课件30张PPT。第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系第1课时 点和圆的位置
关系 1课堂讲解点与圆的位置关系
确定圆的条件
三角形的外接圆
反证法2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得 荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？1知识点 点与圆的位置关系探究：
1. 请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观
察这些点和圆的位置关系.
2. 量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？知1－导知1－导设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右
端也可以推出左端. 例1 已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离d＝
OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝
4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三
点与⊙O的位置关系各是怎样的？
要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆
心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求
出相关点到圆心的距离． 知1－讲导引：解：如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴点P在⊙O上；
∵QD＝5 cm，
∴点Q在⊙O外；
∵RD＝3 cm，
∴点R在⊙O内．知1－讲知1－讲 判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的
距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关
系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅
助方法．1 (湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距
离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定知1－练2 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和
5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？知1－练2知识点 确定圆的条件知2－导过一个已知点A如何作圆？
过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？
可以作几个这样的圆？探 究（一）知2－导过已知两点A、B如何作圆？
圆心A、B两点的距离怎样？
能用式子表示吗？圆心在哪
里？过点A、B两点的圆有几
个？探 究（二）探 究（三）知2－导过同一平面内三个点情况会怎样呢？
1.不在同一直线上的三点A、B、C.
定理：过不在同一直线上
的三点确定一个圆.
2.过在同一直线上的三点A、
B、C可以作几个圆？
不能作出例2 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，
过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
在4个点中取3个点确定一个圆，关键是
这3个点要不在同一直线上，因此本题
的实质是在A，B，C中找2个点与点
D确定圆．根据题意得出：点D，A，B；点D，A，C；点
D，B，C可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3
个点，能画圆的个数是3.故选C.知2－讲C导引：知2－讲确定一个圆的条件：
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆知2－练已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆
有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知3－导3知识点三角形的外接圆试一试：
任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆.知3－导 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆
叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的
交点，叫做这个三角形的外心．例3 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O
的半径．知3－讲导引：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需
以AB为边与⊙O的半径(或直径)构成
等腰直角三角形，因此有两个切入点．
方法一：如图1，连接OA，OB，利用
圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出
半径；方法二：如图2，作直径AD，连接BD，利用同弧所对
的圆周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出
半径．知3－讲解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .图 1知3－讲方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径为r.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°，
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，
即42＋42＝(2r)2，
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .图 2知3－讲求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．1 下列说法中，正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆知3－练2 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这
样的工具找到圆形工件的圆心？知3－练4知识点 反证法知4－导思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三
点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那
么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又
在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与
l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.知4－导 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
例4 用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.
如图，我们要证明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2.
假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，
使∠EOB′=∠2.根据
“同位角相等，两直线平行”，可
得A′B′∥CD.这样，过点O就有
两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“过
直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.知4－讲 证明：知4－讲(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，
且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证
较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．
(2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归
纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，
是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与
已知事理(定义、公理、定理、已知条件)矛盾；最后说明假设
不成立，原结论成立．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”
时，首先应假设三角形中( )
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°知4－练2 用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，
且d＞r，则点P在⊙O的外部”，应先假设______________．1.点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心
的距离为d，则
2.过一点可以作无数个圆.
3.过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线
段的垂直平分线上.
4.过三点
5.反证法的证明思想：反设、归谬、结论.课件18张PPT。第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系第2课时 直线和圆的位置关系——
相交、相切、相离1课堂讲解直线与圆的位置关系的判定
直线与圆的位置关系的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由点组成的直线和圆的位置关系.1知识点直线与圆的位置关系的判定知1－导问 题（一）(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一
条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关
系？由此你能得出直线和
圆的位置关系吗？知1－导（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上
移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公
共点个数的变化情况吗？问 题（二）知1－导思考：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,在直线和圆的不同位置关系中，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？ 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC
＝4 cm，以点C为圆心，2 cm为半径作圆，则⊙C与AB
的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
导引：本例若通过看公共点的个数来判断，
作图稍有不准，就会产生误判，因此需通过比较圆心到
直线的距离与半径的大小来判断．如图，过点C作CH⊥
AB于点H，在Rt△CHB中，易得CH＝2 cm，即d＝r＝2
cm，所以⊙C与AB的位置关系是相切．知1－讲B知1－讲如果画图后直线和圆的位置关系不明显，一般不选用公共点个数来判断直线和圆的位置关系．应采用比较圆心到直线的距离与半径大小的方法来确定它们之间的位置关系；在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值，再通过比较大小确定其位置关系．1 在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，4为半
径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴相切，与y轴相交知1－练2 已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，
则直线l与⊙O的公共点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无法确定知1－练3圆的直径是13 cm,如果圆心与直线的距离分别是：
（1）4.5 cm；（2）6.5 cm；（3）8 cm.
