2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：模块综合评价+Word版含解析

模块综合评价
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.(k∈Z)
解析：点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是.
答案：C
2．极坐标方程cos
θ＝(ρ∈R)表示的曲线是(　　)
A．两条相交直线
B．两条射线
C．一条直线
D．一条射线
解析：由cos
θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
答案：A
3．曲线ρcos
θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是(　　)
A．ρsin
θ＋1＝0
B．ρcos
θ＋1＝0
C．ρsin
θ＝2
D．ρcos
θ＝2
解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N，从而所求曲线方程为ρcos＋1＝0，即ρsin
θ＋1＝0.
答案：A
4．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为(　　)
A．(3，－3)
B．(－，3)
C．(，－3)
D．(3，－)
解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得＋＝16，
所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
答案：D
5．化极坐标方程ρ2cos
θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
解析：ρ(ρcos
θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos
θ＝x＝1.
答案：C
6．极坐标方程分别是ρ＝2cos
θ和ρ＝4sin
θ的两个圆的圆心距是(　　)
A．2　　　　B.　　　　C．5　　　　D.
解析：ρ＝2cos
θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin
θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.
答案：D
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
答案：B
8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标为.
答案：A
9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．直线、射线和圆
B．圆、射线和双曲线
C．两直线和椭圆
D．圆和抛物线
解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．
答案：B
10．已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是(　　)
A.∪(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C.
D.
解析：由已知得
则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，
即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，
Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．
直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，
即a≥－.
答案：C
11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为(　　)
A．ρcos
θ＋ρsin
θ＝
B．ρcos
θ－ρsin
θ＝
C.ρcos
θ＋ρsin
θ＝
D.ρcos
θ－ρsin
θ＝
解析：圆锥曲线为椭圆，c＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x＋＝1，即x＋y＝，化为极坐标方程就是ρcos
θ＋ρsin
θ＝.
答案：C
12．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin
θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，
即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以直线l与圆C相交所得弦长为2＝
2＝4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，点关于直线ρcos
θ＝1的对称点的极坐标为________．
解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos
θ＝1的对称点的极坐标为.
答案：
14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，
得
x＝＋，y＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.
答案：
15．若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
解析：直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
答案：3＋1
16．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.
解析：椭圆C的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x－y－＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝，所以c＝，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，
所以a＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2，2)，.
18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
解：(1)由ρ＝cos
θ＋sin
θ，可得ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，
由l：ρsin＝，得：ρsin
θ－ρcos
θ＝，
ρsin
θ－ρcos
θ＝1，
又代入得：x－y＋1＝0.
(2)由解得
又得ρ＝1，tan
θ不存在，
又因为θ∈(0，π)，则θ＝，
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
19．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos
θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos
θ，
得：ρ2＝2ρcos
θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，
即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，
则圆心到直线l的距离为d＝＝.
所以|AB|＝2
＝.
因此|AB|的值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos
θ＋ρsin
θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值．
解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.
(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝，
点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan
α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin
θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin
θcos
θ＋1－a2＝0，
由已知tan
θ＝2，得16cos2θ－8sin
θcos
θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.