21.2降次---解一元二次方程教案（共11份）

21．2.5
分解因式法
课时安排
1课时
从容说课
分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．
这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．
由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．
通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．
课
题
§21．2.5
分解因式法
教学目标
(一)教学知识点
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
(二)能力训练要求
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．会用分解因式法(提公因式法、公式
法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．
教学重点
应用分解因式法解一元二次方程．
教学难点
形如“x2＝ax”的解法．
教学方法
启发引导式归纳教学法．
教具准备
投影片五张．
第一张：复习练习(记作投影片§2．4
A)
第二张：引例(记作投影片§2．4
B)
第三张；议一议(记作投影片§2．4C)
第四张：例题(记作投影片§2．4
D)
第五张：想一想(记作投影片§2．4
E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入新课
[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4
A)
解下列方程：
(1)x2-4＝0；
(2)x2-3x+1＝0；
(3)(x+1)2-25＝0；
(4)20x2+23x-7＝0．
[生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法
[师]可以呀．
[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，
我采用了开平方法，即
解：x2-4＝0，
移项，得x2＝4．
两边同时开平方，得
x＝±2．
∴x1＝2，x2=-2．
[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即
解：这里a＝1，b＝-3，c＝1．
b2-4ac＝(-3)2-4×1×1
＝5>0，
∴x=
∴x1=，x2=
[师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢
[生乙]我觉得配方法不如公式法简便．
[师]同学们的意见呢
[生齐声]同意乙同学的意见．
[师]很好，继续．
[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即
解：移项，得(x+1)2＝25．
两边同时开平方，得
x+1＝±5，
即x+1＝5，x+1＝-5．
∴x1=4，x2=-6
[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即
解：这里a＝20，b＝23，c＝-7，
b2-4ac＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，
∴x＝.
∴x1=
x2=-.
[师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．
公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．
用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2-4ac的值，然后求解．
一元二次方程是不是只有这三种解法呢 有没有其他的方法 今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．
Ⅱ．讲授新课
[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4
B)
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等，这个数是几 你是怎样求出来的
[师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．
[生甲]解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程
x2=3x．
然后我用公式法来求解的．
解：由方程x2＝3x，得
x2-3x=0．
这里a=1，b=-3，c＝0.
b2-4ac＝(-3)2-4×1×0
＝9>0．
所以x=
即x1=3，x2＝0．
因此这个数是0或3．
[生乙]我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．
解：把方程两边同时约去x，得x＝3．
所以这个数应该是3．
[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．
[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．
这个方程还有没有其他的解法呢
[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提
出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，
这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．
解：x2-3x＝0，
x(x-3)＝0，
于是x＝0，x-3＝0．
∴x1=0，x2=3
因此这个数是0或3．
[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗
[生齐声]行．
[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4
C)
a×b＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗
[生齐声]不行．
……
[师]那该如何表示呢
[师]好，这时我们可这样表示：
如果a×b=0，
那么a＝0或b＝0
这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．
所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.
我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a=0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．
接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4
D)
[例题]解下列方程：
(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．
[师]同学们能独自做出来吗
[生]能．
[师]好，开始．
[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．
解：原方程可变形为
5x2-4x＝0，
x(5x-4)=0，
x＝0或5x-4＝0．
∴x1=0，x2=．
[生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．
解：原方程可变形为
x-2-x(x-2)＝0，
(x-2)(1-x)＝0，
x-2＝0或1-x=0．
∴x1＝2，x2=1．
[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢
[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．
下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§
2．4
E)
你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗
[生丁]方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即
解：x2-4=0，
(x+2)(x-2)＝0，
∴x+2＝0或x-2=0．
∴x1=-2，x2=2．
[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即
解：(x+1)2-25＝0，
[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．
∴(x+1)+5＝0，
或(x+1)-5＝0．
∴x1=-6，x2=4．
[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．
好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P61随堂练习
1、2
1．解下列方程：
(1)(x+2)(x-4)＝0；
(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．
解：(1)由(x+2)(x-4)=0得
x+2＝0或x-4＝0。
∴x1=-2，x2=4．
(2)原方程可变形为
4x(2x+1)-3(2x+1)＝0，
(2x+1)(4x-3)＝0，
∴2x+1＝0或4x-3＝0．
∴x1=-,x2=.
