2.2.2.1
对数函数的图象及性质
课时达标训练
1.下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;
⑤y=logx(x+2);⑥y=log2(x+1).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.由对数函数的定义知y=log8x与y=lnx是对数函数.
2.函数y=的定义域是 ( )
A.(-1,+∞)
B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)
D.[-1,1)∪(1,+∞)
【解析】选C.要使函数y=有意义,需满足即-1
1.
3.函数y=2+logax(a>0,且a≠1),不论a取何值必过定点 ( )
A.(1,0)
B.(3,0)
C.(1,2)
D.(2,3)
【解析】选C.因为y=logax恒过点(1,0),故函数y=2+logax恒过点(1,2).
4.若对数函数f(x)=lox在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是__________.
【解析】由题意得a2-1>1即a>或a<-.
答案:a>或a<-
5.已知对数函数f(x)过点(4,2),则f(x)=__________.
【解析】设f(x)=logax(a>0且a≠1).因为f(4)=2,即loga4=2,故a=2,所以f(x)=log2x.
答案:log2x
6.作出函数y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单调区间.
【解析】先作出函数y=log2x的图象,再作其关于y轴对称的图象,得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象,如图所示.
由图可得函数y=log2|x+1|的递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞)幂 函 数
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2017·成都高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(log216)
= ( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选A.因为f(2)=,所以2α=,即α=,所以f(log216)=f(4)==2.
2.(2017·临沂高一检测)函数y=的图象大致是 ( )
【解析】选D.因为y==,所以定义域为(0,+∞),故D正确.
3.下列说法:
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);
②幂函数的图象不可能在第四象限;
③n=0,函数y=xn的图象是一条直线;
④幂函数y=xn当n>0时,是增函数;
⑤幂函数y=xn当n<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小.
正确的为 ( )
A.①④
B.④⑤
C.②③
D.②⑤
【解析】选D.y=x-1不过(0,0)点,所以①错误,排除A;当n=0时,y=xn的图象为除去一点的直线,③错误,排除C;y=x2不是增函数,④错误,排除B;因此答案选D.
4.(2017·兰州高一检测)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m等于 ( )
A.0
B.1
C.2
D.0或1
【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以3m-5<0,即m<,
又m∈N,所以m=0,1,
又因为f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,故m=1.
5.下列幂函数为偶函数的是 ( )
A.y=
B.y=
C.y=x2
D.y=x-1
【解析】选C.y==为非奇非偶函数,y=与y=x-1是奇函数,y=x2是偶函数.
6.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值
为 ( )
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
【解析】选A.因为函数y=xα的定义域为R,且为奇函数,所以α>0且为奇数.
7.(2017·郑州高一检测)已知f(x)=,若0是 ( )
A.f(a)B.fC.f(a)D.f【解析】选C.因为0因为f(x)=在(0,+∞)上为增函数,
所以f(a)【补偿训练】设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>a>b
B.bC.cD.a【解析】选A.因为b==,且y=在(0,+∞)上是增函数,故>>,故c>a>b.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.(2017·长春高一检测)函数y=xm,y=xn,y=xp的图象如图所示,则m,n,p的大小关系是________.
【解析】结合题目给出的幂函数图象,我们可以将其转化成指数问题解决,作直线x=a(0根据指数函数y=ax(0m>p.
答案:n>m>p
9.若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为(a+1<(3-2a,
所以<,a+1>3-2a>0,
解得答案:三、解答题
10.(15分)(2017·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.
(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.
【解析】(1)当m2+m-1=1,且m2+2m≠0,即m=1时,f(x)是正比例函数.
(2)当m2+m-1=-1,且m2+2m≠0,即m=-1时,f(x)是反比例函数.
(3)当m2+m-1=2,且m2+2m≠0,即m=时,f(x)是二次函数.
(4)当m2+2m=1,即m=-1±时,f(x)是幂函数.
【能力挑战题】
如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴,y轴均无交点,求此函数的解析式.
【解析】由题意,得3m-7<0,所以m<.因为m∈N,所以m=0,1或2.因为幂函数的图象关于y轴对称,所以3m-7为偶数,因为m=0时,3m-7=-7;m=1时,3m-7=-4;m=2时,3m-7=-1.故当m=1时,y=x-4符合题意,即y=x-4.
【误区警示】解答本题,求出m值后,易忽略对m取值的检验,从而产生增解.习题课——对数函数及其性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列不等式正确的是 ( )
A.log0.47>log0.46
B.log47C.log37>log47
D.log5>log52
【解析】选C.由对数函数的单调性显然A、B、D均不正确,
而===log34>1,故C正确.
