乘法公式——添括号
教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.
教学过程：
一、提出问题，学生自学
问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a a，那么(a+b)2
应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2
=
(p+1)(p+1)
=
_______；
(m+2)2
=
_______；
（2）(p 1)2
=
(p 1)(p 1)
=
_______；
(m 2)2
=
_______；
学生讨论，教师归纳，得出结果：
(1)
(p+1)2
=
(p+1)(p+1)
=
p2+2p+1
(m+2)2
=
(m+2)(m+2)
=
m2+
4m+4
(2)
(p 1)2
=
(p 1)(p 1)
=
p2 2p+1
(m 2)2
=
(m 2)(m 2)
=
m2
4m+4
分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 p 1，4m=2 m 2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号．
推广：计算(a+b)2
=
__________；(a b)2
=
__________.
得到公式，分析公式
结论：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
二、几何分析：
你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？
图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a2、ab、ab、b2，因此，整个面积为a2+ab+ab+b2
=
a2+2ab+b2，即说明(a+b)2
=
a2+2ab+b2.
类似地可由图(2)说明(a b)2
=
a2 2ab+b2.
三、例题：
例1．应用完全平方公式计算：
(1)(
4m+n)2
(2)(y )2
(3)( a b)2
(4)(b a)2
解答：(1)(
4m+n)2
=
16m2+8mn+n2
(2)
(y )2
=
y2 y+
(3)
( a b)2
=
a2+2ab+b2
(4)
(b a)2
=
b2 2ba+a2
例2．运用完全平方公式计算：
(1)1022
(2)992
解答：(1)1022
=
(100+2)2
=
10000+400+4
=
10404
(2)992
=
(100 1)2
=
10000 200+1
=
9801
四、添括号法则在公式里的运用
问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
学生回顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c)
=
a+b+c，a (b+c)
=
a b c
反过来，就得到了添括号法则：a+b+c
=
a+(b+c)，a b c
=
a (b+c)
理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
五、小结：
1．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
2．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.平方差公式
基本信息
名称
14.2.1平方差公式
执教者
课时
1课时
所属教材目录
人教版八年级上第14章
教材分析
人教版七年级上第二章整式的加，八年级上第十四章整式的乘法与因式分解，后面还要学习第十五章分式的运算，有关整式的运算在初中阶段就这些。整式乘法是承上启下的重要章节。
学情分析
学生从七年级学习整式的加减后接着学习整式的乘法，顺理成章，有整式加减的基础，学生学习整式乘法不是问题。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，教学过程中注意引导学生观察、分析，从而掌握公式的结构特征。
教学目标
知识与能力目标
经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
过程与方法目标
学生合作交流，探索平方差公式，在这个过程中加强学生的符号感和推理能力。
情感态度与价值观目标
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美。
教学重难点
重点
平方差公式的推导和应用
难点
灵活运用平方差公式解决实际问题
教学策略与
设计说明
创设情境—合作探究—组内交流—应用提高1创设问题情景，激发学生兴趣。2让学生发现问题解决问题
教学过程
教学环节（注明每个环节预设的时间）
教师活动
学生活动
设计意图
活动1
知识复习师问：多项式与多项式相乘的法则：
符号（a+b）（m+n）= ______________
活动2计算下列各题，小组内讨论发现什么规律？（1）（x
+
1）（x－1）；
（
2
）
（
a
+
2
）（a－2）；
（3）（3－x）（3+x）；
（
4
）（2m+n）（2m－n）．再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．活动3
看课本107页，思考图14.2-1你能根据图形面积说明平方差公式吗？老师做出实物图备用。图1
1
图2
．这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=
a2－b2．活动4利用平方差公式
计算：（1）（3x＋2）（3
x－2）；
（2）（b+2a）（2a－b）；（3）（－x+2y）（－x－2y）．活动5下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（
）（1）（x+1）（1+x）；
（2）（a+b）（b－a）；（3）（－a+b）（a－b）；
（4）（x2－y）（x+y2）；（5）（－a－b）（a－b）；
（6）102×98．在交流中让学生归纳平方差公式的特征：（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．活动6课堂练习利用平方差公式计算：（1）（5+6x）（5－6x）；
（2）（x－2y）（x+2y）；
（3）（－m+n）（－m－n）．活动6首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．（5+6x）（5－6x）是5与6x这两个数的和与差的积的形式；（x－2y）（x+2y）是x与2y这两个数的和与差的积的形式；（－m+n）（－m－n）是－m与n这两个数的和与差的形式，于是可以运用平方差公式．
生答：文字叙述是：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
活动2学生得出平方差公式（a+b）（a－b）=