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点． 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切． 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．2知识点 直线与圆的位置关系的性质知2－导知2－导1. 直线和圆相离→d＞r；
2. 直线和圆相切→d=r；
3. 直线和圆相交→d＜r. 例2 在Rt△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝
90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相
离，求r的取值范围．
⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相
切，因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.知2－讲 导引：知2－讲 如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
∴AB＝
又∵S△ABC＝ AB?CD= AC?BC,
∴CD＝2.4 cm.
∴r≥2.4 cm.解：知2－讲(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形
结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到
直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线和
圆的位置关系之间的相互转化．
(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法
求出．1 (中考·青岛)已知直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l
的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥6知2－练2 如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，若以P为圆
心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共点，则半径r的取值范
围是( )
A．r＝5 B．r＝
C. ≤r＜5 D．r＝ 或r＞53 (广州)已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切
线，则点O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3 C．5 D．10知2－练1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.
（1）从公共点数来判断；
（2）从d与r间的数量关系来判断.
2.直线和圆的位置关系的性质与判定：
（1）直线和圆相离 d＞r；
（2）直线和圆相切 d=r；
（3）直线和圆相交 d＜r.课件18张PPT。第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系第3课时 直线和圆的位置
关系——切线 1课堂讲解切线的判定
切线的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升前面我们学习了直线和圆的位置关系，那么回想一下直线和圆有哪些位置关系呢？回顾旧知1知识点切线的判定知1－导 如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 例1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
因为点C在圆上，所以连接OC，
证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，
只需证△OCD为直角三角形．知1－讲 导引：知1－讲证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．知1－讲切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的
切线.1 (张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且
OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位
置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能知1－练2 下列命题中，真命题是( )
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线知1－练3如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是
⊙O的切线.2知识点 切线的性质知2－导前面我们已学过的切线的性质有哪些？答：①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.切线还有什么性质？知2－导切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证
明AC是⊙O的切线，只要证
明由点O向AC所作的垂线段
OE是⊙O的半径就可以了.而OD是⊙O的半径，因
此需要证明OE=OD.知2－讲知2－讲证明：如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E，
连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.这样，AC经过⊙O
的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC
与⊙O相切.知2－讲切线的三条性质及辅助线的作法：
1.三条性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径；
（3）圆的切线垂直于过切点的半径.
2.辅助线的作法：
连切点、圆心，得垂直关系.1 (吉林)如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD
为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的
度数为( )
A．40° B．50° C．80° D．100°知2－练2 (厦门)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边
的中点，一个圆过点A，交AB边于点E，且与BC边相
切于点D，则该圆的圆心是( )
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点知2－练3 如图，AB是⊙O的直径，直线l1 , l2是⊙O的切线，
A,B是切点.l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结
论.
知2－练圆的切线切线的判定切线的性质定义法数量法d=r判定定理切线和圆只有一个公共点圆心到切线的距离等于半径圆的切线垂直于过切点的半径↗↗↗↘↘↘→→课件22张PPT。第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系第4课时 直线和圆的位置
关系——切线长 1课堂讲解切线长定理
三角形的内切圆
三角形的内心2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？1知识点切线长定理下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.知1－讲知1－讲如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.知1－讲由此得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是
AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点
D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则
△PDE的周长为______，∠DOE的度数为______． 知1－讲⌒660°知1－讲导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切
线长定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而
△PDE的周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线
长定理易得∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，
∴∠DOE＝ (∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由
∠APB＝60°得∠APO＝30°，又∵AO＝ ，
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝2 ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，
∠DOE＝ ∠AOB＝60°.
知1－讲 利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线
长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与
圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的
线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的
关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也
起到了很好的辅助作用．1 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径知1－练2 如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，
切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那
么弦AB的长是( )
A．4 B．8 C．4 D．8知1－练2知识点三角形的内切圆知2－导图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？知2－导如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点
I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I
到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC
的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆.例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,
E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.知2－讲解：设AF=x，则AE=x.
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
知2－讲求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则
它的内切圆半径是( )
A. B．1 C．2 D.知2－练2 (湖州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是
△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折
叠，使点D与点O重合，折痕为FG.点F，G分别在边AD，
BC上，连接OG，DG.若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，
则下列结论不成立的是( )
A．CD＋DF＝4
B．CD－DF＝
C．BC＋AB＝
D．BC－AB＝2知2－练知3－讲3知识点三角形的内心三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.例3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝
80°，则∠BOC的度数为( )
A．130°B．100°C．50°D．65°
导引：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝
×(180°－80°)＝50°，
∴∠BOC＝180°－50°＝130°.知3－讲A1 下列说法错误的是( )
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC知3－练2 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点
O是△ABC的内心.求∠BOC的度数.知3－练（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？
（2）圆的切线和切线长相同吗？
（3）什么是三角形的内切圆和内心？
