(共21张PPT)
第十三章
轴对称
13.2
画轴对称图形
第1课时
画轴对称图形
1
课堂讲解
轴对称变换
画轴对称图形
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
(1)这些图案有什么共同特点？
(2)能否根据其中的一部分画出整个图案？
1
知识点
轴对称变换
知1－导
在一张半透明纸张
的左边部分，画出左脚
印，如何由此得到相应
的右脚印？
请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸
纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
知1－讲
由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．
例1
将一张长方形纸片折叠，然后用笔尖扎出“14”这个数字，
将纸打开后铺平，若折痕所在直线为l，如图所示．
(1)图中的两个“14”有什么关系？
(2)在扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合，连
接点E和点E′的线段与直线l有什么关系？连接点F与点F′
时有同样的关系吗？
(3)在扎字过程中，点A与点A′重合，点B与点B′重合，线段
AB与A′B′有什么关系？
(4)∠1和∠2有什么关系？
∠3与∠4有同样的关系吗？
知1－讲
知1－讲
导引：依题意可知，两个“14”是关于直线l对称的图
形，由轴对称的性质不难解决本题．
解：(1)图中的两个“14”是以直线l为对称轴的轴对称
图形．
(2)EE′被直线l垂直平分，FF′也被直线l垂直平分．
(3)AB＝A′B′.
(4)由于两个“14”互相重合．故有∠1＝∠2，
∠3＝∠4.
轴对称变换的性质：
轴对称变换前后两个图形的形状、大小一样，
说明它们全等；即：变换前后的对应线段相等，
对应角相等．
知1－讲
下面四个图形中，把左边的图形通过轴对称变换能
得到右边的图形的是( )
知1－练
D
如图，将△ABC变换到△A′B′C′的位置，则从图中可知下列说法正确的是( )
A．△ABC与△A′B′C′是
关于x轴对称的
B．△ABC与△A′B′C′是
关于y轴对称的
C．△ABC与△A′B′C′不成轴对称
D．△ABC与△A′B′C′既关于x轴对称，
又关于y轴对称
知1－练
B
如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然
后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个
形
如“
”的图形，将纸片展开，得到的图形
是( )
知1－练
D
2
知识点
画轴对称图形
知2－导
思考
如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个
图形关于这条直线对称
的图形呢？
知2－讲
1.
依据：如果一个图形关于某一条直线对称，那么
连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．
2．画轴对称图形的步骤：
画轴对称图形要经历一找二作三连这三个步骤：
(1)找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；
(2)作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；
(3)连：按原图的顺序连接所作的各对称点．
知2－导
3．画出的新图形与原图形的关系：
(1)新图形与原图形的形状、大小完全相同；
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称
轴的对称点；
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
知2－讲
例2
如图，已知△ABC和直线l，画出与关于直线
l
对
称的图形.
分析：
△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画
出这三个顶点
关于直线l的对称点，连接这些对称
点，就能得到要画的图形.
A
B
C
l
知2－讲
画法：(1)
如图，过点A画直线l
的垂线，垂
足为O,在垂线上截取
OA'
=
OA，A'就是点A
关于直线
l
的对称点；
(2)
同理，分别画出点B，C
关于直线
l
的
对称点B',C';
(3)
连接
A'B',
B'C'，C'A'，则
△
A'B'C'
即为所求.
画好后，你也可以通过折叠的方法验证一下
A
B
C
l
O
A′
B′
C′
几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，
只要画出图形中的一
些特殊点（如线段端点）的
对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形
的
轴对称图形.
知2－讲
下列是四位同学作△ABC关于直线MN对称的
△A′B′C′，其中正确的是( )
知2－练
B
知2－练
2
如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.
解：略.
知2－练
3
用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、
角平分线对折，看看哪些部
分能够重合，哪些部
分不能重合.
解：略.
