2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.3.1离散型随机变量的均值含解析
第二章
随机变量及其分布
2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.1
离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
解析：易知发芽的种子数X～B(100，0.8)，
所以E(X)＝100×0.8＝80.
答案：C
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.
B.
C.
D.
解析：根据概率和为1，可得x＝，
所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
答案：C
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20
B．25
C．30
D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为eq
\f(C,25)＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
解析：因为ξ～B(n，0.6)，
( http: / / www.21cnjy.com )所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.
B.
C．2
D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝eq
\f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．已知X～B，则E(2X＋3)＝________．
解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.
答案：103
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
解：从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3.
所以P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
B级 能力提升
1．某船队若出海后天气好，可获得5
( http: / / www.21cnjy.com )000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
解析：出海的期望效益E(ξ)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元)．
答案：B
2．设离散型随机变量ξ的可
( http: / / www.21cnjy.com )能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．
解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ
( http: / / www.21cnjy.com )＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a＋10b＝3，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝.
答案：
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”
代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.？5
0.10
0.1？
0.20
(1)求P(X＝3)及P
(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一 由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二 由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
η
－1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
8.5
P
0.20
0.10
0.25
0.10
0.15
0.20
所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.2.3独立重复试验与二项分布含解析
第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.3
独立重复试验与二项分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.
82×0.28
解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
答案：A
2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )
A．0.18
B．0.28
C．0.37
D．0.48
解析：他能及格的概率P＝C×0.43×(1－0.4)＋C×0.44＝0.179
2≈0.18.
答案：A
3．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk
B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
答案：D
4．(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中
( http: / / www.21cnjy.com )，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.
答案：A
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋
( http: / / www.21cnjy.com )中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C
B．C
C．C
D．C
解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C.
答案：B
二、填空题
6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N)；
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子
( http: / / www.21cnjy.com )出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C，符合二项分布的定义，即有ξ～B.对于②，ξ的取值是1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________．
解析：因为X～B(2，p)，所以
( http: / / www.21cnjy.com )P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
答案：
8．口袋里放有大小相同的两
( http: / / www.21cnjy.com )个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重
( http: / / www.21cnjy.com )复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.
答案：
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移栽了
( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.
10.
一名学生骑自行车去上学，从他家
( http: / / www.21cnjy.com )到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．
解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.
因此所求X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
B级 能力提升
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4，1)
B．(0，0.4]
C．[0.6，1)
D．(0，0.6]
解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
所以Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，2(1－p)≤3p，
所以p≥0.4.
又0≤p＜1，所以0.4≤p＜1.
答案：A
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且
( http: / / www.21cnjy.com )在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
解析：设事件A在每次试验
( http: / / www.21cnjy.com )中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.
答案：
3．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，
( http: / / www.21cnjy.com )每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．
解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，
由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝，
乙得1分的概率P＝××＋××＋××＝.
根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝×＝.2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.2.2事件的相互独立性含解析
第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.2
事件的相互独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：①中，M，N是互斥事件；②中，
( http: / / www.21cnjy.com )P(M)＝，P(N)＝，即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．
答案：C
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，
则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，
则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工
( http: / / www.21cnjy.com )为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
答案：B
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通
( http: / / www.21cnjy.com )行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生，
故概率P＝××＋××＋××＝.
答案：D
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160
( http: / / www.21cnjy.com )个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事
( http: / / www.21cnjy.com )件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析：因为A，B相互独立
( http: / / www.21cnjy.com )，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．甲、乙两颗卫星同时监测
( http: / / www.21cnjy.com )台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
解析：在同一时刻两颗卫星预报都不
( http: / / www.21cnjy.com )准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.
05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.
答案：0.95
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一
( http: / / www.21cnjy.com )个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(eq
\o(\s\up
14(—
),\s\do
5(B
))C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红
( http: / / www.21cnjy.com )球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解
( http: / / www.21cnjy.com )决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－＝.
答案：
3．某项选拔共有三轮考核，每轮设
( http: / / www.21cnjy.com )有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
所以该选手被淘汰的概率
P＝1－P(A1A2A3)
＝1－P(A1)P(A2)P(A3)
＝1－××
＝.
(2)ξ的所有可能取值为1，2，3.
则P(ξ＝1)＝P(A1)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.1.2离散型随机变量的分布列B含解析
第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散开明随机变量的分布列
第2课时
两点分布与超几何分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个
( http: / / www.21cnjy.com )，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
解析：可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7.
答案：B
2．下列随机变量中服从两点分布的是( )
A．射击一次命中目标的次数
B．抛掷三枚骰子，所得的点数之和
C．抛掷一枚骰子，所得的点数
D．6张卡片上分别标有号码1，2，3，4，5，6，从中任取3张，三张卡片中最大的号码
解析：一次射击命中目标的次数X取值只可能为0，1，0表示没有命中，1表示命中，符合两点分布．
答案：A
3．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则c＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意c＋＋＋＝1，所以c＝.
