3.2.2.2
指数型、对数型函数模型的应用举例
课时达标训练
1.某种细胞分裂时由1个分裂成2个,2个分裂成4个…现有两个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y与x之间关系式为 ( )
A.y=2x
B.y=2x-1
C.y=2x
D.y=2x+1
【解析】选C.根据细胞分裂方法可知,细胞个数呈指数式增长,故选C.
2.某个体企业的一个车间有8名工人,以往每人年薪为1万元,从今年起,计划每人的年薪比上一年增加20%;另外,每年新招3名工人,每名新工人第一年的年薪为8千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么,将第n年企业付给工人的工资总额y(单位:万元)表示成n的函数,其表达式为 ( )
A.y=(3n+5)×1.2n+2.4
B.y=8×1.2n+2.4n
C.y=(3n+8)×1.2n+2.4
D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4
【解析】选A.第一年:老员工工资提高了20%,加上新加入3名员工,工资总额y=8×1×(1+20%)+3×0.8;
第二年:8名老员工变为11名老员工,11个人的工资都增加20%,同时去年也新加入3人,工资总额y=(8+3)×1×(1+20%)2+3×0.8;
第三年:这年11名老员工又变为14名,同样去年也新加入3人,工资总额y=(8+3+3)×1×(1+20%)3+3×0.8;
以此类推,到第n年,工资总额y=[8+3×(n-1)]×1×(1+20%)n+3×0.8=(3n+5)×1.2n+2.4.
3.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用____________作为函数模型.
【解析】当x=3时,y甲=32+1=10,y乙=3×3-1=8,
而|10.2-10|<|10.2-8|.
故应选用甲作为函数模型.
答案:甲
4.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,这个驾驶员至少要经过________小时才能开车.(精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48)
【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-0.25)n.根据题意,有0.3(1-0.25)n≤0.09,(1-0.25)n≤0.3,在不等式两边取常用对数,则有nlg=n(lg3-2lg2)≤lg0.3=lg3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.6)≤0.48-1,解得n≥=4,故至少经过5小时才能开车.
答案:5
5.某物品的价格从1974年的100元增加到2014年的500元,假设该物品的价格年增长率是平均的,那么2020年该物品的价格是多少 (精确到元)
【解析】从1974年开始,设经过x年后物价为y,物价增长率为a%,则y=100(1+a%)x,
将x=40,y=500代入得500=100(1+a%)40,解得a≈4.1,
故物价增长模型为y=100(1+4.1%)x.
到2020年,x=46,
代入上式得y=100(1+4.1%)46≈635(元).
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,经研究发现:鲑鱼的游速v(单位:m/s)与耗氧量的单位数O的函数关系式为:v=log3,若某条鲑鱼想把游速提高1m/s,它的耗氧量将增大到原来的a倍,求a的值.
【解析】设该鲑鱼的游速原来为v1,耗氧量的单位数为O1,提速后游速为v2,耗氧量的单位数为O2,则v2-v1=1,即log3-log3=log3
=log3=1,
即log3=2,所以=32=9.故a=9.3.2.2.1
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
课时达标训练
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为 ( )
A.200副
B.400副
C.600副
D.800副
【解析】选D.由5x+4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.
2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售,每天可卖出100个,若每个商品涨价1元,则日销售量减少10个,为获得最大利润,则此商品当月销售价应定为每个________元.
【解析】设每个涨价x元,则实际销售价为(10+x)元,销售个数为(100-10x),则利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x≤10),因此x=4,即每个14元时,利润最大.
答案:14
3.一个水池每小时注入水量是全池的,则水池还没有注水部分与总量的比y随时间x(小时)变化的解析式为____________.
【解析】一个水池每小时注入水量是全池的,所以x小时后注水部分与总量的比应为(0≤x≤10),所以水池中还没有注水部分与总量的比应为1-,即y=1-,0≤x≤10.
答案:y=1-(0≤x≤10)
4.某市计划十年后国民生产总值翻两番,则十年中每年产值的平均增长率至少应为________.
【解析】由题意,a(1+x)10=4a,所以1+x=.
解得x≈14.9%.
答案:14.9%
5.据市场分析,某蔬菜加工点当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数,当月产量为10吨时,月生产总成本为20万元;当月产量为15吨时,月生产总成本最低为17.5万元.
(1)写出月生产总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数解析式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润,并求出最大利润.
【解析】(1)由题意可设y关于x的函数解析式为
y=a(x-15)2+17.5(a∈R,a≠0),
将x=10,y=20代入上式得:20=25a+17.5,解得a=.
所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-=-(x-23)2+12.9(10≤x≤25),因为x=23∈[10,25],所以月产量为23吨时,可获得最大利润,最大利润为12.9万元.指数型、对数型函数模型的应用举例
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·郑州高一检测)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),以经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90℃的物体,放在10℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50℃,那么t的值约等于(参考数据:ln3≈1.099,ln2≈0.693)
( )
A.1.78
B.2.77
C.2.89
D.4.40
【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln=-ln2≈-0.693,解得t≈2.77.
