2018高考数学人教A版选修4--4检测：1.1平面直角坐标系含解析
第一讲
坐标系
一、平面直角坐标系
A级 基础巩固
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，
所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
答案：A
2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：C
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos
x′
B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′
D．y′＝cos
3x′
解析：由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′，
所以y′＝cos
x′.
答案：A
5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．2x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x＋y＝1
D．4x＋3y＝1
解析：将代入曲线＋＝1.
得x2＋y2＝1.
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.
答案：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点
( http: / / www.21cnjy.com )(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x＋1＝0
7．若点P(－2
016，2
017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________．
解析：因为P(－2
016，2
017)经过伸缩变换
得
代入x′y′＝k，得k＝－1.
答案：－1
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－3
( http: / / www.21cnjy.com )6y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．
解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
答案：
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为
M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，
得＋＝1，
所以x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．
B级 能力提升
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D.x2＋y2＝1
解析：将代入2x′2＋8y′2＝2中，
得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.
答案：A
2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2
( http: / / www.21cnjy.com )，0)，N(2，0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，由题意可知＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
由||·||＋·＝0，
可知4＋4(x－2)＝0，
化简，得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．已知A，B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸的轨迹方程．
解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2
s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680
m.
因为|AB|>680
m，
所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上．
以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
所以2a＝680，a＝340，
因为|AB|＝800，
所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44
400，
因为800>|PA|－|PB|＝680>0，
所以x>0，
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
－＝1(x>0)．2018高考数学人教A版选修4--4检测：1.2极坐标含解析
第一讲
坐标系
二、极坐标
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：ρ＝2，tan
θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，
故取θ＝－，所以点P的极坐标为.
答案：C
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0)
B．(π，2π)
C．(－π，0)
D．(－2π，0)
解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
答案：A
3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
5．在极坐标系中，已知点P1，P2，则|P1P2|等于( )
A．9
B．10
C．14
D．2
解析：∠P1OP2＝－＝，所以△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
答案：B
二、填空题
6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．
解析：因为A，B两点的极坐标为，，
所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，
所以线段AB中点的直角坐标是.
答案：
7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．
解析：点B的极坐标可表示为，
则∠AOB＝－＝，
故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin
＝3.
答案：3
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r，0)，因为A，
所以
＝5，
即r2－8r＋7＝0，
解得r＝1或r＝7，
所以点M的坐标为(1，0)或(7，0)．
10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，
F，G分别
( http: / / www.21cnjy.com )表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600
m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．
解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.
又|OA|＝600×cos
＝300，
|OD|＝600×sin
＝300，
|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.
故A(300，0)，D，E，
F(300，π)，G.
B级 能力提升
1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为ρ＝－2<0，
所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案：B
2．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P的极坐标为________．
解析：因为点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，
所以x＝－2，且y＝－2，
所以ρ＝＝2，
又tan
θ＝＝1，且θ∈[0，2π)，所以θ＝.
因此点P的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图所示，由A，B(2，π)，C.
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形．
(2)由
(1)可知，
|AC|＝2|OA|sin＝2×2×＝2.
所以S△ABC＝×(2)2＝3.2018高考数学人教A版选修4--4检测：第1章含解析
复 习 课
[整合·网络构建]
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[警示·易错提醒]
1．关于伸缩变换的定义的易错点．
对于平面直角坐标系中的伸缩变换关
( http: / / www.21cnjy.com )系式要区分(x，y)与(x′，y′)的意义．在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．关注直角坐标与极坐标互化的疑难点．
由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定θ的大小．
3．处理极坐标系问题中的两个易错点．
(1)当极坐标方程中仅含θ(不含ρ)时，常常忽略ρ的正负导致判断错误．
(2)平面直角坐标系中两点A(x1，
y1
( http: / / www.21cnjy.com ))，B(x2，y2)之间的距离|AB|＝，极坐标系中两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝eq
\r(ρ＋ρ－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
专题一 平面上的伸缩变换
1.点P(x，y)变为点Q(x′，y′)的伸缩变换为：
2．变换前的曲线方程、变换后的曲线方程
( http: / / www.21cnjy.com )、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个．但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x，y)是变换前的坐标，Q(x′，
y′)是变换后的坐标．
[例1] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变成曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
点拨：考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线方程．
解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：
(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，
化简得曲线C的方程为＋(y＋3)2＝，
则该曲线是以为圆心，为半径的圆．
归纳升华
函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中
( http: / / www.21cnjy.com )ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
[变式训练] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求曲线y2＝2x经过φ变换后所得的曲线方程．
解：设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得
代入y2＝2x，得y′2＝x′，
即y′2＝x′，
因此变换后曲线的方程为y′2＝x′.