答案：C
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，1，2，P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，因为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．
答案：D
5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于eq
\f(CC,C)的是( )
A．P(X＝2)
B．P(X＝3)
C．P(X≤2)
D．P(X≤3)
解析：因为P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)，所以选B.
答案：B
二、填空题
6．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为__________(用数字作答)．
解析：含1件次品的概率P1＝eq
\f(CC,C)，含2件次品的概率P2＝eq
\f(C,C)，
所以出现次品的概率P＝P1＋P2＝.
答案：
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
解析：P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：
8．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________．
解析：由已知Y取值为0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.
则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝.
答案：
三、解答题
9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列．
解：(1)因为摸出红球的概率为P(X＝1)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
(2)因为P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
10.生产方提供50箱的一批产品
( http: / / www.21cnjy.com )，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5
( http: / / www.21cnjy.com )箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝.
综上该批产品被接收的概率是.
B级 能力提升
1．已知在10件产品中可能存在次品
( http: / / www.21cnjy.com )，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，解得x＝2或8.
因为次品率不超过40%，
所以x＝2，所以次品率为＝20%.
答案：B
2．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
解析：将50名学生看作一批产品，其中
( http: / / www.21cnjy.com )选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.
依题意所求概率为P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：
3．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用教材的版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)从50名教师中随机选出2名的
( http: / / www.21cnjy.com )方法数为C＝1
225，选出2人使用教材的版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用教材的版本相同的概率P＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq
\f(C,C)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.4正态分布含解析
第二章
随机变量及其分布
2.4
正态分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝( )
A．4 B．2 C. D．1
解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.
所以D＝D(X)＝1.
答案：D
2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，
( http: / / www.21cnjy.com )x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，
σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.
答案：A
3．
(2015·山东卷)已知
( http: / / www.21cnjy.com )某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知
( http: / / www.21cnjy.com )P(－3＜ξ＜3)＝0.682
6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954
4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135
9＝13.59%.
答案：B
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N
( http: / / www.21cnjy.com )(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为( )
A．0.9
B．0.5
C．0.6
D．0.8
解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，
所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝1，
因为ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，
所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为0.8，故选D.
答案：D
5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N
( http: / / www.21cnjy.com )(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )
A．0.997
3
B．0.682
6
C．0.841
3
D．0.815
9
解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，
由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，答案应选B.
答案：B
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区
( http: / / www.21cnjy.com )间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：由题意知区间(－3，－
( http: / / www.21cnjy.com )1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.
答案：1
8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
9．设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682
6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8
000～8
500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知μ＝8
000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7
500<ξ≤8
000)
＝P(8
000－500<ξ≤8
000＋500)
＝0.682
6.
所以P(8
000<ξ≤8
500)＝P(7
500<ξ≤8
500)＝0.341
3，
即农民工年均收入在8
000～8
500元的人数占总体的34.13%.
B级 能力提升
1．以Φ(x)表示标准正
( http: / / www.21cnjy.com )态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
解析：设η＝，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．
答案：B
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生
( http: / / www.21cnjy.com )的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10
000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋2
( http: / / www.21cnjy.com )0)＝0.954
4，P(X＞80)＝(1－0.954
4)＝0.022
8，故成绩高于80分的考生人数为10
000×0.022
8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20，4)．若这批零件共有5
000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18～22
mm的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24～26
mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
解：(1)因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X为18～22
mm的零件所占百分比大约是68.26%，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
所以零件尺寸X为14～26
mm的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X为16～24
mm的百分比大约是95.44%.
所以零件尺寸为24～26
mm的百分比大约是＝2.15%.
5
000×2.15%＝107.5，
因此尺寸为24～26
mm的零件大约有107个．2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.1.1离散型随机变量含解析
第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.1
离散型随机变量
A级 基础巩固
一、选择题
1．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( )
A．取出产品的件数
B．取出正品的件数
C．取到产品的概率
D．取到次品的概率
解析：由题意知，此试验所有可能结果为2件正品、1件正品和1件次品、2件次品．因此取出正品的件数可作为随机变量．故选B.
答案：B
2．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②
( http: / / www.21cnjy.com )连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X
B．②中的X
C．③中的X
D．④中的X
解析：①②④中的随机变量X可能取的值，我们
( http: / / www.21cnjy.com )都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．
答案：C
3．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.
答案：B
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案：C
5．抛掷两枚骰子，所得点数之积记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( )
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是4点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点
解析：抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝xy，由ξ＝4得或或
答案：D
二、填空题
6．在100件产品中含有4件次品，从中任意抽取2件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝0的含义是______________．
答案：ξ＝0表示取出的2件产品都是正品
7．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为______________．
解析：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5.
答案：{0，1，2，3，4，5}
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．
解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取
( http: / / www.21cnjy.com )到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外完
( http: / / www.21cnjy.com )全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．
解：设X表示抽到的白球个数，则由题意可
( http: / / www.21cnjy.com )得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为离散型随机变量．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
B级 能力提升
1．一用户在打电话时忘了号码的最后
( http: / / www.21cnjy.com )四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20
B．24
C．4
D．18
解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A＝24(种)．
答案：B
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．
解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C·C＝20(种)．
答案：20
3．某次演唱比赛，需要加试文化科学
( http: / / www.21cnjy.com )素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
解：(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3.