【补偿训练】(2017·兰州高一检测)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3=0.4771) ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选B.设原光线的强度为a,重叠x块玻璃后,通过玻璃的光线强度为y,则y=a(x∈N
),
令y
所以<,所以x>.
因为==≈10.4,
即x>10.4.
所以x最小为11,即至少需要重叠11块这样的玻璃.
2.一种单细胞动物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,则充满容器时间是 ( )
A.27分钟
B.30分钟
C.45分钟
D.57分钟
【解析】选D.设要经过的时间为x分钟,则2×=220,解得x=57.
3.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为图中的 ( )
【解析】选D.设原来的蓄积量为a,则a(1+10.4%)x=a·y,故y=1.104x.
【延伸探究】本题中的条件“经过x年可以增长到原来的y倍”若换为“经过y年可以增长到原来的x倍”.其他条件不变,结论又如何呢
【解析】选B.设原来的蓄积量为a,则a(1+10.4%)y=a·x,即y=log1.104x.
4.(2017·厦门高一检测)某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是 ( )
A.y=100x
B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x
D.y=100log2x+100
【解析】选C.由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小.
【拓展延伸】常见的指数型函数模型
指数型函数在实际问题中的应用:解析式可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.本节中,我们给出指数型函数模型:y=max+b(a>0,a≠1,m≠0),有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.
5.已知函数t=-144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”,其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间,N表示打字速度(字/min),则按此曲线要达到90字/min的水平,所需的学习时间是 ( )
A.144h
B.90h
C.60h
D.40h
【解析】选A.由N=90可知,t=-144lg
=144h.
6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,
100=alog2(1+1),解得a=100,所以x=7时,
y=100log2(7+1)=300.
7.某研究小组在一项实验中获得一组数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是 ( )
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
【解题指南】观察散点图结合已学函数图象可得结果.
【解析】选D.根据散点图可知与对数函数一致.
【补偿训练】今有一组实验数据如下表所示:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是 ( )
A.u=log2t
B.u=2t-2
C.u=
D.u=2t-2
【解析】选C.可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.散点图如图所示.
由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;
图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;
当t=3时,2t-2=23-2=6,排除选项B.
8.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是 ( )
【解析】选B.图反映随着水深h的增加,注水量V增长速度越来越慢,这反映水瓶中水上升的液面越来越小.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·长沙高一检测)某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系式为:P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么,至少还需要过滤________小时才可以排放.
【解析】由题意,知前5小时消除了90%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,
所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,所以k=-ln0.1.
由1%P0=P0e-kt,即0.01=e-kt,
所以-kt=ln0.01,t=ln0.01,
所以t=10,所以至少还需要过滤5小时才可以排放.
答案:5
【补偿训练】
如图,开始时桶1中有a升水,如果桶1向桶2注水,桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=a·e-nt(n为常数,t为注水时间),那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时,两桶中的水相等,那么经过________分钟桶1中的水只有.
【解析】由于t=5时两桶中的水相等,
所以a·e-n×5=a-a·e-n×5,
所以(e-n)5=,即e-n=.
由条件可得a·e-nt=,
即=,所以t=15.
答案:15
10.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的____________倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
【解题指南】燃料质量与火箭质量的倍数即为的值,只需将v=12000代入原式中求的值即可.
【解析】当v=12000时,2000·ln=12000,
所以ln=6,所以=e6-1.
答案:e6-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·石家庄高一检测)上世纪九十年代,政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出:使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r或指数型函数g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0且b≠1),且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好
【解析】①若以二次函数f(x)=px2+qx+r作模拟函数,则解得
所以f(x)=x2+x.
②若以指数型函数g(x)=a·bx+c作模拟函数,则解得
所以g(x)=·-3.
利用f(x),g(x)对1994年CO2浓度作估算,则其数值分别为f(5)=15个可比单位,g(5)=17.25个可比单位.
因为|f(5)-16|<|g(5)-16|,
所以f(x)=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.故用函数f(x)=x2+x模拟较好.
【补偿训练】某同学在这次学校运动会时不慎受伤,校医给他开了一些消炎药,要求他每天定时服一片.现知该药片含药量为200
mg,他的肾脏每天可从体内滤出这种药的60%,问:经过多少天,该同学所服的第一片药在他体内的残留量不超过10
mg (参考数据:lg
2=0.3010)
【解析】设经过n天,该同学所服的第一片药在他体内的残留量不超过10
mg,
则200(1-60%)n≤10.所以≤,
n≥=≈≈3.27.
综上,经过4天后残留量不超过10
mg.