2．一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．
解：设这个数为x，根据题意，得
2x2＝7x，
2x-7x＝0，
x(2x-7)=0．
∴x＝0或2x-7＝0．
∴x1=0，x2＝．
因此这个数等于0或．
(二)阅读课本P59～P61，然后小结．
Ⅳ．课时小结
我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P61习题2．7
1
(二)1.预习内容：P62～P64
2．预习提纲
如何列方程解应用题．
Ⅵ．活动与探究
1．用分解因式法解：(x-1)(x+3)＝12．
[过程]通过学生对这个题的探讨、研究来提高学生的解题能力，养成良好的思考问题的习惯．
[结果]
1．解：(x-1)(x+3)=12．
x2+2x-3＝12，
x2+2x-15＝0，
(x+5)(x-3)＝0．
∴x+5＝0或x-3=0．
∴x1=-5，x2=3．
板书设计
21.2．5
分解因式法
一、解方程x2＝3x．
解：由方程x2＝3x得
x2-3x=0，
即x(x-3)＝0．
于是x＝0或x-3＝0．
因此，x1＝0，x2＝3．
所以这个数是0或3．
二、例题
例：解下列方程；
(1)5x2＝4x；
(2)x-2＝x(x-2)．
三、想一想
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考例题
例1：用分解因式法解下列方程：
(1)(2x-5)2-2x+5=0；
(2)4(2x-1)2＝9(x+4)2．
分析：方程(1)的左边化为以(2x-5)为整体的形式，然后利用提取公因式来分解因式；方程(2)先移项，然后将(2x-1)和(x+4)看作整体，利用平方差公式分解因式．
解：(1)方程化为(2x-5)2-(2x-5)＝0，
(2x-5)[(2x-5)-1]＝0．
∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0．
∴x1＝，x2＝3．
(2)方程化为
4(2x-1)2-9(x+4)2＝0，
[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0．
∴2(2x-1)+3(x+4)＝0，
2(2x-1)-3(x+4)＝0．
∴x1＝-
，x2=14．2．3
公式法
课时安排
1课时
从容说课
公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程式化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．
本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．
公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．
因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．
第六课时
课
题
§
2.3
公式法
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
(二)能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习(记作投影片§2．3
A)
第二张：试一试(记作投影片§2．3B)
第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3
C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3
D)
第五张：例题(记作投影片§2．3
E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3
A)
1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．
[生甲]解：2x2-7x+3＝0，
两边都除以2，得x2-x+＝0．
移项，得；x2-x=-．
配方，得x2-x+(-)2＝-+(-)2．
两边分别开平方，得
x-＝±
即x-=或x-=-．
∴x1=3，x2=．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3
B)试一试，肯定行：
1．用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2+ax＝1；(2)x2+2bx+4ac＝0．
[生乙](1)解x2+ax＝1，
配方得x2+ax+()2＝1+()2，
(x+)2=．
两边都开平方，得
x+＝±，
即x+＝，x+=-.
∴x1=，
x2＝
[生丙](2)解x2-2bx+4ac＝0，
移项，得x2+2bx＝-4ac．
配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，
(x+b)2=b2-4ac．
两边同时开平方，得
x+b＝±，
即
x+b＝，x+b＝-
∴x1=-b+，x2＝-b-
[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b2-4ac．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac≥0时，才可以用开平方法解出x来．所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac≥0．
[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗
[生齐声]戊同学说得正确．因为负数没
有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac＝0
时，必须有条件：b2-4ac≥0，才有丁同学求
出的解．否则，这个方程就没有实数解．
[师]同学们理解得很正确，那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢
[生齐声]不用．
[师]那为什么呢
[生齐声]因为把方程x2+ax＝1配方变形为(x+)2=
，右边就是一个正数，所以就不必加条件了．
[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．
Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢
大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得
x2+
=0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，需要说明a≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，必须说明a≠0．
好，接下来该如何呢
[生丙]移项，得x2+
配方，得x2+,
(x+.
