函数与方程
【教学目标】
①让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法。
②了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
【重点难点】
用二分法求方程的近似解。
【教学过程】
一、情景设置
①有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好。
解：第一步，两端各放六个球，低的那一端一定有重球；
第二步，两端各放三个球，低的那一端一定有重球；
第三步，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球。
其实这就是一种二分法的思想。
②我们通过前面知道，函数f(x)=Inx+2x6在区间(2,3)内有零点，进一步的问题是，如何找出这个零点的近似解。
解：f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明在区间内有零点x0，取区间的中点，f(2.5)·f(3)<0，x0∈(2.5,3).重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小。这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值。
③什么叫二分法？见课本
④用二分法求函数零点的近似值的步骤是什么？见课本
二、教学精讲
例1．见课本90页例2
例2．借助计算机或计算器用二分法求方程Inx+x3=0的近似值（精确到0.1）
解：令f(x)=
Inx+x3,
f(2)<0,f(3)>0,取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
中点函数值
区间
2.5
f(2.5)>0
(2,2.5)
2.25
f(2.25)>0
(2,2.25)
2.125
f(2.125)<0
(2.125,2.25)
2.1875
f(2.1875)<0
(2.1875,
2.25)
2.21875
f(2.21875)>0
(2.1875,
2.21875)
由于区间(2.1875,
2.21875)的两个端点的精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程Inx+x3=0的近似值是2.2。
注：两种精确度的把握：
方程的近似解的精确度为ε，指所得到的满足|ab|<ε的解值区间(a,b)内所有值都可作为方程的近似值，这样的近似值有无穷多个；
方程的近似解精确到ε，是指所得到的解值区间(a,b)的a和b精确到ε的值都相同，且该值就是方程的惟一的近似值，但注意该值有可能不在该区间内．
三、探索研究
四、课堂练习
①见课本92页习题第4题。
②求函数f(x)=3x+在区间(0,1)内的零点（精确到0.1）.
取中点
中点函数值
区间
0.5
f(0.5)>0
(0,0.5)
0.25
f(0.25)<0
(0.25,0.5)
0.375
f(0.375)>0
(0.25,0.375)
0.3125
f(0.3125)>0
(0.25,0.3125)
由于区间(0.25,0.3125)的两个端点的精确到0.1的近似值都是0.3，所以函数f(x)=3x+在区间(0,1)内的零点是0.3。
【教学后记】函数模型及其应用
【教学目标】
函数模型及其进一步的应用
【重点难点】
恰当选择数学模型解决实际问题
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
例1．课本习题3．2A组第4题
例2．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0．5万元，但每生产一台，需要增加可变成本(即另增加投入)0．25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x(0≤x≤5)(单位：万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
把利润表示为年产量的函数；
年产量是多少时，工厂所得利润最大？
年产量是多少时，工厂才不亏本？
解：(1)利润
y=R(x)C(x)(固定成本+可变成本)=
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(0.5+4.75x
0≤x≤5,120.25x
x>5))
(2)若0≤x≤5，则y=0.5+4.75x=(x4.75)2+4.7520.5，
∴当x=5时，y有最大值10.75；
若x>5，则y=120.25x是减函数，∴当x=6时，y有最大值10.50．
综上可得，年产量为500台时，工厂所得利润最大．
当0≤x≤5时，由y≥0，即0.5+4.75x≥0，解得0
当x>5时，y≥0，即120.25x≥0，解得5综上可得，当年产量x满足1≤x≤48，x∈Z时，工厂不亏本．
例3．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似值满足如图所示曲线．
写出服药后y与t之间的函数关系；
据测定，每毫升血液中的含药量不少于4微克时
治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为
7:00，第二次应在什么时间服药效果最佳？
解：由题意得，当0≤t<0.5时，y=6；
当0.5≤t≤8时，函数图象是直线，则可设y=kx+b(k≠0)．
由图象得，解得
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(k=,b=))，即此时y=t+．
综上所得，y与t之间的函数关系为y=
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(6
0≤t<0.5,t+
0.5≤t≤8))．
(2)设在第一次服药t1小时后第二次服药，则t1+=4，解得t1=3，即第二次服药应在10:00．
三、探索研究
四、课堂练习
1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？
解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获y1元，在月末出售，可获利y2元，则
y1=15%+10%(x+15%x)=0.265x，y2=0.3x700．
当x>20000时，y2>y1；当x=20000时，y2y1；当x<20000时，y2∴当投资小于20000时，月初出售；当投资等于20000时，月初、月末出售均可；当投资大于20000时，月末出售．
2．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过
x块玻璃后强度为y．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)
通过
多少块玻璃后，光线减弱到原来的以下？(lg3≈0.4771)
解：(1)y=0.9xk(x∈N
)
(2)由题意：0.9xk<，∴0.9x<，两边取对数，xlg0.9
<0，
∴x>
eq
\f(lg,
lg0.9)=≈10.4，∴xmin=11．∴通过
11块玻璃后光线强度减弱到原来的以下．
小结：建立数学模型的要领可概括为：
收集数据，画图提出假设；
依据图表，理顺数量关系；
抓住关键，建立函数模型；
精确计算，求解数学问题；
回到实际，检验问题结果．
o
y
t
8
0.5
6
(小时)
(微克)函数模型及其应用
【教学目标】
①借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
②恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题。
【重点难点】
重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决一些实际问题。
【教学过程】
一、情景设置
①一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度。你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)=0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)=10n(cm),f(20)≈105cm,g(20)=2m.