12.(2017·晋江高一检测)下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值,可用一个函数模拟刹车后的停车距离y与车速x的关系,模拟函数可用y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)或y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),试从中选择模拟较好的函数模型,并根据此函数模型预测车速为120km/h时刹车后的停车距离.
x(km/h)
10
15
30
40
50
60
70
80
90
100
y(m)
4
7
12
18
25
34
43
54
66
80
【解题指南】函数模型是已知的,利用题中数据求出参数即可,再根据实际值与观测值的误差验证哪一个函数模拟较好.
【解析】若以y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)为模拟函数,将(10,4),(40,18)分别代入函数解析式,得解得故y=0.329x1.085,
由此函数解析式计算,得车速分别为90km/h,100km/h时,刹车后的停车距离分别约为43.406m,48.663m,与实际情况相差较大.
若以y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)分别代入函数解析式,得
解得
故y=x2+x+2,
由此函数解析式计算,得车速分别为90km/h,100km/h时,刹车后的停车距离分别为68m,82m,所得数据比较符合实际情况.
因此用函数y=x2+x+2模拟较好.
当x=120时,y=114.
即当车速为120km/h时,刹车后的停车距离约为114m.
【能力挑战题】
某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线,其中OA是线段,曲线AB是函数y=kat(t≥1,a>0,且k,a是常数)的图象.
(1)写出服药后y关于t的函数关系式.
(2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后3小时,该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)
【解析】(1)当0≤t<1时,y=8t;
当t≥1时,
所以
所以y=
(2)令8·≥2,解得t≤5.
所以第一次服药5小时后,
即第二次服药最迟应当在当天上午11时.
(3)第二次服药后3小时,每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1=8×=(微克);
含第二次服药后药量为y2=8×=4(微克),
y1+y2=+4≈4.7(微克).
故第二次服药再过3小时,
该病人每毫升血液中含药量为4.7微克.3.1.2
用二分法求方程的近似解
课时达标训练
1.若用二分法求函数f(x)在(a,b)内唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 ( )
A.|a-b|<0.1
B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.01
D.|a-b|=0.001
【解析】选B.根据二分法的步骤,知当区间长度|a-b|小于精确度0.001时,便可结束计算.
2.(2017·石家庄高一检测)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 ( )
A.0.68
B.0.72
C.0.7
D.0.6
【解析】选C.已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=,且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72]上,
因为|0.68-0.72|=0.04<0.1,因此函数的一个正实数零点的近似值约为0.7.
3.下列函数中,必须用二分法求其零点的是 ( )
A.y=x+7
B.y=5x-1
C.y=log3x
D.y=-x
【解析】选D.
A
×
解方程x+7=0,得x=-7
B
×
解方程5x-1=0,得x=0
C
×
解方程log3x=0,得x=1
D
√
无法通过方程
-x=0得到零点
4.(2017·临沂高一检测)用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时,如果选取初始区间是[1.4,1.5],则达到精确度要求至少需要计算________次.
【解析】设至少需要计算n次,则n满足
<0.001,即2n>100,因为n∈N
,且27=128,故要达到精确度要求至少需要计算7次.
答案:7
5.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).
答案:(0,0.5) f(0.25)
6.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b) (a1,b1) (a2,b2) … (ak,bk),若f(a)<0,f(b)>0,确定f(ak)的符号.
【解析】因为f(a)<0,f(b)>0,
要想一步步进行下去,直到求出零点,
按二分法的定义可知,f(ak)<0.
如果f(ak)为0的话,零点就是ak,应该是左闭区间;
如果f(ak)为正的话,零点应该在(ak,bk)的前面那个区间内.3.1.1
方程的根与函数的零点
课时达标训练
1.函数f(x)=log2x的零点是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.令f(x)=0即log2x=0得x=1.
2.以下函数在区间(0,2)上必有零点的是 ( )
A.y=x-3
B.y=2x
C.y=x3
D.y=lgx
【解析】选D.画出A,B,C,D四个选项的函数图象可知,只有D选项中y=lgx在区间(0,2)上有零点.
3.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 ( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,+∞)
【解析】选B.因为f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,所以f(2)·f(3)<0,故选B.
4.(2017·西安高一检测)函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
【解析】函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6,解方程-6x2-5x-1=0,得x=-或-,所以函数g(x)=bx2-ax-1的零点是-和-.
答案:-
和-
5.(2017·烟台高一检测)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1)且k∈Z,则k=________.
【解析】方程log3x+x=3的解即为函数f(x)=log3x+x-3的零点,因为f(2)=log32-1<0,f(3)=log33+3-3=1>0,所以方程log3x+x=3的解所在的区间是(2,3),所以k=2.
答案:2
6.判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出零点.
(1)f(x)=
.
(2)f(x)=4x+5.
(3)f(x)=log3(x+1).
【解析】(1)令=0,解得x=1,所以函数存在零点,且零点为1.
(2)令4x+5=0,显然方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点.
(3)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数f(x)存在零点,且零点为0.几类不同增长的函数模型
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下图中,较好地反映了s与t的函数关系的
是 ( )
【解析】选C.由于中途停车休息,故此段时间内行驶路程不变且休息完后,路程s随时间t的增加继续增加.
