指数与指数幂的运算
【教学目标】
理解根式的概念
【重点难点】
根式的概念
【教学过程】
一、情景设置
课题引入：以课本P48页问题1、问题2引入。
讨论：
①什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,
立方根呢？
②如x4=a,x5=a,
x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
③根据上面的结论我们能得到一般性的结论？
④可否用一个式子表达呢？
二、探索研究
1．整数指数幂的运算法则
①
②
③
2．n次方根的定义：
说明：①n次方根的定义是
和
的推广。
②在实数范围内，正数的奇次方根是一个
，负数的奇次方根是一个
．
零的奇次方根是
．设a∈R,n是大于1的奇数，则a的n次方根记作
．
③在实数范围内，正数的偶次方根有
个，它们互为
，零的偶次方根是
，负数的偶次方根
．设a≥0,n是大于1的偶数，则a的n次方根是
．
三、教学精讲
①式子叫做
，n叫做
，a叫做
．
②()n=
;
当n为奇数时，
=
．当n为偶数时，=
=
例1、求下列各式的值
①
②
③
④(a>b)
例2、计算：
eq
\r(5－2)＋
eq
\r(5＋2)
四、课堂练习
1．下列运算正确的是(
)
(A)(－a2)3＝(－a3)2
(B)(－a2)3＝－a2＋3
(C)(－a2)3＝(－a)6
(D)(－a2)3＝(－1)3a2×3＝－a6
2．若a＝(2＋)1，b＝(2－)1，则(a＋1)2(
b＋1)2的值是(
)
3．下列有四个命题
①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确命题的个数是(
)
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
4．a∈R,n∈N
,下列四个运算恒成立的是（
）
(A)
()n=a
(B)
()n=|a|
(C)()n=|a|
(D)
=|a|
5．已知3a＝2，3b＝5，则32ab＝____________
答案：DDCB
五、本节小结
①如果xn=a，那么x叫做
，其中n>1，且n∈N
．当n是奇数时，正数的n次方根
，负数的n次方根是
．a的n次方根用符号
表示．
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②当n是偶数时，正数的n次方根
．此时，正数a的正的n次方根用符号
表示，负的n次方根用符号
表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±（a>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作＝0．
③()n=
;
当n为奇数时，=
．当n为偶数时，=
【教学后记】对数与对数运算
【教学目标】
1．对数的运算性质进一步应用
2．换底公式的应用
【重点难点】
换底公式的应用
【教学过程】
一、情景设置
1．复习对数的运算性质以及公式应用需要注意的问题。
2．引入：利用常用对数表、自然对数表能求出任意正数的常用对数或自然对数，如何求其它底的对数呢？
二、探索研究
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logb
=
(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1；b>0)
三、教学精讲
推导过程：
推论:①logb=
②logb=logb
③logb
=
logb
例1．①log89
log2732的值。（可以换以10为底，以2为底，以3为底）
②已知log23=a,
log37=b,用a,b表示log4256。
例2．计算:
①lg25+lg8+lg5lg20+lg22
②(log2125+log425+
log85)(log1258+log254+log52).
例3．课本P66例5例6
四、课堂练习
1.log49343=
.
2.在b=log(a-2)3中，实数a的取值范围是
3.已知log189=a,
18b=5，,用a,b表示log3645。
4.已知方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3
=0有两个不等的实数根x1、x2,求x1x2的值.
五、本节小结
换底公式及推论的应用、对数的运算性质进一步应用
【教学后记】对数与对数运算
【教学目标】
对数的运算性质
【重点难点】
准确应用对数的运算性质及对数恒等式.
【教学过程】
一、情景设置
问题：
①我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
②如我们知道am=M,
an=N,
aman=
am+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗？
③在上述②的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？
二、探索研究
(1)推导：①设am=M,
an=N,由于aman=
am+n，由对数的定义得到:
logM=m,
logN=n,
log(MN)=logM+logN
仿照上述过程，由am÷an=
am-n和(am)n=amn得出对数其他运算性质
②
③
得出对数的运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,N>0,
那么
①log(MN)=logM+logN
②log
=logM
–logN
③logM=nlogM
(2)你能否用最简练的语言描述上述运算性质？
①
②
③
(3)
上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？
三、教学精讲
例1.用logx,logy,
logz表示下列各式:
①log
②log
eq
\f(x2
,)
③log
eq
\f(,y2z)
④log(x
eq
\r(4,)
)
例2.求下列各式的值:
①2log510+log50.25
②log2(4725)
③lg
-
lg+lg
四、课堂练习
1.求下列各式的值:
①5
②2log2-log+log8
-5
2.求解下列各题:
①若lgm=b-lgn,则m用n,b表示为____________.
②已知log9=a,log5=b.用a,b表示log75.
五、本节小结
熟练掌握对数的运算性质及初步应用
【教学后记】对数函数及其性质
【教学目标】
1．进一步理解对数函数的图象和性质；
2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。
【重点难点】
教学重点：对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的性质的综合运用．
【教学过程】
一、情景设置
1．画出函数的图象。
回答下列问题．
（1）函数与
且有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？
（2）以的图象为基础，在同一坐标系中画出的图象．
（3）已知函数
的图象，则底数之间的关系：_______________________________.