②在同一坐标系中作出y=log2x,y=2x,y=
x2的图象。
③请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<
x2和log2x<
x2<2x成立的自变量的取值范围。
(2,4)
和(0,2)∪(4,+∞).
④由以上问题你能得出怎样结论？
y=2x的图象与y=
x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<
x2，有时x2<2x。但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道。
⑤你能得出更一般的结论吗？
见课本101页第1行至第12行．
二、教学精讲
例1．见课本104页练习第1题。
例2．见课本97页例2。
三、探索研究
四、课堂练习
（1）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30cm2;
③野生水葫芦从4cm2蔓延到12cm2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；
⑤野生水葫芦在第1期到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度。
哪些说法是正确的？
解：①说法正确。∵关系为指数函数
∴可设y=ax(a>0,a≠1).∴a1=2∴a=2
②说法正确∵25=32>30
③∵4=2x,x=2;
12=2x,x=log212≈3.6
3.62>1.5
∴说法不正确
④∵t1=1,t2=log23,t3=log26∴说法正确
⑤∵指数函数增加速度越来越快
∴说法不正确
(2)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台计算机．现有10台计算机被第一轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？
10204
=160万台
x
1
2
1
o
4
3
16
8
4
2
面积/m2
时间/月
y第三章
函数的应用
【知识建构】
【教学目标】
理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点；
巩固常见函数模型的应用．
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
已知m∈R，设P：x1和x2是方程x2ax2=0的两个根，不等式|m5|≤|x1x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范围．
解：由题意知x1+x2=a，x1x2=2，∴|
x1x2|==．
当a∈[1,2]时，的最小值为3，∴只需|m5|≤3，即2≤m≤8．
由已知得Q中，f(x)=3x2+2mx+m+的判别式△=4m212(m+)>0，∴m<1或m>4．
综上，要使P和Q同时成立，只需，解得m∈(4,8]
已知函数f(x)=3x+．
判断函数零点的个数；
找出零点所在区间．
解：(1)在同一坐标系中分别画出g(x)=3x，h(x)=的图象，由图象知，f(x)=3x+只有一个零点．
因为f(0)=1，f(1)=2.5，∴零点x∈(0,1)．
设函数f(x)=x3+3x5，其图象在(∞,+∞)上是连续不断的．
求值：f(0)=____，f(1)=____，f(2)=____，f(3)=____，所以f(x)在区间_______内存在零点x0；
用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度0.1)．
解：(1)f(0)=5，f(1)=1，f(2)=9，f(3)=31．
x0≈1.125(不唯一)．
某自来水厂的有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向
居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24．
从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最小水量是多少？
若蓄水池中的水量少于80吨时，就全出现供水紧张现象，请问，在一天24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解：设供水t小时，水池中存水y吨，则y=400+60t120=60()2+40(0≤t≤24)，当t=6时，ymax=40吨，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，？最小存水为40吨．
依条件知
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(60()2+40<80,
0≤t≤24))，解得故一天24小时内有8小时出现供水紧张．
三、探索研究
四、课堂练习
若函数f(x)满足f(3x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和．
16
2．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(ba=0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)，的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是_______．
10
【教学后记】
函数模型及其应用
函数与方程
函数的零点
函数的应用
定义
求法
方程f(x)=0的根叫函数f(x)的零点
二分法
每次一分为二逐步逼近的方法
解方程f(x)=0
几种不同增长的函数模型
y=logax(a>1)
越来越慢
y=xn(n>0)
较快
y=ax(a>1)
爆炸式
y=kx(k>0)
稳定
函数模型的应用举例
实际问题的函数刻划
用函数的观点看实际问题的
用函数模型解决问题
认定函数关系,通过研究函数性质解决问题的观点看实际问题的
函数建模案例
用数学思想方法、知识解决实际问题的过程函数与方程
【教学目标】
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
【重点难点】
①根据二次函数图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数；
②函数零点的概念；
③函数的零点与方程根的联系。
【教学过程】
一、情景设置
1．如何判断方程x22x3=0根的，个数并求其根？
法一：用及求根公式或因式分解；
法二：画出y=x22x3的图象，观察其与x轴交点的情况．
2．任给一个方程f(x)=0（不一定是一元二次方程），又如何判断其根的个数？
画出y=
f(x)的图象，观察其与x轴交点的个数．
3．什么是函数的零点？
对于函数f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
4．函数的零点与方程的根之间有什么关系？
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象x轴有交点函数y=f(x)有零点
5．怎样判断函数是否有零点？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是方程f(x)=0的根。
二、教学精讲
例1．①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围。0≤m<4
②已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m1有两个零点，求实数m的范围。
m<1且m≠1
例2．求函数f(x)=Inx+2x6的零点的个数。
法一：(课本88页例1)；
法二：分别作出y=
Inx和y=62x的图象，看两图象交点的个数。
例3．已知函数f(x)=|x22x3|a分别满足下列条件，求实数a的取值范围。
①函数有两个零点；
②函数有三个零点；
③函数有四个零点。
数形结合，分别作出y=|x22x3|和y=a的图象,看两图象交点的个数.