2.下面对函数f(x)=lox,g(x)=,与h(x)=在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢
D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
【解析】选C.观察函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢.
【补偿训练】y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
【解析】选B.在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
3.(2017·鄂东高一检测)有一组实验数据如表所示:
则最能体现这组数据关系的函数模型是 ( )
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
A.y=2x+1-1
B.y=x2-1
C.y=2log2x
D.y=x3
【解析】选B.根据实验数据第一组(2.01,3),选项A,C,D显然不满足,故本题正确答案为B.
4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用 ( )
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
【解析】选D.对数型函数初期增长迅速,后来增长越来越慢.
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
【补偿训练】有一组实验数据如表所示:
下列所给函数模型较适合的是 ( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
【解题指南】结合表格中的数据,哪个函数的增长速度较快,对应函数模型较适合.
【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.
5.(2017·烟台高一检测)某饭店有n间客房,客房的定价将影响住房率,每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表:
每间客房的定价
每天的住房率
90元
65%
80元
75%
70元
85%
60元
90%
要使此饭店每天收入最高,则每间客房房价应定为 ( )
A.90元
B.80元
C.70元
D.60元
【解析】选B.由题知90×65%n=58.5n(元),80×75%n=60n(元),70×85%n=59.5n(元),60×90%n=54n(元),故选B.
【补偿训练】某商店同时卖出两套西服,售价均为168元,以成本计算,一套盈利20%,另一套亏损20%,此时商店 ( )
A.不亏不盈
B.盈利37.2元
C.盈利14元
D.亏损14元
【解析】选D.设这两套的成本分别是a,b,则a(1+20%)=168,b(1-20%)=168,解得:a=140,b=210,则a+b=350,350-336=14,故亏损14元.
6.(2017·银川高一检测)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系式用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选B.设x=10m+α(0≤α≤9),其中m=,当0≤α≤6时,==m=,当6<α≤9时,==m+1=+1.
【一题多解】取特殊值法.若x=56,y=5,排除C,D.若x=57,y=6,排除A,故选B.
7.(2017·石家庄高一检测)某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是 ( )
A.x>22%
B.x<22%
C.x=22%
D.x的大小由第一年的产量确定
【解析】选B.设第一年的产量为a,则第三年的产量为(1+44%)a=1.44a,所以a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,所以x=0.2(负值舍去),即x<22%.
【补偿训练】某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是 ( )
A.减少7.84%
B.增加7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
【解析】选A.设商品原来的价格为整体1,则四年后的价格为1×(1+20%)(1+20%)(1-20%)(1-20%)=1.2×1.2×0.8×0.8=0.9216,又1-0.9216=0.0784,故价格减少了7.84%.
8.(2017·北京高一检测)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.
横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法错误的是 ( )
A.投资3天以内(含3天),采用方案一
B.投资4天,不采用方案三
C.投资6天,采用方案一
D.投资12天,采用方案二
【解析】选D.由图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确;
投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确;
投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),都高于方案三的回报,C正确;
投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时采用方案三,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(教材P98T2改编)某种病菌经30分钟繁殖为原来的两倍,且知病菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(小时),y表示病菌个数,则k=________,经过5小时,1个病菌能繁殖为________个.
【解析】代入y=ekt得2=,所以k=ln2,k=2ln2,所以函数解析式为y=e2tln2==22t,令t=5,则1个病菌经5小时繁殖为y=210=1024(个).
答案:2ln2 1024
10.(2017·广州高一检测)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,如图请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;C对应________;D对应________.
【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快-慢-快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
答案:(4) (1) (3) (2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·阜阳高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m3污水排出,为了净化环境,所以工厂设计两种方案进行污水处理,并准备实施.
方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m3污水所耗原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;
方案2:工厂污水排到污水厂统一处理,每处理1m3需付14元的排污费.
(1)若工厂每月生产3000件产品,你作为厂长在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪种处理污水的方案,请通过计算加以说明.
(2)若工厂每月生产6000件时,你作为厂长又该如何决策呢
【解题指南】应学会建立计算模型,(1)(2)两问统一.设工厂每月生产x件产品,每月利润为y元.分别求出依方案1和方案2处理污水时y与x的函数关系式,注意:利润=总收入-总支出.
【解析】设工厂每月生产x件产品时,依方案1的利润为y1,依方案2的利润为y2,则
y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,
y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.
(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000.
因为y1(2)当x=6000时,y1=114000元,y2=108000元.
因为y1>y2,故应选择方案1处理污水.
【补偿训练】函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
【解析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
12.(2017·杭州高一检测)某种高档奢侈品定价为60万元/件,不加收高消费税时,每月大约销售80件.若政府征收消费税,每销售100万元要征收p万元,此时每月销售量减少p件.
(1)将政府每月对该商品征收的总税金y万元表示为p的函数,并求出这个函数的定义域.
