2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.1A参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化含解析
第二讲
参数方程
一、曲线的参数方程
第1课时
参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A级 基础巩固
一、选择题
1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A．(1，1)
B.
C.
D.
解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．
答案：C
2．曲线与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，0)
D．(±2，0)
解析：设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
所以曲线与x轴的交点的直角坐标为(2，0)．
答案：C
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)
答案：A
4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是( )
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，
( http: / / www.21cnjy.com )3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．
答案：D
5．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)
解析：x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，
由得0≤t≤1，
从而0≤x≤1，0≤y≤2.
答案：D
二、填空题
6．若x＝cos
θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos
θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，
得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin
θ.
由于参数θ的任意性，
可取y＝－1＋sin
θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．
解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，
得y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，
( http: / / www.21cnjy.com )x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝______．
解析：由ρcos
θ＝4，知x＝4.
又所以x3＝y2(x≥0)．
由得或
所以|AB|＝＝16.
答案：16
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
解：由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，
所以3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
10．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得
解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得
即无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以
解得t＝2，
a＝9.所以a＝9.
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3)
B．(1，5)
C.
D．(2，0)
解析：先将P(2cos
θ，3sin
θ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，
( http: / / www.21cnjy.com )以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．
解析：曲线C的普通方程为(
( http: / / www.21cnjy.com )x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＝0，
即ρ＝2cos
θ＋4sin
θ.
答案：ρ＝2cos
θ＋4sin
θ
3．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.2018高考数学人教A版选修4--4检测：第2章含解析
复 习 课
[整合·网络构建]
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[警示·易错提醒]
1．参数方程化为普通方程的易错点
将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致．
2．圆锥曲线中的三点注意事项
(1)注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆．
(2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x(或y)的变化．
(3)利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值．
3．关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件
t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式．
4．圆的渐开线和摆线的两个易错点
(1)对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误．
(2)弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误.
专题一 求曲线的参数方程
用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取
( http: / / www.21cnjy.com )适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．
[例1] 过点P(－2，0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
解：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－2.
由消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0.
所以y1＋y2＝，得y＝.
x＝ty－2＝－2＝，
由Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0，得t2>3.
所以M的轨迹的参数方程为(t为参数且t2>3)．
归纳升华
求曲线参数方程的五步
1．建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；
2．写出适合条件的点M的集合；
3．选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程；
4．将方程化为最简形式；
5．证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
注意：最后一步可以省略，但一定要注意所求的方程所表示的点是否都在曲线上，要注意那些特殊的点．
[变式训练] 以直角坐标系的原
( http: / / www.21cnjy.com )点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
由题知C点的直角坐标为(0，4)，圆C的半径为4，
所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，
将代入，得圆C的极坐标方程为ρ＝8sin
θ.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，
圆心C到l的距离为d＝＝>4，
所以直线l与圆C相离．
专题二 参数方程及其应用
(1)求直线的参数方程，根据参数方
( http: / / www.21cnjy.com )程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
(2)能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
[例2] 已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)若α＝，求曲线C2的普通方程，并说明它表示什么曲线；
(2)曲线C1和曲线C2的交点分别记为M，N，求|MN|的最小值．
解：(1)因为α＝，所以(t为参数)，
所以x－1＝y＋1，
所以曲线C2的普通方程是y＝x－2，它表示过点(1，－1)，倾斜角为的直线．
(2)曲线C1的普通方程为x2＋y2＝4，
将(t为参数)代入x2＋y2＝4中得(1＋tcos
α)2＋(－1＋tcos
α)2＝4，
所以t2＋2(cos
α－sin
α)t－2＝0，
设t1，t2为方程的两个根，则有
|MN|＝|t1－t2|＝＝
＝，
所以当sin
2α＝1时，|MN|的最小值为2.
归纳升华
1．曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参，可以通过加减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的等价性．
2．把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想．
3．求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时，使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题．
4．直线的参数方程的应用非常
( http: / / www.21cnjy.com )广泛，可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的几何意义．
[变式训练] 直线l过点P0(－4，0)，它的参数方程为(t为参数)，与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解：将直线l的参数方程代入圆的方程，
得＋＝7，
整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
所以切线长|P0T|＝3.
专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用
把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高
( http: / / www.21cnjy.com )，常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化．一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题．在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现．
[例3] 已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cos
θ等价于ρ2＝2ρcos
θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos
θ＝x代入ρ2＝2ρcos
θ即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)将(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，
得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
归纳升华
1．先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，
( http: / / www.21cnjy.com )曲线的参数方程化为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论．
2．参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一
( http: / / www.21cnjy.com )个确定的点，在由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．
3．解题时如果涉及求直线被曲线
( http: / / www.21cnjy.com )截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决．
[变式训练] (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐
( http: / / www.21cnjy.com )标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，
由于曲线C2的方程为ρsin＝2，
所以ρsin
θ＋ρcos
θ＝4，
因为曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
α，sin
α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
又d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
专题四 数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的
( http: / / www.21cnjy.com )思想之一，利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较强的综合性．加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节．
[例4] 已知抛物线的参数
( http: / / www.21cnjy.com )方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________．
解析：将(t为参数)消参得y2＝2px，则抛物线的焦点为F，准线为直线x＝－.