①a=0或a>4;②a=4;③0三、探索研究
四、课堂练习
①判断函数y=|x1|2零点的个数.
作出y=|x1|2的图象，两个零点.
②证明函数f(x)=x+3在(0,+∞)上恰有两个零点。
提示：f()=，f(1)=1，f(3)=
，∴f()f(1)<0，f(1)f(3)<0，
∴函数f(x)=x+3在(0,+∞)上有两个零点．
以下只要用单调性定义证明f(x)=x+3在(0,1)，(1,+∞)上分别单调即可．
五、本节小结
【教学后记】函数与方程
【教学目标】
进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律。
【重点难点】
较复杂的函数零点个数的研究。
【教学过程】
一、情景设置
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是方程f(x)=0的根。
二、教学精讲
例1．已知函数f(x)=x33x+4,
①证明函数y=f(x)在(1,+∞)上为增函数；
②证明方程f(x)=0没有大于1的根。
①用定义；②f(1)=2由①知x>1时f(x)>2>0
例2．若关于x的方程3x25x+a=0的一根在(2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围。
解：画出f(x)=
3x25x+a的图像，由题意得不等式组：12另解：画出f(x)=
3x25x和f(x)=a的图象使它们的交点一个在(2,0)内，另一个根在(1,3)内，由图像得12例3．已知函数f(x)=3x+
，
①判断函数零点的个数；
②找出零点所在区间．
略解：①分别作出y=3x与y=的图象，观察知，两图象有且只有一个交点．
②零点所在区间(0,1)
例4．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2，如图，
求证：b<0。
方法一：把零点代入，用表示。
f(x)=x(x1)(x2),当x<0时，
f(x)<0所以b<0
方法二：∵f(0)=f(1)=f(2)=0,∴f(x)=ax(x1)(x2).
当x>2时,f(x)>0所以a>0.
比较同次项
系数得b=3a,∴b<0.
三、探索研究
四、课堂练习
①函数y=ax22bx的一个零点为1，求函数y=bx2ax的零点．0、2.
作出y=|x1|2的图象，两个零点.
②若函数f(x)=2mx+4在[2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是（B
）．
A．[,4]
B．(∞,2]∪[1,+∞)
C．[1,2]
D．(2,1)
③若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围。
讨论a=0,a≠0.方法一根的分布；方法二韦达定理。0≤a≤.
提示：f()=，f(1)=1，f(3)=
，∴f()f(1)<0，f(1)f(3)<0，
∴函数f(x)=x+3在(0,+∞)上有两个零点．
以下只要用单调性定义证明f(x)=x+3在(0,1)，(1,+∞)上分别单调即可．
五、本节小结
【教学后记】
o
y
x
1
2
1
2
1
1函数模型及其应用
【教学目标】
①培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式。
②会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
【重点难点】
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题。
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
例1．①我市有甲乙两家乒乓球队俱乐部，两家设备和服务都好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家接月计算，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．
②A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知供电费与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月，把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
③分析以上实例属于哪种函数模型．
答案：
①f(x)=5x(15≤x≤40)
g(x)=
②y=5x2+(100x)2(10≤x≤90)
③分别属于一次函数模型，二次函数模型，分段函数模型。
例2．课本例6
例3．课本习题3．2A组6题．
三、探索研究
四、课堂练习
课本106页练习第2题
东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租金多少元？
解：设每床每夜应提高租金x元，则可租出(10010x)张客床，设可获利润y元，依题意有：
y=(10+2x)(10010x)=20(x)2+1125．
∵x∈N，x=2或3时，ymax=1120
当x=2时，需租出床80张；当x=3时，需租出床70张，∴x=3时的投资小于x=2时的投资．
小结：函数应用题的解法
阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句，同时，最好用表格或图形处理数据，便于寻找数量关系；
建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式；
合理求解纯数学问题；
解释并回答数学问题．
【教学后记】