2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：评估验收卷（一）+Word版含解析

评估验收卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是(　　)
A.　　　　
B.
C.
D.
解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.
答案：D
2．圆ρ＝2cos的圆心为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由ρ＝2cos得ρ2＝ρcos
θ－ρsin
θ，
所以x2＋y2＝x－y，
所以＋＝1，
圆心的直角坐标为，极坐标为.
答案：D
3．将曲线y＝sin
2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)
A．y′＝3sin
x′
B．y′＝3sin
2x′
C．y′＝3sinx′
D．y′＝sin
2x′
解析：由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin
2x，有＝sin
x′，即y′＝3sin
x′.
答案：A
4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)
A．(－2，2，－2)
B．(－2，2，2)
C．(－2，－2，2)
D．(2，2，－2)
解析：
答案：A
5．在极坐标系中，点A与B之间的距离为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由A与B，知∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
答案：B
6．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
解析：由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos
θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋，
所以该方程表示抛物线．
答案：D
7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为(　　)
A．ρ＝－4cos
θ
B．ρcos
θ－1＝0
C．ρsin
θ＝－
D．ρ＝－sin
θ
解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos
θ＝2·cos
，则ρcos
θ＝1，经检验符合方程．
答案：B
8．极坐标系内曲线ρ＝2cos
θ上的动点P与定点Q的最短距离等于(　　)
A.－1
B.－1
C．1
D.
解析：将曲线ρ＝2cos
θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.
答案：A
9．在极坐标系中，直线ρcos
θ＝1与圆ρ＝cos
θ的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
解析：直线ρcos
θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos
θ，即ρ2＝ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．
答案：A
10．若点P的柱坐标为，则点P到直线Oy的距离为(　　)
A．1
B．2
C.
D.
解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面Oxy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案：D
11．极坐标方程ρ＝2sin的图形是(　　)
A　　　　　　　B　　　
C　　　　　　　D　　　
解析：法一　圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin
θ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为，选C.
法二　圆ρ＝2sin的直角坐标方程为＋＝1，圆心为，半径为1.
因此选项C正确．
答案：C
12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为(　　)
A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．0
解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin
θ＋ρcos
θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，
由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．
解析：因为A，B，所以∠BOA＝，
又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，
所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．
解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin
θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos
θ＋sin
θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9和y＝0，
所以弦长＝2＝2×＝2.
答案：2
16．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________．
解析：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.
在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.
将代入x2＋y2＝a2，得a＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
解：因为ρsin＝，所以ρsin
θ＋ρcos
θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又因为极点的直角坐标为(0，0)，
所以极点到直线的距离d＝＝.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝
＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得·3ρsin
θ＋ρsin
θ＝×3×1×sin
2θ，化简得ρ＝cos
θ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos
θ.
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，
得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，
即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆心到直线的距离d＝＝>，
所以曲线C1与C2相离．
21．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝
交于不同的两点A，B.求：
(1)|AB|的值；
(2)过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
解：(1)因为ρ＝2，
所以x2＋y2＝4.
又因为ρsin＝，
所以y＝x＋2，
所以|AB|＝2＝2＝2.
(2)因为曲线C2的斜率为1，
所以过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
所以直线l的极坐标为ρsin
θ＝ρcos
θ－1，
故ρcos＝.
22．(本小题满分12分)从极点O作直线与另一直线l：ρcos
θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．
解：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
因为ρ0cos
θ＝4，
所以ρ＝3cos
θ，即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cos
θ化为直角坐标方程，
得x2＋y2＝3x，
即＋y2＝.
知点P的轨迹是以为圆心、半径为的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.