2.根据对数函数的图象和性质填空．
(1)已知函数，则当时，
；当时，
；
当时，
；当时，
．
(2)已知函数，则当时，
；当时，
；当时，
；当时，
；当时，
．
二、教学精讲
例1.溶液酸碱度的测量。
溶液酸碱度是通过PH刻画的。PH的计算公式为PH=-lg[H]，其中[H]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（1）根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H]=10摩尔/升，计算纯净水的PH。
答案：见课本72页例9
例2．函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值.
例3．求函数y=loga(-x2+8x-7)的定义域，值域及单调区间．
定义域：1
值域:(-∞,lg9]
四．课堂练习
（1）求函数y=(6+x-2x2)的单调增区间。
（2）求函数的最小值．0
五、本节小结
【教学后记】
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(1)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(2)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(3)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(4)x指数与指数幂的运算
【教学目标】
1.理解分数指数幂的含义
2.掌握有理指数幂的运算性质
3.会对根式、分数指数幂进行互化
4.了解无理指数幂的意义
【重点难点】
分数指数幂的概念和分数指数的运算性质
【教学过程】
一、情景设置
课题引入：以课本P48页问题2引入。
观察=
=a2=
；==a3=
；=
=a5=
总结规律
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成
的形式．
二、探索研究
=
=
；=
=
(a>0)
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成
的形式．
三、教学精讲
1．分数指数幂的含义
（1）()n=am,由n次方根的定义，即可以看成am的
．
规定正数的正分数指数幂的意义是
(a>0,m,n∈N
,且n>1)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定=
(a>0,m,n∈N
,且n>1)．在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同的量，只是形式不同而已．
0的正分数指数幂等于
，0
0的负分数指数幂
．
（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从
推广到
．
2．整数指数幂的运算性质，对有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
①
②
③
3.我们将指数的取值范围从整数推广到了有理数，那么，当指数是无理数时，如
5，又如何理解呢？
例1．求值：，
，()－3,
(
eq
\s\up5(-
\f(3,4))
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:
①·
②
eq
\r(a
eq
\r(a))
③a3·
例3．求下列各式的值：
①
eq
\r(4,81
eq
\r())
②2
③
eq
\f(a2,)(a>0)
答案：3
;
6;
四、课堂练习
1．课本P59习题4
2．计算下列各式
①(2)0.5+0.1-2+
eq
(2)\s\up5(-
\f(2,3))
-30+
答案：100
②
eq
\r(3,a)÷
eq
\r()
答案：1
五、本节小结
①分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．
②一般进行指数幂运算时，化根式为分数指数，化小数为分数进行运算．对于计算结果，如果没有特殊要求，分数指数幂和根式的形式都可以．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能同时含有分母和负指数．
【教学后记】对数函数及其性质
【教学目标】
1．知道同底的对数函数与指数函数互为反函数
2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。
【重点难点】
对数函数的性质的综合运用，反函数的意义
【教学过程】
一、情景设置
问题:用列表描点法在同一个直角坐标系中画出y=log2x与y=2x与x=log2y的函数图像。
二、探索研究
①通过图像探索在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，
x当成因变量，那么x是y的函数吗？
②如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。
③探索y=2x与x=log2y的图像间的关系。
④探索y=2x与y=log2x的图像间的关系。
⑤结合①与④推测函数y=ax与函数y=logax的关系。
三、教学精讲
共同讨论以上问题：
①指数函数y=2x在R上是单调
（增/减函数）。过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有
的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数。
②由指数式与对数式关系，由y=2x解得
。
③在同一个直角坐标系中，y=2x与x=log2y的图像完全重合。
④通过观察图像可知，y=2x与y=log2x的图像关于
⑤通过①与④类比，归纳知道，y=ax（a>0,且a≠1）的反函数是
，且他们的图像关于
对称。
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称
例1．求下列函数的反函数：
①y=2x+3
②y=
③y=（）x
④y=0.2x+1
例2．若y=log2(2-ax)在区间［0，1］上是减函数，则求a的取值范围。
例3．已知函数f(x)=log2[ax2+(a-1)x+]
(1)若定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若值域为R,求实数a的取值范围.
例4．试求：(1)满足不等式2(log2x)2+9log0.5x+9≤0的x的范围；
(2)当x在(1)中求得的范围内变动时，函数f(x)=
log2
log2的最大值和最小值。对数与对数运算
【教学目标】
1.理解对数的概念．
2.能正确进行指数式与对数式的互化。
【重点难点】
指数式与对数式的关系
【教学过程】
一、情景设置
问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过多少年以后人口数可达到18亿，20亿，30亿？
二、探索研究
①=1.01x,
=1.01x,
=1.01x,在这几个式子中x分别等于多少？
②你能否给出一个一般性的结论？
三、教学精讲
1.对数的定义:
①如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即__________，那么b叫做以a为底N的对数
（Logarithm）.记作____________.其中a叫做_____________,N叫做___________.