2.(2017·杭州高一检测)以下四个数中最大的是 ( )
A.(ln2)2
B.ln(ln2)
C.ln
D.ln2
【解析】选D.因为0所以ln(ln2)<0,(ln2)23.(2017·贵阳高一检测)已知函数f(x)是函数y=logax(a>0且a≠1)的反函数,则函数y=f(x)+2图象恒过点的坐标为 ( )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(0,3)
【解析】选D.因为y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),
所以f(x)的图象过定点(0,1),从而y=f(x)+2的图象过(0,3).
4.函数f(x)=log2(3x+3-x)是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选B.因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
5.(2017·大连高一检测)若loga>1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围
是 ( )
A.
B.
C.∪
D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.loga>1 loga>logaa 或 6.已知lobA.2b>2a>2c
B.2a>2b>2c
C.2c>2b>2a
D.2c>2a>2b
【解析】选A.由已知得b>a>c,因为y=2x在定义域内是单调递增的,所以2b>2a>2c.
【延伸探究】若本题条件“lobloa>loc”,其结论又如何呢
【解析】由已知得b7.(2017·汉口高一检测)设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则 ( )
A.aB.bC.aD.b【解析】选D.因为log45>log44=1,
1=log55>log54>log53>(log53)2,
所以b8.(2017·杭州高一检测)若a∈R,且loga(2a+1)是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.原不等式等价于或解得a∈或二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·大连高一检测)若指数函数f(x)=ax(x∈R)的部分对应值如表:
x
-2
0
2
f(x)
4
1
0.25
则不等式loga(x-1)>0的解集为__________.
【解析】因为f(-2)=4,所以a-2=4,故a=,
故lo(x-1)>0 即1答案:(1,2)
10.(2017·宝鸡高一检测)函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[2,8]上的最大值为6,则a=__________.
【解析】当a>1时,loga8=6即a==.
当0答案:或
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·石家庄高一检测)已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过点(9,2).
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求x的取值范围.
【解析】(1)因为g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(9,2),
所以loga9=2,解得a=3,所以g(x)=log3x.
又因为函数y=f(x)的图象与g(x)=log3x的图象关于x轴对称,所以f(x)=lox.
(2)因为f(3x-1)>f(-x+5),
即lo(3x-1)>lo(-x+5),
则解得所以x的取值范围为.
12.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.
【解题指南】(1)要使函数有意义,需每一个真数都大于零.
(2)将函数式化简,转化成复合函数,利用其单调性求解.
【解析】(1)要使函数有意义,则有
解得-3所以函数的定义域为(-3,1).
(2)函数可化为:f(x)=loga(1-x)(x+3)
=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],
因为-3所以0<-(x+1)2+4≤4,
因为0所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4,
即f(x)min=loga4,由loga4=-4,得a-4=4,
所以a==.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=loga(x2-2),f(2)=1.
(1)求a的值.
(2)求f(3)的值.
(3)解不等式f(x)【解析】(1)因为f(2)=1,所以loga(22-2)=1,
即loga2=1,解得a=2.
(2)由(1)得函数f(x)=log2(x2-2),
则f(3)=log2[(3)2-2]=log216=4.
(3)不等式f(x)即log2(x2-2)化简不等式得log2(x2-2)因为函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以解得x>,
所以原不等式的解集为(,+∞).2.1.1.1
根式
课时达标训练
1.下列各式正确的是 ( )
A.=-3
B.=a
C.()3=-2
D.=2
【解析】选C.=|-3|=3,==-2,故A,B,D错误,由立方根定义知C正确.
2.的值是 ( )
A.3
B.-3
C.9
D.-9
【解析】选B.==-3.
3.若=-,则 ( )
A.a=0
B.a≠0
C.a≤0
D.a≥0
【解析】选A.因为与-互为相反数,所以a=0.
4.若x>3,则-|2-x|=________.
【解析】-|2-x|=-|2-x|
=|x-3|-|2-x|=x-3+2-x=-1.
答案:-1
5.当x<0时,x++=________.
【解析】因为x<0,所以原式=x-x+=1.
答案:1
6.求下列各式的值.
(1)(n>1,且n∈N
).
(2)(n>1,且n∈N
).
【解析】(1)当n为奇数时,=2-π,
当n为偶数时,=π-2.
(2)=|x-y|,
当x≥y时,=x-y,
当x(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·洛阳高一检测)下列函数是指数函数的是 ( )
A.y=
B.y=(-8)x
C.y=2x-1
D.y=x2
【解析】选A.由指数函数的定义知A正确;B,C,D错误.
2.(2017·杭州高一检测)指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)·f(2)等于 ( )
A.8
B.16
C.32
D.64
【解析】选D.设f(x)=ax,由条件知f(-2)=,故a-2=,所以a=2,因此f(x)=2x,所以f(4)·f(2)=24×22=64.
3.已知函数f(x)=3-x-1,则f(x)的 ( )
A.定义域是(0,+∞),值域是R
B.定义域是R,值域是(0,+∞)
C.定义域是R,值域是(-1,+∞)
D.定义域、值域都是R
【解析】选C.由f(x)=3-x-1=-1知f(x)的图象是由y=的图象向下平移一个单位,故f(x)的定义域为R,值域为(-1,+∞).