作轴对称图形的方法：
(1)确定原图形的关键点；
(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；
(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．课题
画轴对称图形
教学目标
（一）〔知识与技能〕
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
（二）〔过程与方法〕
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．
（三）〔情感、态度与价值观〕
1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．
2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．
3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重难点
教学重点：
轴对称图形对称轴的作法．教学难点：
探索轴对称图形对称轴的作法
教学方法
启发引导、尝试研讨、动手操作
教
学
过
程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．下面同学们来仔细观察一个图案．(小黑板展示)
以虚线为对称轴画出图的另一半：
[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．
[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．
[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？
[师]我们利用方格纸来试着画一画．
……
[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：
（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；
（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．
点A′就是点A关于直线L的对应点．
好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．
……
[师]画好了没有？
[生]画好了．
[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．
[师]同学们讨论一下．
……
[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．
[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？
[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了．
[师]好，下面大家一起动手做．
作法：如图（2）．
（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；
（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；
（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．
[师]大家做完后，我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
归纳：
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．
[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：
[师]现在我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P41练习
1、2．
1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．
提示：找特殊点．
答案：图（略）
2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．
（二）阅读课本P127～P130，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P45习题12.2的1、5、8、9题．
（二）预习内容P42～P44．
Ⅵ．活动与探究
[探究1]
如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？
过程：把管道L近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求．
结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．
[探究2]
为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？
过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．结果：
如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB
备课资料
参考练习
1．已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．
作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；
（2）作点B关于直线L的对称点B′；
（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；
（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．
则△A′B′C′就是所求作的三角形．
2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．
作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．
（2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．
则点M、N就是点P关于a、b的对称点．
证明：∵点P与点M关于直线a对称，
∴直线a是线段PM的中垂线．
∴OP=OM．
同理可证：OP=ON．
∴OM=ON．
3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．
Ⅰ．提出问题，创设情境
Ⅱ．导入新课Ⅲ．随堂练习Ⅳ．课时小结
附：板书设计画轴对称图形
【学习目标】：
1、能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学问题。
2、通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。
3、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。
学习重点：作轴对称图形
学习难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。
二、复习思考
1、线段公理：两点之间（
）最短
2、垂直平分线的性质：（
）
三、自主学习：回答下列问题：（
）
1、探究
：自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么 改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么
归纳：(1)
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的
、_______完全相同；
(2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________；
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴_______________。
2、把图1补成关于直线l对称的图形：（P67例1）
作法：
（2）
（3）
归纳：
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
3、如图2，如何在直线l上找一点P，使线段PA与PB的和最小？
四、学以致用
1、作五角星关于与某条直线对称的图形时，最多要选
个关键点。
第一题图
第二题图
2、如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.
五、合作探究
1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。
2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图案。
要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
六、当堂检测
P68练习
七、谈本节课收获和体会
这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流！
八、能力提升：
1.课后作业
3.
如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．
l
图1
·
·
A
B
l
图2
a
a
a
l作轴对称图形
教
学
目
标
知识与技能：能够作出一个图形关于某条直线成轴对称的图形；过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神．
教
学
背
景
分
析
教学重点
作出一个图形关于某条直线对称的图形
教学难点
作出一个图形关于某条直线（对称轴不是水平或垂直时）对称的图形
学情分析
学生在学习、掌握了轴对称的性质后，通过本节课将学会如何构造轴对称图形或根据图形的轴对称性解决实际生活中所需的问题。
教学方法
动手操作、探究
教具学具
学案、圆规、直尺才能达到本节课的学习目标和效果
辅助媒体
无
教学结构（思路）设计
【活动一】讲授启发
【活动二】任务导向【活动三】合作探究
【活动四】巩固拓展【活动五】布置作业
教
学
活
动
设
计
教学活动包括：情境创设/活动构建(自主、合作、探究、展示)
/评价检测/巩固提高/预习、复习等方面
教师活动
学生活动
设计意图
【活动一】讲授启发观察图片
T：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？【活动二】任务导向组织活动，引导学生归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【活动三】合作探究根据上述归纳，引导学生完成下面的任务（1）你能做出一个点关于某条直线对称的图形吗？（2）一条线段关于某条直线对称的图形是什么？你能做出来吗？巡视学生完成情况，并予以点评和指导例1
如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：（1）过A作l的垂线垂足为O；（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．强调作图痕迹的适当保留最后进行归纳．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．【活动四】巩固拓展书P68
练习1．请画出下列图形关于直线l对称的图形⑴
⑵⑶
⑷【活动五】布置作业书P71
习题1
观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．独立完成B点和C点关于直线l的对称点，得到△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′
课后反思