§6 距离的计算
课时目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离．
1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝||＝________________.
2．点到直线距离的求法
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离．
d＝.
3．点到平面的距离的求法
设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.
一、选择题
1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A.
B．2
C.
D.
2．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为( )
A．2
B.
C.
D．3
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A.
B.
C.
D.
4.
如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A.
B.
C.
D．2
5.
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A.
B.
C.
D.
6．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.
B．1
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知夹在两平行平面α、β间的斜线段AB＝8
cm，CD＝12
cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α和β的距离为________．
8．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．
9．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
三、解答题
10．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离．
能力提升
12．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，
而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜
)．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
13.
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
求直线AD与平面PBC的距离．
1．点到直线的距离可以通过作垂线转化为两点间的距离，也可以利用向量形式的点到直线的距离公式计算．
2．求点到平面的距离的三种方法：
(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得．
(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离．
(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
§6 距离的计算
知识梳理
1.
作业设计
1．D 由题意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
PC＝||＝
＝.]
2．A 作AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥x轴交x轴于点F，则
＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
3．B 建立
如图所示坐标系，则＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，
∴cos
θ＝
＝＝，
∴sin
θ＝＝，
A到直线BE的距离d＝||sin
θ＝2×＝.]
4．B
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1,0,0)，D(0，－1，2)，
C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则
即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
5．B
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有
D1(0,0,1)，D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，
A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即
取x＝1，则n＝(1,0,1)
∴O到平面ABC1D1的距离为
d＝＝＝.]
6．D
如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，
B1B＝AB·tan
60°＝.所以AA1＝BB1＝.]
7.
cm
8.
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
9.
解析
如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，
∵M，A(1,0,0)，
∴＝(0,1，)，
∴点M到平面ACD1的距离为
d＝＝.
又，MN平面ACD1.
故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d＝.
10．解
如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
F(2,4,0)，G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
点B到平面EFG的距离为
d＝|||·cos〈，n〉|＝
＝＝.
11．解
如图，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，
C1(1,1,1)．直线A1C的方向向量＝(1,1，－1)．
点C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量＝(0,0,1)．
在上的投影＝.
∴点C1到直线A1C的距离
d＝＝＝.
12．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，
∵CM＝BN＝a(0
且四边形ABCD、ABEF为正方形，∴M(a,0,1－a)，N(a，a,0)，
∴＝(0，a，a－1)，
∴||＝.
(2)由(1)知|MN|＝，
所以，当a＝时，|MN|＝.即M、N分别移到AC、BF的中点时，|MN|的长最小，最小值为.
13．解 如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系．
设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，
E(，0，)．
因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，
·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，
即AE⊥BC，AE⊥DC.
又∵BC∩PC＝C，AE平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.第二章 空间向量与立体几何(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．空间四个点O、A、B、C，，，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面
2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
4．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是( )
A．0
B．2
C．4
D．6
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
12．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
13．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
14．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夹角为60°，则λ＝________.
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)
如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
17.
(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，点E是SC上的点，且SE＝λa
(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
18.(12分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
19．(12分)
如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
20.
(13分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PCD的距离．
21．(14分)如图，
四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
第二章 空间向量与立体几何(B)
1．B
2．C ＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
3．C ＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
由空间向量的基本定理知，x＝y＝.]
4．C
5．C ∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；
∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．]
6．C
7．B △BCD中，·＝(－)·(－)＝2>0.∴∠B为锐角，同理，∠C，∠D均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．]
8．C
建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，
＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.]
9．C ∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝时，·最小，这时Q.]
10．C
以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.]
11．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
12．2∶3∶(－4)
解析 ＝，
＝，
由a·＝0，a·＝0，得，
x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
13．60°或120°
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
14.
解析 ∵a＝(2,3，λ)，b＝，
∴a·b＝λ＋1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∴λ＝.
15.
解析
建立如图所示坐标系，则＝(－1,1，－2)，
＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
即异面直线AD和BC1所成角的大小为.
16．解 ∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
17．(1)证明 连结BD，AC，设BD与AC交于O.
由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O为BD中点，
∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.
又AE 面SAC，∴BD⊥AE.
(2)解 由(1)知BD⊥SO，
同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，
则OA＝，OB＝.
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝a，则A(a,0,0)，C(－a,0,0)，
S(0,0，a)．
∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量．
∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)．
设SA与平面BED所成角为α，
则sin
α＝＝＝，
即SA与平面BED所成的角为.