4.(2017·兰州高一检测)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值
为 ( )
A.0
B.
C.1
D.
【解析】选D.因为3a=9,所以a=2,所以tan=tan60°=.
5.(2017·长沙高一检测)当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax+1-1的图象一定过
点 ( )
A.(0,1)
B.(0,-1)
C.(-1,0)
D.(1,0)
【解析】选C.令x+1=0得x=-1,此时y=0,故f(x)的图象一定过点(-1,0).
6.函数f(x)=3x-3(1A.(0,+∞)
B.(0,9)
C.
D.
【解析】选C.因为17.(2017·宜昌高一检测)如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=ax(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a= ( )
A.
B.
C.2
D.3
【解题指南】首先设点E(t,at),则点B的坐标为(2t,2at),又因为2at=a2t,所以at=2;然后根据平行四边形的面积是8,求出t的值,代入at=2,求出a的值即可.
【解析】选A.设点E(t,at),则点B的坐标为(2t,2at),
又因为2at=a2t,所以at=2,
因为平行四边形OABC的面积=OC·AC=at·2t=4t,又平行四边形OABC的面积为8,
所以4t=8,t=2,所以a2=2,a=.
8.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则|a|的取值范围是 ( )
A.1<|a|<
B.|a|<1
C.|a|>1
D.|a|>
【解析】选D.因为当x>0时函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,所以a2-1>1,故|a|>.
【延伸探究】本题中条件“总大于1”若换为“总小于1”,其结论又如何
【解析】选A.由题意知0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.图中的曲线C1,C2,C3,C4是指数函数y=ax的图象,而a∈,则图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是__________,__________,__________,
__________.
【解析】过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交.可知y3>y4>y1>y2,故图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是,,π,.
答案: π
10.(2017·长春高一检测)已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,则m+n的值为________.
【解析】因为y=在[-2,-1]上为减函数,所以m==3,n==9,所以m+n=12.
答案:12
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设f(x)=3x,g(x)=.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象.
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论
【解析】(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)==3.
f(π)=3π,g(-π)==3π.
f(m)=3m,g(-m)==3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等.
12.(2017·郑州高一检测)函数f(x)=4x-2x+1+3的定义域为.
(1)设t=2x,求t的取值范围.
(2)求函数f(x)的值域.
【解析】(1)因为t=2x在x∈上单调递增,
所以t∈.
(2)函数可化为:f(x)=g(t)=t2-2t+3,
g(t)在上递减,在[1,]上递增,
比较得g所以f(x)min=g(1)=2,
f(x)max=g()=5-2.
所以函数的值域为[2,5-2].
【补偿训练】已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)因为f(2)=,所以a2-1=即a=.
(2)因为y=f(x)=,x≥0.
所以x-1≥-1,故≤=2,
即函数的值域为(0,2].
【能力挑战题】
设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求常数k的值.
(2)若a>1,试判断函数f(x)的单调性,并加以证明.
【解析】(1)函数f(x)=kax-a-x的定义域为R,
因为函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数,
所以f(0)=k-1=0,所以k=1.
(2)函数f(x)在R上为单调增函数,证明如下:
f(x)=ax-a-x,设x1,x2为R上两任意实数,且x1f(x1)-f(x2)=(-)-(-)
=(-)+
=(-)+=(-).
因为a>1,x1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在R上为单调增函数.根 式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·天水高一检测)已知x是256的正的四次方根,则x的平方根是 ( )
A.2
B.-2
C.±2
D.±4
【解析】选C.因为x是256的正的四次方根,所以x==4,故x的平方根
是±2.
2.下列各式:①=a;②(a2-3a+3)0=1;③=.其中正确的个数
是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.当n为偶数时,=|a|,故①错;a2-3a+3=+>0,故(a2-3a+3)0=1,故②对;=,=-,故③错.
3.若的算术平方根为a,b=,则 ( )
A.a>b
B.a=b
C.aD.不确定
【解析】选B.因为==25,所以的算术平方根为5,即a=5,又因为b===5,所以a=b.
4.(2017·天津高一检测)若2A.5-2a
B.2a-5
C.1
D.-1
【解析】选C.原式=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1.
【延伸探究】本题中条件“2【解析】选A.原式=|2-a|+|3-a|=2-a+3-a=5-2a.
5.已知xy≠0且=-2xy,则有 ( )
A.xy<0
B.xy>0
C.x>0,y>0
D.x<0,y<0
【解析】选A.因为==2|xy|=-2xy,所以xy<0.
6.化简=(其中e=2.71…) ( )
A.e-e-1
B.e-1-e
C.e+e-1
D.0
【解析】选C.原式==|e-1+e|=e-1+e.