[师]这时，可以直接开平方求解吗
[生丁]不，还需要讨论．
因为a≠0，所以4a2>0．当b2-4ac≥0时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求≥0．因为4a2>0恒成立，所以只需b2-4ac是非负数即可．
因此，方程(x+)2＝的两边同时开方，得x+=±.
大家来想一想，讨论讨论：
±=±吗
……
[师]当b2-4ac≥0时，
x+=±=±
因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±
所以x+=±,
x=-±
=
好，我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3
C)
ax2+bx+c=0(a≠0)
x2+=0
x2+
x=
这样，我们就得到一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式：
x=
(b2-4ac≥0)，
即(出示投影片§2．3
D)
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0
(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
x=
[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving
by
formular)
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．
注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、
b、c时，需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3
E)
[例题]解方程x2-7x-18＝0．
分析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．
解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
＝121＞0，
∴x=,
却x1＝9，x2＝-2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．
[师生共析]其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根．
[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P57随堂练习
1、2
1．用公式法解下列方程：
(1)2x2-9x+8＝0；(2)9x2+6x+1＝0．
解：(1)这里a＝2，b＝-9，c＝8．
∵b2-4ac=(-9)2-4×2×8
＝17>0，
∴x=
目x1=
，x2＝
(2)这里a＝9，b＝6，c＝1．
∵b2-4ac＝62-4×9×1＝0，
∴x=
即x1＝x2=-,
2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：设中间的数为x，则另外两数为
x-2，x+2．根据题意，得
(x+2)2＝(x-2)2+x2．
整理，得x2-8x=0．
解这个方程，得
x1＝0，x2＝8．
因为直角三角形的边长为正数，所以x1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10．
(二)看课本P56～P57，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a≠0，b2-4ac≥0。以及由a≠0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P58习题2．6
1、2
(二)1．预习内容；P59～P61
2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
阅读材料：
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4＝0，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1＝y，则(x2-1)2＝y2，原方程化为y2-5y+4=0．
①
解得y1=4，y2＝1．
当y1＝4时，x2-1＝4，
∴x2＝5，∴x=±．
当y＝1时，x2-1＝1，
∴x2＝2，∴x=±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝-，
x3=
，x4=-.
解答问题：
(1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用
法达到了降次的目的，体现了
的数学思想．
(2)解方程x4-x2-6＝0．
[过程]通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
决问题的能力．
[结果]
解：(1)换元
转化
(2)设x2＝y，则x4=y2，
原方程可以化为y2-y-6＝0．
解得y1=3，y2＝-2．
当y1=3时，x2＝3，∴x＝±．
当y2＝-2时，x2=-2，此方程无实根．
∴原方程的解为x1＝，x2＝-．
板书设计
§
2．3
公式法
一、解：2x2-7x+3＝0，
两边都除以2，得
x2-=0．
移项，得
x2-.
配方，得
x2-
(x-.
两边分别开平方，得
x-,
即x-
或x-.
∴x1=3，x2=．
二、求根公式的推导
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业21.2.6
一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
（二）过程与方法
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
（三）情感、态度与价值观
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导．
2．教学难点：正确理解根与系数的关系．
3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
三、教学过程
（一）明确目标
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．
（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1
我们就可把它写成
x2+px+q=0．
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程2x2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k的值．
答：方程的另一根是-1/2,k的值7
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵
-4是方程2x2+kx-4=0的根，
∴
2×（-4）2＋k×（-4）-4＝0，∴
k＝7．
∴
原方程可变为2x2+7x-4=0
解此方程x=-4或x=1/2
答：方程的另一个跟为1/2,k的值为7.
