分解因式——提公因式法
教材：义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十四章第3节。《因式分解》第一课时“因式分解的意义及用提公因式法分解因式”，下面我从：教材分析、目标分析、教学过程、教法与学法及评价等五部分来说这一节课，其中教学过程分为：复旧孕新、类比引入、学习新知、巩固新知、自主小结及学生作业6个部分，整个过程以计算题为载体，让学生在已有知识的基础上认识新的知识。
一、教材分析：
1．教材的地位及作用：因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想贯穿后继学习的各种因式分解方法。
2．教学重点：了解因式分解的意义，会用提公因式法分解因式。
3．教学难点：整式乘法与因式分解之间的关系。
二、目标分析：
1．知识与能力目标：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系，学会用提取公因式方法分解因式。
2．过程与方法：经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。
3．情感态度与价值观：在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值。
三、过程分析：
《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节，分别为复旧孕新、类比引入、学习新知、巩固新知、自主小结及学生作业。
1．复旧孕新，算一算（看谁算得快）
①-25×4+75×4
②ａ（m+n）
③（ａ+1）（ａ-2）
④（x-2y）2
[设计意图]通过算一算，让学生用已有知识解决问题，感受数学知识给自己带来收获的愉快，同时为后面学习新知作出铺垫。
2．类比引入，填一填
①将60分解成质数的乘积的形式为：
。
②将99分解成质数的乘积的形式为：
。
③将x2＋x写成整式的乘积的形式为：
。
X2－1写成整式的乘积的形式为：
。
[设计意图]让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想。
3．学习新知，议一议：
（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解。
①（x＋1）（x―1）＝x2―1
②7x―7＝7（x―1）
③x2―4y2＝（x＋2y）（x―2y）
④2x（x―3y）＝2x2－6xy
⑤y2＋x2－4＝y2＋（x－2）（x＋2）
[设计意图]使学生从感性到理性理解因式分解的意义，认识因式分解这种变形的特征。
（2）小组活动，共同探究：因式分解与整式乘法有什么关系？
（互逆变形）
[设计意图]通过小组活动，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究，、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。
（3）你能很快地把下列各式进行因式分解吗？说说你的理由。
①
5a＋5b＋5c＝
②
3x－3＝
③
ma＋mb＋mc＝
④
ab2－a2b＝
[设计意图]利用数学情景，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论。
（4）运用新知，教学例题
4．巩固新知，练一练：p167/1
[设计意图]与例题配套的练习题，要求学生独立完成，学练结合，落实本节课的重点。
5．自主小结，说一说：
[设计意图]训练学生概括归纳能力，有助于学生把所学的知识条理化系统化。
6．学生作业，做一做p170/1p167/2、3
[设计意图]巩固所学新知，让学生感受成功的喜悦，再次体会数学知识的价值。
四、教法与学法分析：采用对比、类比、尝试教学，以学生为主体，教师为主导，引导学生“动手实践，自主探索，合作交流，充分鼓励、启发、引导学生在探索和思考中获取知识。”通过分层次的练习，让学生掌握一个又一个的知识点，全面提高学生的计算能力和思维能力。
五、评价分析：
1．以计算题为载体，让学生在多次闯关中，充分体验成功的喜悦。
2．以培养学生的类比、归纳能力为目标，重视概念的提取过程，知识的形成及解题思路的探索过程，学生掌握了新的知识，提高了逆向思维的能力，对于类比的数学思想有了一定的理解，对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识。运用平方差公式分解因式
一、教材分析
（一）地位和作用
分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。因此平方差公式是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习重点
（二）学情分析 ：学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，在上一节课学习了提公因式法分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。学生已经建立了较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
（三）教学目标
1、知识与技能 理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式分解因式
2、过程与方法
①培养学生自主探索、合作交流的能力
②培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想
3、情感与态度让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而增强学好数学的愿望和信心
（四）教学重难点、
1、教学重点：会运用平方差公式分解因式，培养学生观察、分析问题的能力。
2、教学难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式。
3、易错点：分解因式不彻底。
二、学法与教法分析
1、学法分析：
①注意分解因式与整式乘法的关系，两者是互逆的。
②注意平方差公式的特点。
2、教法分析：根据《课标》的要求，结合本班学生的知识水平，本堂课采用对比，探究，讲练结合的方法完成教学目标。在教学过程中，所选例题保证基本的运算技能，
避免复杂的题型，直接用公式不超过两次。采用观察、类比、分析的方法，引导学生把握因式分解的基本思路，灵活地运用“换元”和“化归”思想把问题中的多项式转化成适当的公式形式。
一、教学流程设计：
（一）创设情境，激发兴趣；
（二）分析问题，发现新知；
（三）合作交流，探索新知；
（四）例题探究，体验新知；
（五）随堂练习，巩固新知；
（六）归纳小结，形成体系。
三、教学过程分析
