课件21张PPT。第十五章 分 式15.2 分式的运算第1课时 分式的乘除——分
式的乘除运算分式的乘法
分式的除法作业提升逐点
导讲练课堂小结回顾旧知 分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分
母的积作为积的分母；
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位
置后，与被除数相乘.知1－导1知识点分式的乘法 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底
面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，
水面的高度为多少？ 问 题（一）长方体容器的高为 ，水面的高度为 .思考
类比分数的乘 法法则，你能说出分式的乘法法则吗？知1－导乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分
子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简
分式,应该通过约分进行化简.
用式子表达为：计算：知1－讲例1 解：运算结果应化为最简分式.分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分.知1－讲 如果分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式化为最简分式或整式；如果分子、分母都是多项式，则应先分解因式，看能否约分，然后再相乘． 可以直接把整式(整式的分母是1)和分式的分子相乘作分子，分母不变；当整式是多项式时，要先分解因式．分式与分式相乘：整式和分式相乘知1－练计算：1解：知1－练计算 的结果是( )
A． B. C． D． 3计算：(中考·宁德) .4D解：知2－导2知识点分式的除法 大拖拉机m天耕地ahm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大
拖拉机 的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问 题（二） 大拖拉机的工作效率是 hm2/天，小拖拉机的
工作效率是 hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉
机工作效率的 倍.思考
类比分数的除法法则，你能说出分式的除法法则吗？知2－导除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒
位置后，与被除式 相乘.
用式子表达为： .计算：
（1）
（2）
（3） 知2－讲例2 知2－讲解：知2－讲乘除混合运算可以统一为乘法运算.（1）分式的除法可以转化为乘法，即颠倒除式的分
子、分母的位置，再与被除式相乘．
（2）在分式的乘除混合运算中，一定要先将除法运
算转化为乘法运算，再按分式乘法法则进行计
算，是多项式的能分解因式还要分解因式，这
样便于约分，使计算结果是最简分式或整式．知2－讲如图15. 2-1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m a>1)的正 方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余
下的部分，“丰收2号”小麦的 试验田是边长为（a-1）
m的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？知2－讲例3 图15.2-1图15.2-2（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a2-1)m2,单位
面积产量是 kg/m2; “丰收2号”小麦的试验田面
积是（a - 1）2m2,单位面积产量是 kg/m2;
∵a＞1，∴（a-1)2＞0，a2-1＞0.
由图15.2-2可得（a-1)2＜a2-1.
∴
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.知2－讲解： 因为a＞1，所以（a-1）2-（a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=
-2(a-1)＜0，即
（a-1）2＜a2-1.知2－讲（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰
收1号”小麦的单位面积产量的 倍. 知2－练写出问题一和问题二的计算结果.12计算：解：解：知2－练【中考·济南】化简 的结果是( )
A. B.
C. D．2(x＋1)3A1. 乘法、除法是同级运算，做分式乘除混合运算时，应
按照从左到右的顺序进行运算．
2. 对于除法运算，要先将除法转化成乘法，注意“一变
一倒”，即变除号为乘号，把除式的分子、分母颠倒
位置，并注意除式是整式时，可以把整式看成分母为
1的式子进行运算．课件15张PPT。第十五章 分 式15.2 分式的运算第2课时 分式的乘除——分
式的乘方运算分式的乘方
分式乘方与分式乘除混合运算作业提升逐点
导讲练课堂小结回顾旧知分式的乘除法法则: 两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘.知1－导1知识点分式的乘方思考根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：知1－导一般地，当n是正整数时，
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.n个n个计算：知1－讲例1 导引：对于本题，分式乘方时分子、分母要加上括号，
分式本身的符号也要乘方.解：(1)原式=
(2)原式= 分式的乘方是分式乘法的特殊情形，计算时，
应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分
母乘方．知1－讲知1－练计算 的结果是( )
A. B. C. D.12计算 的结果是( )
A. B. C. D. DA知1－练与 相等的式子是( )
A． B. C. D.34计算： ＝________.计算： ＝________.5 C知2－讲2知识点分式乘方与分式乘除混合运算例2 计算：解：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.知2－讲 在分式乘除、乘方混合运算中，先算乘方，再
算乘除；乘、除是同一级运算，应按从左到右的运
算顺序进行计算；当分式中的分子、分母是多项式
且能分解因式时，还要分解因式，以便达到约分的
目的．知2－讲知2－练计算 的结果是（ ）
A. B. C. D. 12若 ，则a4b4的值是( )
A. 6 B. 9 C.12 D.81 C B分式的乘方法则：
即分式的乘方是把分子、分母各自乘方．分式的乘、除及乘方混合运算应注意的问题：
(1)分式的乘、除及乘方混合运算，应先算乘方，
再算乘除(乘除按照从左到右的顺序进行)，有
括号的先算括号里面的.
