2.3 充要条件
课时目标
1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．
1．如果既有p q，又有q p，就记作__________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的____________________条件．
2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p和命题q互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设集合M＝{x|0
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用符号“ ”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；(2)a2c≠0________c≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)在1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
能力提升
12．已知P＝{x|a－413．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．判断条件p和结论q之间的关系，可以先尝试确定p、q间的推出关系．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
2．3 充要条件
知识梳理
1．pq 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A 对于“x>0”“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．B 因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
3．A 若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，因此m≤.
故m<是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．]
4．A 把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A l⊥αl⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B 当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)
8．(2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2(－a，－1)，∴－2>－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是－1,5]．
13．A 当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]第一章 常用逻辑用语(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．梯形是四边形
B．作直线AB
C．x是整数
D．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
4．已知命题p：任意x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：存在x∈R，sin
x－cos
x＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题
B．q是假命题
C．綈p是假命题
D．綈q是假命题
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
6．在△ABC中，“A>30°”是“sin
A>”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．“p或q”为真命题
B．“p且q”为假命题
C．“綈p且q”为真命题
D．“綈p或綈q”为真命题
9．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是( )
A．(－2,2)
B．(－2,2]
C．(－∞，2]
D．(－∞，－2)
10．已知命题p：存在x∈R，使tan
x＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________________________________________________________________________．
12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”
为_______________________________________．
14．若A：a∈R，|a|<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的________________条件．
15．下列四个命题中
①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；
③函数y＝的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正方形是矩形又是菱形；
(2)同弧所对的圆周角不相等；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
17．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
18.(12分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0
(m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
20.(13分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
21．(14分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
单元检测卷答案解析
第一章 常用逻辑用语(A)
1．A
2．A 因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]
3．C
4．D 2x2＋2x＋<0 (2x＋1)2<0，p为假；
sin
x－cos
x＝sin≤，故q为真．
∴綈q为假，故选D.]
5．B ①中有“且”；②中没有；③中有“或”．]
6．B 当A＝170°时，sin
170°＝sin
10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin
A> 30°30°，即“回得来”．]
7．A 綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x2，
即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴綈p 綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]
8．A 命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－19．B 注意二次项系数为零也可以．]
10．D ∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]
11．圆的切线到圆心的距离等于半径
12．－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得－3≤a<0；
∴－3≤a≤0.
13．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形
解析 本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
14．充分不必要
15．①②③
解析 ①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos
2kx，T＝＝π，k＝±1.
②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；
③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，ymin＝＋＝.
16．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．
(3)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
17．解 方法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
18．解 綈p：>2，解得x<－2，或x>10，
A＝{x|x<－2，或x>10}．
綈q：x2－2x＋1－m2>0，
解得x<1－m，或x>1＋m，
B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴BA，
即 m>9.
经验证，当m＝9时，也符合题意．
∴m≥9.
19．解 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根 ，
即k<－2.
所以其充要条件为k<－2.
20．解 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立 a＝0或 0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根 1－4a≥0 a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，
∴综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
21．解 假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，
x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则，
即得－∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
课时目标 1.理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
1．“p且q”的真假
(1)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p且q”是真命题；
(2)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________，新命题“p且q”就是假命题．
2．“p或q”的真假
(1)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________时，新命题“p或q”就是真命题；
(2)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p或q”是假命题．
3．逻辑联结词“非”
(1)一般地，对命题p加以________，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．
(2)“綈p”的真假
一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是__________，一个是__________．
一、选择题
1．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )
A．“p或q”为真，“綈q”为假
B．“p且q”为假，“綈p”为真
C．“p且q”为假，“綈p”为假
D．“綈q”为假，“p或q”为真
3．已知全集S＝R，A S，B S，若命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A. A
B.∈ SB
C. A∩B
D.∈( SA)∩( SB)
4．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )
A．p或q为真，p且q为真，綈p为假
B．p或q为真，p且q为假，綈p为真
C．p或q为假，p且q为假，綈p为假
D．p或q为真，p且q为假，綈p为假
5．设p、q是两个命题，则新命题“p或q为真，p且q为假”的充要条件是( )
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
6．下列命题中既是p且q形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)
8．若“x∈2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
9．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根．
11.已知p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负数根，q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
能力提升
12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝
的定义域是(－∞，－1]∪3，＋∞)，则( )
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p假q真
13．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p且q x∈A且x∈B x∈A∩B；p或q x∈A或x∈B x∈A∪B；綈p x A x∈ UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p且q才为真；当p、q有一个为真，p或q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．含有逻辑联结词的命题否定
“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB)”．
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
知识梳理
1．(1)真命题 (2)假命题
2．(1)真命题 (2)假命题
3．(1)否定
p 非p (2)真命题 假命题
作业设计
1．C ①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]
2．C
3．D ∵p：∈(A∪B)，∴綈p： (A∪B)，
即 A且 B，∴∈ SA且∈ SB，
故∈( SA)∩( SB)．]
4．D p为真，q为假，结合真值表可知，p或q为真，p且q为假綈p为假．]
5．C 因为p或q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．
又因为p且q为假，所以p、q必有一假，所以p、q中有且只有一个为假．]
6．D A中的命题是条件复合的简单命题，B中的命题是p或q型，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p且q型且是真命题．]
7．或 真
8．1,2)
解析 x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈1,2)．
9．(4，＋∞)
解析 由题意知：p为假命题，q为真命题．
当a>1时，由q为真命题得a>2；由p为假命题且画图可知：a>4.
