上册第十二章，本课是探索三角形全等条件的第一课时，是在学习了全等三角形的概念，全等三角形的性质后展开的。对于全等三角形的研究，实际是平面几何对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。因此,本节课的知识具有承前启后的作用,占有相当重要的地位。
三维教学目标
知识与能力目标
因为是第一课时，本节课主要给学生讲解全等三角形的“SSS”判定公理，同时理解三角形的稳定性，能用三角形全等解决一些现实问题，熟悉掌握“SSS”|的判定方法，能够自主探索，动手操作，在过程中体会到自主学习索取知识的乐趣，从而启发学生学习数学的方式，为下节课打下基础。
过程与方法目标
通过分解三角形的各个边和角，两个三角形做对比，用问题分解法求解，探索全等三角形的全等条件，经历认知探知过程，体会挖掘知识的过程。
通过两个三角形边与角的对比发现全等三角形的判定条件“SSS”，锻炼学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度与价值观
培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动的经验。
重点与难点
教学难点
认识三角形全等的发现过程以及边边边的辨析。能够对运用三角形判定公理“SSS”解决三角形全等问题，对三角形其他定理的拓展与思考，了解三角形的稳定性。
教学重点
利用性质和判定，关键是学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角。 准确理解“SSS”三角形判定的公理，规范书写全等三角形的证明；
教法与学情分析
教法分析
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生知其然，而且还要使学生知其所以然。针对初二年纪学生的认知结构和心理特征，和本节课的特色。本节课采用“引导发现式+自主探究式+交流讨论”相结合的教学方式。在学生探究三角形全等可能的条件时，采用引导发现式，及时点拨，明确结论；在探究哪三个条件可以构造全等三角形时采用自主探究式与交流讨论相结合的教学方式。
学情分析
学生在本章前一节学习了全等三角形的定义和性质，了解了全等三角形基本的图形特点。理解三角形全等，知道对应边，对应角等概念。在此基础上，学生容易消化本堂课的知识，三角形是最基本的几何图形之一，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。学生对于研究它的全等的判定有着足够的感知经验，但是也存在着如下的困难。全等三角形的判定对于学生的识图能力和逻辑思维能力是一个挑战，特别是学生的逻辑思维能力，在此之前学生所接触的逻辑判断中直观多于抽象，用自己的语言表述多于用数学语言表述。所以怎样引导学生发挥认知和操作方面的经验，为掌握规范和有效的数学思维方式服务将是学习本节内容的关键。
教学器具准备：
多媒体，刻度尺，圆规，剪刀；
教学过程设计
本节课教学思路大概如下：“创设情景-动手操作-归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业”；
创设情境
问题1: 小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?
问题接近现实，容易引起学生兴趣，让同学带着问题学习本章节内容，感受用数学科学解决现实问题的乐趣。
动手操作
对于图形的学习，学生的动手画图能力也很重要，在画图过程中可以锻炼学生的思维能力，熟悉运用尺规作图的技巧。
动手画一画：用刻度尺和圆规画一个ΔABC，使AB=4cm，BC=6cm，CA=5cm。
画好用剪刀剪下来。
问题设计：
1、你所画的三角形能与同桌的重合吗？
2、若它们重合，则它们满足了什么条件？
同学们分组讨论，动手操作（以上操作用几何画板简单显示）；
此过程主要向学生展示探索知识的过程；
问题拓展：
思考题：如果我们不知道三角形对应的三条边，三角形还会全等吗？
只给一个条件，三角形还会相等吗？
（一组对应边相等或一组对应角相等）
只给两个条件呢？
对应一边一角；（三角形不稳定）
对应两角；（三角形不稳定）
对应两边；（三角形不稳定）
3.给出三个条件呢？（SSS），(SAA)，(SAS)，(AAA)；
引出三角形的稳定性；(图片展示)
分组讨论的方式，得出结论：只要三边长度一样，两个三角形就会相等。
同时是稳定的。
归纳验证
全等三角形的判定定理1：
三边对应相等的两个三角形全等，
简写为“边边边”或“SSS”。
我们称：判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
注意证明的规范性：
数学语言：在△ABC和△A'B'?C' 中
AC=A'C'? （已知）
BC=B'C' （已知）
AB=A'B'? （已知）
∴△ABC≌△A'B'?C'??（SSS）
练习巩固：
对判定的应用；
练习: 已知：如图，AC=AD，BC=BD，
求证：△ABC≌ △ADC
通过练习加强对“SSS”定理的理解，和规范证明的格式。
问题解决
从上面学习我们可以解决最初的问题，小明可以买回一块一样的玻璃回家了，只要我们把三角形的每条边的长度量好，买回来的玻璃就会与原来的一样了。为了学生更容易消化新知识我们还会做简单的几道课堂习题，巩固知识点；
课堂练习：
1、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？
2、点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，则AB和DE有怎样的位置关系？请证明。
课堂小结
这是一节探索性较强的课，以学生为主老师为辅的方式，通过学生自主发现，老师旁征博引，有目的的引导学生找到答案。在学生团结合作中一步一步解决知识。学生通过本堂课的学习至少达到在以下两方面要求：
知识方面：
掌握了全等三角形的（SSS）判定，了解三角形的稳定性；
技能方面：
通过探索三角形全等条件的过程，提高了动手操作能力
和分析问题、解决问题的能力。
布置作业
（略）
思考题：如果知道三个条件，我们能够证明三角形全等吗？
可以的话要具备怎样的已知条件？
板书设计