(2)乘方运算中，若分子或分母是多项式，应先因
式分解，再乘方. 把某个因式看作一个整体，
会使问题变得明显简单.课件16张PPT。第十五章 分 式15.2 分式的运算第3课时 分式的加减——同分
母的分式相加减同分母分式的加减
分母互为相反数的分式的加减作业提升逐点
导讲练课堂小结 某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄
的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入
3000字文稿比手抄少用多少时间？ 知1－导1知识点同分母分式的加减思考
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实
质相同.观察下列分数加减运算的式子：
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
上述法则可用式子表示为：知1－讲计算：知1－讲例1 解：计算：知1－讲例2 解： 分母相同，而分子是多项式，分子相加减时要
把分子看作一个整体，先用括号括起来，再进行加
减，能分解因式的要分解因式，最后结果要进行约
分化简；两个分式的分母互为相反数时，可通过添
加负号把两个分式变为同分母的分式，再按照同分
母的分式相加减的法则进行计算．知1－讲知1－练计算：1(中考·济南)计算 的结果是( )
A.m+3 B.m-3 C. D.
2解: (1) 1; (2) 0.A知1－练3下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.A知1－练计算：
(1)(中考·昆明) ＝________；
(2)(中考·泉州) ＝________；
(3) ＝________.420知2－讲计算：
例3 解：2知识点分母互为相反数的分式的加减知2－练(中考·绍兴)计算 的结果是( )
A．x＋1 B. C．x－1 D.12 等于（ ）
A. B. C. D.AD知2－练(中考·江西)下列运算正确的是( )
A．（2a2）3=6a6 B. －a2b2·3ab3＝－3a2b5
C． D.3C同分母分式加减的“两种类型”：
(1)分母相同，直接按照法则进行计算．
(2)分母互为相反数，同时改变分式及分母的符号，
变成同分母分式，再按照法则进行计算．注意：
1．同分母分式的加减法运算，要把每一个分子看作
一个整体，加上括号，避免出现符号错误．
2．分母互为相反数的分式加减法，应先通过分式的
符号法则变成同分母后，再加减．
3．分式运算结果要化成最简分式或整式．课件21张PPT。第十五章 分 式15.2 分式的运算第4课时 分式的加减——异
分母的分式相加减异分母分式的加减
分式加减的应用作业提升逐点
导讲练课堂小结【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减 . 同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似 .【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减 .知1－导1知识点异分母分式的加减 甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比
甲队多用3天才能 完成这项工程，两队共同工作一
天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队
一天完成这项工程的 ; 两队共同工作一天完
成这项工程的 问 题（一） 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：
km2)分别是 S1，S2， S3， 2011年与2010年相比，森林
面积增长率提高了多少？
2011年的森林面积增长率是 2010年的森林
面积增长率是 2011年与2010年相比，森林面
积增长率提高了
从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要
进行分式的加减运算.问 题（二）知1－导知1－导思考
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质
相同.观察下列分数加减运算的式子：
你能将它们推广，得出分式的加
减法法则吗？异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，
再加减.