7.计算a+的结果是 ( )
A.1
B.2a-1
C.1或2a-1
D.0
【解题指南】利用=|a|(n为偶数),要注意分1-a≥0与1-a<0分别求原式的值.
【解析】选C.a+=a+|1-a|,若1-a≥0,则a+|1-a|=a+1-a=1,若1-a<0,则a+|1-a|=a+a-1=2a-1,综上可知,计算的结果为1或2a-1.
8.当有意义时,化简-的结果是 ( )
A.2x-5
B.-2x-1
C.-1
D.5-2x
【解析】选C.因为有意义,所以2-x≥0,
即x≤2.-=-
=|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=2-x-3+x=-1.
【补偿训练】若nA.2m B.2n C.-2m D.-2n
【解析】选C.原式=-
=|m+n|-|m-n|,
因为n0,
所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·兰州高一检测)的值为________.
【解析】原式==-.
答案:-
10.若a<0,则·(a+1)+=________.
【解析】因为a<0,所以·(a+1)+
=(-a)(a+1)+a=-a2-a+a=-a2.
答案:-a2
【延伸探究】本题中若将“a<0”改为“a>0”,则结果如何
【解析】因为a>0,所以·(a+1)+
=a2+a+a=a2+2a.
三、解答题
11.(10分)已知+=-a-b,求+的值.
【解析】因为+=-a-b,所以=-a,=-b,所以a≤0,b≤0,所以a+b≤0,
所以原式=|a+b|+a+b=-(a+b)+a+b=0.
【能力挑战题】
写出使=(5-x)成立的x的取值集合.
【解析】由=.
要使=(5-x)成立,
只需即-5≤x≤5.
【误区警示】解析中易忽视x-5≤0的条件而出现由x+5≥0,则x≥-5的错误.2.3
幂函数
课时达标训练
1.在函数y=,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,其中幂函数的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由幂函数定义知y==x-2是幂函数,y=2x2,y=(x+1)2及y=3x均不是幂函数.
2.下列不等式正确的是 ( )
A.1.<0.
B.1.>0.
C.1.>1.
D.1.>1.
【解析】选C.因为y=是增函数,故1.>0.,因此A错,同理B错;又y=1.1x是增函数,所以1.>1.,1.>,因此C正确,D错误.
3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点,则f(4)=________.
【解析】因为f(2)=,所以2α=,
即α=-,所以f(x)=,故f(4)==.
答案:
4.幂函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数,则a的取值范围是________.
【解析】因为y=x2-a在(0,+∞)上是减函数,所以2-a<0,所以a>2.
答案:a>2
5.已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值.
【解析】因为y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,
所以解得所以m=-3,n=.2.1.1.2
指数幂及运算
课时达标训练
1.下列运算结果中正确的为 ( )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=1
D.(-a2)3=-a6
【解析】选D.a2·a3=a5;(-a2)3=(-1)3·(a2)3=-a6,而(-a3)2=a6,所以在a≠0时(-a2)3≠(-a3)2;若a=1,则(-1)0无意义,(-a2)3=-a6,所以只有D正确.
2.可化为 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选A.由根式与分数指数幂的互化得=.
3.(0.027的值是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.(0.027=[(0.3)3=(0.3)-2==.
4.的值是________.
【解析】===.
答案:
5.若10x=3,10y=4,则102x-y=________.
【解析】因为10x=3,所以(10x)2=9,即102x=9,
所以=,即102x-y=.
答案:
6.求值:(1)[(-5)4-150=________.
(2)0.00-()0+1+(·)6=________.
【解析】(1)原式=(54-150=5-1=4.
(2)原式=(0.13-1+(24+()6·()6=89.
答案:(1)4 (2)89习题课——指数函数及其性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列判断正确的是 ( )
A.2.52.5>2.53
B.0.82<0.83
C.π2<
D.0.90.3>0.90.5
【解析】选D.因为y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,所以0.90.3>0.90.5.
2.(2017·杭州高一检测)若<,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)
B.
C.(-∞,1)
D.
【解析】选B.因为y=在R上是减函数且<,所以2a+1>3-2a,即a>.
3.设<<1,则( )
A.aB.1C.a>b>0
D.a【解析】选C.因为<<,所以a>b>0.
【延伸探究】若将条件“<<1”换为>>1,则结论又如何呢
【解析】因为>>,
所以a4.若指数函数f(x)=ax的图象过点(2,4),则满足a2x+1是( )
A.x< B.x> C.x>2 D.x<2
【解题指南】解答本题可先求出指数函数的底数a的值,然后根据指数函数的单调性求x的取值范围.
【解析】选A.因为f(2)=4,所以a2=4,
所以a=2(a=-2舍),
所以22x+1<23-2x,所以2x+1<3-2x,所以x<.