(2)若政府在此项经营中每月收取的税金不少于128万元,问税率p%应该怎样确定
(3)在政府每月可征收的税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,应如何确定p的值
【解析】(1)由题意知商品每月销售量为件
时,y=p%·60.
因为80-p>0,p>0,所以0所以该函数的定义域为(0,12).
(2)令y≥128,即60p%≥128,解得4≤p≤8.
因此4%≤p%≤8%.
(3)由(2),知政府每月征收的税金不少于128万元时,4≤p≤8.
又厂家的销售金额为60
=-400p+4800.
当p=4时,销售金额最大为3200万.
【能力挑战题】
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1所以x1<6x2.
从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2016)>g(2016).又g(2016)>g(6),所以f(2016)>g(2016)
>g(6)>f(6).3.2.1
几类不同增长的函数模型
课时达标训练
1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能符合的函数模型为 ( )
x
-2
-1
0
1
2
y
1
4
16
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
【解析】选C.表中数据体现爆炸式增长,符合的函数模型为指数函数模型.
2.(2017·保定高一检测)据报道,某淡水湖的湖水50年内减少了10%,若年平均减少率相等,按此规律,设2017年的湖水水量为m,从2017年起,经过x年后湖水水量y与x的函数关系式为________.
【解析】设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.
,所以2017年起,经过x年后湖水水量y与x的函数关系式为y=m0.
.
答案:y=m0.
3.某产品的价格2016年比2015年上涨了25%,由于控制物价2017年比2015年上涨了13%,2017年比2016年价格回落的幅度为________.
【解析】设2015年的价格为x,则2016年的价格为1.25x,2017年的价格为1.13x,所以2017年比2016年价格回落的幅度是×100%=9.6%.
答案:9.6%
4.当x>4时,a=4x,b=log4x,c=x4的大小关系是________.
【解析】三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y=log4x,y=x4,y=4x,所以a,b,c的大小关系是b答案:b5.甲用1000元买入一种股票,后将其转卖给乙,获利10%,而后乙又将这些股票卖给甲,乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格的九折将股票出售给丙,甲在上述交易中盈利______元.
【解析】由题意,甲卖给乙获利:1000×10%=100(元),
乙卖给甲:1000×(1+10%)(1-10%)=990(元),
甲卖给丙:1000×(1+10%)(1-10%)×90%=1000×1.1×0.9×0.9=891(元),
甲赔了:990-891=99(元),
甲的盈亏情况为盈利:100-99=1(元).
答案:1
6.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗多少次
【解析】设要洗x次,则≤,
所以x≥≈3.32,因此至少要洗4次.用二分法求方程的近似解
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列函数能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=
C.f(x)=ln(x+2)2
D.f(x)=
【解析】选C.因为函数f(x)=ln(x+2)2的零点为x=-1,函数在x=-1两侧的函数值符号异号,此函数能用二分法求零点.
【补偿训练】(2017·故城高一检测)已知函数y=f(x)的图象如图,其中可以用二分法求解的零点的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.因为函数y=f(x)与x轴有4个交点,其中一个交点,左右两边函数值符号相同不能用二分法求解,所以可以用二分法求解的零点的个数为3个.
2.(2017·广州高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选
为 ( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-<0,f(0)=20-3=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,
f(2)=22-3=1>0,f(3)=23-3=5>0,
所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)的零点x0∈(1,2).
3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是 ( )
A.[1,4]
B.[-2,1]
C.
D.
【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能是[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能是,,,.故选D.
4.(2017·济宁高一检测)若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下
x
1
1.5
1.25
1.375
1.312
5
f(x)
-1
0.875
-0.296
9
0.224
6
-0.051
51
那么方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)为 ( )
A.1.3 B.1.3125 C.1.4375 D.1.25
【解析】选B.由于f(1.375)>0,f(1.3125)<0,且1.375-1.3125<0.1.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致,精确度为0.1并不是让近似根保留1位小数,而是区间的右端点减去左端点的值的绝对值小于0.1.
5.(2017·石家庄高一检测)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,f=9,则下列结论正确的是 ( )
A.x0∈
B.x0=
C.x0∈
D.x0∈或x0∈
【解析】选C.因为f(2)·f<0,所以x0∈.
6.用二分法求方程f(x)=0在区间[a,b]内的根,二分次数n+1 ( )
A.只与函数f(x)有关
B.只与根的分离区间的长度以及精确度有关
C.与根的分离区间长度、精确度以及函数f(x)都有关
D.只与精确度有关
【解析】选C.根据二分法的定义可判断C正确.
7.(2017·长沙高一检测)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 ( )
A.f(x)=4x-1
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1
D.f(x)=ln
【解析】选A.因为g=-<0,g=1>0,所以g·g<0,
所以g(x)=4x+2x-2的零点x0∈.
A中,函数f(x)=4x-1的零点为,
则0B中,f(x)=(x-1)2的零点为1,则-,不满足题意.