上述法则可用式子表示为知1－导计算：知1－讲例1 导引：异分母分式相加减，先通分化为同分母分式相
加减，再按同分母分式加减法法则进行计算．解：知1－讲(1)异分母分式相加减，先用通分的方法化异分母为同分
母，然后按同分母分式加减法的法则计算；当分子、
分母是多项式时，首先要进行因式分解；如果计算结
果不是最简的，一定要进行约分将其化为最简分式或
整式．
(2)警示：分数线有三个作用：①括号作用；②比的意思；
③整体的作用．因此在分式加减运算中，当分子是多
项式时，要用括号括起来，才能保证解题准确．知1－讲知1－练计算：1解：知1－练计算 的结果是( )
A. B. C. D.a+b
2A知1－练(中考·山西) 计算 的结果（ ）
A. B.
C. D. 3A知2－讲2知识点分式加减的应用例2 已知 (a≠b)，求
的值．导引：先将已知等式变形，再将所求代数式变形并
化简，最后整体代入即可求得答案．解：∵ ∴ 本题运用了整体思想求值．对于已知条件没有
直接给出的代数式求值类问题，通常需要先对已知
式变形并化简，然后对所求式变形并化简，最后整
体代入计算即可．知2－讲例3 计算：知2－讲导引：本题是异分母分式的加减，若直接通分，则
所有分式的公分母为(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋2)，
计算将会很繁琐，我们仔细观察可以注意到x＋
1和x－1相乘的结果较为简单，x－2和x＋2相乘
的结果较为简单，因此我们可考虑把分子、分
母相关的分式先相加减．知2－讲解： 多个分式相加减时，要先观察其特征，如果
有同分母的，可以把同分母分式先相加减；如果有
同分子的，也可把同分子的先相加减．知2－讲知2－练已知两个式子： 其中x≠±2，则A与B的关系是( )
A．相等 B．互为倒数
C．互为相反数 D．A大于B12 (中考·泰安)计算 的结果是( )
A．a－2 B．a＋2 C. D.CC知2－练计算：3解：异分母分式加减运算的方法思路：异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减(1)分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看
成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现
符号错误.(2)分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式(或整式).课件16张PPT。第十五章 分 式15.2 分式的运算第5课时 分式的加减——分
式的混合运算分式的混合运算
分式混合运算的应用作业提升逐点
导讲练课堂小结回顾旧知1. 只含某一级运算：从左到右依次运算.2. 有不同级运算在一起的：从高级到低级运算先算
乘方三级; 再算乘除二级; 最后算加减一级.3. 带有括号的运算：从内到外依次进行运算先算小
括号; 再算中括号; 最后算大括号里面的. 有理数和整式的混合运算法则：知1－讲1知识点分式的混合运算计算：知1－讲例1 解：知1－讲 式与数有相同的混合运算顺序：先乘
方，再乘除，然后加减.例2 计算：知1－讲导引：对于(1)先计算除法，再计算减法；对于(2)
先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法；
对于(3)把除法转化为乘法后，可运用分配
律计算，也可以先将括号内的分式通分，
再把分式除法转化为乘法进行计算．知1－讲解：知1－讲 在进行分式的混合运算时，应先算乘
方，再算乘除，最后算加减，有括号的要
先算括号里面的．知1－练1(中考·益阳) 下列等式成立的是( )
