课件19张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第1课时 配方法——直接开
平方法解方程1课堂讲解形如x2=p(p≥0)型方程的解法
形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次思考：如何解一元二次方程．1知识点形如x2=p(p≥0)型方程的解法问 题（一）一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正
方体形状的盒子的全部外表面，你能算
出盒子的棱长吗？知1－导设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1500. ①
整理，得
x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即 x1=5, x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.知1－导知1－导当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)
有两个不等的实数根x1＝－ ，x2＝ ；当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝0；当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程(Ⅰ)无实数根．知1－讲解： 例1 用直接开平方法解方程 x2－81＝0. 移项得x2＝81.
根据平方的意义，得x＝±9，
即x1＝9，x2＝－9.移项，要变号开平方降次方程有两个不相等的实数根 用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知1－讲1 方程x2－3＝0的根是________.对于方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；
(3)若方程无实数根，则m________．知1－练下列方程中，没有实数根的是( )
A．2x＋3＝0 B．x2－1＝0
C. ＝1 D．x2＋x＋1＝0知1－练知1－练解下列方程：
（1）2x2-8=0
（2）9x2-5=3
（3）9x2+5=12知识点形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法
探究知2－导 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5?
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得 x＋3＝± ，
即 x＋3＝ ，或x＋3＝－ ，③
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
x1＝－3＋ ，x2＝－3－ .知2－导 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了． 例2 用直接开平方法解下列方程．
(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
(2)2y－3＝±4，于是y1＝ ，y2＝－ .
知2－讲知2－讲 解形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程时，先
将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一
次方程，再求解.1已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根知2－练2一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4 B．x－6＝－4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
一元二次方程(x－2)2＝1的根是( )
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3知2－练3知2－练解下列方程：
（1）（x ＋ 6）2－9=0
（2） 3（x－1）2－6=0
（3） x2－4x ＋ 4=5直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式；利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．课件18张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第2课时 配方法——配方法
解方程1课堂讲解二次三项式的配方
用配方法解一元二次方程2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2回顾旧知1知识点 二次三项式的配方知1－讲 例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．
(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2＋(________)x＋ 36＝[x＋(________)]2;
(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．255±12±629导引：配方就是要配成完全平方，根据完全平方
式的结构特征，当二次项系数为1时，常数
项是一次项系数一半的平方．知1－讲当二次项系数为1时，已知一次项的系数，
则常数项为一次项系数一半的平方；已知常
数项，则一次项系数为常数项的平方根的两
倍．注意有两个．
当二次项系数不为1时，则先化二次项系数
为1，然后再配方．1填空：
(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；
(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；
(4)x2－ x＋____＝(x－____)2.
将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9知1－练2对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是( )
A．非负数 B．正数
C．负数 D．无法确定
若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．以上都不对知1－练342知识点用配方法解一元二次方程知2－导x2＋6x＋4＝0(x＋3)2＝5这种方程怎样解？变形为的形式．(a为非负常数)变形为知2－导知2－讲解： 常数项移到“＝”右边例2 解方程：3x2－6x＋4＝0.移项，得 3x2－6x＝－4
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任 何实数时， (x－1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． 两边同时除以3两边同时加上二次项系数一半的平方例3 解下列方程．
(1)x2－8x＋1＝0；
(2)2x2＋1＝3x；
(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.知2－讲分析： 解： (1)移项，得
x2－8x＝－1.
配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15.
由此可得
知2－讲 (2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得 知2－讲知2－讲 —般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) 的形式，那么就有：
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．21用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的是( )
A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( )
A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4
C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4知2－练知2－练下列用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误
的步骤是( )
2x2－x＝6，①
，②
，③
④
A．① B．② C．③ D．④3知2－练4解下列方程：
(1)x2－x－ ＝0
(2)x(x＋4)＝8x＋12.直开平方法降次配方法转化课件23张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第3课时 公式法——一元二次
方程根的判别式1课堂讲解一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的类别
一元二次方程根的判别式的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，那么老师这里有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，同学们想知道老师是如何做到的吗？
这就是我们这节课要学习的内容.1知识点 一元二次方程根的判别式我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得
二次项系数化为1，得
知1－讲识点配方，得
即
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况:
(1)
(2)
(3) 知1－讲知1－讲 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac. 1方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，
a，b，c的值为( )
A．a＝4，b＝1，c＝5
B．a＝1，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝1，c＝－5
D．a＝4，b＝－5，c＝1知1－练2已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则
m的值为( )
A . B .