当04.
10．解 (1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假q真，则“p或q”真，所以该命题是真命题．
11．解 p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负根
m>.
q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数0(1)若p真，q假，则m≥1.
(2)若p假，q真，则0综上，得m≥1或012．D 当a＝－2，b＝2时，从|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真．]
13．解 由x2－4ax＋3a2<0，得(x－a)(x－3a)<0.
又a>0.∴a则p：a0.
由得2因此q：2(1)当a＝1时，p：1若p且q为真，则p，q均为真．
∴1所以实数x的取值范围是2(2)由p是q的充分不必要条件，知q是p的充分不必要条件．
∴qp，且pq，∴03.
故实数a的取值范围是1知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p：－2例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5 设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－，＝<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥ba·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直ba·b≠0也为真．
例2 解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
例3 解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p：由ax2－x＋a>0恒成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝>1，则x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．2.1 充分条件
2.2 必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
1．“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作：p q，读作“p推出q”．此时我们称p是q的______________．
2．如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的__________．
一、选择题
1．“A＝B”是“sin
A＝sin
B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“k≠0”是“方程y＝kx＋b表示直线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0
B．a－b>0
C.>1
D.>－1
4．命题p：α是第二象限角；命题q：sin
α·tan
α<0，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．“lg
x>lg
y”是“>”的__________条件．
7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．
8．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．
三、解答题
9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
能力提升
11．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．
§2 充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
知识梳理
1．充分条件 2.必要条件
作业设计
1．A “A＝B”“sin
A＝sin
B”，反过来不对．]
2．B k＝0时，方程y＝kx＋b也表示直线．]
3．A a<0，b<0?a＋b<0，反之不对．]
4．A p：α是第二象限角语句q：sin
α·tan
α<0，反之不能成立．]
5．A
6．充分不必要
解析 由lg
x>lg
y，得x>y>0，
由>，得x>y≥0.
7．充分不必要
解析 ab≠0a≠0，所以是充分条件；
a≠0，b＝0ab＝0，不必要条件．
8．必要不充分
解析 命题q：α∥β命题p：a与b无公共点，反之不对．
9．解 由f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数，
得f(－x)＝ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1恒成立．
∴bx＝0对任意实数x恒成立，所以b＝0，
同理由b＝0也可以得出f(x)是偶函数．
故“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p既是q的充分条件，又是必要条件．
10．解 由(x－a)2<1，得a－1由x2－5x－24<0，得－3因为N是M的必要条件，所以，MN.
∴，∴－2≤a≤7.
故a的取值范围是－2,7]．
11．A 若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0，则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．]
12．解 由x2－4ax＋3a2<0，a<0，得3a由x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，
可得x<－4或x≥－2.
因为q是p的必要不充分条件，
所以或.
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
课时目标
1．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．
1．命题的定义
可以判断________、用________或________表述的语句叫作命题，其中______________的命题叫作真命题，______________的命题叫作假命题．
2．命题的结构
一般地，一个命题由________和________两部分组成．在数学中，通常把命题表示为“____________”的形式，其中______是条件，______是结论．
3．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
4．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．(填序号)
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是__________；逆命题是________________；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
能力提升
12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
13．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
1．由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．
2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．
3．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p则q”的命题，p是条件，q是结论．在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p则q”的形式，然后再进行判断．
4．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假；四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个，2个或4个．
课时作业答案解析
第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
知识梳理
1．真假 文字 符号 判断为真 判断为假
2．条件 结论 若p则q p q
3．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
4．(1)相同 (2)没有
作业设计
1．A ④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]
2．D A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
3．C 命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]
4．C
5．C 原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．③
解析 ③是真命题，①四条边相等的四边形也可以是菱形，②平行四边形不是梯形．
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．
11．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
12．B
13．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列命题不是“存在x0∈R，使x>3”成立的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x>3
B．有些x0∈R，使x>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x>3
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
5．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
6．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8．命题“存在x0∈R，使得x＋x0＋2≤0”是__________命题(用真或假填空)．
9．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．(填序号)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1x1x2；
(3)存在T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin
x|；
(4)存在x0∈R，使x＋1<0.