18．解 a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos
θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
19．解
以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中点M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，
所以·＝0，·＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝＝.
即二面角A—SC—B的余弦值为.
20．(1)证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依
题意可知A(0,0,0)，
B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,2)．
∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则
所以平面PCD的一个法向量为.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为＝(0,2,0)．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解 由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝.
∴＝＝，
∴点B到平面PCD的距离为.
21．(1)证明 连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D，C，
B，
＝，
＝，
∴·＝0.
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
(2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，
设所求二面角为θ，则cos
θ＝＝，
故所求二面角P—AC—D的大小为30°.
(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，
＝，
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝.
由·＝0，得t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.5.3 直线与平面的夹角
课时目标 1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角．
1．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是__________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．
2．直线和平面所成的角可以通过直线的____________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin
θ＝__________.
一、选择题
1．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2.
如图所示，四面体SABC中，·＝0，·＝0，·＝0，，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点．则BC与平面SAB的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．75°
3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．120°
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．以上均错
6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．90°
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.
如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.
三、解答题
10.
如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．
11.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
能力提升
12.
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．
13．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
直线与平面所成角的求法
(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin
θ＝|cos
φ|＝或cos
θ＝sin
φ.
5．3 直线与平面的夹角
知识梳理
1．射影 最小
2．方向向量 法向量 |cos
φ|
作业设计
1．C
2．B ∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即SB⊥SC，SA⊥SC，又SB∩SA＝S，
∴SC⊥平面SAB，∴∠SBC为BC与平面SAB的夹角．又∠SBC＝60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.]
3．B
4．A A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
则·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
也可由三垂线定理直接得MP⊥MN.]
5．B 当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．]
6．A
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P.
则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝.
∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.]
7.
解析 不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝，＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，
由解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin
θ＝|cos〈，n〉|＝.
8．30°
9.
解析 在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O，OB⊥AC，则OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1与平面AC1的夹角．
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B，
C1，
＝，＝.
cos〈，〉＝
＝＝＝.
∴〈，〉＝，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.
10．解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，
则B(3,0,0)，D.
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·
＝－＋4z＝0，z＝.
∴P.∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．
∵tan∠POB＝＝，
故OP与底面AOB所成角的正切值为.
11．解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sin
θ＝|cos
β|＝＝＝，
于是cos
θ＝＝.
12．(1)证明 依题设，M在以BD为直径的球面上，
则BM⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，
则PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
则AB⊥PD，又BM∩AB＝B.
因此有PD⊥平面ABM，又PD平面PCD.
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，
P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，
设平面ABM的一个法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥
可得
令z＝－1，则y＝1，即n＝(0,1，－1)．
设所求角为α，则sin
α＝＝，
故所求的角的正弦值为.
13.
(1)证明 设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因为·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)解 ＝(－，1,0)，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝＝＝，所以SN与平面CMN所成的角为45°.§2 空间向量的运算
课时目标 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直．
1．空间向量的加法
设a和b是空间两个向量，如图，过点O作＝a，＝b，则平行四边形的对角线OC对应的__________就是a与b的和，记作________．
2．空间向量的减法
a与b的差定义为__________，记作__________，其中－b是b的相反向量．
3．空间向量加减法的运算律
(1)结合律：(a＋b)＋c＝____________.
(2)交换律：a＋b＝__________.
4．数乘的定义
空间向量a与实数λ的乘积是一个______________，记作________．
(1)|λa|＝________.
(2)当________时，λa与a方向相同；当________时，λa与a方向相反；当________时，λa＝0.
(3)交换律：λa＝________(λ∈R)．
(4)分配律：λ(a＋b)＝__________.
(λ＋μ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
(5)结合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
5．空间两个向量a与b
(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________．
6．空间向量的数量积：空间两个向量a和b的数量积是________，等于______________，记作__________．
7．空间向量的数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝__________；
(2)分配律：a·(b＋c)＝__________；
(3)λ(a·b)＝____________
(λ∈R)．
8．利用空间向量的数量积得到的结论
(1)|a|＝____________；
(2)a⊥b____________；
(3)cos〈a，b〉＝____________
(a≠0，b≠0)．
一、选择题
1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是( )
A.
B.
C.
D.
2．四面体ABCD中，设M是CD的中点，则＋(＋)化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋＝0，则等于( )
A.
