课题学习 最短路径问题
尊敬的各位老师：
上午好！我说课的内容是人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题》第一课时，我从以下几个环节来说。
一、教材分析
1、教材地位和作用
在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。
2、教材重难点
基于以上分析，我认为本节课的重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
由于学生第一次遇到要找线段和最短，无从下手；其次在证明中要另选一点，也会想不到，因此我认为本节课的难点是：（1）如何利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间，线段最短问题.（2）如何证明点C即为所求。
二、教学目标分析
根据新课标的要求及学生的实际情况，制定如下目标：
（1）知识与技能：能利用轴对称，两点之间线段最短等知识解决简单的最短路径问题。
（2）过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力。
（3）情感与价值观：通过有趣的实际问题提高学生学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。
三、教法、学法分析
教法：以老师为主导、学生为主体的引导式方式由浅入深的去教学。
学法：采用学生自主探索、合作交流的学习方式去学习。
四、教学过程设计
一）
创设情景
引出课题
学生完成导学单上两个复习题（1）作对称点的问题（2）蚂蚁怎么爬路程最短的问题。师生共同评价后引出课题。
设计意图：通过复习，引导学生回忆作对称点的方法，“两点之间，线段最短”的结论，转化的数学思想，为后面的学习打下良好的基础。
二）
引导探究
合作交流
1、出示实际问题：
学生齐读后，老师简述这个经典故事。
设计意图：以讲故事的形式来激发学生的学习兴趣。
2、转为数学问题：
你能用自己语言说说这个题目的意思吗？你能将它抽象为数学问题吗？然后学生讨论给出图形语言和符号语言，最后师生共同评定完成。
设计意图：在此能培养学生用图形语言和符号语言表达数学问题的能力，同时也让学生体会到将实际问题抽象为数学问题这一转化的思想。
3、解决数学问题：
（1）老师先抛出两点异侧的问题。（2）再追问那么两点在同侧呢？如何将点B“移”到直线的另一侧B′，并使直线l上的任意一点C,都有CB=CB′.为了突破这一难点，出示一组思考题让学生去讨论完成（题见课件）。（3）最后学生再在导学单上完成画图。
设计意图：老师的引导，降低了学生的学习难度。讨论中，人人成为了学习的主人，同时让他们再次感受到转化的数学思想。
4、证明最短问题：
为了突破这一难点，老师引导学生思考：若不在C点，就应该在直线l的另一点C′，老师给出C′的位置，学生小组合作画图找到这时的距离和，在与之前的距离和比较大小，并强调说理的依据。学生可能会对只选一个C′点不放心，因此可让学生在导学单上再选一个与C不重合的点去证明，最后思考“C′”的作用是什么？
设计意图：在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力。老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性。
5、小结探究过程：
（1）学生回顾前面的探究过程，小结解决问题的步骤是怎样的？
（2）借助了什么知识解决问题的？体现了什么数学思想？，。
设计意图：让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想。
三）巩固训练
学以致用
学生独立完成导学单上两个练习题，之后师生共同交流完成。
设计意图：让学生进一步巩固解决此类最短路径问题的方法，达到举一反三的作用，同时也培养了学生独立思考能力。
四）课堂小结
回顾反思
学生各抒己见，相互补充谈收获。
设计意图：学生谈收获，可提高他们的归纳概括能力及语言表达能力。
五）完成作业
能力提升
课本93页第15题.
设计意图：再次应用本节课所学的方法去解决生活中的此类最短路径问题，提升学生能力，完成教学目标。
总之，这节课我本着以学生为主体、教师为主导、练习为主线的三主原则去设计的。不妥之处，请多多指教。课题学习 最短路径问题
一、内容和内容解析
1．内容
利用轴对称研究某些最短路径问题.
2．内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
二、目标和目标解析
1.教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．
2.
教学目标解析
学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立
本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
四、教学过程设计
1．创设问题情境
问题1
如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．
问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
2．将实际问题抽象为数学问题
问题3
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
3．解决数学问题
问题4
如图，点A，B
在直线l
的同侧，在直线l上找到一点C，使AC
与BC的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC
与BC的和最小
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l
的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？
师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．则点C
即为所求．
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC
+BC
“最短”
问题4
你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l
上任取一点（与点C
不重合），连接AC′，BC′，．
由轴对称的性质知，
，．
∴，
．
在△中，，
∴ ．
即AC
+BC
最短．
追问1：证明AC
+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC
+BC，就说明AC
+BC最小．
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q
处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返回P
处，请画出旅游船的最短路径．
师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题．
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.(共24张PPT)
第十三章
轴对称
13.4
课题学习
最短
路径问题
1
课堂讲解
运用“垂线段最短”解决最短路径问题
运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，
线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有
线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短
路径问
题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问
题，本节
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军
饮马问题”.
