课件15张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解第1课时 因式分解1课堂讲解因式分解的定义
因式分解与整式乘法的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾口答：反过来知1－导1知识点因式分解的定义探究：
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2 ＋ x= ; (2) x2 － 1= .
根据整式的乘法，可以联想得到
x2 ＋ x= x(x ＋1),
x2 － 1=(x ＋1) (x － 1),知1－讲 多项式 整式的乘积形式 和 差积因式分解整式乘法知1－讲 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的
是( )
A．a2＋1＝a(a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)D知1－讲 导引： 紧扣因式分解的定义进行判断．因为 不
是整式，所以a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分
解，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不
是和差化积，因此不是因式分解，而是整式
乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)
＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分
解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式
分解的概念，因此是因式分解，D正确．知1－练 (中考?海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－251B知1－练 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab?2ab
B. a－ ay＝ a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
D．(x＋1)(x－1)＝x2－12B知2－导2知识点因式分解与整式乘法的关系可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，
即x2－1 (x＋1)(x－1)因式分解整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解?
（1）(5a－1)2=25a2－10a+1；
（2）(a－3)(a+3)=a2－9；
（3）m2－4=(m+2)(m－2)；
（4 ）2xy－ 2xz= 2x(y－z)．
利用整式乘法和因式分解的定义加以判断即可．
(1)(2)是整式乘法，(3)(4)是因式分解.知2－讲 例2 分析： 解： 知2－练 若一个多项式分解因式的结果为(a＋2)(a－3)，则这个多项式为_____________．1因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为__________．2a2－a－6(a－2)2知2－练 (中考?甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )
A．b＝3，c＝－1
B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4
D．b＝－4，c＝－63D如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形，如图②，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b24知2－练 A1.因式分解与整式乘法是一个互逆过程，即：
2．因式分解必须做到两点：
(1)结果必须是因式的积的形式；
(2)每个因式是整式且不能再分解．因式分解整式乘法几个整式相乘一个多项式课件18张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解第2课时 提公因式法1课堂讲解公因式的定义
提公因式法分解因式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升温故知新一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 .二、整式乘法与分解因式之间的关系.互为逆运算知1－导1知识点公因式的定义公因式的定义：
一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个
多项式各项的公因式 .知1－讲 怎样确定多项式各项的公因式？系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公
约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字
母最低次幂； 知1－讲 例1 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；
(2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.知1－讲 解： (1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系
数是3；有相同字母y，并且y的最低次数
是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公
倍数是27，分子的最大公约数是4，所以
公因式的系数是 ；两项都有x，y，
且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所
以公因式是 xy2.知1－讲 (3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是
2，所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取
变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－
36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都
有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，
所以这个多项式各项的公因式是－9a2b. 确定一个多项式的公因式时， 要对数字系数和字
母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字
母，三看指数．知1－讲 知1－练 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy
C．4xy D．2y1式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确2BC知1－练 观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④3B知2－导2知识点提公因式法分解因式 确定一个多项式的公因式时，要从____________
和__________________分别进行考虑 .数字系数字母及其指数知2－讲 公因式的系数应取各项系数的最大公约数. 公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.数字系数字母及其指数把2a(b+c) － 3(b+c)分解因式.
b+c是这两个式子的公因式，可以直接
提出.
2a(b+c) － 3(b+c)
= (b+c)(2a － 3).知2－讲 例2 分析： 解： 如何检查
因式分解是否
正确？提公因式的步骤
①确定应提取的公因式；
②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因
式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．知2－讲 知2－练 把下列各式分解因式：
(1)ax ＋ ay; (2)3mx －6my.1将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是( )
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b2(1) a(x＋y); (2)3m(x－2y).解： C知2－练 分解2x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是( )
A．－x＋y
B．x－y
C．(x－y)2
D．以上都不对3C公因式的确定方法：
(1)系数：取各项系数的最大公约数；
(2)字母：取各项都含有的字母；
(3)指数：取相同字母的最低次数．公因式可以是
单独的一个数，一个字母，也可以是多项式．课件18张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解第3课时 公式法——平方
差公式1课堂讲解直接用平方差公式分解因式
先提取公因式再用平方差公式分解因式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回顾旧知1、什么叫把多项式分解因式?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.2、已学过哪一种分解因式的方法?提公因式法知1－导1知识点直接用平方差公式分解因式平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2 整式乘法因式分解这种分解因式的方法称为公式法.a2－b2= (a+b)(a－b)知1－讲 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：知1－讲 例1 分解因式：
(1)4x2 － 9;
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =
(2 x) 2 －3 2 ，即可用平方 差公式分解因
式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整
体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为
m 2 － n 2.分析： 知1－讲 解： (1) 4x2 － 9
=(2 x ）2 － 3 2
= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
= [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q). “两项、异号、平方形式”是避免错用平方差
公式的有效方法．知1－讲 知1－讲 例2 分解因式：
(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平
方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因
式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将
(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因
式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为
整体，运用平方差公式进行分解因式．导引： 知1－讲 解： (1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x
－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．知1－练 (中考?北海)下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)1D知1－练 (中考?仙桃)将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)2B知2－导2知识点先提取公因式再用平方差公式分解因式 用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，
要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.分解因式：
(1) x4－y4; (2) a3b － ab.