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0,a≠1时，ax=Nx=
logaN
②对数与指数幂的关系
a
b
N
运算
指数式
ab=N
由a,b求N(幂)
对数式
logaN=b
由a,N,求b(指数)
③说明:10零和负数没有对数,但对数可以是任意实数.
20对数式中各字母的范围:a>0且a≠1;N>0;b∈R.
2.对数的性质(对数恒等式):
①loga1=________
②logaa=_______
③alogaN=＿＿＿
④logaab=________
3.对数的两种常见形式:
①常用对数:__________________
_____.
②自然对数_____________________
.
例1.把下列指数式写成对数式：
①3x=81
②10x=25
③2-6=
④()m=5.73
例2.把下列对数式写成指数式：
①log8=-3
②lg2=0.3010
③ln10=2.303
④log2128=7
例3．①求下列各式中x的值：
log64x=-
；logx8=6；lg
100=x；-ln
e2=x；log2(log5x)=1；log3(lg
x)=0.
四、课堂练习
1.把下列指数式写成对数式：
①3n=27
②()x=
③=
eq
\f(1,)
④10-2=
2.把下列对数式写成指数式：
①log87=x
②lg0.01=-2
③log16=-4
④ln5=y
3.求下列式中的x的值:
①x=log
②log4x=-
③logx8=-3
④log3=1⑤log(3+2)=x
⑥5-1=x
五、本节小结
对数的定义、指数式与对数式的关系
【教学后记】对数函数及其性质
【教学目标】
1．掌握对数函数的定义、图象和性质.
2．会求简单对数函数(对数型函数)的定义域
【重点难点】
对数函数的定义、图象和性质．
【教学过程】
一、情景设置
问题:我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数,这个函数可用指数函数_____________表示.现在研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个，10万个，……细胞？那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是_______________.
二、探索研究
1．对数函数的定义：形如y=logax(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数.定义域是________.
思考：①为什么规定底数a>0,a≠1？
②如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出步骤
2．学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
画出函数的图象，结合图象研究函数的性质定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
三．教学精讲
对数函数的图象和性质
①在同一坐标系中画出下列函数的图象：
y=log2x
y=logx
②从画出的图象中你能发现函数y=log2x的图象和函数y=logx的图象有什么关系？可否
利用y=log2x的图象画出y=logx的图象？说明画法的理由。
观察y=log2x和y=logx的图象，可以得出对数函数y=ax在底数a>1及0这两种情况下的图象和性质：
y=logax(a>1)
y=logax(0图
象
性
质
①定义域:________②值域:_______③恒过定点_______即当x=1,y=0
在(0,+∞)上是__________函数.
在(0,+∞)上是__________函数.
logax
logax
例1．求下列函数的定义域
(1)y=logax2
(2)
y=loga(4-x)
例2．比较下列各组数的大小：
(1)log23.4,
log28.5;
(2)log0.31.8,
log0.32.7
(3)loga5.1,
loga5.9(a>0,且a≠1)
(4)
log43,
log34,
log
()
四．课堂练习
比较下列各组数的大小：(1)loga，logae(a>0,且a≠1)；(2)log2，log2(a2+a+1)(a∈R).
五、本节小结
对数函数的定义,图象和性质以及简单的对数函数(对数型函数)的定义域
【教学后记】幂函数
【教学目标】
1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；
2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；
3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．
【重点难点】
重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．
难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．
【教学过程】
情景设置
1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．
V=a3
②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．
a=
③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．
v=t1km/s
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，
你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
它们是否都为指数函数？(都为幂的形式，且变量都出现在底数上)
(都不是)
2．你能画出函数y=x，y=x2，y=，y=x1，y=x3的图象吗？
3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？
(第一象限一定有，第四象限一定没有，第二、三象限可能有，也可能没有，这时可通过幂函数的定义域和奇偶性来判断)
4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？
(1)它们的图象都过点(1,1)；
(2)
y=x，y=x3，y=x1是奇函数，y=x2是偶函数，y=是非奇非偶函数；
(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=都是增函数，y=x1是减函数；
(4)在第一象限内，y=x1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=向上凸．
二、教学精讲
例1．判断下列函数哪些是幂函数？
①y=0.2x；②y=2x2；③y=x2+x；④y=x3；⑤y=x3
①②③④都不是；⑤是
例2．已知y=(m2)+2n3是幂函数，求m，n的值．
解：由题意得解得
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(m=3,n=))为所求．
例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．
①y=；②y=x2；③y=
例4．比较下列各组数的大小：
①和；②，，
解：①
>；②<<
三、探索研究
四、课堂练习
若幂函数y=f(x)的图象过点(9,)，则f(25)的值是______．
作出函数y=的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质．
定义域(-∞,0)∪(0，+∞)；过定点(1,1)；偶函数；(0,+∞)上是增函数；
在第一象限内，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
比较大小
①,
②,,
解：①<
②<<
【教学后记】