B.
C.
D．2
4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于( )
A．0
B.
C．－
D．－
6.
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6
B．6
C．12
D．144
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在正四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__________________(用a，b，c表示)．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.
如图，已知在空间四边形OABC中，||＝||，||＝||.求证：⊥.
11.
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：⊥.
能力提升
12．平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长(如图所示)；
(2)求与的夹角的余弦值．
1．空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的．
2．空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥ba·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos
θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
§2 空间向量的运算
知识梳理
1．向量 a＋b
2．a＋(－b) a－b
3．(1)a＋(b＋c) (2)b＋a
4．向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ＝0 (3)aλ (4)λa＋λb λa＋μa (5)λ(μa)
5．a＝λb
6．一个数 |a||b|cos〈a，b〉 a·b
7．(1)b·a (2)a·b＋a·c (3)(λa)·b
8．(1) (2)a·b＝0 (3)
作业设计
1．A
如图所示，
∵＝，－
＝－＝，
＋＝，
∴－＋＝.]
2．A
如图所示，
因(＋)＝，
所以＋(＋)
＝＋＝.]
3．C ∵D为BC边中点，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]
5．D ·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos
60°＋cos
60°－cos
60°－＝－.]
6．C ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，
∴||＝12.]
7.a＋b＋c
解析
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
8.
解析 |a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析 ①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．
10．证明 ∵||＝||，||＝||，
||＝||，∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
∴⊥.
11．证明 设＝a，＝b，
＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos
θ－|c||b|cos
θ＝0，
所以⊥.
12.
C 如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13．解 (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，
∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cos
θ＝
＝＝.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
课时目标 1.掌握空间向量的标准正交分解.2.了解空间向量基本定理．
1.
标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的________________i，j，k叫作标准正交基．
2．标准正交分解
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．
3．向量的坐标表示
在a的标准正交分解中三元有序实数____________叫做空间向量a的坐标，_
_____________叫作向量a的坐标表示．
4．向量坐标与投影
(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝______，a·j＝______，a·k＝______.把x，y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影．
(2)向量的坐标等于它在______________上的投影．
(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称______________________为向量a在向量b上的投影．
5．空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个__________的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得________________________．
空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是( )
A.
B.
C.
D.或
3．以下四个命题中，正确的是( )
A．若＝＋，则P、A、B三点共线
B．设向量a，b，c是空间一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．△ABC是直角三角形的充要条件是·＝0
4．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
5．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是( )
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
6．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．
8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.
9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.
三、解答题
10.
四棱锥P—OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD，求、的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13．已知e1，e2，e3是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．对于＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底a，b，c除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2 空间向量基本定理
知识梳理
1．单位向量
3．(x，y，z) a＝(x，y，z)
4．(1)x y z (2)坐标轴正方向
(3)a·b0＝|a|cos〈a，b〉
5．不共面 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
作业设计
1．C 命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C ∵＝(a－b)，与a、b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．]
3．B A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；
B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
则有方程组无解，即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．
D中，由·＝0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0，故D错．]
4．A 因为＝＝(＋)
＝＋×(＋)]
＝＋(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]
6．B ＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析 ∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴两式相加得2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析 ＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解 ＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解 由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.
由于e1，e2，e3不共面，
故得
①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，
则y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面．第二章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若a，b，c为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
A．－
B.
C.
D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不正确
8．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
A．19
B．－
C.
D.
9.
如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝______.
12．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________________．
13．如图所示，
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
15.
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ
，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
17．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，
－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
18.(12分)
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．
19．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
20.(13分)
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
21．(14分)
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第二章 空间向量与立体几何(A)
1．C 只有命题④正确．]
2．D
如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D ∵a∥b，∴存在实数λ，使，∴.]
4．C 设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C ∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，∴·＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
7．A ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
8．C ＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．]
9．C 如图所示，
作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.]
10．B
以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知＝(1,1,1)，＝，
故cos〈，〉＝，
从而sin〈，〉＝.]
11.
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
12．不等边的锐角三角形
解析 ＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3，1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，
||＝，||＝.
13.
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝(＋)·(＋)＝0＋·＋·＋0＝4×1×cos
120°＋1×4×cos
120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos
θ＝＝.
14.或
解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
15.
解析 因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos
θ.
所以||＝，
即AD的长为.