C . D . 知1－练2知识点一元二次方程根的类别知2－讲一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况：
当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ< 0时，方程无实数裉．例1 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) (2)
根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
(1)原方程化为:
知2－讲∴方程有两个相等的实数根导引：解：知2－讲∴ 方程有两个不相等的实数根(2)原方程化为:知2－讲判断方程根的情况的方法：
①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 左边
是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实
数根；
②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方
程有两 个不相等的实数根；
③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判
断根的情况．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定知2－练一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根知2－练知2－练3 利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)
(2)3知识点一元二次方程根的判别式的应用知3－讲例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x
＋9＝0有两个不相等的实数根？
导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程
的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出
以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．知3－讲解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.方程根的判别式
Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0，
∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．知2－讲方程有两个不相等的实数根，说明两点：
一是该方程是一元二次方程，即二次项系数不为零；
二是该方程的Δ>0.1若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实
数根，则a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a＞1
C．a≤1 D．a＜1知3－练2a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一根为0知3－练3若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )知3－练(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习
了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有
重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须
牢固掌握好它.
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般
当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根
的情况时，使用逆定理.(3) 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)课件20张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第4课时 公式法——公式法
解方程1课堂讲解一元二次方程的求根公式
求根公式的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项;
(2)二次项系数化为1;
(3)配方;
(4)开平方.回顾旧知1知识点一元二次方程的求根公式 我们知道，任意一个一元二次方程都可以
转化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
你能用配方法得出它的解吗？知1－导知1－讲解：1.化1:把二次项系数化为1；2.移项:把常数项移到方程
的右边；3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；4.变形:方程左分解因式，
右边合并同类项知1－讲当b2－4ac ≥0时，5.开方:根据平方根意义，方程两边开平方；6.求解:解一元二次方程；7.定解:写出原方程的解；一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)知1－导当b2－4ac ≥0时，它的根是：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.1方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为( )
A．3、1、4 B．3、－1、－4
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4
一元二次方程 中，b2－4ac的值应是( )
A．64 B．－64
C．32 D．－32知1－练23以 为根的一元二次方程可能
是( )
A．x2＋bx＋c＝0
B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0
D．x2－bx－c＝0知1－练2知识点求根公式的应用知2－讲 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直
接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出
根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．确定a，b，c的值时，要注意它们的符号.例1 用公式法解方程：x2－4x－7＝0； 知2－讲a＝1，b＝－4，c＝－7.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.
方程有两个不等的实数根解：即1.确定系数；2.计算Δ ；3.代入 ；4.定根 ；例2 用公式法解下列方程：
(1) 2x2－ ＋1＝0；
(2) 5x2－3x＝x＋1；
(3) x2＋17＝8x.知2－讲解：(1) a＝2，b＝ ，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根 (2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
即
知2－讲 (3)方程化为x2－8x＋17＝0.
a＝1，b＝－8，c＝17.
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.
方程无实数根．知2－讲 用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．1一元二次方程 的根是( )
A．
B．
C．
D． 知2－练2已知4个数据：－ ，2 ，a，b，其中a，
b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数
据的中位数是( )
A．1 B.