5.(2017·北京高一检测)若指数函数f(x)=(a+1)x是R上的减函数,那么a的取值范围为 ( )
A.a<2
B.a>2
C.-1D.0【解析】选C.因为f(x)=(a+1)x是R上的减函数,所以0【补偿训练】当x>0时,指数函数(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围
是 ( )
A.(2,+∞)
B.(1,2)
C.(1,+∞)
D.R
【解析】选B.因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以06.(2017·北京高一检测)设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则 ( )
A.y3>y1>y2
B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3
D.y1>y3>y2
【解析】选D.因为y1=40.9=21.8,y2=23×0.48=21.44,y3=21.5,
所以y1>y3>y2.
7.(2017·重庆高一检测)关于x的方程=有负实数根,则a的取值范围
是 ( )
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.
【解析】选B.因为x<0,>1,>1,
所以a∈(0,1).
【补偿训练】(2017·兰州高一检测)函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是 ( )
A.6
B.1
C.3
D.
【解析】选C.由条件知a0+a1=3,故a=2,所以x=1时,ymax=4-1=3.
8.(2017·北京高一检测)已知函数f(x)=为奇函数,则f(m)= ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0,所以m=1,故f(m)=f(1)==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·成都高一检测)若-1【解析】因为-11,0.2x>1,又因为0.5x<0.2x,所以b答案:b【一题多解】令x=-,则a=2-x==,
b===,c=0.===,
故c>a>b.
答案:c>a>b
10.(2015·山东高考)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=__________.
【解析】当a>1时,函数f(x)单调递增,则无解;
当0答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知3x≤,求函数y=的值域.
【解析】由3x≤,得3x≤3-2x+6,
所以x≤-2x+6,解得x≤2.
又因为y=在x∈(-∞,2]上是减函数,所以y=≥=,故y=的值域为.
12.比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5与1.53.2.(2)0.6-1.2与0.6-1.5.
(3)与1.(4)与.
【解析】(1)因为f(x)=1.5x在R上是增函数且2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)因为f(x)=0.6x在R上是减函数且-1.2>-1.5,
所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)因为f(x)=在R上是减函数,
所以>=1,即>1.
(4)因为f(x)=在R上是减函数,
所以<,又因为<,
所以<.
【能力挑战题】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.
(1)求a的值.
(2)证明f(x)+f(1-x)=1.
(3)求f+f+f+…+f的值.
【解析】(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,所以a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去).
(2)由(1)知f(x)=,
所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=+=1.
(3)由(2)知f+f=1,
f+f=1,…,f+f=1,
所以f+f+f+…+f=[f+
f]+[f+f]+…+=1+1+…+1=1008.2.2.2.2
习题课—对数函数及其性质
课时达标训练
1.若0A.3y<3x
B.logx3C.log4xD.<
【解析】选C.因为02.不等式log0.5(2x)A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)
【解析】选A.原不等式 x>1.
3.如果loa<0,则a的取值范围是______.
【解析】loa<0 loa1.
答案:a>1
4.已知f(x)=loga(1-x)(a>1),则使f(x)>0成立的x的取值范围为________.
【解析】由f(x)>0得loga(1-x)>loga1,当a>1时,1-x>1,即x<0.
答案:(-∞,0)
5.已知f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
【解析】(1)要使f(x)有意义,需
即-1故定义域为(-1,1).
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,
又因为f(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)
=-[loga(1+x)-loga(1-x)]
=-f(x),故f(x)是奇函数.2.1.2.2
习题课—指数函数及其性质
课时达标训练
1.已知>,则a,b的大小关系是 ( )
A.1>a>b>0
B.aC.a>b
D.1>b>a>0
【解析】选B.因为f(x)=是减函数且>,所以a2.若2x+1<1,则x的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选D.不等式2x+1<1=20,
因为y=2x在R上是增函数,所以x+1<0,即x<-1.
3.设0的解集为________.
【解析】因为0
2x2-3x+2<2x2+2x-3 5x>5 x>1.
答案:(1,+∞)
4.比较大小.____.
【解析】因为=,所以<=.
答案:<
5.已知4a=2a+2,解不等式a2x+1>ax-1.
【解析】因为4a=2a+2,即22a=2a+2,所以2a=a+2,故a=2,
因此a2x+1>ax-1 22x+1>2x-1 2x+1>x-1 x>-2,
所以不等式的解集为(-2,+∞).2.1.2.1
指数函数的图象及性质
课时达标训练
1.函数y=3x与y=3-x的图象关于下列哪条直线对称 ( )
A.x轴
B.y轴
C.直线y=x
D.直线y=-x
【解析】选B.y=3-x=,由y=3x与y=关于y轴对称,所以y=3x与y=3-x关于y轴对称.
2.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是 ( )
A.y=(-4)x
B.y=λx(λ>1)
C.y=-4x
D.y=ax+2(a>0且a≠1)
【解析】选B.由指数函数的定义知y=λx(λ>1)是指数函数.