学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
练习：教材P．34中2．
学习笔答、板书，评价，体会．
（四）总结、扩展
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、布置作业
1．教材P．33中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系．
五、板书设计
一元二次方程根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数关系
关系的推导
应用（1）验根
（1）……
……
（2）已知一根，求另一根
（2）……
……
六、教学反思
观察、归纳、证明是研究事物的科学方法此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程
a1的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
优点：教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.
缺点：本节课教学设计注重开发学生的思维能力,但是学生理解很好，掌握起来却很困难。教师在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，也就是在课堂45分钟内的内容准备一定要充分、简单，使学生有成功感。还应注意锻炼学生们的动手能力，课堂内有充足的练习时间。21.2.4
公式法
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教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
知识与技能
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
过程与方法
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=52
（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x2-x=-
配方，得：x2-x+（）2=-+（）2
（x-）2=
x-=±
x1=+==1
x2=-+==
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1=，x2=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=
x1=2，x2=-
（3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=
∴x1=，x2=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P12练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1
m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P17复习巩固5．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（）．
A．x1=，x2=
B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2=
D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4
B．-2
C．4或-2
D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
答案:
一、1．D
2．D
3．C
二、1．x=，b2-4ac≥0
2．4
3．-3
三、1．x==a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1=，x2=
∴x1+x2==-，
x1·x2=·=
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3．（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A
（2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=5021.2.6一元二次方程的根与系数关系
教学媒体
多媒体
教学目标
知识技能
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程方法
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感态度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
教学重点
一元二次方程的根与系数关系
教学难点
对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-
x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(
x1
+x2)x+
x1
x2=0与x2+px+
q=0对比,易知p=-(
x1
+x2)，
q=
x1
x2.
即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1
、x2.
的和与积.x2+3x+2=0；
x2+2x-3=0;
x2-6x+5=0;
x2-6x-15=03.
方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1
、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1
、x2.
的和与积.3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;
3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=
,c=
.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是
,k的值是
.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=
;
若两个根互为倒数，则q=
.分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.两个根均为负数的一元二次方程是(
)
A.4x2+21x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.7x2-12x+5=0
D.2x2+15x-8=0.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（
）A.4x2-3=0
B.-3x2+5x-4=0
C.0.5x2-4x-3=0
D.2x2+x-=0.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m
时方程有两个正根；当m
时方程有两个负根；当m
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x1
，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：；
；
；四、小结归纳本节课应掌握：1.
韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2.
运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.五、作业设
计必做：P17：7选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求的值.
教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.学生独自完成巩固上诉知识教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论学生独立解决，并交流先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教
学
反
思1.2.1
直接开平方法
教学目标：
1、知识与技能
①会用直接开平方法解形如的一元二次方程；
②理解配方法的思想，掌握用配方法解形如的一元二次方程;
③
能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
2、数学思考
通过利用平方根的意义解形如的方程，进而迁移到解形如的方程．
3、情感态度与价值观：
培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。
教学重点：
运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：
通过平方根的意义解形如的方程，进而迁移到形如的方程。
教学关键：
理解一元二次方程求解的策略是“降次──转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。
教学过程
内
容
教学方式与师生活动
过程反思
一．温故而知新你能想出下列方程的根呢？教师归纳：一般地,对于形如：的方程,根据平方根的定义,可解得，
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。二、巩固练习：1.（1）方程4x2－36=0
的根是
。（2）方程(3x－4)2=25的根是
。
（3）方程(x－3)2=7的根是
。三、合作探究能否把方程x2－6x＋2＝0变形为（
）2=a的形式（ａ为非负常数）？四、阶段汇总通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。呈现过程让学生感受：配方是为了降次
（二次方程转化到
一次方程）填空：(1)x2＋8x＋
=(x＋4)2(2)x2－4x＋
=(x－
)2(3)x2－___x＋
9
=(x－
)2五．例题讲解：解方程：x2+12x-15=0在学生的充分讨论后，教师引导：
x2+12x-15=0
a2
+