（一）创设情境，发现新知
1、计算：（1）（x+5)(x-5) (2) (3x+y)(3x-y)
利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。
2、你能把多项式：x2
-25、9x2
-y2
分解因式吗？
利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解a - b
类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。
（二）合作交流，探索新知a - b = (a+b)(a-b)
（1）用语言怎样叙述公式？（2）公式有什么结构特征？（3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征，
学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认
识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？（1）1+9x （2）-9x2+y2 （3）25-16x2 （4）-a2-1/4
通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。
（三）例题探究，体验新知
（A）通过自学例1:分解因式(1)25-16x2
(2)9a2
-1/4b2
引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。
要让学生明确：（1）
要先确定公式中的a和b；
（2）学习规范的步骤书写。
（B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
例3、分解因式2x3-8x
加深对平方差公式的理解，同时感知“整体”思想在分解因式中的应用。
（四）随堂练习，巩固新知
（A）练习：把下列各式分解因式（1）a2b2-m2（2）-9x2+y2（3）49-25x2
（4）4a2
-9b2
练习先由学生独立完成，然后通过小组交流，发现问题及时解决。学生在解决问题的过程中培养了应用意识，加强了知识落实，突出了重点。
（B）分解因式:（1）(m-a)2-(n+b)2 (2)49(a-b)2-16(a+b)2
(3) a5-a3 (4) x6-4x4
例2在学生预习的前提下，由学生分析每一步的理由，明确：结果要化简；分解要彻底，体会其中的整体思想。然后练习（1）（2）两个同类型的题目。例3由学生分析方法，明确：有公因式要先提公因式，再运用公式分解因式，体会综合应用的思想。然后练习（3）（4）两个同类型的题目。学生在交流与实践中突破了难点。安排的习题题型不复杂，直接运用公式不超过两次，习题难易有梯度，满足不同层次的同学的需要。
（五）归纳小结，形成体系
先通过小组讨论本节课的知识及注意问题，然后学生自由发言、互相补充，我进行修正、精炼阐述。这样，小结既梳理了知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系也有了一个清晰的认识。最后剩余5-6分钟进行当堂检测。
（六）作业分层，全面提升：采用分层布置作业，满足不同层次的同学的需要。
运用完全平方公式分解因式
下面我将从教材分析、教法、学法、教学过程四方面来说明。
一、教材分析：
（一） 地位与作用：
分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。
（二）教学目标
课时教学目标对课堂教学起着导向作用、激励作用和标准作用，研究教材的一个重要内容是为了制定明确、具体、可行的教学目标。根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下：
1、知识目标
⑴ 能记住完全平方公式；
⑵ 能辨认完全平方式；
⑶ 能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
２、能力目标
⑴ 提高学生的运算能力；
⑵ 培养学生的观察分析能力；
⑶ 渗透换元与整体的思想。
３、情感目标
培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。
（三）教学的重点和难点
本节课的重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求，本节课的难点是整体、换元思想的掌握。换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解体经验。
二、说教法
（一）本节课采用的教学方法主要是启发诱导法和练习法，并辅以讲解法、分析法，采用这一教法是基于以下的考虑：
认知心理学家奥苏伯尔的研究表明，有意义的学习的发生必须满足下列条件：第一，学习者认知结构中同化新材料的适当知识基础，也就是具有必要的起点能力；第二，学习者还应具有积极地将新旧知识关联的倾向。由于用完全平方公式分解因式与上一节课的用平方差公式分解因式类似，整体与换元的思想在前
边的知识中已经多次涉及到，内容易于同化，若能精心设疑、启发诱导，充分发挥学生的主体作用，则学生易于获得成功的体验。另外，要熟练掌握用此种方法分解因式，必须通过练习巩固，因此，练习指导法也是主要的学习方法。
（二）本节课还采用分层的教学方法。由于学生的学习基础与能力有较大的差异，所以在练习中，对不同层次的学生提出不同的要求，使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展。
（三）教具准备
：小黑板
三、说学法
1、由于用完全平方公式分解因式与上一节课知识有类似之处，因此指导学生学会运用比较、类比的学习方法记忆、理解知识。
2、指学生导采用练习法以达到巩固、熟练知识的目的。
3、对于换元法要求较灵活，应该指导学生注意运用观察分析的学习方法。
四、说教学程序
第一部分：教学程序
（一）复习引入
引导学生回顾因式分解的概念与方法，并由平方差公式联系到完全平方公式由其逆过程引出课题。
（二）学习公式、巩固公式
1、先边提问边板书公式，并用数学语言叙述公式，提出完全平方公式的概念。
2、从两个例子入手边提问学生边示范紧扣公式分解因式的方法。
3、用口头回答练习的方式巩固公式。
4、由一组练习启发学生学会熟练判断完全平方式，并引导学生总结出完全平方式的一般特征。
5、处理课本第58页的判断正误练习进一步巩固公式。
6、引导学生解决例题1，启发学生要一步一步来以减少失误，并用练习1巩固之。
7、师生共同处理关于换元法的例题二，并提出通过整体的观念与换元法，可以把复杂的知识化为简单的知识，把新知识化为旧知识，启发学生体验这种思想，通过两个练习巩固之。
（三）引导学生进行课堂小结
1、完全平方公式。
2、完全平方式的特征。
3、整体与换元的思想方法。