3.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)=__________.
【解析】设f(x)=ax,因为f(2)=4,所以a2=4,故a=2或a=-2(舍去),所以f(3)=23=8.
答案:8
4.函数y=的定义域是________.
【解析】1-3x≥0,3x≤1,所以x≤0,故定义域为(-∞,0].
答案:(-∞,0]
5.函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围是________.
【解析】由ax-1≥0,得ax≥1.
因为函数的定义域是(-∞,0],所以ax≥1的解集为(-∞,0],所以0答案:06.求函数y=的定义域和值域.
【解析】由x-2≠0得x≠2,
所以y=的定义域是{x|x≠2}.
因为≠0,所以y≠20,即y≠1.又y=>0,
所以y=的值域是(0,1)∪(1,+∞).2.2.1.1
对数
课时达标训练
1.若a>0,且a≠1,c>0,则将ab=c化为对数式为 ( )
A.logab=c
B.logac=b
C.logbc=a
D.logca=b
【解析】选B.由对数的定义知,若ab=c,则b=logac.
2.若3x=2,则x等于 ( )
A.log23
B.log32
C.32
D.23
【解析】选B.3x=2 x=log32.
3.若log2m=3,则m等于 ( )
A.8
B.9
C.log23
D.log32
【解析】选A.因为log2m=3,所以m=23=8.
4.log21+log22=______.
【解析】由对数的性质知log21=0,log22=1,故原式=1.
答案:1
5.+ln(lne)=________.
【解析】原式=+ln1=+0=.
答案:
6.将下列指数式与对数式互化.
(1)log216=4.(2)=.
【解析】(1)因为log216=4,所以24=16.
(2)因为=,所以lo=3.指数幂及运算
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·杭州高一检测)[(-)-2的结果是 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.[(-)-2=[()-2=
2.(2017·兰州高一检测)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果
是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.====a2·==.
3.(2017·常德高一检测)计算1-8×的结果是 ( )
A.1
B.-2
C.15
D.-
【解析】选A.1-8×=(24-8×=8-7=1.
【补偿训练】÷= ( )
A.
B.2
C.4
D.
【解析】选B.÷=(23÷(2-2=4÷2=2.
4.(2017·成都高一检测)下列运算正确的是 ( )
A.(3x2)3=9x6
B.a6÷a2=a3
C.(a+b)2=a2+b2
D.22016-22015=22015
【解析】选D.A中(3x2)3=27x6,B中a6÷a2=a4,C中(a+b)2=a2+b2+2ab,D中22016-22015=2×22015-22015=22015.
5.(2017·长春高一检测)化简的结果是 ( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.由题意得解得x<0.
所以==
===-.
6.已知x+x-1=3,则+= ( )
A.
B.2
C.
D.2
【解析】选A.因为x+x-1=(+)2-2=3.
所以+=.
7.将化成分数指数幂为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式====.
8.,,这三个数的大小关系为 ( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
【解题指南】先把分数指数幂化为根式,再比较大小.
【解析】选B.===,===,=.因为<<,所以<<.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·大连高一检测)设α,β为方程2x2+3x+1=0的两个根,则=________.
【解析】由根与系数的关系得α+β=-,所以==(2-2=23=8.
答案:8
10.若a+=-3,则=____________.
【解析】因为a+=-3,所以=9.
即a2++2=9.所以a2+=7.所以=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.化简与计算:
(1)()8.
(2)-(0.5)-3+×.
【解析】(1)()8=()8()8=m2n-3=.
(2)-(0.5)-3+×=(23-(2-1)-3+×=22-23+33×=4-8+27×=4.
12.(2017·广州高一检测)求值:
+0.1-2+-3π0+.
【解析】+0.1-2+-3π0+
=++-3×1+
=+(10-1)-2+-3+
=+10(-1)×(-2)+-3+
=+102+-3+
=+100+-3+=100.
【能力挑战题】
设2x=8y+1,9y=3x-9,求x+y的值.
【解析】因为2x=8y+1=23y+3,9y=32y=3x-9,
所以x=3y+3,①
2y=x-9,②
由①②解得
所以x+y=27.2.2.1.2
对数的运算
课时达标训练
1.计算log98·log827的值为 ( )
A.9
B.
C.
D.
【解析】选C.log98·log827=·=·=.
2.若lgx-lgy=a,则lg-lg= ( )
A.3a
B.a
C.a
D.
【解析】选A.lg-lg=3(lgx-lgy)=3a.
3.已知loga2=m,loga3=n,则loga18= ( )
A.m+2n
B.n+2m
C.m+3n
D.n+3m
【解析】选A.loga18=loga(2×32)=loga2+2loga3=m+2n.
4.log510+log5=______.
【解析】原式=log5=log55=1.
答案:1
5.log23·log34=______.
【解析】原式=×=2.