A. B.
C. D. C知1－练(中考·泰安) 计算 的结果
是（ ）
A. 2 B. C. D. －2 2计算 的结果是（ ）
A. B.
C. D. 3CA知2－讲2知识点分式的混合运算的应用例3 先化简，再求值：
其中，a满足a－2＝0.导引：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法
则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，将a的值代入计算即可求出值．解：当a-2=0,即a=2时，原式=3.知2－讲知2－练(甘肃白银)先化简，再求值：
其中 12(中考·杭州)若 则W＝( )
A. a＋2(a≠－2) B. －a＋2(a≠2)
C. a－2(a≠2) D. －a－2(a≠±2)解：D知2－练(中考·安徽)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则 ②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是__________(把所有正确结论的序号都选上)．3① ③ ④1.分式混合运算的步骤：先乘方，再乘除，最后加减，
有括号先算括号里面的．
2.分式混合运算常出现的错误：
(1)运算顺序易错；
(2)符号变换易错；
(3)错用分配律，只有乘法才有分配律；
(4)忽视分数线的括号作用；
(5)运算的结果不是最简分式或整式．课件25张PPT。第十五章 分式15.2 分式的运算第6课时 整数指数幂——整数
指数幂及其性质1课堂讲解负整数指数幂
整数指数幂的运算性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回顾旧知 (a?b)n= an?bn am?an=am+n(am)n=am?n运算法则：(m，n为正整数)1知识点负整数指数幂问 题（一）思考：
am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负
整数指数幂表示什么？知1－导知1－导由分式的约分可知，当a≠0时，
①
另一方面，如果把正整数指数幂运算性质（4）
(a ≠ 0，m，n 是正整数，m>n)
中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像 a3 ÷
a5的情形也能使用，则有 a3 ÷ a5=a3－5=a－2 ②知1－导 由①②两式，我们想到如果规定a-2=
(a≠0)就能使am÷an=am－n这条性质也适用于
像a3÷a5这样的情形。为使上述运算性质适
用范围更广，同时也可以更简便地表示分式.知1－导负指数的意义：一般地，当n是正整数时，这就是说：a－n(a≠0)是an的倒数知1－讲 例1 计算: (1) (2)
(3) (4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
知1－讲整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）am·an=am+n(m,n是整数)；
（2）（am）n=amn(m,n是整数)；
（3）(ab)n=anbn(n是整数). 例2 计算：
导引：先分别按照零指数幂法则、正整数指数
幂法则、负整数指数幂法则、绝对值的
意义计算，再进行加减．
解：原式＝1－8－3＋2＝－8.知1－讲知1－讲 对于底数是分数的负整数指数幂，我们
可以将其转化为这个数的倒数的正整数指数
幂，即 .如本例中 ，这样
就大大地简化了计算。12 (中考·厦门)2－3可以表示为( )
A．22÷25 B．25÷22
C．22×25 D．(－2)×(－2)×(－2)
知1－练填空：
（1）30= ，3 －2= ；
（2）（－3）0= ，（－3） －2= ；
（3）b0= ，b－2= (b≠0).111A3知1－练(中考·泰安)(－2)－2等于( )
A．－4 B．4 C． D.D2知识点整数指数幂的运算性质知2－导思考：
引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n(m,n是正
整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形？
可以换其他整数指数再验证这个规律.知2－导我们从特殊情形入手进行研究.例如，知2－导 am·an=am+n这条性质对于m,n是 任意整数的情
形仍然适用.知2－讲探究：
类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对
于其他正整数指数幂的运算性质进行实验，看看这
些性质在整数指数幂范围内是否还适用.知2－讲 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，
am÷an=am-n,ama-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=ama-n,即
同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法
ama-n. 特别地 所以 ，
即商的乘法 可以转化为积的乘方 .
这样整数指数幂的运算性质可以归结为：知2－讲 例3 计算：
导引：对于（1），先计算乘方，再计算乘法；对于
（2），先计算乘方，再计算除法；对于（3），
先计算乘方，同时把分式化成整数指数幂形式，
再进行幂的乘除法定的计算.知2－讲解： (1)原式＝6x－2·2－3x6y3
(2)原式＝－23a－6b2÷2a－8b－3
＝－4a2b5；
(3)原式＝x－4y2·x3y－6÷x4y－4
＝x－5y0＝x－5
知2－讲 整数指数幂的计算方法，可以直接运用整数
指数幂的性质计算，到最后一步再都写成正整数
指数幂的形式，如本例的解法；也可以先利用负
整数指数幂的定义，把负整数指数幂都转化为正
整数指数幂，然后用分式的乘除来计算． 计算：（1）
（2）知2－练解：2 (中考·福州)计算a·a－1的结果为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－a知2－练（来自典中点）3(中考·河北)下列运算正确的是( )
A. B.6 ×107=6000000
C. (2a)2 =2a2 D.a3 ·a2=a5CD1.整数指数幂运算的“两点注意”
(1)运算顺序：整数指数幂的运算按照正整数指 数幂的运
算顺序进行，即先乘方，再乘除，最后算加减.
(2)运算结果：要把幂指数化为正整数 .
2.求负整数指数幂的方法：
(1)负整数指数幂的变形： (a ≠0,n是正整数).