C中f(x)=ex-1的零点为0,所以|x0-0|>,不满足题意.
D中,f(x)=ln的零点为,则-1,不满足题意.
8.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ξ(ξ为精确度)时,函数零点近似值x0=与真实零点的误差最大不超
过( )
A.
B.
C.ξ
D.2ξ
【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-=-a=<,因此误差最大不超过.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·晋江高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为________.
【解析】由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.4375.
答案:1.4375(答案不唯一)
【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题
(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.
(2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的.
10.(2017·日照高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在的区间为________.
【解析】区间(1,2)的中点为x0=,令f(x)=x3-2x-1,f=-4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在的下一个区间为.
答案:
【补偿训练】(2017·南京高一检测)函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________.
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,
所以函数的零点为不变号零点,即二次函数f(x)=x2+ax+b与x轴只有一个交点,
所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.
答案:a2=4b
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度为0.1)
【解析】设函数f(x)=2x+3x-6,
因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,
又因为f(x)是增函数,
所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,设该解为x0,则x0∈[1,2],
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,
f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25),取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0,
f(1.125)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.125,1.25),
取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0,
所以f(1.1875)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.1875,1.25),
因为|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,
所以1.1875可作为这个方程的实数解.
12.用二分法求函数y=f(x)=x3-3的一个正零点(精确度0.1).
【解析】由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,如表:
端点或中点坐标
端点或中点的函数值
取区间
a0=1,b0=2
f(1)=-2<0,f(2)=5>0
(1,2)
x1==1.5
f(1.5)=0.375>0
(1,1.5)
x2==1.25
f(1.25)≈-1.046
9<0
(1.25,1.5)
x3==1.375
f(1.375)≈-0.400
4<0
(1.375,1.5)
x4==1.437
5
f(1.437
5)≈-0.029
5<0
(1.437
5,1.5)
从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,所以函数y=x3-3精确度为0.1的正零点可取为1.5.
【能力挑战题】
(1)方程2x3-6x2+3=0有几个解 如果有解,全部解的和为多少 (精确度为0.01)
(2)探究方程2x3-6x2+5=0,2x3-6x2+8=0的全部解的和,你由此可以得出什么结论
【解析】(1)设函数f(x)=2x3-6x2+3,因为f(-1)=-5<0,f(0)=3>0,f(1)=
-1<0,f(2)=-5<0,f(3)=3>0且函数f(x)=2x3-6x2+3的图象是连续的曲线,所以方程2x3-6x2+3=0有三个实数解.
因为f(-1)·f(0)<0,所以在区间(-1,0)内有一个解x0.
取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=1.25>0.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,
用计算器可算得f(-0.75)<0.
因为f(-0.75)·f(-0.5)<0,
所以x0∈(-0.75,-0.5).
同理,可得x0∈(-0.75,-0.625),x0∈(-0.6875,-0.625),x0∈(-0.65625,-0.625),
x0∈(-0.65625,-0.640625),
x0∈(-0.6484375,-0.640625),
x0∈(-0.64453125,-0.640625).
由于|(-0.640625)-(-0.64453125)|<0.01,
此时区间(-0.64453125,-0.640625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.64,所以方程2x3-6x2+3=0在区间(-1,0)且精确到0.01的近似解约为-0.64.同理可求得方程2x3-6x2+3=0在区间(0,1)和(2,3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83,2.81.
所以,方程2x3-6x2+3=0的三个解的和为-0.64+0.83+2.81=3.
(2)利用(1)中的方法可求得方程2x3-6x2+5=0和2x3-6x2+8=0的所有解的和也为3.
一般地,对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1,x2,x3,且x1+x2+x3=-.方程的根与函数的零点
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·烟台高一检测)函数f(x)=log5(x-1)的零点是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.令log5(x-1)=0,得x=2,
所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2.
2.(2017·开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数
是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关,由于Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.
3.(2017·聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是 ( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【解析】选B.设另一个零点是x,由根与系数的关系得-3+x=-=-2,所以x=1.即另一个零点是1.
4.(2017·吉安高一检测)已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0A.恒为负值
B.等于0
C.恒为正值
D.不大于0
【解析】选C.由实数x0是方程f(x)=0的解,得=log2x0,分别作出函数y=,y=log2x的图象,由图象可知,当0log2x1,所以f(x1)=-log2x1>0.
【一题多解】因为函数y=是单调减函数,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以根据函数单调性的性质可知,函数f(x)=-log2x在(0,+∞)上是减函数.因为0f(x0)=0.
5.(2017·黄冈高一检测)若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 ( )
A.一个
B.两个
C.至少两个
D.无法判断
【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以在(0,+∞)上有且仅有一个零点2,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2,所以函数f(x)的零点有两个.
6.(2017·郑州高一检测)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在区间是 ( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
【解析】选B.由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32,ab=1,f(-1)=a-1-1-b=-1<0,
f(0)=1-b=1-log32>0.所以零点所在区间是(-1,0).