答案:2对数的运算
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·大同高一检测)2log32-log3+log38的值为 ( )
A.
B.2
C.3
D.
【解析】选B.原式=log322-log332+log39+log38=log34+log38-
log332+2=log332-log332+2=2.
【补偿训练】(2017·杭州高一检测)2log510+log50.25= ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】选C.2log510+log50.25
=log5100+log50.25=log525=2.
2.下列各式中正确的个数是 ( )
①loga(b2-c2)=2logab-2logac;
②(loga3)2=2loga3;
③=lg5.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.由对数的运算性质和换底公式知,它们均不正确.
3.(2017·黑龙江高一检测)已知lg2=a,lg3=b,则log36等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.log36===.
4.若log5·log36·log6x=2,则x等于 ( )
A.9
B.
C.25
D.
【解题指南】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数,再计算.
【解析】选D.由换底公式,得··=2,
所以-=2.所以lgx=-2lg5=lg.
所以x=.
5.声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声音强度(单位:W/m2).交响音乐会坐在铜管乐前的声音强度约为5.01×10-2W/m2,则其声强级为(其中lg5.01≈0.7) ( )
A.99dB
B.100dB
C.107dB
D.109dB
【解析】选C.当I=5.01×10-2时,其声强级为LI=10lg=10lg(5.01×1010)=10(lg5.01+10)≈107(dB).
6.(2017·大连高一检测)若lna,lnb是方程3x2-6x+2=0的两个根,则的值等于 ( )
A.
B.
C.4
D.
【解析】选A.由根与系数的关系,得lna+lnb=2,lna·lnb=,所以=(lna-lnb)2=(lna+lnb)2-4lna·lnb=22-4×=.
7.(2017·北京高一检测)函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f(x1x2…xn)=16,则f()+f()+…+f()的值等于 ( )
A.2log216
B.32
C.16
D.8
【解析】选B.f(x)=logax,f(x1x2…xn)=16,
所以loga(x1x2…xn)=16,
所以f()+f()+…+f()=loga+loga+…+loga=2(logax1+logax2+…+logaxn)
=2loga(x1x2…xn)=32.
8.(2017·武汉高一检测)已知2m=5n=10,则+= ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.因为2m=5n=10,所以m=log210,n=log510,
即=lg2,=lg5,故+=lg2+lg5=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.
【解析】因为f(ab)=1,所以lg(ab)=1,即lga+lgb=1,
所以f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2.
答案:2
10.若lg3=a,lg5=b,那么lg=________.
【解析】lg=lg4.5=lg=lg=(lg5+lg9-1)=(2a+b-1).
答案:
三、解答题
11.(10分)(2017·兰州高一检测)计算下列各式的值:
(1)log535+2lo-log5-log514.
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.
【解析】(1)原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64
=÷log622
=[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62
=log62+log63
=log6(2×3)
=1.
【能力挑战题】
已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则log2=________.
【解析】因为2lg(x+y)=lg2x+lg2y,
所以lg(x+y)2=lg(4xy),
所以(x+y)2=4xy,
所以(x-y)2=0,
所以x=y,
所以=1,
所以log2=log21=0.
答案:0对 数
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·天水高一检测)若loga=c,则下列关系式中正确的是 ( )
A.b=a5c
B.b5=ac
C.b=5ac
D.b=c5a
【解析】选A.因为loga=c,所以ac=,所以ac=,即a5c=b.
2.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e2.其中正确的是 ( )
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
【解析】选C.因为lg10=1,lne=1,所以lg(lg10)=0,ln(lne)=0,故①②正确;若10=lgx,则x=1010,故③错误;
若e=lnx,则x=ee,故④错误.
3.(2017·兰州高一检测)已知=,则lox=( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
【解析】选A.因为=,所以x==,
故lox=lo,令lo=y,
则==.故y=3,即lox=3.
【延伸探究】本题若换为“已知lox=3,求”,结论又如何
【解析】因为lox=3,所以x==,
故===.
4.(2017·兰州高一检测)计算log20171+log20172017= ( )
A.1
B.2
C.0
D.3
【解析】选A.log20171+log20172017=0+1=1.
5.(2017·深圳高一检测)方程=的解是 ( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=9
【解析】选A.因为=,所以log3x=-2,即x=3-2=.
6.计算:= ( )
A.4
B.2
C.log23
D.不确定
【解题指南】解答本题可将9写成32的形式,然后利用指数幂的运算性质及对数恒等式即可求出原式的值.
【解析】选A.=(32===4.
7.在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 ( )
A.a>5或a<2
B.2C.2D.3【解析】选C.由对数的定义知即2【误区警示】本题在求解中因漏掉底数的限制条件而导致错解.
8.若log2(logx9)=1,则x= ( )
A.1
B.2
C.3
D.9
【解析】选C.因为log2(logx9)=1,所以logx9=2,
即x2=9(x>0且x≠1),所以x=3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·杭州高一检测)已知log7[log3(log2x)]=0,那么=________.
