课件29张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第1课时 角1课堂讲解角及有关角的定义
角的表示方法
角的度量2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1-导1知识点角及有关角的定义知1-导知1-讲
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角的顶点角的边角的顶点●公共端点两条射线1.角的定义1:OAB知1-导1.角的定义2:知1-讲例1 判断正误,对的打“√”,错的打“×”.
(1)两条射线组成的图形叫做角.( )
(2)角的大小与角画出的两边的长短无关.( )
(3)由一条射线绕一点旋转而形成的图形叫做
角.( )
导引:紧扣角的两种定义来进行判断.(1)缺少“公共
端点”;(3)不是“绕它的端点”旋转.×√×1下列说法中正确的是( )
A.两条射线所组成的图形叫做角
B.有公共点的两条射线叫做角
C.一条射线绕着它的端点旋转叫做角
D.一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角知1-练D2下列说法中正确的是( )
A.由两条射线组成的图形是角
B.角的边越长,角越大
C.在角一边的延长线上取一点
D.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角知1-练D3下列说法正确的是( )
A.一条直线便是一个平角
B.由两条射线组成的图形叫做角
C.周角就是一条射线
D.由一条射线绕其端点旋转,始边与终边重合而
成的图形叫周角知1-练D2知识点角的表示方法知2-讲角的表示ABO表示法:∠AOB或∠BOAO是角的顶点,A、B分别是角两边上的一点,A、B可以交换位置,但O必须写在中间. 任何角都可以用此方法表示.角的符号这样的角还可以怎样表示?1、用角的符号及三个大写字母表示:知2-讲角的表示O表示法:∠O当以某一个字母(如O)为顶点的角只有一个角时可以这样表示. 若以O为顶点的角有若干个时,不能用此表示法.ABABCO这种情形不能表示为∠O2、用角的符号及一个大写字母表示知2-讲角的表示表示法:∠1用此法时, 必须在近顶点处加上弧线并注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ .1α表示法:∠α123、用角的符号及一个数字或希腊字母来表示:这三种表示方法,你
认为 哪一种比较方
便?知2-讲角的表示方法:(1)角通常用三个大写字母及符号“∠”表示. 注:顶点的字母必须写在中间 (2)角也可用一个大写字母表示. 注:当两个或两个以上的角有同一个顶点时,
不能用一个大写字母表示.(3)角还可用一个数字(或希腊字母)表示,并在角的
内部靠近角的顶点处画一弧线,写上数字(或希
腊字母). 知2-讲例2 如图,写出符合以下条件的角:
(1)能用一个大写字母表示的角;
(2)以A为顶点的角;
(3)小于平角的角.
导引:用一个大写字母表示的角不能有其他角与它共
用顶点.
解:(1)∠B,∠C.
(2)∠BAC,∠BAD,∠CAD.
(3)∠BAC,∠B,∠C,∠1,∠2,∠3,∠4.1如图,下列说法中错误的是( )
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC也可用∠O来表示
C.图中共有三个角:∠AOB、∠AOC、∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC知2-练B下列四个图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表
示同一个角的图形是( )知2-练2A如图,下列说法:
①∠ECG和∠C是同一个角;
②∠OGF和∠DGB是同一个角;
③∠DOF和∠EOG是同一个角;
④∠ABC和∠ACB不是同一个角.
其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知2-练3C知3-导3知识点角的度量 角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦.
为什么选择60这个数作为进制的基数呢?据说是由于
60这个数是许多常用的数2,3,4,5,6,10,12,
15,20,30的倍数,60=12×5,12是一年中的月数,
5是一只手的手指数,所以古代巴比伦人认为60是一
个特别而又重要的数.1.常用的角的度量单位为度、分、秒,这种角的度量
制叫做角度制.
1°=60′,1′=60″.除角度制外,角的度量制还要学
弧度制、密位制等.
2.常见的角的分类:锐角:大于0°,小于90°的角;
钝角:大于90°,小于180°的角;1直角=90°,
1平角=180°,1周角=360°.知3-讲3.角的度量工具有:量角器、经纬仪、测角器
等.
4.借助三角尺可以画出30°,45°,60°,90°
等特殊角,借助量角器可以画出任何给定度数
的角. 知3-讲例3 计算:(1)将57.32°用度、分、秒表示;
(2)将10°6′36″用度表示.
导引:(1)先把0.32°化成分,0.32°=0.32×60′ =19.2′.
再把0.2′化为秒,0.2′=0.2×60″=12″.