将x＝3代入y2＝2px得y＝±.
如图，不妨令M的坐标为(3，)，所以E.
因为|EF|＝|MF|，所以
＝
，
化简得p2＋4p－12＝0，因为p>0，所以p＝2.
答案：2
归纳升华
1．化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程．
2．根据两点距离的定义，得关于p的方程，从而求得p值，再结合抛物线的图象，确定p的范围，体现了转化与数形结合思想的应用．
[变式训练] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半
( http: / / www.21cnjy.com )轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos
θ－ρsin
θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos
θ，4sin
θ)，坐标原点O(0，0)，
设点P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得
x＝(0＋4cos
θ)＝2cos
θ，
y＝(0＋4sin
θ)＝2sin
θ，
所以点P的坐标为(2cos
θ，2sin
θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)中，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
从而点P的轨迹为圆心在原点、半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为.2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.1B圆的参数方程含解析
第二讲
参数方程
一、曲线的参数方程
第2课时
圆的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆P：(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是( )
A．P(1，3)，r＝10
B．P(1，3)，r＝
C．P(1，－3)，r＝
D．P(1，－3)，r＝10
解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝.
答案：C
2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：由x＝cos
θ，y＋1＝sin
θ知参数方程为(θ为参数)．
答案：D
3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意(0≤θ<2π)，
所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.
答案：D
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.
答案：B
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，
y＝，
所以参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
7．已知曲线方程(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝＝
，
故|PA|min＝＝2－1.
答案：2－1
8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
解得1－≤a≤1＋.
答案：x2＋(y＋1)2＝1 [1－，1＋]
三、解答题
9．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
解：方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos
θ＋sin
θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan
φ＝2确定)，
所以1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos
θ＋sin
θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
因为－(cos
θ＋sin
θ＋1)的最大值是－1，
所以当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos
t，sin
t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan
t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
B级 能力提升
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：设P(2＋cos
α，sin
α)，代入得
(2＋cos
α－5)2＋(sin
α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos
α＋8sin
α
＝26＋10sin(a－φ)，
所以最大值为36.
答案：A
2．已知圆C：(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos
θ＝0，则cos
θ＝0，因为θ∈[0，2π)，
故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，
当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，
故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4
3．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：ρ＝2cos
θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)．
答案：(α为参数)2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.3直线的参数方程含解析
第二讲
参数方程
三、直线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A．(1，－2)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程和下列结论正确的是( )
A．是倾斜角为30°的两平行直线
B．是倾斜角为150°的两重合直线
C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程
可化为标准形式
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．
答案：B
3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝( )
A.
B．－6
C．6
D．－
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－，
由题意得直线4x＋ky＝1的斜率为－，
故－×＝－1，解得k＝－6.
答案：B
4．直线(t是参数，0≤θ<π)与圆(α是参数)相切，则θ＝
( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：直线为y＝xtan
( http: / / www.21cnjy.com )θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan
θ－y＝0的距离等于半径2，即＝2，解得tan
θ＝±，易知θ＝或.
答案：C
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心
B．相交而不过圆心
C．相切
D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2
( http: / / www.21cnjy.com )，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是＝＝
<2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos
θ＝－，sin
θ＝(θ为倾斜角)，
所以tan
θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，则圆心C到直线l的距离为________．
解析：直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆
( http: / / www.21cnjy.com )ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C到直线l的距离为＝.
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3
三、解答题
9．在直线坐标系xOy中，直线l的参数方程为
( http: / / www.21cnjy.com )(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin
θ－2cos
θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
因为ρ2＝4ρsin
θ－2ρcos
θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，
所以t1t3＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：直线ρcos
θ＋ρsi
( http: / / www.21cnjy.com )n
θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为(t为参数)．①
椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②
将①代入②中，得5t2－2t－6＝0，③
因为Δ＝128>0，根据参数t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
B级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：曲线C1和C2的普通方程分别为
x2＋y2＝5，①
x－y＝1，②
其中0≤x≤，0≤y≤，
联立①②解得
所以C1与C2的交点坐标为(2，1)．
答案：(2，1)
2．已知直线C1的参数方程(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：代入，得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，则|AB|＝|t1－t2|＝·＝×
＝.
答案：
3．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos
θ＋11＝0.