a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．活动3学生动手，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）在图2中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积（a+b）（a－b）．而且，两个图面积相等，只要移动重新拼接一下就可以了，所以有（a+b）（a－b）=
a2－b2活动4小组内计算，看使用公式过程中有哪些问题，小组内纠错。学生板演。活动5学生小组内讨论为什么并回答。只有（2）、（5）、（6）能用公式，（1）、（3）、（4）不能用平方差公式，因为表示的不是两个数的和与差的积的形式。活动6答案：（1）25－36x2；
（2）x2－4y2；
（3）m2－n2．
活动1老师给出符号表达式，体现符号语言的简洁美活动2在计算的过程中发现规律，善于总结规律。活动3进一步验证两数差与两数和的积的规律，充分发挥学生主体性，让学生自主探索、发现归纳结论．这个环节教师关注（1）学生能否自己主动参与探索过程；（2）学生在交流中所投入的情感和态度．活动4让学生熟悉公式。活动5学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式．在交流中让学生归纳平方差公式的特征，更灵活使用公式。活动6
检验灵活应用平方差公式
课堂小结2分钟
小结：本节课我们平方差公式，知道了识别两个数或者是两个式子，只要符合两个数的和与两个数的差相乘，就可以运用公式计算。
布置作业1分钟
课本112页第1题
板书设计
14.2.1平方差公式平方差公式（a+b）（a－b）=
a2－b2．
教学反思
这节课上下来，比我想象的要好。个别学生从活动2的4个小题没做完就发现了规律，知道使用公式。活动3课本上是一个图，我在黑板上分成两个，这样学生理解就容易的多，直观的多。公式得出这块不是问题，10分钟就过去了，关键是使用公式，问题就出来了，虽然我一再强调公式特征，学生在这一环节还是出问题不少，活动4没什么问题，在活动5
对于（3）和（5）能不能使用公式怎么用两个小组展开激烈争论，最后让小组代表去黑板是各自板演，结果方法都对，只是思路不同。原来我以为（6）也就是102×98会有问题，结果是同学们都没有问题，看来老师页不全了解他们。整节课效果不错，还庆幸这个小题（－a－b+c）（a－b－c）没有拿出来吓学生。从作业上看学生大部分完成的挺好，学的不错，想明天我和你们就没有那么高兴了，完全平方公式这个麻烦就来了。如果再上这节课就在出问题的那块再加强练习，当时上课时只顾着听他们说，就没有再强化问题的解决，有点小遗憾。总的说自认为还算是成功的一节课。平方差公式
【知识与技能】
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
【过程与方法】
1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.
2.培养学生观察、归纳、概括的能力.
【情感态度】
在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.
【教学重点】
平方差公式的推导和应用.
【教学难点】
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
一、情境导入，初步认识
出示下列习题，由学生分组完成：
1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.
2.试用简便方法求结果：
（1）2001×1999=_____；
998×102=_______.
【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.
要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.
教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.
上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.
（1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.
（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.
（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.
例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.
（1）（2a-3b）(3b-2a);
(2)(-2a+3b)(2a+3b);
(3)(-2a-3b)(-2a+3b);
(4)(2a+3b)(2a-3b);
(5)(-2a-3b)(2a-3b);
(6)(2a+3b)(-2a-3b);
【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.
解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.
例2计算：
（1）59.9×60.1；（2）102×98.
【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.
【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.
例3利用平方差公式计算下列各题.
（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.
（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.
【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.
三、运用新知，深化理解
1.计算下列各题.
2.利用平方差公式计算下列各题：
（1）499×501；
（2）2002×2004-20032.
3.请认真分析下面一组等式的特征：
1×3=22-1，
3×5=42-1，
5×7=62-1，
……
猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.
【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.
四、师生互动，课堂小结
阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.
平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.
1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.
2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.