2
a
b+b2
=
(a+b)2 (x+6)2=51x+6=±
x1=
-6+
x2
=
-6-小结:配方的关键
配方时,当方程的二次项系数为1时，
等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方。六、现学现用：例2：用配方法解下列方程(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x阶段汇总：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.七、做一做:3
.用配方法解下列方程：（1）
x2＋12x
=－9（2）－x2＋4x－3=0（3）3x2
－
6x+4=0注:一元二次方程也有可能无实数根。4.试说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.八、谈谈你的收获:1.开平方法.2.配方法.配方的关键:
配方时,当方程的二次项系数为1时，
等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方3.体现的数学思想：降次（二次到一次） 转化（由未知转化到已知）4．用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;系数化为一：方程两边都除以二次项系数配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.九、承上启下:思考：对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？十、课外作业：课本42页第1题；课本42页第3题。
在引导学生复习了方程的相关知识，学生能根据平方根的意义，可以得到方程的解。它们一边是一个完全平方式，另一边是一个非负数，
形如：通过两边开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
学生通过比较，分析它们与方程x2=0.25的异同，从而获得求解一元二次方程的思路策略。利用类比思想解方程(3x－4)2=25和(x－3)2=7。通过实际方程的演练，让学生感受到配方法的存在。
在教师的引导下，学生总结出配方法的定义。利用前面的例题再次认识配方法的实际效果（降次）。学生口答方程具体的解答过程是：
x2+12x=15
x2+12x+62=15+62
x2+12x+62=51
(x+6)2=51
x+6=±x1=
-6+
x2
=
-6-学生独立完成教师和学生一起归纳出用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤。由学生独立完成，相互交流得失。通过学生对自己学习过程的回顾，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳设计这个思考题，希望学生能对配方法有个更深的体会，同时对后面的公式法有个初步的接触。
学生通过自主学习教材内容，尝试解决求方程，给学生充分探索的空间。教师就一元二次方程的有两个根进行说明启发学生观察方程的特点，体会解一元二次方程的降次思想，给出直接开平方法的概念。激发学生的求知欲，感受到问题和认知冲突的存在。
在教学中，先让学生独立解题，感受到解题的困难。然后引导学生通过观察上述方程中的特点,寻找解一元二次方程的新解法，培养学生的探索精神,并体会方程等价转化的数学思想.引导学生观察前后两方程的联系找到问题的突破口，依据完全平方式进行配方。给出完整的解法，让学生理解体会配方法理解配方法体现从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。让学生能解一次项系数分别为1和不是1时，一元二次方程的解法，巩固利用配方法解方程的基本技能，注意检查学生的掌握情况。通过学生自己归纳，巩固对配方法的掌握。用配方法解与方程相关的应用,提高学生的解题能力。通过学生自己的归纳，巩固对本课知识的掌握。通过教师的归纳让学生体会两个转化：一是降次的思想；二是等价转化的思想
思考题是为了检查学生对知识的灵活运用，同时也为下一节课做准备
2013-11-05 人教网
下载：一元二次方程根的判别式
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：
知识和技能：
　1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
　2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
　3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
过程和方法：
　1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
三、教学策略：
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：
序号
教师
学生
1
设置悬念
引发兴趣
争先恐后，欲解疑团
2
设计练习，创设情境
动手解题，亲身感知
3
启发引导，发现结论
观察分析、得出结论
4
引导学生，理论验证
阅读理解，自学教材
5
揭示定理内涵
加深认识理解
6
应用定理，解决问题
巩固应用，形成技能
7
归纳小结
整体把握
8
布置作业
巩固提高
四、教学流程：
<一>、设置悬念，引发兴趣：
【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。【学生】会争先恐后地编题考老师。
【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。
<二>设置练习，创设情境。【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）
(注：找三名学生板演，其余学生在位上做)【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。
【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。
<三>启发引导，发现结论：【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值——，为什么要这样做呢？【学生】会初步说出
的作用是：它能决定方程是否可解。【教师】（1）由此可见：在解
起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断
的根的情况，因此，我们把
叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。
【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：
的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。
<四>引导学生，理论验证：
【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？
请同学们认真阅读课本P39的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。
【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。
【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。
<五>揭示定理：【教师】（1）由此我们就得出了关于
若△＞0
则方程有两个不相等的实数根
若△
=0
则方程有两个相等的实数根
若△＜0则方程没有实数根
（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0
若方程有两个相等的实数根，
则△=0
若方程没有实数根，
则△＜0
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。重中之重
<六>应用定理，解决问题：【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。
例1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）
分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，
也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。
分析：我先提出两个问题：（1）是谁决定了方程有无实数根？
（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。
注意；例1，例2之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。③根据根的判别式定理，写出结论。（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。学生练习；
不解方程，判别下列方程根的情况
学以致
用【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。
注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。
注意：本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。
<七>归纳小结【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
判别式的情况根
的
情
况定
理
与
逆
定
理△＞0△＝0△＜0
【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。
<八>布置作业：
1、阅读课本P39的内容；
2、不解方程判定下列方程根的情况：
注
（第3、4题供学有余力的学生做）
【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。21.2.5
因式分解法
教学媒体
多媒体
教学目标
知识技能
1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.