(2)先把36″化为分,36″= ×36=0.6′,6′+
0.6′=6.6′.再把6.6′化为度,6.6′= ×6.6=
0.11°.
解:(1)57.32°=57°19′12″.
(2)10°6′36″=10.11°.知3-讲例4 当8时30分时,时钟上的时针与分针的夹角为( )
A.85° B.75° C.70° D.60°
导引:解决时针与分针的夹角问题时,可将时针、分针
的初始位置都设在12时的位置,分针每分钟转过
的角度为6°,时针每小时转过的角度为30°,8
时30分时分针与其初始位置的夹角为30×6°=
180°,时针与其初始位置的夹角为8.5×30°=
255°,所以时针与分针的夹角为255°-180°=
75°.知3-讲B知3-讲解决钟面中指针的夹角问题时,扣住两点:
一是时针与分针的速度;
二是整点时刻的位置判断.1下面等式成立的是( )
A.83.5°=83°5′ B.37°12′36″=37.48°
C.24°24′24″=24.44° D.41.25°=41°15′
把15°48′36″化成以度为单位是( )
A.15.8° B.15.483 6°
C.15.81° D.15.36°知3-练2DC若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°,
则下列结论中正确的是( )
A.∠P=∠Q B.∠Q=∠R
C.∠P=∠R D.∠P=∠Q=∠R
从3时到6时,钟表的时针转过的角的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°知3-练34CC角
的
概
念角是由两条具有公共端点的射线组
成的图形.角也可以看做一条射线绕端点旋转
所组成的图形。静动度、分、秒相互换算的法则:
(1)度、分、秒的换算是60进制.
(2)角的度数的换算有两种情况:
①把度化成度、分、秒的形式,即从高级单位向
低级单位转化时,每级变化乘以60.
②把度、分、秒化成度的形式,即从低级单位向
高级单位转化时,每级变化除以60. 课件29张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第2课时 角的比较与运算1课堂讲解角的比较
角的平分线
角的运算2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升问题:有一天学生张虎和王鹏各带了一把折扇(如图),
下面是他们的一段对话:张:我的折扇大一些,所以我的折扇的角 也大一些.王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.同学们,你们有办法帮他们进行判断吗?ABCDEF怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?1知识点角的比较知1-导角的比较:请同学们任意画出两个角比较一下,并讨论你们的比较方法:你的方法有:(1)度量法比较(2)叠合法比较知1-讲一. 度量法1、对“中”—角的顶点对量角器的中心3、读数—读出角的另一边所对的度数2、重合—角的一边与量角器的0°刻度线重合BCA700∠ABC > ∠DEF30°知1-讲1.将两个角的顶点及一边重合2.两个角的另一边落在重合一边的同侧3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小二. 叠合法∠DCE>∠AOB知1-讲∠DCE<∠AOB∠ DCE =∠AOB知1-讲例1 根据图,回答下列问题:
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小;
(2)借助三角尺比较∠DOE 与∠DOF 的大小.
导引:(1)中两个角有重合边和重合顶点,利用叠合法
比较一目了然,因为OD 边在∠FOE的内部,
所以有∠FOD <∠FOE. (2)∠DOE明显大于
45°,而∠DOF 明显小于 45°,故有∠DOE
>∠DOF.知1-讲解:(1)∠FOD<∠FOE.
(2)用含有45°角的三角尺比较,可得∠DOE>
45°,∠DOF<45°,所以∠DOE>∠DOF.知1-讲 用叠合法比较角的大小时,一定要将两个角的
另一边落在重合边的同侧.两边都不重合,或有一
边重合但另一边在重合边的异侧的两角,可通过度
量法比较大小.1在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,那么
有( )
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC>∠BOC
C.∠BOC>∠AOB D.∠AOB>∠AOC
如图,如果∠AOB=∠COD,那么( )
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.以上都不对知1-练2BB2知识点角的平分线知2-导 如图,在透明纸上画一个角,沿着顶点对折,
使角的两边重合.∠AOC被折痕OB分成的两个角有
什么关系?知2-讲1.定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分
成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
要点精析:
(1)角平分线是在角的内部从角的顶点引出的一条射
线,不是直线或线段;
(2)角平分线把角分成了两个相等的角.知2-讲2.角平分线的几何表示:如图所示,
若OC平分∠AOB,则∠AOC=
∠BOC= ∠AOB;反之,若
∠AOC=∠BOC,则OC平分∠AOB.