【解析】因为log7[log3(log2x)]=0,
所以log3(log2x)=1,即log2x=3,故x=23=8,
所以==.
答案:
10.(2017·德州高一检测)方程log3(2x-1)=1的解是________.
【解析】因为log3(2x-1)=1,
故31=2x-1,所以x=2.
答案:x=2
三、解答题
11.(10分)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值.
(1)log2x=-.(2)logx3=-.
【解析】(1)因为log2x=-,所以x===.
(2)因为logx3=-,所以=3,即x=3-3=.
【能力挑战题】
已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.
求·的值.
【解析】因为log2(log3(log4x))=0,所以log3(log4x)=1,
即log4x=3,所以x=43=64,同理y=16,
所以·=×1=8×23=64.对数函数的图象及性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log(-2)x
B.y=log2x2
C.y=log2x
D.y=log2(x+2)
【解析】选C.由对数函数定义知y=log2x=log4x是对数函数.
2.函数f(x)=log0.25(2x-1)的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意知2x-1>0,即x>.
3.(2017·德州高一检测)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),且其图象过点(3,27),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是 ( )
A.g(x)=log3x
B.g(x)=log2x
C.g(x)=lox
D.g(x)=lox
【解析】选A.因为f(3)=27,所以a3=27,即a=3,
又因为指数函数y=ax与y=logax互为反函数,所以g(x)=log3x.
4.(2017·长沙高一检测)已知f(x)=a-x,g(x)=logax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( )
【解析】选D.因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,
所以f(x)=a-x与g(x)=logax在其定义域上分别是减函数与增函数.
5.(2017·开封高一检测)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点 ( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(-2,1)
D.(-1,1)
【解题指南】借助对数函数图象过定点(1,0)这一性质,利用整体代换思想,令x+2=1,求出图象所过定点.
【解析】选D.令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
6.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a>0且a≠1,则下列点也在此图象上的
是 ( )
A.
B.(10a,1-b)
C.
D.(a2,2b)
【解析】选D.若点(a,b)在y=lgx的图象上,则b=lga,所以2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.
【延伸探究】本题条件不变,若,
(100a,y2)也在函数y=lgx的图象上,试用b表示y1,y2.
【解析】因为lg=2-lga=2-b,所以y1=2-b,
因为lg(100a)=2+lga=2+b,所以y2=2+b.
7.(2017·衡水高一检测)已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为 ( )
A.
B.
C.2
D.4
【解题指南】对a分a>1和0【解析】选C.①当a>1时,a2+loga2+a+loga1=loga2+6,解得a=-3(舍)或a=2.
②当08.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a= ( )
A.-1
B.
C.1或-
D.-1或
【解析】选D.f(a)= 或 a=或a=-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·临沂高一检测)图中的曲线是y=logax的图象,已知a的值分别为,,,,相应曲线C1,C2,C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们的值分别为__________.
【解析】在x轴上方,由对数函数的“底大图右”的性质得到a2>a1>1>a4>a3,
所以a1,a2,a3,a4的值分别为,,,.
答案:,,,
10.(2017·武汉高一检测)若f(x)是对数函数且f(9)=2,当x∈[1,3]时,f(x)的值域是________.
【解析】设f(x)=logax,因为loga9=2,所以a=3,即f(x)=lox,又因为x∈[1,3],所以0≤f(x)≤1.
答案:[0,1]
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的定义域与值域.
(1)y=log2(x-1).
(2)y=log4(x2+4).
【解析】(1)由x-1>0,得x>1,所以函数y=log2(x-1)的定义域是(1,+∞),值域是R.
(2)因为对任意实数x,log4(x2+4)都有意义,
所以函数y=log4(x2+4)的定义域是R.
又因为x2+4≥4,所以log4(x2+4)≥log44=1,
即函数y=log4(x2+4)的值域是[1,+∞).
12.(2017·沈阳高一检测)已知函数f(x)=loga(ax-)(a>0,a≠1为常数).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若a=2,x∈[1,9],求函数f(x)的值域.
【解析】(1)ax->0 (a-1)>0,
因为>0,所以a-1>0,
因为a>0,所以>.
所以x>,所以函数f(x)的定义域为.
(2)a=2时,f(x)=log2(2x-),令2x-=t,则
t=2x-=2-,
因为x∈[1,9],所以t∈[1,15],
所以log21≤log2(2x-)≤log215,
即0≤f(x)≤log215,
所以函数f(x)的值域为[0,log215].
【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k,a>0,且a≠1.
(1)求a,k的值.
(2)当x为何值时,f(logax)有最小值 求出该最小值.
【解析】(1)因为
所以
即又a>0且a≠1,所以
(2)f(logax)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2
=+,
所以当log2x=,即x=时,f(logax)有最小值.