7.函数g(x)=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )
A.a>0
B.a≤0
C.a≥0
D.a<0
【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a≤0.
【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”,其结论又如何呢
【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点,则x2=-a有两个实数解,所以a<0,故选D.
【补偿训练】函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选D.在平面直角坐标系中作出函数y=|x|-1和y=ax的图象如图,结合图象可以看出:当a≥1时,两函数的图象只有一个交点,且交点横坐标小于0,即函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点.故应选D.
8.已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,x3,
则 ( )
A.x2B.x2C.x3D.x1【解析】选B.f(x)=x--1=0 x-1=,根据图象可得两个函数图象的交点x1>1,g(x)=x+2x=0 2x=-x,根据两个函数图象的交点可知x2<0,h(x)=x+lnx=0 lnx=-x,根据两个函数图象的交点可知0【一题多解】选B.三个函数图象y=--1,y=2x,y=lnx与y=-x的交点横坐标比较大小,这样画在同一坐标系下也清楚交点的大小.
由图可知x2【补偿训练】(2017·德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
【解析】选C.因为f(0)·f(1)<0,
故f(x)在(0,1)内一定有零点.
尽管f(1)·f(2)>0,f(x)在(1,2)内也可能有零点,如图,故C正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·嘉兴高一检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为________.
【解析】当x≤1时,令2x-1=0,得x=0.当x>1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数零点为0.
答案:0
10.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为________.
【解析】易知函数f(x)=x2+x+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.若函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则只需满足f(0)·f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2答案:-2【补偿训练】已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点,则这2015个零点之和为________.
【解析】设x0为其中一根,即f(x0)=0,因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(-x0)=f(x0)=0,即-x0也为方程一根,又因为方程f(x)=0有2015个实数解,所以其中必有一根x1,满足x1=-x1,即x1=0,所以这2015个零点之和为0.
答案:0
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断函数f(x)=lnx-在区间[1,3]内是否存在零点.
【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线,且f(1)=-1<0,f(3)=ln3->0,从而由零点存在性定理知,函数在[1,3]内存在零点.
12.(2017·大同高一检测)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.
令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,
解得2x=1或2x=-(舍去),
所以x=0,所以函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.
于是2a==+=-,
因为>0,所以2a>-=0,即a>0.
【补偿训练】已知函数f(x)=x2-bx+3.
(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点.
(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的范围.
【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标,利用图象找出关于b的不等式,然后解不等式即可.
【解析】(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,
即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,
令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.
需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.
求当m为何值时,函数f(x)有两个零点.
【解析】函数f(x)有两个零点,即方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根,
所以
解得m<1且m≠-1,
所以当m<1且m≠-1时,函数f(x)有两个零点.一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·福州高一检测)某商场销售A型商品.已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价(元)
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量(件)
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,此商品的定价(单位:元/件)应为 ( )
A.4
B.5.5
C.8.5
D.10
【解析】选C.设定价为x元/件时,利润为y元,由题意得,y=(x-3)[400-(x-4)·40]=-40+1210,故当x==8.5时,y有最大值.
2.一种新型电子产品计划投产两年后,使成本降36%,那么平均每年应降低成
本 ( )
A.18%
B.20%
C.24%
D.36%
【解析】选B.设平均每年降低成本为x,则(1-x)2=1-36%,解得x=20%(x=180%舍去),故选B.
3.(2017·深圳高一检测)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同,已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份
( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
【解析】选A.设甲、乙食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.
由题意,可得m+8a=m(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=,
因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,
所以y1>y2,故该年5月份甲食堂的营业额较高.
【补偿训练】甲、乙两人沿着同一方向去B地,途中两人的速度都是v1或v2(v1A.①
B.③
C.①或④
D.①或②
【解析】选D.甲用的时间t甲=+=,乙用的时间t乙=,
t甲-t乙=-=>0,
则甲到B地所用时间长一些,因此图①、图②可能正确.
4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( )
A.y=0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N)
B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N)
D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N)
【解析】选D.由题意知,变速车存车数为(2000-x)辆次,则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8
=0.5x+1600-0.8x
=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N).
5.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是 ( )
A.310元
B.300元
C.290元
D.280元
【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b,将(1,800),(2,1300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时,y=300.
【延伸探究】本题条件不变,当销售收入为1800元时,此时销售量是________万件.
【解析】由本题知,y=500x+300,令y=1800,
得x=3.
答案:3
6.(2017·曲靖高一检测)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定正确的是 ( )
A.①
B.①②
C.①③
D.①②③
【解析】选A.由图可知0点到3点两个进水口进水一个出水口不出水,3点到4点一个进水口进水,一个出水口出水.4～6点可能两个进水口进水,一个出水口出水也可能既不进水也不出水,所以一定正确的是①.