专题二 直线和圆的极坐标方程
直线和圆的极坐标方程的求法和应用
( http: / / www.21cnjy.com )是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点满足的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理．应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程，如ρ＝2acos
θ(a≠0)，ρ＝2asin
θ(a≠0)，ρ＝r(r>0)及ρcos
θ＝a，ρsin
θ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．
[例2] 在直角坐标系Oxy中，以O为
( http: / / www.21cnjy.com )极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝2，
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)，
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)点M的直角坐标为(2，0)，
点N的直角坐标为，
所以MN的中点P的直角坐标为，
所以点P的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
归纳升华
此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法．
[变式训练] 在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：因为ρ＝12sin
θ，所以ρ2＝12ρsin
θ，
所以x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.
又因为ρ＝12cos，
所以ρ2＝12ρ，
所以x2＋y2－6x－6y＝0，
所以(x－3)2＋(y－3)2＝36，
所以|PQ|max＝6＋6＋＝18.
专题三 极坐标与直角坐标互化
如图所示，互化公式为：
对于tan
θ＝中θ值的确定，还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度．
[例3] ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－4sin
θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．
过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
归纳升华
极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度．
[变式训练] (2016·北京卷)
( http: / / www.21cnjy.com )在极坐标中，直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0与圆ρ＝2cos
θ交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以直线的直角坐标方程为x－y－1＝0.
因为ρ＝2cos
θ，所以ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos
θ，
所以x2＋y2＝2x.
所以圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
因为圆心(1，0)在直线x－y－1＝0上，
所以AB为圆的直径，所以|AB|＝2.
答案：2
专题四 数形结合思想
运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现．坐标系的建立，使直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决．
[例4] 在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，求直线l的极坐标方程．
解：设直线l与极轴相交于点C.如图所示，在Rt△OAC中，
|OC|＝
＝
＝2.
设直线l上的任意一点为M(ρ，θ)，
则直线l的极坐标方程为ρcos
θ＝2.
归纳升华
求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
[变式训练] 在极坐标系中，求半径为2，圆心为C的圆的极坐标方程．
解：由题意知圆经过极点O，OA为圆的一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图所求，
则|OA|＝2×2，OM⊥MA，
在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos，故ρ＝－4sin
θ.
经验证知点O(0，0)，A的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin
θ.
专题五 转化与化归思想
“化归”是转化与归结的简称，是对数学
( http: / / www.21cnjy.com )知识的迁移与数学解题方法的形象概括，表现为化此为彼，化难为易，化隐为显，具体地说，就是化抽象为具体，化未知为已知，化一般为特殊等．转化有等价转化与非等价转化两种，非等价转化常用于证明题或不等式，等价转化常用于解方程或不等式．在ρ≥0，0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化也属于等价转化，同时要注意以下两点：
(1)互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，单位长度相同．
(2)互化公式：或θ由点(x，y)所在的象限确定．
[例5] 已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6.
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1，C2交点间的距离．
解：(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
所以x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0，0)，半径等于10的圆．
由C2：ρsin＝6，
得ρ＝6，
所以y－x＝12，即x－y＋12＝0，所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0，0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线被圆截得的弦长，即C1，C2交点间的距离为
|C1C2|＝2＝2＝16.
