一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中的真命题是( )
A．单位向量都相等
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠b
D．若|a|＝|b|，则a∥b
解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．
答案： C
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12)
B．0
C．－3
D．－11
解析： a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.
答案： C
3．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
解析： 因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
答案： B
4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A.
B.
C.
D.
解析： ＝(3，－4)，与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
答案： A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
解析： ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，
∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.
答案： C
6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析： ∵＝－＝(－2，－1)，
∴·＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴⊥.
又∵||≠||，
∴△ABC是直角非等腰三角形．
答案： C
7．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝( )
A.
B.
C.
D．±
解析： 由＝，且＝－，得λ＝.
答案： B
8．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析： 由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影为＝＝.
答案： A
9．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40
N
B．10N
C．20
N
D.
N
解析： 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20
N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10
N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10
N.
答案： B
10．设||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝x＋(1－x)，x∈[0，1]，则在上的投影的取值范围是( )
A．[0，1]
B．[1，7]
C．[7，9]
D．[9，21]
解析： 由＝x＋(1－x)，x∈[0，1]，可知B，D，E共线，且E点在线段BD上，如图所示．
因为E点在线段BD上，所以在上的投影d的取值范围是||≤d≤||.而||＝||·cos
60°＝2×＝1，||＝2||＝2(3－1)＝4，||＝||＋||＝4＋3＝7，所以d∈[1，7]，故选B.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析： (a＋b)(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
12．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
解析： |5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案： 7
13．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析： ＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝(1－λ)，则·的取值范围是________．
解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，C(1，1)．设Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1，0)，即m＝λ，n＝1.又B(2，0)，设P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0，1]．故·∈[0，2]．
答案： [0，2]
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
解析： 方法一 ∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2.
方法二 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2，3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3，
∴x1x2＋y1y2＝，
∴|3a＋b|＝
＝
＝2.
16．(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解析： (1)设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：连接OC.∵＝，＝，
∴＝3，∴∥.
又||≠||，||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
17．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，求当k为何值时，c⊥d.
解析： (1)c∥d，故c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)．
又a，b不共线，则解得
即c＝－d，
故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos
60°＝(k－1)a2＋a2.
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0.
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
18．(本小题满分14分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解析： ∵a＝(，－1)，b＝，
∴a·b＝×－1×＝0.
∵|a|＝＝2，
|b|＝
＝1，a·b＝0，
∴a⊥b.
∵x⊥y，∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0.
∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，有最小值－.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
解析： 3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)
＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案： D
2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案： D
3．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，D
B．A，B，C
C．A，B，D
D．A，C，D
解析： ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线．
答案： C
4．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D．3＋
解析： A中＋＋＝2，与不共线；
B中＋＋＝与不共线；
C中＋＋＝0，与共线．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析： 由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
解析： 4b－3a
6．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析： ①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案： ①②③
7．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析： 因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案： －1或3
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．计算：
(1)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)；
(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)．
解析： (1)原式＝a＋b＝0.
(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb
＝ma－nb.
9．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解析： ∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴ ∴
∴k＝－2.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量a，b满足：a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( )
A．(4，0)，(－2，6)
B．(－2，6)，(4，0)
C．(2，0)，(－1，3)
D．(－1，3)，(2，0)
解析： 2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(1，3)＋(3，－3)＝(4，0)，
∴a＝(2，0)．
b＝(a＋b)－a＝(1，3)－(2，0)＝(1－2，3－0)＝(－1，3)．
答案： C
2．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7)
B．(5，9)
C．(3，7)
D．(3，9)
解析： 因为2a＝(4，8)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5，7)．故选A.
答案： A
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1，2
解析： ∵c＝λ1a＋λ2b，
则有(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案： D
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )
A．(2，6)
B．(－2，6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
解析： 由题意有4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
所以d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋2＝________．
解析： ∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，
∴＝(2，3)，＝(－3，3)．
∴＋2＝(2，3)＋2(－3，3)＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．
答案： (－4，9)
6．(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析： 根据向量相等，先求m，n，再求m－n.
∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案： －3
7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式：________．
解析： 设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
∴解得
∴a＝e1＋e2.
答案： a＝e1＋e2
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．(2014·河南省新乡市高一期末)已知点A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D(x，y)，使＝.
解析： ＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．
由＝，得(1，2)＝(3－x，4－y)，
所以所以所以D(2，2)．
9．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析： (1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以
所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在菱形ABCD中，∠A＝，则与的夹角为( )
A. B.
C.
D.
解析： 由题意知AC平分∠BAD，∴与的夹角为.
答案： A
2．设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④与.
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析： 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
答案： B
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )
A.(a－b)
B.(a＋b)
C.(b－a)
D.b＋a
解析： 如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．
答案： B
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2)
B.(e1－e2)
C.(2e2－e1)
D.(e2－e1)
解析： 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析： ∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案： 3
6．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋(1－)e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________．
解析： 由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
答案： －2或
7．如下图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．
解析： 以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案： a＋b 2a＋c
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解析： ＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－＝
－b－(a－b)＝－a＋b.
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
9．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解析： (1)由＝＋可知M，B，C三点共线，
如图，令＝λ ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y ＝x＋，
＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线 .
能力测评
10．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析： 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
答案： A
11．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
解析： 设＝a，＝b，那么＝a＋b，＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，
∴λ＋μ＝.
答案：
12．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析： (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
13．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
解析： 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵点A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2，
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，
得解得
故＝，即AP∶PM＝4∶1.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析： 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq
\r(v2－2v·v1＋v)＝2(m/s)．
答案： B
2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
解析： 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案： B
3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
解析： ∵＝，＝(3，4)，∴＝，∴∥，即AB∥DC，又||＝＝，||＝＝5，∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
答案： A
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ∵＝－＝－，
∴＝＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．如图所示，在倾斜角为37°(sin
37°＝0.6)，高为2
m的斜面上，质量为5
kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8
m/s2)．
解析： 物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos
90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos
53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案： 0 98
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为________．
解析： 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10
N.
答案： 10
N
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时P点的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标是________．
解析： 由题意可知，5秒后＝(－10，10)＋5v＝(10，－5)，
即P点坐标(10，－5)．
答案： (10，－5)
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明： 以C为原点，CA所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，
D，C(0，0)，E.
因为＝，
＝.
所以·＝－a·a＋·a＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
9．某人在静水中游泳时，速度为8
km/h，如果河水流速为4
km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解析： 如图所示，设此人实际速度为，水流速度为，
∵实际速度＝游速＋水速，∴游速＝－＝，
在Rt△AOB中，||＝8，||＝4，
则||＝4，∠BAO＝60°.
故此人应沿与河岸夹角为60°逆着水流方向前进，实际前进速度大小为4
km/h.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析： 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
答案： C
2．如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析： 由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
答案： C
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析： 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
答案： B
4．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析： 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________．
解析： 由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析： 因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案： ③
7．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a与b方向相反；(4)|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
解析： 若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解析： (1)与向量相等的向量是；
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移．
解析： (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
解析： 只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案： A
2．(＋)＋(＋)＋等于( )
A.
B.
C.
D.
解析： 原式＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋0.
答案： C
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0a＝a
C.＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析： A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
答案： D
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
解析： 因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.＋＋＋＝________．
解析： ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
6．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为________．
解析： |a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案： 2
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是________．
①＝；②＋＝；③＋＝；④＋＝0.
解析： ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；＋≠，故③不正确；＋＝＋＝0，故④正确．
答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．化简：(1)＋；(2)＋＋.
解析： (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0，或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0.
9．如图，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解析： 如图，作 OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，
则表示物体的重力，
且||＝300
N.
∴||＝||cos
30°＝150(N)，
||＝||cos
60°＝150(N)．
∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
解析： ＝－＝－－＝－a－b.
答案： D
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0
B．1
C.
D．2
解析： |－|＝|＋|＝||＝1.