(2)由直线l的参数方程(t为参数)，
消去参数得y＝x·tan
α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得
＝，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，
即l的斜率为±.2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.4渐开线与摆线含解析
第二讲
参数方程
四、渐开线与摆线
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐
( http: / / www.21cnjy.com )开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是( )
A．(π，0)
B．(π，1)
C．(2π，2)
D．(2π，0)
答案：B
4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π C．6π D．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin
φ＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
所以|AB|＝
＝.
答案：C
二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为
( http: / / www.21cnjy.com )6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
答案：(π，2)
三、解答题
9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
(φ为参数)．
10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
(φ是参数)．
B级 能力提升
1.如图，ABCD是边长为1的正
( http: / / www.21cnjy.com )方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos
t)得cos
t＝0.
因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.2B双曲线的参数方程和抛物线的参数方程含解析
第二讲
参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第2课时
双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.
答案：D
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，
且x＝et＋e－t≥2＝2，
所以表示双曲线的右支．
答案：B
3．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1
B.－＝－1
C.－x2＝1
D.－x2＝－1
解析：双曲线的普通方程为－y2＝1，
离心率为＝，渐近线为y＝±x.
B中－＝－1，即－＝1.
其离心率为，渐近线为y＝±x，故选B.
答案：B
4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0
B．1
C.
D．2
解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.
由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.
答案：B
5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0，1)
D．[0，1)
解析：将曲线化为普通方程得(y＋1)
2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，
由数形结合知0≤m<1.
答案：D
二、填空题
6．双曲线的顶点坐标为________．
解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
8．设曲线C的参数方程为(t为参数)，
( http: / / www.21cnjy.com )若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：化为普通方程为y＝x2，
由于ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，
所以化为极坐标方程为ρsin
θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin
θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin
θ＝0
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为
所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①
同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.
10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝eq
\f(8t2－8t1,8t－8t)＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t＋8t,2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))
所以kAP＝eq
\f(4（t1＋t2）,4（t＋t）－1).
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4（t＋t），,y＝4（t1＋t2），))
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
B级 能力提升
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5，0)，F2(5，0)，
设P(4sec
θ，3tan
θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec
θ，
y＝＝tan
θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xO
( http: / / www.21cnjy.com )y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
3．已知直线l过点A(1，0)，抛物线C的方程为y2＝8x，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝eq
\f(8t2－8t1,8t－8t)＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t＋8t,2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))
所以kAP＝eq
\f(4（t1＋t2）,4（t＋t）－1).
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4（t＋t），,y＝4（t1＋t2），))
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．2018高考数学人教A版选修4--4检测：2.2A椭圆含解析
第二讲
参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第1课时
椭圆
A级 基础巩固
一、选择题
1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1
C．y2＋＝1
D．y2＋＝1
解析：易知cos
θ＝x，sin
θ＝，
所以x2＋＝1.
答案：A
2．椭圆(θ为参数)的焦距为( )
A. B．2 C. D．2
解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，
所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，
所以2c＝2.
答案：B
3．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点P的坐标是( )
A．(3，4)
B.
C．(－3，－4)
D.
解析：因为＝tan
θ＝tan＝1，
所以tan
θ＝，所以cos
θ＝，sin
θ＝，
代入得点P的坐标为.
答案：D
4．当参数θ变化时，动点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2，3)
B．点(2，0)
C．点(1，3)
D．点
解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．
答案：B
5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x－y－a＝0过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过椭圆的右顶点(3，0)．
则3－0－a＝0，所以a＝3.
答案：A
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，
即M(1，2)，同理N(，2)．
kMN＝＝－2.
答案：－2
7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．
解析：设P(4cos
θ，2sin
θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得 即(θ为参数)，
消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos
θ，4sin
θ)，
则|PA|＝＝
＝
＝|3cos
θ－5|≤8，
当cos
θ＝－1时，|PA|最大，
此时，sin
θ＝0，点P的坐标为(－5，0)．
答案：(－5，0)
三、解答题
9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，
所以交点坐标为.
10．已知直线l的极坐标方程是
( http: / / www.21cnjy.com )ρcos
θ＋ρsinθ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
解：由题意知直线和椭圆方程可化为
x＋y－1＝0，①
＋y2＝1，②
①②联立，消去y得5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A，B两点，
则A，B两点的直角坐标分别为(0，1)，，
则|AB|＝＝，
故所求的弦长为.
B级 能力提升
1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2
B．4
C.＋
D．2
解析：椭圆为＋＝1，设P(cos
θ，2sin
θ)，
x＋y＝cos
θ＋sin
θ＝2sin≤2.
答案：D
2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．
解析：因为消去参数t得2x＋y－3＝0.
又消去参数θ得＋＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，
将代入＋＝1，得＝1.
又a>0，所以a＝.
答案：
3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xO
( http: / / www.21cnjy.com )y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos
α，sin
α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝＝
cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