归纳升华
将极坐标化为直角坐标，确定圆的直角坐标方程，再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐标方程．
[变式训练] 在极坐标系中，求圆ρ＝8sin
θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．
解：圆ρ＝8sin
θ化为直角坐标方程
( http: / / www.21cnjy.com )为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．
圆心(0，4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，
所以圆上的点到直线的最大距离为6.2018高考数学人教A版选修4--4检测：1.4柱坐标系与球坐标系简介含解析
第一讲
坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面Oyz内．
答案：A
2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为，
所以x＝1·sin
cos
＝，
y＝1·sin
sin
＝，
z＝1·cos
＝.
所以M的直角坐标为.
答案：B
3．设点M的直角坐标为
(2，0，2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2，0，2)
B．(2，π，2)
C．(，0，2)
D．(，π，2)
解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
所以ρ＝＝2，tan
θ＝＝0，
所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，
2)．
答案：A
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos
＝，y＝3sin
＝，z＝3，
所以M点的直角坐标为.
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝
＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，
可知cos
θ＝＝＝，
所以θ＝，
所以M点的球坐标为.
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，
则ρ＝＝2，tan
θ＝＝＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝，
所以所求柱坐标为.
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2)
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
8．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，
z)，
则由(r，φ，θ)＝，
知x＝4sincos＝－2，
y＝4sinsin＝2，
z＝4cos＝2，
所以点M的直角坐标为(－2，2，2)．
故点M到Oz轴的距离为＝2.
答案：2
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，
tan
θ＝＝1，
θ＝
(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝＝＝2.
由rcos
φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos
φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，球坐标为.
10．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，求点M到原点O的距离．
解：设点M的直角坐标为(x，y，z)．
由(ρ，θ，z)＝知
x＝ρcos
θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，
因此|OM|＝＝＝3.
B级 能力提升
1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，点P关于点O(0，0，0)的对称点的坐标为(0<θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z)
B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z)
D．(ρ，π－θ，－z)
解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．
答案：C
2．以地球中心为坐标原点，
( http: / / www.21cnjy.com )地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
答案：
3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．
解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满
( http: / / www.21cnjy.com )足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
所以V＝Sh＝πr2h＝2π.2018高考数学人教A版选修4--4检测：1.3
简单曲线的极坐标方程含解析
第一讲
坐标系
三、简单曲线的极坐标方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．极坐标方程ρcos
θ＝－6表示( )
A．过点(6，π)垂直于极轴的直线
B．过点(6，0)垂直于极轴的直线
C．圆心为(3，π)，半径为3的圆
D．圆心为(3，0)，半径为3的圆
解析：将ρcos
θ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．
答案：A
2．圆ρ＝(cos
θ＋sin
θ)的圆心的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.
答案：A
3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
解析：将圆ρ＝4sin
θ化
( http: / / www.21cnjy.com )为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos
θ＝2.
答案：A
4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝－
D．ρ＝
解析：设M为所求直线上任意一点(除P外
( http: / / www.21cnjy.com ))，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．
答案：C
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：由ρ＝2cos
θ，得ρ2＝2ρ
( http: / / www.21cnjy.com )cos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
答案：B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
解析：因为直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．
解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cos.
答案：ρ＝6cos
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin
θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
解析：极坐标系中的圆ρ＝4sin
θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0，2)．
直线θ＝在直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
所以圆心(0，2)到直线x－3y＝0的距离为
＝.
答案：
三、解答题
9．(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解：圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin
θ－2ρcos
θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为.
10．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，
l：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ2，θ)，
则|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos
θ＋sin
θ)(ρ≠0)．
B级 能力提升
1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4
B.
C．2
D．2
解析：ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)．
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，
由勾股定理，得切线长为＝2.
答案：C
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin
θ与ρcos
θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
ρcos
θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.
联立解得
点(－1，1)的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
OA＝ODcos或OA＝ODcos，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin
θ＋cos
θ)＝1，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心．
因此直线l被圆C所截得的弦长为2.