【补偿训练】某人从甲地去乙地,一开始跑步前进,后来步行,图中横轴表示走的时间,纵轴表示该人距乙地的距离,则较符合该走法的图象是图中的 ( )
【解析】选D.当t=0时,甲、乙两地的距离为d0,随着跑步的开始,该人距乙地的距离缩短较快,而跑步结束、步行开始后,该人距乙地的距离将进一步缩短,但其缩短的速度较跑步时慢了,根据上述情形,再对照四个选项中的图象,可以发现应选择D.
7.(2017·温州高一检测)某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )
A.15
B.40
C.25
D.130
【解析】选C.y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意.若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.
【拓展延伸】分段函数模型的解题关键
(1)分段函数模型是通过对自变量x的分类讨论,将函数的解析式分段表示出来,是生活中常见的函数模型.
(2)建立分段函数模型的关键是确定分段的各部分的界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式.
8.(2017·贵阳高一检测)如图,△ABO为正三角形,直线x=t截三角形得△ABO左侧的阴影图形,当直线自左向右匀速移动时(0≤t≤a),阴影图形面积S关于t的函数图象大致是 ( )
【解析】选A.由已知可求出S关于t的函数关系是:
S=符合的图象为选项A的图.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·聊城高一检测)生产一定数量商品时的全部支出称为生产成本,可表示为商品数量的函数,现知道一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数是C(x)=200+10x+x2(元),若每售出一件这种商品的毛收入是200元,那么生产并销售这种商品数量是200件时,该企业所得利润可达到________元.
【解析】由题意得利润函数表达式f(x)=200x-C(x)=200x-200-
10x-x2=-x2+190x-200.
将x=200代入得f(200)=17800.
答案:17800
10.如图是某企业几年来关于生产销售的一张统计图表,并于该企业近几年的销售情况,有以下几种说法:
①这几年该企业的利润逐年提高;(注:利润=销售额-总成本)
②2013年至2014年是该企业销售额增长最快的一年;
③2014年至2015年是该企业销售额增长最慢的一年;
④2015年至2016年该企业销售额增长最慢,但是由于总成本有所下降,因而2016年该企业的利润比上一年仍有所增长.其中说法正确的是________(注:把你认为正确说法的序号都填上).
【解析】①利润2014年到2015年有所下降,错误;②正确;③2015年到2016年比2014年到2015年销售额增长慢,错误;④正确.
答案:②④
【补偿训练】如图所示折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费________元.
(2)通话5分钟,需付电话费________元.
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.
【解析】(1)由图象可知,当t≤3时,
电话费都是3.6元.
(2)由图象可知,当t=5时,y=6,
需付电话费6元.
(3)当t≥3时,y关于t的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数关系式为y=kt+b,
则解得
故y关于t的函数关系式为y=1.2t(t≥3).
答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·日照高一检测)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示.
该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示.
第t天
5
15
20
30
销售量Q/件
35
25
20
10
(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式.
(2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据在下图中描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售量Q与时间t的函数关系式.
(3)求该商品的日销售额的最大值,并指出日销售额最大的一天是30天中的第几天.(日销售额=每件的销售价格×日销售量)
【解析】(1)根据图象,每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P=
(2)描出实数对(t,Q)的对应点如图所示.从图象发现,点(5,35),(15,25),
(20,20),(30,10)在同一条直线上,为此假设它们共线于直线l:Q=kt+b.
由点(5,35),(30,10)确定l的关系式为:Q=-t+40.
通过检验可知,点(15,25),(20,20)也在直线l上.
所以日销售量Q与时间t的函数关系式为
Q=-t+40(0).
(3)设日销售额为y元,则
y=
=
若0),则当t=10时,ymax=900,
若25≤t≤30(t∈N
),则当t=25时,ymax=1125.
由1125>900知ymax=1125.
所以这种商品日销售额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售额最大.
12.(2017·晋江高一检测)有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元,它们与投入资金x万元的关系是:p=x,q=,今有3万元资金投入经营这两种商品.问:对乙种商品的投入资金为多少万元时,能获取最大利润 最大利润为多少
【解析】设对乙种商品投入资金为x万元,则对甲种投入资金为(3-x)万元,此时获得利润为y万元,则由题意知:
y=p+q=(3-x)+=-x++(0≤x≤3),
令=t,则y=-t2+t+=-+(0≤t≤),
当t=,即=,x=时,ymax=.
所以当对乙种商品的投入资金为万元时,能获得最大利润,最大利润为万元.
【能力挑战题】
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式.
(2)求截止第几月末公司累积利润可达到30万元.
(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.
【解析】(1)由二次函数图象可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.
由题意,得
或
或
无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,
所以所求函数关系式为S=t2-2t.
(2)把S=30代入,得30=t2-2t,
解得t1=10,t2=-6(舍去),
所以截止第10个月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入,得S=×72-2×7=
=10.5(万元),
把t=8代入,得
S=×82-2×8=16(万元),
则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),
所以第八个月公司所获利润为5.5万元.