对于(1)， x4－y4可以写成(x2) 2 － (y2) 2的形式，
这样就可以利 用平方差公式进行因式分解了
对于(2)， a3b － ab有公因式ab ，应先提出公
因式，再进一步分解.知2－讲 例3 分析： (1) x4－y4 =(x2 ＋ y2)( x2 － y2)
= (x2 ＋ y2) (x＋ y) ( x － y) ；
(2) a3b － ab
=ab(a2 － 1)
= ab(a ＋1)(a － 1).知2－讲 解： 分解因式，必须进
行到每一个多项式因式
都不能再分解为止.知2－练 (中考?广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9)
B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2
D．x(x＋3)(x－3)1D知2－练 一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)2A应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的
积．课件23张PPT。第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解第4课时 公式法——完全
平方公式1课堂讲解完全平方式的特征
用完全平方公式分解因式
先提取公因式再用完全平方公式分解因式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回忆完全平方公式：知1－导1知识点完全平方式的特征我们把以上两个式子叫做完全平方式 .两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”
的积的两倍知1－讲 我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因
式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .知1－讲 例1 下列各式能用完全平方公式分解因式的
是( )．
①4x2－4xy－y2；②x2＋ x＋ ；③－1－a－ ；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个C知1－讲 ①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能
用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方
公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平
方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式
分解．①中的y2 前面是“－”号，不能用完全
平方公式分解 ．⑤中中间项有a、b的积的2
倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾
积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也
不符合．解析： (1)完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方
式，右边是这两个数和(或差)的平方．
(2)是整式乘法中的完全平方公式的逆用，在整式乘法
中能写成两个数的和(或差)的平方，结果一定是完
全平方式，而在因式分解中，每一个完全平方式都
能因式分解．知1－讲 知1－练 ( 中考?龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋91D知1－练 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．162A知2－导2知识点用完全平方公式分解因式都是有3项从每一项看：从符号看：带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从项数看：用公式法正确分解因式关键是什么？熟知公式特征！分解因式：
(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2.
在(1)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2 ?
4x ? 3，所以 16x2 ＋ 24x ＋ 9是一个完全
平方式，即
16x2 ＋ 24x ＋ 9 = (4x) 2 ＋ 2 ? 4x ? 3 ＋ 32.
a2 ＋ 2 ? a ? b ＋ b2 知2－讲 例2 分析： (1)16x2 ＋ 24x ＋ 9
= (4x) 2 ＋ 2 ? 4x ? 3 ＋ 32
=(4 x ＋ 3) 2;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2
= － (x2 － 4xy ＋ 4y2 )
= －[x2 － 2 ? x ? 2y ＋ (2 y) 2]
= － (x － 2y) 2.知2－讲 解： 解题的关键是判断该多项式是否符合完全平方
公式的结构特点，若符合公式特点再确定公式中的a，
b在本题中所代表的是什么式子，分解因式的结果要
分解到每一个因式都不能再分解为止．知2－讲 知2－练 分解因式：
（1）x2 ＋12x ＋ 36；
(2)－2xy － x2 －y2 ；
（3）a2 ＋2a ＋1 ；
(4) 4x2 －4x＋1. 1(1) (x ＋6);
(2) － (x ＋ y )2；
(3) (a ＋1)2；
(4) (2x －1 )2；解： 知2－练 因式分解4 － 4a ＋a2 ，正确的结果是( )
A．4(1－a) ＋ a2
B．(2－ a)2
C．(2－ a) (2 ＋ a)
D． (2 ＋ a)22B知2－练 3把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2
B．(－x－y)2
C．－(x－y)2
D．－(x＋y)2C3知识点先提取公因式再用完全平方公式分解因式分解因式：
(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2 ；
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36.
(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进
一步分解； (2)中，将 a ＋ b看作一个整体，
设a ＋ b =m，则原式化为完全平方式m 2
－ 12m ＋ 36.知3－讲 例3 分析： (1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2
=3a (x2 ＋ 2xy ＋ y2)
= 3a(x ＋ y) 2;
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36
= (a ＋ b) 2 －2 ? (a ＋ b) ? 6+6 2
= (a ＋ b － 6) 2 .知3－讲 解： 分解因式的一般步骤：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止 .知3－讲 知3－练 1分解因式：
(1) ax2 ＋2a2 x ＋ a3；
(2) － 3x2 ＋ 6xy －3y2. (1) a(x ＋a)2 ；
(2) －3(x－y )2 .解： 知3－练 2(中考?毕节)下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋ ＝(x－ ) 2
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)B因式分解的一般方法：
(1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要先
提公因式．
(2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合
平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则利用
公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地变形
整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．