C．2 D.知2－练知2－练3解下列方程：
(1) x2＋x－6＝0；
(2)
(3) x(2x－4)＝5－8x.知2－练用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：(1) 把一元二次方程化为一般形式．
(2) 确定a，b，c的值．
(3) 计算b2－4ac的值．
(4) 当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，
求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程
无实数根．课件27张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第5课时 因式分解法1课堂讲解因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升解一元二次方程的基本思路是什么？
我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？回顾旧知降次配方法，求根公式法. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，
即 10x－4.9x2＝0. ①
思考：
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法
解方程①？1知识点因式分解法的依据 知1－讲观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？两个因式的积等于零至少有一个因式为零10x - 4.9x 2 = 0x1 = 0，x2 =x = 0或 10 - 4.9x = 0x(10 - 4.9x) = 0 因式分解法的依据：
如果a·b=0, 那么a=0或b=0．1我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想知1－练2用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0知1－练2知识点用因式分解法解方程知2－导思考：
解方程10x－4.9x2＝0.时，二次方程是如何
降为一次的？知2－讲 可以发现，上例解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；知2－讲解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1. 转化为两个一元一次方程例3 解方程：知2－讲移项、合并同类项，得
4x2－1＝0.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：
右化零，左分解，两因式，各求解.
2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”
写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并
没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了1解下列方程：
(1) x2＋x＝0； (2)
(3) 3x2－6x＝－3；
已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程
x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )
A．5 B．7 C．5或7 D．10知2－练2知2－练3△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是( )
A．10
B．12
C．6或10或12
D．6或8或10或123知识点用适当的方法解一元二次方程知3－讲1. 解一元二次方程的方法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.
2．解一元二次方程的基本思路是：
将二次方程化为一次方程，即降次．知3－讲3．解一元二次方程方法的选择顺序：
先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般不用配方法．（来自点拨）例3 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2－2x－3＝0；
(2)2x2－7x－6＝0；
(3)(x－1)2－3(x－1)＝0.
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法；
方程(3)选择因式分解法．知3－讲（来自点拨）知3－讲解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴Δ＝b2－4ac＝97>0，知3－讲 (3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
∴x1＝1，x2＝4.（来自点拨） 在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.1解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法知3－练2已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上．
①2(x－1)2＝6； ②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3； ④x2－2x－1＝0；
⑥x2－2x－99＝0.
(1) 直接开平方法：________；
(2) 配方法：____________；
(3) 公式法：____________；
(4) 因式分解法：________．知3－练解下列方程:
(1) 4x2－121＝0；
(2) 3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3) (x－4)2＝(5－2x)2.知3－练3归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)化方程为一般形式；
(2)将方程左边因式分解；
(3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．解一元二次方程方法的口诀
方程没有一次项，直接开方最理想；
如果缺少常数项，因式分解没商量；
b，c相等都为0，等根是0不要忘；
b，c同时不为0，因式分解或配方，
也可直接套公式，因题而异择良方．课件23张PPT。第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第6课时 一元二次方程根
与系数的关系1课堂讲解一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升写出一元二次方程的一般式：
2. 一元二次方程求根公式.复习提问ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？导入新知1知识点一元二次方程的根与系数的关系思考1 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为
x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之
间的关系吗？知1－导知1－导方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.（此讲解来源于教材）知识点 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？知1－导思考2知识点 由求根公式知知1－导知1－导方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．（此讲解来源于教材）识点知1－讲例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求
下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
1一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( )
A．0 B．2 C．－2 D．4知1－练23不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1)x2－3x＝15；
(2)3x2＋2＝1－4x；
(3)5x2－1＝4x2＋x；
(4)2x2－x＋2＝3x＋1.知1－练2知识点一元二次方程的根与系数的关系的应用知2－讲例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的
一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之
和可求出另一根，再运用两根之积求出常数
项中p的值．知2－讲解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.
又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1. 知1－导 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．1已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为( )
A．4，－2
B．－4，－2
C．4，2
D．－4，2知2－练2等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9 B．10
C．9或10 D．8或10知2－练3知2－练已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的
另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等
的实数根．知2－讲例3 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满
足x12＋x22＝4，则k的值为________．由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－
2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，
∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，
解得k＝1. 导引：k＝1知1－导 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．1若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为( )
A．－1或 B．－1
C. D．不存在知2－练（来自典中点）2已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为________．知2－练1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2
和系数a，b，c的关系：
2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及
未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根
的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积
求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