16．证明 以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，
|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
17．证明 因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(1)证明
如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得D(0,0,0)，
A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，
F(0,2,1)．
易知平面ACD1的一个法向量是＝(2,2,2)．
又∵＝(－1,2，－1)，由·＝－2＋4－2＝0，∴⊥.
又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.
(2)解 ∵＝(0,2,0)，
cos〈，〉＝＝＝.
19．证明 设＝a，＝b，＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos
θ－|c||b|cos
θ＝0，
所以C1C⊥BD.
20．解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
21．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.
易得＝，＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉
＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明 易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值为.章末总结
知识点一 空间向量的计算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1 沿着正四面体O—ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
知识点二 证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
例3
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.
例4 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
知识点三 空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．
知识点四 空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．
章末总结
重点解读
例1 解
如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos
60°＋6cos
60°＋12
cos
60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝
＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2 证明 (1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
则＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依题意得＝sin
60°＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
例4 证明
如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
由 .
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由 ，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．
则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．
∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
例6 (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)
如图，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中点，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，
＝(－1,1，－1)，＝(0,2，－2)．
设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有
令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.
∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即点P到平面MND的距离为.§4 用向量讨论垂直与平行
课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．
1．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l∥m___________________________________．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α____________________________________________．
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β__________________________________________．
2．空间中垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m______________________________________________________．
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α____________________________________．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β______________________________________________．
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )
A．(－9，－7,7)
B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7)
D．(－14，－19,31)
4.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
5．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
6.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．相交且垂直
D．以上都不是
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对．
9.
如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1
能力提升
12．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
13.
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
1．平行关系的常用证法
证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．
2．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§4 用向量讨论垂直与平行
知识梳理
1．(1)a∥b a＝λb ＝＝ (2)a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)u∥v u＝kv ＝＝(a2b2c2≠0)
2．(1)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)u∥v u＝λv ＝＝(a2b2c2≠0) (3)u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
作业设计
1．B ∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
2．C ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
3．B 设B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
4．B 可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系判断．]
5．C ∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，
∴AB⊥AC，且||≠||≠||，
∴△ABC为直角三角形．]
6．C 可以建立空间直角坐标系，通过与的关系判断．]
7．－8
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
8．0
解析 ∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①③④
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
10．证明 方法一 ∵＝，B1A1D，
∴B1C∥A1D，又A1D平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
方法二 ∵＝＋
＝＋＋＋＝＋.
∴，，共面．
又B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.
方法三
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则
得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，且B1C平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
11．解
如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，E，F，设M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.
12.
证明 如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
设D(0，a,0)，
则B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，则·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
13.
证明 (1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，BD，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
∴＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2.即PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
课时目标 1.了解空间向量的概念.2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念．
1．空间向量
(1)在空间中，既有________又有________的量，叫作空间向量．
(2)向量用小写字母表示，如：，或a，b.
也可用大写字母表示，如：，其中______叫做向量的起点，______叫做向量的终点．
(3)数学中所讨论的向量与向量的________无关，称之为自由向量．
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用________或______表示．
(5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a，b，在空间中任取点O，作＝a，＝b，则________叫作向量a，b的夹角，记作________．
(6)向量夹角的范围：
规定__________．
(7)特殊角：当〈a，b〉＝时，向量a与b________，记作__________；
当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b______，记作______．
2．向量、直线、平面
(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线________或______的非零向量，一条直线的方向向量有_______________________________个．
(2)
如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的____________，叫作平面α的法向量．
平面α有________个法向量，平面α的所有法向量都________．
(3)空间中，若一个向量所在直线__________一个平面，则称这个向量平行该平面．把________________的一组向量称为共面向量．
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．给出下列命题
①空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角；
②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；
③空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有(如，只记一次)( )
A．12条
B．16条
C．18条
D．24条
4.
如图所示，三棱锥A—BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋
B.＝－－
C.与同向
D.与同向
6．下列命题是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.
如图所示，两全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角，其中心分别是M，N，则直线MN的一个方向向量是________(要填不在直线MN上的向量)．
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是__________________．
9．给出下面命题：
①空间任意两个向量a，b一定是共面的．②a，b为空间两个向量，则|a|＝|b|a＝b.③若a∥b，则a与b所在直线平行．④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
其中假命题的序号是________．
三、解答题
10．判断以下命题的真假：
(1)|a|＝0的充要条件是a＝0；
(2)不相等的两个空间向量模必不相等；
(3)空间中任何两个向量一定共面；
(4)空间向量a，b夹角为锐角?cosa，b〉>0.