过程方法
1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.
情感态度
积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.
教学重点
会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程
教学难点
将整理成一般形式的方程左边因式分解
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.二、探究新知1.因式分解x2-5x；；
2x(x-3)-5(x-3);
25y2-16；
x2+12x+36；4x2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根
：x(x-5)=0;
(x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2
=0;
(2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4.
试求下列方程的根4x2-11x
=0;
x(x-2)+
(x-2)=0;
(x-2)2
-(2x-4)=025y2-16=0;
(3x+1)2
-(2x-1)2
=0;
(2x-1)2
=(2-x)2x2+10x+25=0;
9x2-24x+16=0;5x2-2x-=
x2-2x+;
2x2+12x+18=0;分析：观察三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.中的方程结构较复杂，需要先整理.5.选用合适方法解方程
x2+x+=0；x2+x-2=0；(x-2)2
=2-x；2x2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程.
解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：已知（x+y）2
–x-y=0，求x+y的值．分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.下面一元二次方程解法中，正确的是（
）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x
两边同除以x，得x=1今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）四、小结归纳本节课应掌握：1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设
计必做：P14：1、2；P17:6
由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫学生根据
ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫学生直接利用2的结论完成3中解方程让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解
三组方程，之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
学生回顾因式分解知识为学习本节新知识作铺垫对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力通过学生亲自解方程的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳、比较方程的三种解法，进一步理解降次思想解方程让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习惯加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教
学
反
思§2．2
配方法
课时安排
3课时
从容说课
配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.
本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．
在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法．
配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征．
教学方法主要是学生自主探索、发现的方法．
课
题
§2．2.2
配方法
教学目标
(一)教学知识点
1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
(二)能力训练要求
1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法．
2．体会转化的数学思想方法．
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
(三)情感与价值观要求
通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．
教学重点
利用配方法解一元二次方程
教学难点
把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式．
教学方法
讲练结合法
教具准备
投影片六张：
第一张：问题(记作投影片§2．2．1
A)
第二张：议一议(记作投影片§
2．2．1
B)
—第三张：议一议(记作投影片§
2．2．1
C)
第四张：想一想(记作投影片§2．2．1
D)
第五张：做一做(记作投影片§2．2．1
E)
第六张：例题(记作投影片§2．2．1
F)
教学过程
Ⅰ．创设现实情景，引入新课
[师]前面我们曾学方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根 平方根有哪些性质
[生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．
[生乙]平方根有下列性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的．
(2)零的平方根是零．
(3)负数没有平方根．
[师]很好，那你能求出适合等式x2=4的x的值吗
[生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2．
[师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1
A)
如图，一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8
m，如果梯子的顶端下滑1
m，那么梯子的底端滑动多少米
[师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x2+12x-15＝0．上节课我们已求出了x的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗
……
这节课我们就来研究一元二次方程的解法．
Ⅱ．讲授新课
[师]我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程
[生甲]等式x2=4就是一元二次方程，
像这样类型的方程我们就能解.
