课件14张PPT。第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时 利用二次函数求几
何面积的最值问题1课堂讲解二次函数的最值
几何面积的最值2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．1知识点二次函数的最值问 题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？知1－导可以借助函数图象解决这个问题．画出函
数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．知1－导可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高
点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数
有最大值．
因此，当t＝ 时，h有最大值
也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.知1－导一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的
值为( )
A．2 B．4
C．－4 D．162 已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是( )
A．－1 B．2
C. D．3知1－练知1－练3 下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，
写出这些点的坐标：
(1) y＝－4x2＋3x；
(2) y＝3x2＋x＋6.2知识点几何面积的最值知2－导例1 总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S
随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，
场地的面积S最大？分析：先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大
的l值．知2－讲矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，
所以另一边长为 m．
场地的面积S＝l(30－l)，
即S＝－l2＋30l(0因此，当l＝ 时，
S有最大值
也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．解：知2－讲在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，
所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图
形的最大（小）面积的一般步骤：
（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求
问题相关的量.
（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.
（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，
注意自变量的取值范围.知2－练2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2
的长方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120 1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，
则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定3 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相
垂直，AC＋BD＝10.当AC，BD的长是多少时，
四边形ABCD的面积最大？知2－练1.怎样求二次函数的最大（小）值？
2.求几何图形面积的最值时都有哪些步骤？课件18张PPT。第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第2课时 利用二次函数求
实际中最值问题1课堂讲解用二次函数表示实际问题
用二次函数的最值解实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.1知识点用二次函数表示实际问题运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际上是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定基础.知1－讲知1－讲 例1 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日
租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增
加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各
项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y
元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为
______________________元(用含x的代数式表示)；
(2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之
间的函数关系式．(1 400－50x)(0≤x≤20)知1－讲(1)根据当全部未租出时，每辆租金为：400＋20
×50＝1 400(元)，得出公司每日租出x辆车时，
每辆车的日租金为：(1 400－50x)元；
(2)根据相等关系“日收益＝日租金收入－平均每
日各项支出”列出函数关系式即可．解：(2)根据题意得出：y＝x(－50x＋1 400)－4 800
＝－50x2＋1 400x－4800(0≤x≤20)． 导引：知1－讲 本题运用了建模思想，根据实际问题中数量间的相等关系建立函数模型，列二次函数关系式，列出函数关系式后要根据题中的隐含条件通过列不等式，求出自变量的取值范围.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．知1－练心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概
念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念
13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；
当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就
剩下31，则y与x 满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43知1－练2知识点用二次函数的最值解实际问题知2－讲例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出
300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1
元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期
可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，
如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先
来看涨价的情况．知2－讲(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变
化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时，
每星期少卖_____件，实际卖出__________件，销售额
为_________________元，买进商品需付____________
元．因此，所得利润
___________________________________，
即y＝－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30.
根据上面的函数，填空：
当x＝__时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价
__元，即定价___元时，利润最大，最大利润是______．10x(300－10x)(60＋x)(300－10x)40(300－10x)y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)55656250元怎样确定x的
取值范围?知2－讲(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨
论，自己写出答案．解：设降价x元时利润最大，
则每星期可多卖20x件,实际卖出（300+20x）件，
销售额为（60-x)（300+20x）元，买进商品需付
40（300+20x）元，
因此，得利润 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),
即y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20），
当x=2.5时，y最大，
也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，
即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.知2－讲由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知
道应如何定价能使利润最大了吗？定价为65元时，利润最大.知2－讲用二次函数解决最值问题的一般步骤：
(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的
实际意义，确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通
过配方法求出二次函数的最大值或最小值.某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x(棵)
之间的关系式．
(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量
最大？最大为多少个？知2－练知2－练某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，
经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足
关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额
最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若
以每件x元出售，可卖出(100－x)件,应如何定
价才能使利润最大？知2－练1.通过本节课的学习你有什么收获?
2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注
的？谈谈自己的看法.课件20张PPT。第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时 利用建立坐标系解“抛
物线”形问题1课堂讲解建立坐标系解抛物线型建筑问题
建立坐标系解抛物线形运动的最值问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.1知识点建立坐标系解抛物线型建筑问题我们先来学习利用二次函数.知1－导知1－讲如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的
坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函
数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物
线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．知1－讲设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－
这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x2.
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3.请你根据上面的
函数解析式求出这时的水面宽度．
当y=-3时,- x2=-3,解得x1= ,x2=- (舍去).
所以当水面下降1 m时，水面宽度为 m.
水面下降1 m，水面宽度增加________m.解决抛物线型建筑问题“三步骤”：
1.根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；
2.准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到
抛物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数
解析式；
3.应用所求解析式及性质解决问题.知1－讲河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，
建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系
式为y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4
m时，这时水面宽度AB 为( )
A．－20 m B．10 m
C．20 m D．－10 m知1－练2 如图是一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞
顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以
水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取
点A为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是
y＝－ (x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时
抛物线对应的函数解
析式是__________．知1－练2知识点建立坐标系解抛物线形运动的最值问题知2－导前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.知2－讲如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.
(1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式.
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说 明理由. (3)若球一定能越过球网,又不
出边界.则h的取值范围 是
多少?例1 知2－讲(1)利用h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,将点(0, 2)代入
解析式求出即可.
(2)利用当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45,
当y=0 时, - (x-6)2+2.6=0,分别得出结果.
(3)根据当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点
(0, 2), 以及当球刚能过网, 此时函数图象过(9, 2.43),抛物
线y=a(x-6)2+h 还过点(0, 2)时分别得出h的取值范围, 即
可得出答案.思路点拨：知2－讲(1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,
∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2),
∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - ,
故y与x的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6.
(2)当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45>2.43,
所以球能过球网;
当y=0时, - (x-6)2+2.6=0,
解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),
故会出界.解：知2－讲(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点
(0,2), 代入解析式得
此时二次函数解析式为y=- (x-6)2+ ,
此时球若不出边界，则h≥ ；
当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43),
抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得 知2－讲此时球要过网，则h≥ ,
故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥ .知2－讲解决抛物线型运动问题时,要会根据图的特点,
建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度
和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛
物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解
决问题. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水
平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标
系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x
(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米知2－练向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时
间与高度关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7秒与第
14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度
是最高的( )
A．第9.5秒 B．第10秒
C．第10.5秒 D．第11秒知2－练1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑
物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类
问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立
直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，
然后利用函数解析式解决问题．2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；
这类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物
体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想
方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立
直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求
出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数
的性质去分析、解决问题．