3.角的n等分线:类似角的平分线,从角的顶点引出的
射线,将角分成相等的n个角,叫做角的n等分线,
例如角的三等分线、四等分线等.
4.易错警示:不能在角平分线的多种几何表达形式之
间灵活转换. 知2-讲例2 如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则
下列结论:①AD平分∠BAF;
②AF平分∠DAC;③AE平分
∠DAF;④AF平分∠BAC;
⑤AE平分∠BAC中,正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
导引:由角的平分线的几何表示可知:当∠1=∠2时,
AE平分∠DAF;再由∠3=∠4可得∠1+∠3=
∠2+∠4,即∠BAE=∠CAE,因此AE平分
∠BAC.C知2-讲 判断一条射线是不是角的平分线,只要看这
条射线是否将角分成相等的两个角即可.1点P在∠MAN的内部,现有4个等式;①∠PAM=
∠NAP;②∠PAN= ∠MAN;③∠MAP=
∠MAN;④∠MAN=∠MAP+∠PAN,其中能表
示AP是∠MAN的平分线的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个知2-练C如图所示,若有∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,
则下列结论中错误的是( )
A.AD是∠BAC的平分线
B.CE是∠ACD的平分线
C.∠BCE= ∠ACB
D.CE是∠ABC的平分线
(中考?大连)如图,点O在直线AB上,
射线OC平分∠BOD,若∠COB=
35°,则∠AOD等于( )
A.35° B.70° C.110° D.145°知2-练23DC知3-讲3知识点角的运算思考
如图,图中共有几个角?
它们之间有 什么关系?
图中,∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和,记作
∠AOC=∠AOB + ∠BOC. ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC
的差,记作∠AOB = ∠AOC -∠BOC. 类似地,∠AOC
-∠AOB=____________.∠BOC例3 如图, O是直线AB上一点,
∠AOC=53°17′,求
∠BOC的度数.
分析:AB是直线,∠AOB是平角.∠BOC 与∠AOC的
和是∠AOB.
解:由题意可知,∠AOB是平角,
∠AOB= ∠AOC+∠BOC.
所以 ∠BOC =∠AOB-∠AOC
=180°-53°17′
=126°43′.知3-讲知3-讲 这里的加与减,要将度与度、分与分、秒
与秒分别相加、减,分秒相加时逢60要进位,
相减时要借1作60. 本题中应借1°,化为60′.例4 如图,∠AOB=48°,∠1=
32°24′,求∠2的度数.
导引:要求∠2的度数,就是要把它转
化为用已知角∠1的关系式来表示.根据图形可
知,∠1+∠2=∠AOB,因此∠2=∠AOB-∠1.
解:因为∠AOB=48°,∠1=32°24′,
所以∠2=48°-32°24′
=47°60′-32°24′=15°36′.知3-讲例5 如图,OC是∠AOD的平分线,
OE是∠BOD的平分线.
(1)如果∠AOB=130°,那么
∠COE是多少度?
(2)在(1)的条件下,如果∠DOC
=20°,那么∠BOE是多少度?
导引:(1)由已知可知∠DOC= ∠AOD,∠DOE=
∠BOD.由于∠COE=∠DOC+∠DOE,因此,
∠COE= ∠AOD+ ∠BOD= ∠AOB.
(2)结合(1)的结论可求出∠DOE的度数,从而求出
∠BOE的度数.知3-讲解:(1)因为OC平分∠AOD,
所以∠DOC= ∠AOD.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE= ∠BOD.
所以∠COE=∠DOC+∠DOE= (∠AOD+∠BOD)
∠AOB= ×130°=65°.
(2)由(1)可知∠COE=65°,因为∠DOC=20°,
所以∠DOE=∠COE-∠DOC=45°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠BOE=∠DOE=45°.知3-讲知3-讲(1)利用角平分线进行计算时,要灵活运用角平分
线的几种不同表达方式.
(2)在计算角的大小时,常常要用到等量代换,用
已知角代替与它相等的未知角.1如图,∠AOD-∠AOC=( )
A.∠AOC B.∠BOC
C.∠BOD D.∠COD
(中考?滨州)借助一副三角尺,你能画出下面哪个
度数的角( )
A.65° B.75°
C.85° D.95°知3-练2DB(中考?辽宁)如图,已知直线AB,CD相交
于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=110°,则
∠BOD的度数是( )
A.25° B.35° C.45° D.55°知3-练3D 这节课你有哪些收获?你觉得还有哪些地方存
在疑问,不妨与同伴交流.课件18张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第3课时 余角和补角1课堂讲解余角和补角
余角和补角的有关计算2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点余角和补角知1-导 如果两个角的和等于90o(直角),就说这两个
角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于180o(平角),就说这两个
角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角. 知1-导探究1(1)在一副三角板中,每块都有一个角是90°,
那么其余两个角的和是多少?