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道，不同的结果有CCCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有CCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有CCA＝18(种)．
由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种)．2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.3.2离散型随机变量的方差含解析
第二章
随机变量及其分布
2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.
2
离散型随机变量的方差
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7
B．1.7和0.09
C．0.3和0.7
D．1.7和0.21
解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
答案：D
2．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为( )
A．64 B．256 C．259 D．320
解析：由X～B(100，0
( http: / / www.21cnjy.com ).2)知n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.
答案：B
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲
B．乙
C．一样
D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
答案：B
5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为( )
A．2.4
B．4.8
C．2.4＋q
D．4.8＋q
解析：因为X～B(5，p)，
所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，
D(X)＝5××＝，
所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.
答案：B
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.
答案：
8．随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
x
y
z
其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，
又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝，y＝，z＝0，所以D(X)＝×＋×＋×0＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有大小相同的小球6
( http: / / www.21cnjy.com )个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝，
故X的分布列为：
X
5
4
3
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＝4，
D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.
10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现
( http: / / www.21cnjy.com )规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)
(保留3位有效数字)．
解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表
( http: / / www.21cnjy.com )示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.
因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.21
0.063
0.027
E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.
D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(
( http: / / www.21cnjy.com )2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.
063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.
B级 能力提升
1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，P(ξ＝X2)＝，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为( )
A.
B.
C．3
D.
解析：X1，X2满足
解得或
因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.
答案：C
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布
( http: / / www.21cnjy.com )B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不
( http: / / www.21cnjy.com )低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.2.1条件概率含解析
第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
A. B. C. D.
解析：由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝.
答案：C
2．某地区空气质量监测资
( http: / / www.21cnjy.com )料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
解析：已知连续两天为优良的概率是0.
( http: / / www.21cnjy.com )6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
答案：A
3．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设第一次摸到的是红球为事件A，则P(A)＝＝，设第二次摸得红球为事件B，则P(AB)＝＝，
故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为
P(B|A)＝＝.
答案：D
4．某种电子元件用满3
000小时不坏
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为，用满8
000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3
000小时不坏，还能用满8
000小时的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：记事件A：“用满3
000小时不坏
( http: / / www.21cnjy.com )”，P(A)＝；记事件B：“用满8
000小时不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝÷＝.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C．0.86
D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成
( http: / / www.21cnjy.com )长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
二、填空题
6．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同
( http: / / www.21cnjy.com )学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
答案：
7．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B为“第一次出现反面”，事件A为“第二次出现正面”，则P(A|B)为________．
解析：事件B包含的基本事件数有1×C＝2个，AB包含的基本事件数为1，由条件概率公式P(A|B)＝＝.
答案：
8．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，
则P(A)＝eq
\f(C,C)，P(AB)＝eq
\f(1,C)，故P(B|A)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝eq
\f(C,C)＝＝，P(AB)＝eq
\f(C,C)＝，
所以P(B|A)＝＝.
10．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；
(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？
解：设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．
(1)由古典概率知P(A)＝＝.
(2)法一 由古典概型知P(A|B)＝.
法二 P(AB)＝，P(B)＝，
由条件概率的公式，得P(A|B)＝.
B级 能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P(A|B)．
而P(AB)＝eq
\f(C,C)，P(B)＝eq
\f(C＋CC,C).
所以P(A|B)＝＝.
答案：D
2．盒中装有6件产品，其中4件
( http: / / www.21cnjy.com )一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝eq
\f(C·C,C·C)＝，P(A)＝eq
\f(C·C＋CC,C·C)＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝÷＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.2018高考数学人教A版选修2--3检测：2.1.2离散型随机变量的分布列A含解析
第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散型随机变量的分布列
第1课时
离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有
( http: / / www.21cnjy.com )1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任
( http: / / www.21cnjy.com )意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．若随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A．(－∞，2]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
解析：由随机变量X的分布列知：P(X<－1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X答案：C
3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝.
答案：D
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)
( http: / / www.21cnjy.com )＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1，2，3，4，其中a是常数，则P的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：＋＋＋＝a
＝a＝1.
所以a＝.
所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝.
答案：D
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.
( http: / / www.21cnjy.com )35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解：
X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝eq
\f(2,C)＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝eq
\f(1,C)＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．求：
(1)常数a的值；
(2)P；
(3)P.
解：题目所给随机变量X的分布列为：
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
B级 能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，
4，5)，则P＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
解：将一颗骰子连掷两次共出现的等可能基本事件有6×6＝36(种)，其最大点数ξ可能取的值为1，2，3，4，5，6.
P(ξ＝1)＝.
ξ＝2包含三个基本事件(1，2)，(2，
( http: / / www.21cnjy.com )1)，(2，2)，其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y.所以P(ξ＝2)＝＝.
同理可求得P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P