知1－导
问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然
后到B
地．到河边什么地方饮马
可使他所走的路线全
程最短？
B
A
l
2
知识点
运用“垂线段最短”解决最短路径问题
追问 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
知1－导
B
·
·
A
l
追问 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
知1－导
(1)从A
地出发，到河边l
饮马，然后到B
地；
(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地
到饮马地点，再回到B
地的路程之和；
知1－导
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小(如图)．
B
A
l
C
知1－导
作法：
(1)作点B
关于直线l
的对称
点B′；
(2)连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
B
·
l
A
·
B′
C
知1－讲
例1
体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是( )
A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且
只有一条
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
C
知1－练
如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从
A处引到田地里去，则应从河边
l
的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.
1
解：图略.
理由：垂线段最短.
知2－导
2
知识点
运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
你能用所学的知识证
明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
如图，在直线l
上任取一点C′(与点C
不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴ AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′，
AC′+BC′
=
AC′+B′C′．
知2－讲
证明：
B
·
l
A
·
B′
C
C′
知1－导
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴
AC
+BC＜AC′+BC′．
即AC
+BC
最短．
某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电．
(1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图
13.4 -3，那么分支点M在什么地方时总线路
最短？
知2－讲
例2
图13.4 -3
知2－讲
(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4 -4，
那么分支点M在什么地方时总线路最短？
图13.4 -4
(1)连接AB，与l的交点即
为所求分支点M；
(2)作点B关于l的对称点B1，
连接AB1交l于点M，点
M即为分支点．
导引：
(1)如图13.4- 3，连接AB，与l的交点即为所求分支
点M.
(2)如图13.4- 4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1
交l于点M，点M即为所求分支点．
知2－讲
解：
图13.4 -3
图13.4 -4
解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：当
两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所
求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于
直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点
即为所求作的点．
知2－讲
如图13.4 -5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．
知2－讲
例3
图13.4 -5
要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，
线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段
上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关
于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，
b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最
短路线．
知2－讲
导引：
如图13.4 -5，作点P关于直线a的对称点P1，关于
直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于
点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝
P1A，PB＝P2B，所以先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走
的总路程最短．
知2－讲
解：
解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作
两次轴对称，从而构造出最短路径．
知2－讲
知2－练
(中考 黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
1
D
知2－练
如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2，0)
B．(4，0)
C．(2，0)
D．(0，0)
2
C
最短路径问题的类型：
(1)两点一线型的线段和最小值问题；
(2)两线一点型线段和最小值问题；
(3)两点两线型的线段和最小值问题；
(4)造桥选址问题．
2.
解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知
识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或
“垂线段最短”来求线段和的最小值．课题学习 最短路径问题
【教学目标】
教学知识点
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
能力训练要求
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与价值观要求
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.
【教学重难点】
重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.
【教学过程】
一、创设情景
引入课题
师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
(板书)课题
学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
二、自主探究
合作交流
建构新知
追问1:观察思考,抽象为数学问题
这是一个实际问题,你打算首先做什么
活动1:思考画图、得出数学问题
将A,B
两地抽象为两个点,将河l
抽象为一条直线.
追问2
你能用自己的语言说明这个问题的意思,
并把它抽象为数学问题吗
师生活动:学生尝试回答,
并互相补充,最后达成共识:(1)从A
地出发,到河边l
饮马,然后到B
地;
(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B
连接起来的两条线段的长度之和,就是从A
地到饮马地点,再回到B
地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C
为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C
在l
的什么位置时,AC
与CB
的和最小(如图).
强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2:尝试解决数学问题
问题1
:
如图,点A,B
在直线l
的同侧,点C
是直线上的一个动点,当点C
在l
的什么位置时,AC
与CB
的和最小
追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗
问题2 如图,点A,B
在直线l
的同侧,点C
是直线上的一个动点,当点C
在l
的什么位置时,AC
与CB的和最小
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充
如果学生有困难,教师可作如下提示
作法:
(1)作点B
关于直线l
的对称点B';
(2)连接AB',与直线l
相交于点C,则点C
即为所求.
如图所示:
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗
教师展示:证明:如图,在直线l
上任取一点C'(与点C
不重合),连接AC',BC',B'C'.
由轴对称的性质知,
BC
=B'C,BC'=B'C'.
∴AC
+BC=
AC
+B'C
=
AB',
AC'+BC'=
AC'+B'C'.
在△AC'B'中,
AC'+B'C'>AB',
∴当只有在C点位置时,
AC+BC最短.
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4
练习 如图,一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q
处接游客,然后将游客送往河岸BC
上,再返回P
处,请画出旅游船的最短路径.
基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ
为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q
在直线BC
的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR
的和最小”.
问题5 造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢
2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢
思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢 什么图形变换能帮助我们呢 (估计有以下方法)
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢 请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢 把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢
问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.
由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1
转化为AA1+A1N1+BN1.
在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>
AM+MN+BN,如图所示:
三、巩固训练
(一)基础训练
1.最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.
2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.
(二)变式训练
如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂
(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方
(三)综合训练
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短
图a 图b
四、反思小结
(1)本节课研究问题的基本过程是什么
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用
解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法
你还有哪些收获
五、作业布置
课本93页第15题.