(2)已知∠1=36°,∠2=54°,那么∠1+∠2=?
探究2(1)观察如图所示的两个角,你能猜想∠1+
∠2等于多少度?
(2)如果∠1=144°,∠2=36°,那么∠1+∠2=?知1-讲知1-讲要点精析:
(1)互余,互补必须是两个角之间的关系.
(2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时,又称这
两个角互为邻补角(简称邻补角).如图
所示,∠AOC和∠BOC互为邻补角.
(3)互补的角不一定互为邻补角,但互为邻补角的角
一定互为补角.
(4)互余或互补的角只与数量有关,与位置无关. 知1-讲例1 下列说法正确的有 ( )
①锐角的余角是锐角,锐角的补角是锐角;
②直角没有补角;
③钝角没有余角,钝角的补角是锐角;
④直角的补角还是直角;
⑤一个角的补角与它的余角的差为90°;
⑥两个角相等,它们的补角也相等.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
导引:主要紧扣锐角、钝角、余角、补角的特征进行判断,
除①②不正确外,其他说法都正确.B知1-讲 由于互余的两个角之和为90°,所以这两个角
都为锐角;互补的两个角之和为180°,所以这两
个角为一个锐角一个钝角或两个角都为直角.知1-讲 例2 如图,点A,O, B在同一条直线 上,
射线OD和射线OE分别平分∠AOC
和∠BOC, 图中哪些角互为余角?
解:因为点A,O, B在同一条直线上,
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC
+∠BOC)= 90°.
所以,∠COD和∠COE互为余角,
同理,∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD
和∠BOE也互为余角.1(中考?株洲)已知∠α=35°,那么∠α的余角等
于( )
A.35° B.55° C.65° D.145°
(中考?金华)已知∠α=35°,那么∠α的补角的度
数是( )
A.55° B.65° C.145° D.165°知1-练2BC3下列说法正确的是( )
A.两个锐角一定互余
B.锐角和钝角一定互补
C.互余且相等的两角一定是45°
D.同一角的余角与它的补角一定相等知1-练C2知识点余角和补角的有关计算知2-讲 例3 如图,∠AOB与∠AOD分别是∠AOC的余角
和补角,且OC是∠BOD的平分线,求∠AOC
和∠BOD.
导引:此题中角的关系错综复杂,
适宜用方程去解决.
解:设∠AOC=x°.
则∠AOB=(90-x)°,∠AOD=(180-x)°.知2-讲因为∠BOC=∠AOC-∠AOB,
所以∠BOC=[x-(90-x)]°=(2x-90)°.
因为∠COD=∠AOD-∠AOC,
所以∠COD=[(180-x)-x]°=(180-2x)°.
因为OC平分∠BOD,所以∠BOC=∠COD.
所以2x-90=180-2x. 解得x=67.5.
所以∠AOC=67.5°,∠BOD=∠AOD-∠AOB
=(180°-67.5°)-(90°-67.5°)=90°.知2-讲(1)用方程解几何题,本节中已多次出现.这是方
程思想的应用.
(2)图中∠BOD是同一个角的补角与余角的差,所
以∠BOD=90°,与锐角∠AOC的大小无关.
(3)方程中一般不出现单位.1一个角比它的余角大10°,这个角为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
如图,直线AB与CD相交于O点,∠EOB=90°,
则图中∠1与∠2的关系是( )
A.互补 B.互余
C.相等 D.无法确定知2-练2CC3一个角的补角比它的余角( )
A.相等
B.小90°
C.大90°
D.不确定大小知2-练C?1+ ?2=90°?1+ ?2=180°同角(等角)的余角相等同角(等角)的补角相等 余角、补角理解要点:
(1)互余和互补是指两个角的数量关系,而不是多个
角之间的关系.
(2)互余、互补的两个角,只与它们的数量(和)有关,
与它们的位置无关.课件20张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第4课时 余角和补角的
性质1课堂讲解余角、补角的性质
方位角2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点余角、补角的性质知1-导思考
∠1与∠2, ∠3都互为补角, ∠2与∠3的大小
有什么关系?
答:∠1与∠2, ∠3都互为补角,
那么∠2 =180°- ∠1, ∠3 = 180°-∠1,
所以 ∠2=∠3.知1-导同角(等角)的补角相等.