[生乙]方程(x+3)2＝9，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6．
[师]乙同学分析得很好，大家听清楚了没有 ……好，下面大家看大屏幕(出示投影片§
2．2．1
B)
你会解下列一元二次方程吗 你是怎么做的
(1)x2＝5；
(2)3x2＝0；
(3)x2-4＝0；
(4)2x2-50＝0；
(5)(x+2)2＝5；
(6)(x-3)2＝6；
(7)2x2+50＝0．
[生甲]方程(1)的解为
，-，因为x是5的平方根．
方程(2)的解为0，因为方程3x2＝0可以化为x2＝0，即x是0的平方根．
[生乙]方程(3)可以通过移项化为方程
(1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根为2，-2．
方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即2x2＝50，然后再化为x2＝25，因此
方程(4)的根为5，-5．
[生丙]解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程
(1)，这样方程(5)和(6)即可求解．
方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为5，则x+2就等于
或-
，因此，x就等于-2+或-2-．
方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为6，则(x-3)就等于
或-
，因此，x等于
3+
或3-．
[生丁]方程(7)通过移项得2x2＝-50．
而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程．
[师]同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．其中适合方程(7)的实数x不存在，所以原方程无实数解．
从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根．
注意：
(1)方程3x2＝0有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0．这与一元一次方程3x=0有一个根x＝0是有区别的．
(2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0来表示．当a、c异号时，方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax2+c=0没有实数根．
好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片§2．2．1
C)。分组讨论讨论．
判断下列方程能否用开平方法来求解 如何解
(1)x2-4x+4＝2；
(2)x2+12x+36＝5．
[生甲]方程(1)能用开平方法求解．因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)2＝2．这样利用直接开平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-.
[生乙]方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)2=5．两边分别开平方，得x+6＝±，
即x1＝-6+，x2＝-6-
[师]很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢
[生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2＝n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．
[师]真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法．
下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片§2．2．1
D)
解方程x2+12x-15=0的困难在哪里 你能将方程x2+12x-15＝0转化成(x+m)2=n的形式吗
[生]解方程x2+12x-15＝0的困难就是：怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数．
[师]噢，那想一想完全平方式的特征是什么
[生]完全平方公式是:a2±2ab+b2＝(a±b)2
[师]好，下面大家来做一做．(出示投影片§2．2．1
E)
填上适当的数，使下列等式成立．
(1)x2+12x+
＝(x+6)2；
(2)x2-4x+
=(x-
)2；
(3)x2+8x+
＝(x+
)2．
[生甲](1)的左边应填上：36．
(2)的左边应填上4，右边填；2．
(3)的左边应填上16，右边填：4．
[生乙]老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半．是吗
[师]大家说呢
[生齐声]是．
[师]好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15＝0转化为(x+m)2＝n的形式．
[师生共析]x2+12x-15＝0，
可以先把常数项移到方程的右边，得
x2+12x＝15．
两边都加上62(一次项系数12的一半的平方)，得
x2+12x+62=15+62，
即(x+6)2＝51．
[师]接下来能否求出方程x2+12x-15＝0的精确值，即梯子底端滑动的距离呢
[生齐声]能，给方程两边开平方，得
x+6＝±，
即x+6＝或x+6＝-
所以x1＝-6+,2＝-6-．
[师]噢，所以梯子底端滑动了(-6+)m或(-6-)m．
[生]老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以x1是原问题的解，而x2不是．
[师]大家说，对吗
[生齐声]对．
[师]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原问题的解，所以应舍去．
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15＝0的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(Solving
by
completing
the
square)．
下面同学们来看一例题：(出示投影片§2．2．1
F)
[例题]解方程x2+8x-9＝0．
[师]大家能独立解这个方程吗
[生齐声]能．
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9．
两边都加上16，得
x2+8x+16＝9+16，
即(x+4)2=25．
开平方，得
x+4＝±5，
即x+4=5或x+4＝-5．
所以x1＝1，x2＝-9．
[师]很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．
注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n≥0时，方程有解；当n<0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解．