11.给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
能力提升
12．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
13．已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体 全部 全称量词
2．个别 一部分 存在量词
作业设计
1．C “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D “存在”是存在量词．]
3．C “任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，故选C.]
4．B
5．D 命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
6．C ①③④为特称命题，②为全称命题．]
7．(－∞，3]
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
8．假
9．①②③
解析 命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N+，都有an10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0
(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan
0＝tan
π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin
x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|12．C ∵x0满足方程2ax＋b＝0.
∴2ax0＋b＝0，x0＝－.
f(x)－f(x0)＝ax2＋bx＋c－(ax＋bx0＋c)
＝ax2＋bx－(ax＋bx0)，
其对应方程ax2＋bx－(ax＋bx0)＝0的根的判别式
Δ＝b2＋4a(ax＋bx0)
＝b2＋4a2·＋4ab(－)＝0.
∵a>0，∴f(x)≥f(x0)对任意x∈R恒成立，假命题为C.]
13．解 根据f(x)>0得lg>lg
1，
即x＋－2>1在x
∈2，＋∞)上恒成立，
分离系数，得a>－x2＋3x在x∈2，＋∞)上恒成立，
设f(x)＝－x2＋3x，则f(x)＝－2＋，
当x＝2时，f(x)max＝2，∴a>2；
故a的取值范围是(2，＋∞)．3.3 全称命题与特称命题的否定
课时目标 理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．
1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．
2．全称命题的否定是______________．
3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．
4．特称命题的否定是____________．
一、选择题
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( )
A．某些平行四边形不是矩形
B．任何平行四边形是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋1
998”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1
998
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋1
998
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1
998
D．以上都不对
5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
6．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为( )
A．任意四边形都没有外接圆
B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆
D．有的四边形有外接圆
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.
9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)存在x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
11．已知命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
能力提升
12．命题r：存在x∈R，使>0的否定为( )
A．对任意x∈R，<0
B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0
C．对任意x∈R，≤0
D．对任意x∈R，>0
全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．熟练掌握了以下常用词语的否定，对否定含量词的命题很有利．
关键词
否定词
关键词
否定词
等于
不等于
大于
不大于
能
不能
小于
不小于
至少有一个
一个都没有
至多有一个
至少有两个
都是
不都是
是
不是
没有
至少有一个
属于
不属于
3．3 全称命题与特称命题的否定
知识梳理
1．一个反例 2.特称命题 3.正确的 4.全称命题
作业设计
1．A 在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.]
2．C 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.]
3．C 要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．]
4．C 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
5．D 命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．]
6．C
7．存在一个向量与零向量不共线
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．存在x0∈R，使f(x0)10．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“存在x0∈Q，x＝5”是特称命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
11．解 因为命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”的否定形式为：
对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；
综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是－3，0]．
12．B 命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.]第一章 常用逻辑用语(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0
B．a＋b＝0
C．a＝b
D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b c>d”和“aA．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
3．在下列结论中，正确的是( )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则( )
A．p真q真
B．p假q真
C．p真q假
D．p假q假
6．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是( )
A．－B．－C．－3D．－17．“x＝2kπ＋
(k∈Z)”是“tan
x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
9．下列命题中为全称命题的是( )
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________________，这是__________命题．
13．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
14．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的____________条件．
15．给出下列四个命题：
①任意x∈R，x2＋2>0；
②任意x∈N，x4≥1；
③存在x∈Z，x3<1；
④存在x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为____________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
17．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
18.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈0，1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
20.(13分)下列三个不等式：
①>1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
21．(14分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
第一章 常用逻辑用语(B)
1．D 若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，
f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，
∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B 由a≥b c>d可得c≤d a3．B
4．B ∵a＝1且b＝2 a＋b＝3，
∴a＋b≠3 a≠1或b≠2.]
5．B 由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]
6．D
7．A tan＝tan
＝1，所以充分；
但反之不成立，如tan
＝1.]
8．A 举例：a＝1.2，b＝0.3，
则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]
9．C
10．D ∵“负数的平方是正数”即为任意x<0，
则x2>0，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝sin
2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
11．②④
解析 ①A∩B＝A A B但不能得出AB，
∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
13．(－∞，－1)
解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.
14．充分不必要
15．①③
16．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
17．解 (1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
18．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．解 |f(x)|≤1 －1≤f(x)≤1 －1≤ax2＋x≤1，x∈0,1]．①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
－2≤a≤0，
又a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是－2,0)．
20．解 对于①，>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．
则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a<－2或a>2}．
21．解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1.
综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.