平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.完全平方公式
【知识与技能】
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
【过程与方法】
经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
【情感态度】
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神.
【教学重点】
完全平方公式的应用.
【教学难点】
完全平方公式的结构特征及几何解释.
一、情境导入，初步认识
问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，……
（1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？
（4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.
公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.
二、思考探究，获取新知
例1计算下列各题.
【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（4）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2.
例2计算：（1）1032；（2）2992.
【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公式.
【教学说明】引导学生在实际练习中重点体验完全平方公式的结构特征，正确套用公式，同时注意把完全平方公式展开后每一项的符号不能出错.
例3运用乘法公式计算.
（1）（a-b+c）（a+b-c）；
（2）（2x-y+1）（y-1+2x）；
（3）（x-y+z）2.
【分析】1.为了应用公式计算，先必须对式中各项添上括号，其法则是：如果括号前是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
2.（1）中可以将两因式变成a与b-c的和与差；（2）中两因式可以变成2x与y-1的和与差，运用平方差公式计算；（3）的底数可变形为两式的和或差.
【教学说明】（1）只有符号不同的两个三项式相乘，通过添括号都可以将算式变形为完全平方式或平方差；（2）两因式中绝对值相同的各项若符号全部相同或完全相反，则为完全平方式；若一部分符号相同，则为平方差.
三、运用新知，深化理解
计算：
［（x-2y）（x+2y）］2-［（x-2y）2-（x+2y）2］2.
【教学说明】上述计算是在平方差公式、完全平方公式的基本应用上的延伸，可要求学生尝试动手练习，教师再予以指导.
【归纳总结】①对于比较复杂的整式乘法，先不要急于运算，应首先分析其特点，尽可能用公式进行运算，而且运算过程中尽可能地合并同类项.②必要的时候灵活运用运算公式，采用其逆运算，可以使运算过程简便.
四、师生互动，课堂小结
由学生谈谈本节课所学知识的认识，集体评点.
1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.
2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.
本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.完全平方公式
一、教学目标
用完全平方公式分解因式。
二、过程与方法
1、理解完全平方公式的特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。
4、能灵活应用提公因式、公式法分解因式。
三、情感、态度与价值观
通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力。
四、重点、难点
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活应用公式分解因式
五、教学过程
教学内容
师生行为
设计意图
一、复习1、分解因式
2、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？（1）项数为
；（2）能表示成
的形式3、填空：（1）=
（2）=
教师提出问题学生复习回忆教师补充校正
通过有针对性的复习，为本节课的学习扫清障碍。
二、新课讲解1、完全平方式与完全平方公式把乘法公式和反过来，就可以得到：、这就是说，两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。把和这样的式子叫完全平方式。小组讨论：2、完全平方式有什么特征？（1）项数：
;（2）有两项是两个数的
，这两项的符号
;（3）有一项是这两个数的
。3、例子把和因式分解。显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式分解吗？三、练习1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）
（2）（3）
（4）2、填空：（1）（2）3、例题学习例1：把和因式分解。提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？解：(1)(2)
练习：把下列各式因式分解：（1）；
（2）（3）
（4）例2：把因式分解解：（平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面）==练习：分解因式（1）
；（2）；（3）；例3：分解因式（1）（2）解：（1）（有公因式时，应先提出公因式，再进一步分解）
（2）
=（（a+b）看作一个整体）
=练习：(1)
(2)
老师引导学生观察、分析、发现和提出问题，让学生用自己的方法探究完全平方公式的结构特征，教师引导学生讨论，并对照“平方差公式”的特征和形式。学生独立思考解决问题。教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教。
让学生亲自观察、探究、得出结论，激发兴趣加深对公式的理解和掌握。通过引导学生自主合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。通过练习，帮助学生熟练掌握应用完全平方公式进行因式分解，从而培养学生分析问题解决问题的能力。
四、小结：（1）分解因式前注意是否符合公式的形式和特点；（2）平方项前面是负数时，先把负号提到括号前面；（3）多项式中有公因式应先提公因式，再进一步分解；（4）完全平方公式中的a和b是多项式时，可以看成一个整体。作业布置：课本171
第3题
教师：点评，总结方法。学生总结发言。
梳理知识结构形成知识体系。
