2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：评估验收卷（二）+Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：评估验收卷（二）+Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 139.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-09-14 16:46:02 | ||
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文档简介
评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1，2)
B．(2，－1)
C．(3，－2)
D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
解析：由xcos
θ＝a，所以cos
θ＝，
代入y＝bcos
θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos
θ，知y∈[－|b|，|b|]，
所以曲线应为双曲线的一部分．
答案：D
3．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A.
B.π
C.π
D.π
解析：因为点Q(－2，2)在圆上，
所以且0≤θ<2π，所以θ＝π.
答案：B
4．设r>0，那么直线xcos
θ＋ysin
θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1|
B．2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析：点P1与点P之间的距离为
＝eq
\r(t＋t)＝|t1|.
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π
B．3π
C．4π
D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
所以e＝.
答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为( )
A．[，5]
B．[－，5]
C．[－5，－]
D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos
φ，sin
φ)，因此S＝x＋y＝cos
φ＋sin
φ＝(cos
φ＋sin
φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan
γ＝，所以S的取值范围是[－，
]，故选D.
答案：D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2两点，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
解析：将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C：(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝
＝，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－.
答案：3－
14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，
又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，
联立这两个方程得x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
解：(1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos
θ＝1，y＝2sin
θ＝－，
所以点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离为
d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos(a>0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，
直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立解得或(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，
即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．
由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.
21．(本小题满分12分)已知直线l：
(t为参数)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为＋＝1，
则F的坐标为(－1，0)，
又直线l过点(m，0)，故m＝－1.
(2)把x＝m＋tcos
α，y＝tsin
α代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos
α－9＝0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，
则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝＝，
故当sin
α＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sin
α＝1时，|FA|·|FB|取最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
解：(1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.
由ρsin＝，得ρsin
θ－ρcos
θ＝2，(
)
将代入(
)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1，2)
B．(2，－1)
C．(3，－2)
D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
解析：由xcos
θ＝a，所以cos
θ＝，
代入y＝bcos
θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos
θ，知y∈[－|b|，|b|]，
所以曲线应为双曲线的一部分．
答案：D
3．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A.
B.π
C.π
D.π
解析：因为点Q(－2，2)在圆上，
所以且0≤θ<2π，所以θ＝π.
答案：B
4．设r>0，那么直线xcos
θ＋ysin
θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1|
B．2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析：点P1与点P之间的距离为
＝eq
\r(t＋t)＝|t1|.
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π
B．3π
C．4π
D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
所以e＝.
答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为( )
A．[，5]
B．[－，5]
C．[－5，－]
D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos
φ，sin
φ)，因此S＝x＋y＝cos
φ＋sin
φ＝(cos
φ＋sin
φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan
γ＝，所以S的取值范围是[－，
]，故选D.
答案：D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2两点，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
解析：将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C：(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝
＝，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－.
答案：3－
14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，
又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，
联立这两个方程得x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
解：(1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos
θ＝1，y＝2sin
θ＝－，
所以点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离为
d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos(a>0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，
直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立解得或(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，
即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．
由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.
21．(本小题满分12分)已知直线l：
(t为参数)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为＋＝1，
则F的坐标为(－1，0)，
又直线l过点(m，0)，故m＝－1.
(2)把x＝m＋tcos
α，y＝tsin
α代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos
α－9＝0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，
则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝＝，
故当sin
α＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sin
α＝1时，|FA|·|FB|取最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
解：(1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.
由ρsin＝，得ρsin
θ－ρcos
θ＝2，(
)
将代入(
)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.