答案： B
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
解析： ＝＋＝－＝－＝－－.故选B.
答案： B
4．已知一点O到 ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
解析： 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；
②－(－a)＝a；
③＋＋＝0；
④a＋(－a)＝0，
其中正确的是________(填序号)．
解析： 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．
答案： ①②③④
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
解析： 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案： 0 2
7．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________．
解析： 根据题意画出图形，如下图，d－a＝－＝＋＝＝c；
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
答案： c b
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．化简：(1)－＋－；
(2)＋＋－.
解析： (1)－＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
9．如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解析： 由图可知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A.
B．3
C．－
D．－3
解析： 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
答案： D
2．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．10
解析： 由a⊥b得a·b＝0，
∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.
答案： B
3．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
解析： 2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案： D
4．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析： 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以解得故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知a＝(－1，3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________．
解析： ∵a＝(－1，3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3，3－2t)．∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1，2)，∴|b|＝＝.
答案：
6．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________．
解析： ∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cos
θ＝＝，∴θ＝.
答案：
7．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．
解析： 设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有，解得，故b＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析： (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解析： (1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(或|＋|＝＝
＝2)
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，
且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
能力测评
10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解析： 由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
答案： A
11．与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是________．
解析： 设满足题意的向量为e＝(x，y)，则联立可求．
答案： 或
12．已知向量a＝(－2，2)，b＝(5，k)．
(1)若a⊥b，求k的值；
(2)若|a＋b|不超过5，求k的取值范围．
解析： (1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
即(－2，2)·(5，k)＝0，(－2)×5＋2k＝0 k＝5.
(2)a＋b＝(3，2＋k)，∵|a＋b|≤5，
∴|a＋b|2＝32＋(2＋k)2≤25，得－6≤k≤2.
13．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析： (1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
解析： 根据A，B两点的坐标，可得＝(3，1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
答案： C
2．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
解析： 设C点坐标为(6，y)，则＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，因为A，B，C三点共线，所以＝，所以y＝－9.
答案： C
3．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3
B．2
C．4
D．－6
解析： 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
答案： D
4．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2
B．11
C．－2或11
D．2或－11
解析： ＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析： ∵向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案： 1
6．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．
解析： ＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案： 23
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析： ∵a＝(1，2)，b＝(－2，3)，∴a＋b＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，λa＋μb＝λ(1，2)＋μ(－2，3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案： λ＝μ
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析： (1)由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则∥，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴，∴，即C(5，－3)．
9．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y和λ的值．
解析： (1)设点B的坐标为(x1，y1)，因为＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)．
所以解得
所以点B(3，1)，同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(
x2，y2)，x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.
(2)＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
因为＝λ，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)．
即得.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
解析： 记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos
θ＝－12，即6×3cos
θ＝－12，所以cos
θ＝－，所以a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝6×＝－4.
答案： D
2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析： 因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，从而c·b＝c·a＝0.所以c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案： D
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－
B.
C．±
D．1
解析： ∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴12k－18＝0，k＝.
答案： B
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A.
B.
C.
D．4
解析： |a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos
60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．
解析： (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
答案： －7
6．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．
解析： 由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·
＝·(－)
＝·(－)
＝·＋－
＝||||cos
120°＋||2－||2
＝×2×1×＋×1－×22
＝－.
答案： －
7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析： ∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，
即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案： 120°
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析： ①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解析： (1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝.因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝，
所以cos
θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以sin
θ＝＝＝.
所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为.
能力测评
10．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1
B.
C.
D.
解析： ∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线．
∴a与c的夹角为60°或120°.
当θ＝60°时，|a＋c|＝
＝
＝
∴|a＋c|min＝1
当θ＝120°时，|a＋c|＝＝
∴|a＋c|min＝.
答案： D
11．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析： ·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos
45°＝×＝1.
答案： 1
12．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解析： (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，∴|a|·|b|cos
θ＝，
∴cos
θ＝，∵0°≤θ≤180°，∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos
θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
13．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析： (1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝－1.
又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos
θ＝－，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