接下来，通过做练习来进一步巩固本节所学的内容．
Ⅲ．课堂练习
课本P49随堂练习
1
1．解下列方程
(1)x2-10x+25＝7；(2)x2+6x＝1．
解：(1)x2-10x+25＝7，
(x-5)2＝7，
x-5=±，
即x-5=或x-5=-，
所以x1＝5+，x2＝5-
(2)x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
(x+3)2＝10，
x+3＝±，
即x+3＝或x+3＝-．
所以x1＝-3+，x2＝-3-．
Ⅳ．课时小结
这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法．
(2)配方法．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P49习题2．3
1、2
(二)1．预习内容P49～P52
2．预习提纲
如何利用配方法解二次项系数不为1或一次项系数不为偶数的一元二次方程．
Ⅵ．活动与探究
1．解下列关于x的方程：
(1)＝1(a>0)；
(2)x2-a＝0(a≥0)；
(3)(x-a)2＝b2；
(4)(ax+c)2＝d(d≥0，a≠0)．
[过程]通过对本题的探究，让学生了解字母系数的一元二次方程的解法与数字系数的一元二次方程的解法一样，因为负数没有平方根，因此只有在判明了方程的两边均是非负数时，才能开平方．本题的(1)、(2)方程经过变形后，可得x2＝a，因为给了条件a＞0或d≥0，所以可以对a进行开平方；方程(3)中，两边都是完全平方式，可以同时开平方；方程(4)是给了条件d≥0，所以也可以直接开平方．
[结果]
解：(1)化简为x2=a．
因为a＞0，
所以两边同时开平方，得x＝±，
即x1=，x2＝-．
(2)化简为x2=a．
因为a≥0，
所以两边同时开平方，得x＝±，
即x1=，x2＝-．
(3)两边同时开平方，得
x-a=±，
即x-a＝b或x-a＝-b．
解关于x的方程，得
x1=a+b，x2=a-b．
(4)因为d≥0，
所以两边同时开平方，得ax+c＝±
即ax+c=或ax+c=，
又因为a≠0，
∴x1=
，x2=
注意：
若题目(4)中不给条件d≥0，则要分情况讨论如下：
①若d>0时，则有ax+c＝±，
得x1＝，x2＝
②若d＝0，则有ax+c＝0，
所以x1＝x2＝-.
③若d<0，则因为一个数的平方不可能
为负，所以本题无解．
板书设计21.2.2
配方法
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
知识与技能
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
过程与方法
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0
（3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：
x=（x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0
移项→
x=2-64x=-768
两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式
→
x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式→（x-32）2=256
降次→x-32=±16
即
x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．
学生活动：
例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x-18=-，x1≈34，x2≈2．
可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．
例2．解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0
（2）2x2-4x-1=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
解：（1）x2-2x=35
x2-2x+12=35+1
（x-1）2=36
x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．
（2）x2-2x-=0
x2-2x=
x2-2x+12=+1
（x-1）2=
x-1=±即x-1=，x-1=-
x1=1+，x2=1-
可以验证：x1=1+，x2=1-都是方程的根．
三、巩固练习
教材P6探究改为课堂练习，并说明理由．
教材P39练习1
、2．（1）、（2）．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
1．教材P17复习巩固2．
2．选用作业设计．21.2.1
直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
知识与技能
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
过程与方法
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
情感态度与价值观
历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 );经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 );经历设置丰富的问题情景,使学生
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )体会到建立数学
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )模型解决实际问题的过程,从而更好地理
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )解方程的意义和作用,激发学生
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的学习兴趣.
重、难点
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
老师点评：
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16
4；（2）4
2；
（3）（）2．
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得
x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，
那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
例1：解方程：x2+4x+4=1
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是
10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P6练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
六、布置作业
1．教材P16复习巩固1．
2．选用作业设计: