课件18张PPT。第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 列一元二次方程解
实际应用问题1课堂讲解增长率问题
传播问题
计数问题
数字问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数. ③找等量关系
④列方程， ⑤解方程， ⑥答. 同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数
量关系的数学模型．本节继续讨论如何利用一元
二次方程解决实际问题．1知识点增长率问题知1－讲 增长率问题经常用公式 ，a为基
数, b为增长或下降后的数，x为增长率，“n”表
示 n次增长或下降.知1－讲例1 有雪融超市今年的营业额为280万元，计划后
年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的
百分率？答：平均每年的增长20%解：平均每年增长的百分率为x, 根据题意得：1＋x＝±1.2
x1＝－2.2(舍去) x2＝0.2知1－讲列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答．
一般情况下， “审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程．1某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315知1－练知2－讲例2 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人
患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 2知识点传播问题知2－讲审清题意设未知数列方程解方程验根作 答找出已知量、未知量解：设平均一个人传染了x个人．则第一轮后共有（1+x）个人患了流感，第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患了流感.依据题意得：1+x+x(1+x)=121.解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.平均一个人传染了10个人1早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝．在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7知2－练2某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多
少个有益菌？知2－练3知识点计数问题知3－讲例3 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两
队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请
多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，可得到
方程可化为x2－x－30=0
解得 x1=6, x2=－5 (舍去)
所以应邀请6个球队参加比赛.解：1某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环
形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比
赛，应邀请多少支球队参加比赛？知3－练4知识点数字问题知4－讲例4 有一个两位数等于其各位数字之积 的3倍，其
十位数字比个位数字小2，求这个两位数.解： 设这个两位数个位数字为x，则十位数字为
(x－2)，这个两位数字是[10 (x－2) + x].
根据题意，得10 (x－2) +x=3x (x－2)整理，
得3x2－17x+20=0
解得， x1=4, x2= (不合题意，舍去)
当x=4时，x－2=2，
∴这个两位数是24.(1)列一元二次方程解应用题时，求得的根还必须进行
验根，一看是否是所列方程的根，二看是否符合问
题的实际意义.如本题中解得x2= ，虽是一元二次
方程的解，但由于个位数字只能取整数，故x2= 这
一个根不符合实际意义，应舍去.
(2)本题采用了间接设元方式，可以使复杂的问题简单
化.21一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把这两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，求原两位数．知4－练两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤？
2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际
意义.
(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.课件15张PPT。第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时 建立一元二次方程
解营销问题1课堂讲解营销利润问题
营销策划问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二次方程解决与营销有关的问题.1知识点营销利润问题知1－讲例1 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产
1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的
进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，
生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成
本的年平均下降率较大？ 知1－讲 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本
的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)．
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降
率(百分数)．知1－讲设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种
药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为
5 000(1－x)2元，于是有
5 000(1－x)2＝3 000.
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均
下降率约为22.5%. 知1－讲乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.知1－讲思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降
额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
结论：甲乙两种药的平均下降率相同；
成本下降额较大的药品，它的成本下降
率不一定较大.不但要考虑它们的平均下降
额，而且要考虑它们的平均下降率.1某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315知1－练2某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )
A．25(1＋x)2＝82.75
B．25＋50x＝82.75
C．25＋25(1＋x)2＝82.75
D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75知1－练2知识点营销策划问题知2－讲 例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元, 按
每千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?知2－讲解： 设每千克核桃应降价x元,则每千克利润(60-40-x)
元,此时可销售(100+20× )千克 ，
根据题意,得 (60-40-x)(100+ 20× )=2240.
化简,得 x2-10x+24=0,
解得x1=4, x2=6
∴每千克核桃应降价4元或6元
∵要尽可能让利于顾客,
∴每千克核桃应降价6元.
此时,售价为60-6=54(元) , ×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售。知2－讲列一元二次方程解决利润问题的“一二三”
1.一个相等关系:单件利润×销售数量=总利润.
2.两个量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量.
3.三检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解
是否正确、作答前验根是否符合实际.1某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出
此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不
少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种
商品多少件？知2－练1. 平均变化率问题常列方程：a(1±x)n=b.
其中a为基数，x为平均增长（降低）率，
n为增长(降低)次数，b为增长(降低)后的量.
2. 解决利润问题常用的关系有：
（1）利润＝售价－进价．
（2）利润率＝ ×100% ＝ ×100%.
（3）售价＝进价(1＋利润率)．
（4）总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出．课件15张PPT。第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时 建立一元二次方程
解几何问题1课堂讲解规则图形的应用
不规则图形的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二次方程解决几何相关问题.1知识点规则图形的应用知1－讲例1 等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm,
下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含
x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积 公
式来建立方程求解.
解： 设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm,
下底为(x+20)cm.知1－讲 根据题意得
整理，得
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 )
答：这个梯形的高为8cm.知1－讲 利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.1某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2.求两条直角边的长．知1－练22知识点不规则图形的应用知2－讲如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所
占面积是封面面积的四分之—，
上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度
(结果保留小数点后一位)?例2 知2－讲分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩
形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长
和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边
衬与左、右边衬的宽度之比是
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7.知2－讲设上下边衬的宽为9x cm,左右边衬的宽
为7x cm,依题意得
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右边衬的宽均为 1.4 cm解：思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
知2－讲知2－讲 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解.1如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( )
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米知2－练2如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6知2－练求解面积问题的方法：
1. 规则图形，套用面积公式列方程
2. 不规则图形，采用割补的办法，使其成为规则图形，根据面积间的和、差关系求解课件14张PPT。第二十一章 一元二次方程第4课时 建立可化为一元二次方程的分
式方程解实际应用问题名师点金 可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．1应用营销问题某玩具店采购人员第一次用100元去采购某种玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)方法一：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具
(x－10)件，由题意得
整理得x2－110x＋3 000＝0.解得x1＝50，x2＝60.
经检验x1＝50，x2＝60都是原方程的解．
当x＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．解：方法二：设第一次采购玩具x件，则第二次采购玩具
(x＋10)件，由题意得
整理得x2－90x＋2 000＝0.
解得x1＝40，x2＝50.
经检验，x1＝40，x2＝50都是原方程的解．
第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；
第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，
他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150
元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，
乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高
0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，
结果乙种水果很快售完，甲种水果售出 时，出现
滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮
小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱
了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚
多少？设小明的爸爸购乙种水果x千克，则购甲种水果(x－10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克
元，乙种水果的批发价为每千克 元．根据题意得
整理得x2－110x＋3 000＝0.
解之得x1＝50，x2＝60.
经检验，x1＝50，x2＝60都是方程的根．
当x＝50时，乙种水果的批发价为每千克 ＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．解：当x＝60时，乙种水果的批发价为每千克 ＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克 ＝2(元)，也符合题意．
因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：
(50× ×2.8＋50× ×2.8× ＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．
∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．2行程问题应用3．穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的
经济文化生活．该铁路沿线甲、乙两城市相距480
km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4 h到达.
已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160
km/h.设普通列车的平均行驶速度为x km/h，依题
意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.B3工程问题应用4．施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考
期间需停工两天，实际每天施工量需比原计划多
50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多
少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方
程正确的是( )
A. B.
C. D.A由题意可知实际每天施工(x＋50)米，
∴原计划施工 天，实际施工 天，
∵原计划施工天数比实际施工天数多2天，
∴ 故选A.点拨：5．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工
程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费
用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项
维修工程，6天可以完成，共需工程费用385 200
元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用
5天，每天的工程费用甲队比乙队多4 000元．从
节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天完
成，根据题意，得
整理，得x2－7x－30＝0.
解得x1＝10，x2＝－3.
经检验，x1＝10，x2＝－3都是原方程的根，
但x2＝－3不合题意，舍去，此时x＋5＝15，
即单独做甲、乙两队分别需要10天、15天完成任务．解：设乙队每天工程费用为y元，则甲队每天工程费用
为(y＋4 000)元，根据题意，
得6(y＋y＋4 000)＝385 200.
解得y＝30 100.
∴y＋4 000＝34 100.
即甲、乙两队每天的工程费用分别为34 100元、
30 100元．
∵34 100×10＝341 000(元)，30 100×15＝451 500(元)，
∴从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．