对于余角也有类似的性质:
同角(等角)的余角相等.知1-讲1.补角的性质:同角的补角相等,即:若∠A+∠B
=180°,∠A+∠C=180°,则∠B=∠C.等角的
补角相等,即:若∠A+∠B=180°,∠D+∠C=
180°,∠A=∠D,则∠B=∠C.
2.余角的性质:同角的余角相等,即:若∠A+∠B
=90°,∠A+∠C=90°,则∠B=∠C.等角的余
角相等,即:若∠A+∠B=90°,∠D+∠C=
90°,∠A=∠D,则∠B=∠C.知1-讲例1 如图①,直线AB与∠COD的两边OC,OD分别
相交于点E,F,∠1+∠2=180°.找出图中与
∠2相等的角,并说明理由.
导引:已知∠1+∠2=180°,说明
∠2是∠1的补角.根据同角(或
等角)的补角相等,找出图中
∠1的其他补角和∠2的其他补
角的补角,便可确定与∠2相等的角.知1-讲解:如图②,因为∠1+∠3=180°,∠1+∠2=180°,
所以∠3=∠2.
因为∠1+∠4=180°,∠1+∠2=180°,
所以∠4=∠2.
因为∠2+∠5=180°,
∠6+∠5=180°,
所以∠2=∠6.
所以图中与∠2相等的角
有∠3,∠4,∠6.知1-讲 “同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的
补角相等”的实质是等量代换,只不过在特定的背
景下使用起来更便捷罢了.1若∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°,则∠α与∠γ的关系是( )
A.互余 B.互补
C.相等 D.∠α=90°+∠γ
如图,直线AB,CD交于点O,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2的依据是( )
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等知1-练2CC3如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC=∠BOD,这是根据( )
A.直角都相等
B.同角的余角相等
C.同角的补角相等
D.互为余角的两个角相等
如图所示,点O在直线AE上,OB平分∠AOC,∠BOD
=90°,则∠DOE和∠COB的
关系是( )
A.互余 B.互补
C.相等 D.和是钝角知1-练4BA2知识点方 位 角知2-讲1.定义:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方
向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位
角.
注意事项:方位角在叙述时,一般先说南北,后说东西,
如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时,常简称
为东北、东南、西北、西南,如南偏东45°,即为东
南方向.知2-讲 例2 如图(1),货轮O在航行过程中,发现灯塔A
在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东
40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的方法,
画出表示客轮B、 货轮C和
海岛D方向的射线.知2-讲画法:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一
边,画40°的角,使它 的另一边OB落在东与
北之间.射线OB的方向就是北偏东40° (图(2)),
即客轮B所在的方向.
请你在图(2)上画出表示
货轮C和海岛D方向的
射线.知2-讲 有时以正北、正南 方向为基准,描述物体运
动的方向,如“北偏东30°” “南偏东25°”.
表示方向的角在航 行、测绘等工作中经常 用
到.知2-讲 例3 如图,下列说法不正确的是( )
A.OC的方向是南偏东30°
B.OA的方向是北偏东45°
C.OB的方向是北偏西60°
D.∠AOB的度数是75°D知2-讲 例4 学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是
A,B,C.电影院在学校的正东方向,公园在
学校的南偏西15°方向,那么
平面图上的∠CAB等于( )
A.105° B.115°
C.155° D.65°
导引:本题中未给出图形,根据方位角的叙述画出正
确的图形是解决本题的关键.如图,根据图形
可得∠CAB=105°.A知2-讲 解决几何问题通常情况下都需借助图形中包
含的数量关系,当一个题中没有图形时,正确地
根据题意画出图形便成为解题的关键.1如图,下面说法中不正确的是( )
A.射线OA表示北偏东30°
B.射线OB表示西北方向
C.射线OC表示西偏南80°
D.射线OD表示南偏东70°
如图所示,A在B的( )
A.北偏东60° B.南偏东60°
C.南偏西60° D.南偏西30°知2-练2CC3如图所示,某测绘装置一枚指针原来指向南偏西
50°,把这枚指针按逆时针方向旋
转 周,则结果指针的指向是( )
A.南偏东50° B.西偏北50°
C.南偏东40° D.东南方向
一轮船A观测灯塔B在其北偏西50°,灯塔C在其南
偏西40°,试问此时∠BAC=( )
A.80° B.90° C.40° D.不能确定知2-练4CB1.余角和补角的性质同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等2.方位角方位角的表示方位角的特征