(2)底数为正数的任何次幂都为正数；底数为负数的奇次
幂是负数，偶次幂是正数 .
(3)运算结果要化为正整数指数幂 .1.必做: 完成教材P146～P147习题15.2T7
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题.课件18张PPT。第十五章 分式15.2 分式运算第7课时 整数指数幂——科
学记数法1课堂讲解科学记数法在数学中的应用
科学记数法在实际生活中的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升科学记数法：
绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤
︱a︱<10，n是正整数. 回顾旧知1知识点科学记数法在数学中的应用 我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法
表示.例如，光速约为 3×108 m/s，太阳半径约为
6. 96×105 km，2010年世界人口数约为6. 9×109等.知1－导知1－导用小数表示下列各数知1－讲类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学
记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表
示成a×10－n的形式. (其中n是正整数，1≤∣a∣
＜10.)n 例1 用科学记数法表示下列各数．
(1)0.000 04； (2)－0.034；
(3)0.000 000 45.
导引：数清每个数中左起第一个非0的数字前面有几个
0，用科学记数法表示时10的指数就是负几．
解： (1)0.000 04＝4×10－5；
(2)－0.034＝－3.4×10－2；
(3)0.000 000 45＝4.5×10－7.
知1－讲知1－讲 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形
式为a×10－n，其中1≤︱a︱<10，n由原数左起第一
个不为0的数字前面的0的个数决定．1 2知1－练用科学计数法表示下列数：
0.000 000 001，0.001 2,
0.000 000 345, 0.000 000 010 8.用科学记数法表示0.000031，结果是( )
A．3.1×10－4 B．3.1×10－5
C．0.31×104 D．3.1×104(1) 10－9 ; (2) 1.2×10－3 ; (3) 3.45×10－7 ;
(4) 1.08×10－3 . 解： B3 知1－练下列用科学记数法表示正确的是( )
A．0.008＝8×10－2
B．0.0056＝56×10－2
C．0.0036＝3.6×10－3
D．15000＝1.5×103C2知识点科学记数法在实际生活中的应用知2－讲 例2 纳米 (nm) 是非常小的长度单位，1 nm=10 －9m.
把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球
放到地球上.1 mm3的空间可以放 多少个1 nm3的
物体(物体之间的间隙忽略不计)？知2－讲解：1 mm=10－3 m, 1 nm=l0－9m.
(10－3 )3 ÷ (10－9)3
=10－9÷10－27 = 10－9—(－27）
=1018.
1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.
l018是一个非常大的数，它是1亿(即l08)
的100亿(即1010)倍.知2－讲 纳米技术是一种高 新技术，它可以在微
观世界里直接探索 0.1～ 500 nm 范围内物质
的特性，从而创造新材料. 这项技术有重要应
用.知2－讲导引：地球的体积＝月球体积÷月球体积是地球体积的倍
数．
解： (2.2×1010)÷(2×10－2)＝1.1×1012(立方米)．
答：地球的体积约为1.1×1012立方米． 例3 月球体积约为2.2×1010立方米，月球体积是地球
体积的2×10－2倍，求地球的体积约为多少立方
米．知2－讲 用科学记数法表示的实际应用问题，与
实数解决实际问题相同，关键是列出算式，
有乘方的先计算乘方，再计算乘除法．知2－练在电子显微镜下测得一个球体细胞的直径是5×10－5 cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是( )
A．0.01 cm B．0.1 cm
C．0.001 cm D．0.000 01 cm某种细胞的直径是5×10－4mm，这个数据是( )
A．0.05mm B．0.005mm
C．0.0005mm D．0.00005mmBC知2－练(中考·北京)截至2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米.
将140000用科学记数法表示应为( )
A．14×104 B．1.4×105
C．1.4×106 D．0.14×106B1.用科学记数法表示数分为两种：
(1)当|N|>1时，N＝a×10n，1≤|a|<10，其中n的取
值为N的整数位数减1；
(2)当|N|<1时，N＝a×10－n，1≤|a|<10, 其中n的取
值为N的第一个非零数字前0的个数．
2.利用科学记数法表示实际生活中的数时，注意不
能漏掉单位．
