课件22张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式第1课时 平方差公式1课堂讲解平方差公式的特征
平方差公式
利用平方差公式简便计算2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？(a + b)( m + n)=am+an+bm+bn知1－导1知识点平方差公式的特征探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x + 1)(x － 1)= ; (2) (m+2)(m－2) = ;
(3)(2 x + 1)(2 x － 1) = .
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a－b的多项
式相乘.由于
(a+b) (a－b) =a2 － ab + ab －b2= a2 －b2. 平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= =
.
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 .
(3)符号语言：(a+b)(a-b)= .a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2知1－导知1－讲(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一
项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的
平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数
相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项
式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．知1－讲 例1解： 判断下列各式是否满足平方差公式的特征.
(1)(3x＋2)(3x－2)；
(2)(b＋2a)(2a－b)；
(3)(－x＋2y)(－x－2y)；
(4)(x＋2y)(－x－2y)．(1)满足；(2)满足；(3)满足；(4)不满足．知1－练 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D. ( m2－ n3)(－ m2－ n3)1D知1－练 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的
是( )
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b2)(a2－b)2A知2－导2知识点平方差公式平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.公式变形:1、(a – b ) ( a + b) = a2－b22、(b + a )(－b + a ) = a2－b2知2－讲 (a+b)(a－b)=(a)2－(b)2注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个
多项式等等．适当交换合理加括号运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x － 2);
(2) (－x+2y)(－x － 2 y).
在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22.
(a+ b)(a －b) = a2 － b2知2－讲 例2 分析： (1) (3x+2)(3x － 2)
= (3x)2 － 22
= 9x2 － 4；
(2) (－x+2y)(－x － 2 y)
=(－x ) 2 － (2y ) 2
=x2 － 4y 2.解： 知2－讲 你还有其他的
计算方法吗？ 符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中
的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意
作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的
符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能
会出现－x2+4y2这样的错解.知2－讲 根据平方差公式填空：
(1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝________；
(2)(2x－3)(________)＝4x2－9；
(3)(________)(5a＋1)＝1－25a2.1知2－练 9a2－42x＋31－5a知2－练 2下列运算正确的是( )
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2
B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2
C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9
D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2C知3－导3知识点利用平方差公式简便计算 学习了平方差公式之后，我们可利用平方差公
式进行简便运算.计算：
(1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5);
(2)102 × 98.
(1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5);
=y2 － 22 － ( y2+4y － 5)
=y2 － 4 － y2 － 4y+5 = － 4y +1;
(2) 102 × 98=(100+2) (100 － 2)
= 1002 － 22 = 10 000 － 4 =9 996.知3－讲 例3 解： 运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到
这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行
比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利
用平方差公式可求解．知3－讲 知3－练 1运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a － 3b);
(2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x － 4)－(2x+3)(3x － 2).(1) a2－9b2； (2) 4a2－9；
(3) 2499； (4) 3x2－5x－10.解： 知3－练 2计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2A通过本课时的学习，需要我们掌握：平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的平方差.平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b).课件23张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式第2课时 完全平方公式1课堂讲解完全平方公式的特征
完全平方公式
完全平方公式的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们上一节学习了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，
现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这
节课要研究的新问题．知1－导1知识点完全平方公式的特征探究
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = .
(2) (m+2)2 = .
(3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = .
(4) (m－2)2 = .p2+2p+1m2+4m+4m2 － 4m+4p2 － 2p+1我们来计算下列（a+b)2，（a － b)2 .
（a+b)2 = （a+b)（a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
（a － b)2 = （a － b)（a － b)
=a2 － ab － ab+b2
= a2 － 2ab+b2.知1－导 完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
(a－b)2 = a2－2ab+b2.
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的
平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.知1－导知1－导公式的特点：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b21.积为二次三项式；2.其中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央 知1－讲 例1 指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a － 1)2=2a2 －2a ＋1 ；
(2)(2a ＋ 1)2=4a2 ＋1 ；
(3)(－ a － 1)2= － a2 －2a － 1 ．解： (1)第一数被平方时，未添括号；第一数与第二数
乘积的2倍少乘了一个2；应改为：
(2a－1)2=（2a)2－2 ×2a ?1＋1 ；
(2)少了第一数与第二数乘积的2倍（丢了一项）；
应改为： (2a ＋ 1)2=（2a)2 ＋ 2 ×2a ?1＋1 ；
(3)第一数平方未添括号，第一数与第二数乘积的
2倍错了符号；第二数的平方这一项错了符号；
应改为： (－ a－1)2=（－a)2 － 2 ? （－ a） ?1
＋1 2．知1－讲 知1－练 给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是( )
A．4x B．－4x
C．4x4 D．－4x41D知1－练 下列变形中，错误的是( )
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④2A知2－导2知识点完全平方公式两数和的完全平方公式：
两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍两数差的完全平方公式：
两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍知2－导(a+b)2a2b2两数和的完全平方公式：知2－导(a+b)2aabb两数差的完全平方公式：(a－b)2ababb2运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 ； (2) .
(1)(4m+n)2 = (4m) 2 +2 ?(4m) ? n+n 2
= 16m 2 +8mn+n 2 ;
(2)知2－讲 例2 解： 在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清
题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式
中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是
两数差的完全平方公式；知2－讲 知2－练 【中考·哈尔滨】下列运算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(a2)3＝a5
C．(－2a2b)3＝－8a6b3
D．(2a＋1)2＝4a2＋2a＋11C【中考·怀化】下列计算正确的是( )
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
D．(x－1)2＝x2－12知2－练 C知3－导3知识点完全平方公式的应用 学习了完全平方公式之后，我们就可以利用公
式来解决问题了.运用完全平方公式计算：
(1)1022； (2) 992.