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中求下列向量的夹角：
(1)〈，〉；(2)〈，〉；
(3)〈，〉；(4)〈，〉．
能力提升
12.
如图所示，四棱锥D1—ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中点，求〈，〉．
13．四棱锥P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的法向量．
1．直线的方向向量和平面的法向量是两个重要的概念，在证明线面平行，线面垂直以及求线面的夹角时，有着广泛的应用．
2．两向量的夹角
对于两向量a、b的夹角〈a，b〉的理解，除〈a，b〉＝〈b，a〉外还应注意由于两向量的夹角的范围为0，π]，要注意〈，〉与〈－，〉，〈，－〉的区别和联系，即〈－，〉＝〈，－〉＝π－〈，〉．
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
知识梳理
1．(1)大小 方向 (2)A B (3)起点 (4)|| |a| (5)∠AOB 〈a，b〉 (6)0≤〈a，b〉≤π
(7)垂直 a⊥b 平行 a∥b
2．(1)平行 重合 无数个 (2)方向向量 无数 平行 (3)平行于 平行于同一平面
作业设计
1．D 共线的单位向量是相等向量或相反向量．]
2．A 3.A 4.C
5．D 由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]
6．D A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，
∴与共线，故∥正确．]
7.或
8.或
9．②③④
10．解 (1)真命题 (2)假命题 (3)真命题
(4)假命题
命题(4)，当〈a，b〉＝0时，cos〈a，b〉＝1>0，
但〈a，b〉不是锐角．
故命题(4)是假命题．
11．解
(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∴〈，〉＝.
(2)连结AD1，则AC＝CD1＝AD1，
故△ACD1为正三角形，∠ACD1＝，
∴〈，〉＝.
(3)连结A1C1，C1D，则＝，
且△A1C1D为正三角形．
∴∠C1A1D＝＝〈，〉＝〈，〉．
∴〈，〉＝.
(4)连结BD，则AC⊥BD，
又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BD1D，
∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈，〉＝.
12．解 取CD1的中点F，连接EF，DF，
则＝，
∴〈，〉＝〈，〉，
由AD＝DD1＝CD，
且D1D⊥AD，D1D⊥CD，
∴DE＝DF＝EF＝DD1，
∴△EFD为正三角形，
∠FED＝，
∴〈，〉＝〈，〉＝.
13.
解 (1)∵E、F分别是PC、PB的中点，
∴EFBC，又BCAD，∴EFAD，
取AD的中点M，连MF，则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD，
∵DE面PCD，∴DE⊥BC，
又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，
从而DE⊥面PBC，
∴是面PBC的一个法向量，
由(1)可知＝，
∴就是面PBC的一个法向量．3.3 空间向量运算的坐标表示
课时目标 1.理解空间向量坐标的概念.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
1．空间向量的直角坐标运算律
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝_____________________________；
(2)a－b＝_________________________________________；
(3)λa＝______________________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________________；
(5)a∥b
(6)a⊥b
2．几个重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝________________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝_________________，|b|＝＝________________________.
(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________＝____________________
(a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则||＝＝.
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A.＝(－1,2,1)
B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3)
D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1
B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1
B.
C.
D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.
B.
C．4
D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.
8．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为______．
三、解答题
9．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,
并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：⊥.
能力提升
12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求与所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
1．空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内，这样可以较方便的写出点的坐标．
3．3 空间向量运算的坐标表示
知识梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 终点 起点
(2)
(3)
作业设计
1．C
2．B ∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A 设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，
虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D ∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
(ka＋b)⊥(2a－b)，∴3(k－1)＋2k－4＝0.
∴k＝.]
5．A 设向量a、b的夹角为θ，
于是cos
θ＝＝，由此可得sin
θ＝.
所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.]
6．C ∵|b－a|＝＝
＝≥
＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析 ∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
9．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
10．解 (1)设M是线段AB的中点，
则＝(＋)＝(2，，3)，
所以线段AB的中点坐标是(2，，3)．
|AB|＝＝.
(2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则
＝，
化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
11．解
以C为原点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，得C(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)||＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos
x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明 ∵·
＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由题意得A(2,0,0)，
O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.
(2)由题意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴＝(x，y，－2)，
＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴||＝
＝.
即点O1到点D的距离为.