(1)1022 = (100+2) 2=1002 +2 ×100 ×2+22
=10 000+400+4
=10 404；
(2) 992 = (100 － 1) 2 = 1002 － 2×100×1+ 12
=10 000 － 200+1
=9 801.知3－讲 例3 解： 知3－练 1若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )
A．2ab B．－2ab
C．4ab D．－4ab2若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为( )
A．3 B．±3
C．6 D．±6CC知3－练 3已知x－y＝7，xy＝2，则x2＋y2的值为( )
A．53 B．45
C．47 D．51A1.完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，
右边是二次三项式，其中两项分别是公式左边
两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘
积的2倍．
2.公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项
式．公式也可以逆用：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.课件16张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式第3课时 添括号1课堂讲解添括号法则2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点添括号法则 运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号.在第
二章中，我们学过去括 号法则，即
a+ ( b + c)=a + b + c;
a －(b +c)=a － b － c.
反过来，就得到添括号法则：
a + b + c = a+ ( b + c)；
a － b － c = a －(b +c). 也就是说，添括号时，如果括号前面是正
号，括到括号里的各项都不变符 号；如果括号
前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.知1－导知1－讲 例1 (1)下列各式中，成立的是( )
A．－x＋y＝－(x＋y)
B．－3x＋8＝－3(x＋8)
C．2－5x＝－(5x－2)
D．－2－5x＋y＝－(2－5x＋y)C因为－x＋y＝－(x－y)，所以A选项错误；因为
－3x＋8＝－(3x－8)，所以B选项错误；因为2－
5x＝－(5x－2)，所以C选项正确；因为－2－5x
＋y＝－(2＋5x－y)，所以D选项错误．导引： 知1－讲 (2)下面添括号正确的是( )
A．2a－3b＋c－ ＝－（－2a＋3b－c＋ ）
B．x2－2x－y＋2x3＝－(2x－y)－(－x2－2x3)
C．(a－b)(b－c)(c－a)＝[－(a－b)][－(b－c)]
[－(c－a)]
D．(a－b－c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]A导引： 因为2a－3b＋c－ ＝－(－2a＋3b－c＋ )，所
以A选项正确；因为x2－2x－y＋2x3＝－(2x＋y)
－(－x2－2x3)，所以B选项错误；因为(a－b)(b
－c)(c－a)＝[－(－a＋b)][－(－b＋c)][－(－c＋
a)]，所以C选项错误；因为(a－b－c)(a＋b－c)
＝[a－(b＋c)][a＋(b－c)]，所以D选项错误．知1－讲 (1)添括号只是一个变形，不改变式子的值．
(2)添括号是否正确，可利用去括号检验．
(3)添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各
项都改变符号，而不是只改变括号里的第一项的符
号．
(4)根据题意需要适当地把某几项括到一起，不要随意
地乱添加括号．知1－讲 知1－练 下列各式添括号正确的是( )
A．－x＋y＝－(y－x)
B．x－y＝－(x＋y)
C．10－m＝5(2－m)
D．3－2a＝－(2a－3)1D知1－练 下列添括号正确的是( )
A．a－b＋c＝a＋(b＋c)
B．m＋p－q＝m－(p＋q)
C．a－b－c＋d＝a－(b＋c－d)
D．x2－x＋y＝－(x2＋x－y)2C知1－讲 例2 运用乘法公式计算：
(1)（x ＋ 2y－3)(x － 2y ＋ 3);
(2) (a ＋ b ＋ c)2.(1) (x ＋ 2y－3)(x － 2y ＋ 3)
= [x + (2y－3)][x －(2y－3)]
=x2 － (2y － 3) 2
= x2 －(4y 2 － 12y ＋ 9)
= x2 － 4y 2 ＋ 12y － 9;解： 知1－讲 (2) (a ＋ b ＋ c)2 = [(a ＋ b ) ＋ c] 2
= (a ＋ b ) 2 ＋ 2(a ＋ b )c ＋ c2
=a2 ＋ 2a b ＋ b 2 ＋ 2ac ＋ 2 b c ＋ c2
= a2 ＋ b 2 ＋ c2 ＋ 2a b ＋ 2ac ＋ 2 b c . 有些整式相乘需要
先作适当变形，然后再
用公式. 本题运用了整体思想求解．对于平方式中底数
是三项的多项式，通过添括号将其中任意两项视为
一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个乘
积式中的三项或四项的多项式，可将符号相同的项
及符号相反的项分别添括号视为一个整体，可化成
平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完
全平方公式展开，最后合并可得结果．知1－讲 知1－练 下列添括号错误的是( )
A．a2－b2－b＋a＝a2－b2＋(a－b)
B．(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]
C．a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)
D．a－b＝－(b＋a)1D知1－练 为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是( )
A．[x－(3y＋1)]2
B．[x＋(3y＋1)]2
C．[x＋(3y－1)] [x－(3y－1)]
D．[(x－3y)＋1)] [(x－3y)－1)]2C在乘法公式中添括号的“两种技巧”：
(1)当两个三项式相乘，且它们只含相同项和相反
项时，常常需通过添括号把相同项、相反项分
别结合，一个化为“和”的形式，一个化为
“差”的形式，然后利用平方差公式计算．
(2)当一个三项式进行平方时，常常需通过添括号
把其中两项看成一个整体，然后利用完全平方
公式计算．
