1.2
第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)
当堂检测
1．用配方法解方程2x2＋6＝7x时，配方后所得的方程为( )
A．(x－)2＝
B．(x＋)2＝
C．(x－)2＝
D．(x＋)2＝
2．用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以________．
3．用配方法将方程2x2＋x＝1变形为(x＋h)2＝k的形式是________．
4．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x－4＝0；
(2)2x2＋2x－1＝0.
课后训练
一、选择题
1．用配方法解方程2x2－4x＋3＝0，配方正确的是( )
A．2x2－4x＋4＝3＋4
B．2x2－4x＋4＝－3＋4
C．x2－2x＋1＝＋1
D．x2－2x＋1＝－＋1
2．把方程2x2－4x－1＝0化为(x＋m)2＝的形式，则m的值是( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
二、填空题
3．将方程2x2－4x－5＝0化成(x＋h)2＝k的形式为________________．
4．代数式－2x2－4x＋3的最大值是________．
三、解答题
5．用配方法解方程：
(1)2x2－7x＋6＝0； (2)2x(x－3)＝1；
(3)－x2－＝x;
(4)2x2＋4x＋6＝0.
6．已知关于x的方程5x2＋kx－10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k的值.
7．当x为何值时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数？
拓展题
阅读材料：
分解因式：x2＋2x－3.
解：x2＋2x－3
＝x2＋2x＋1－1－3
＝(x2＋2x＋1)－4
＝(x＋1)2－4
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)．
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫做配方法．
(1)用上述方法分解因式：m2－4mn＋3n2；
(2)无论m取何值，代数式m2－4m＋2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值．
答案及解析
当堂检测
1．A [解析]
移项，得2x2－7x＝－6，二次项系数化成1，得x2－x＝－3，配方，得x2－x＋＝－3＋，即(x－)2＝.故选A.
2．－3 [解析]
利用配方法解一元二次方程时，首先将方程的二次项系数化为1，此方程的二次项系数为－3，故解方程的第一步是在方程的两边同时除以－3.
3．(x＋)2＝ [解析]
∵2x2＋x＝1，∴x2＋x＝，∴x2＋x＋＝＋，∴(x＋)2＝.故答案为(x＋)2＝.
4．解：(1)移项，得x2－6x＝4，配方，得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝13，直接开平方，得x－3＝±，∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)方程变形，得x2＋x＝，配方，得x2＋x＋＝，即(x＋)2＝，直接开平方，得x＋＝±，解得x1＝－＋，x2＝－－.
课后训练
1．[解析]
D 方程两边都除以2，得x2－2x＋＝0，
移项，得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋1＝－＋1.
故选D.
2．[解析]
B ∵2x2－4x－1＝0，∴2x2－4x＝1，∴x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝＋1，∴(x－1)2＝，∴m＝－1.故选B.
3．[答案]
(x－1)2＝
[解析]
方程两边同除以2，得x2－2x－＝0，移项，得x2－2x＝，两边同时加上1可进行配方．
4．[答案]
5
[解析]
－2x2－4x＋3＝－2(x2＋2x)＋3＝－2(x2＋2x＋1－1)＋3＝－2(x＋1)2＋5.
5．[解析]
都先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．
解：(1)两边都除以2，得x2－x＋3＝0，
x2－x＋＝－3＋，
＝，x－＝±，
所以x1＝2，x2＝.
(2)整理，得2x2－6x－1＝0，
两边都除以2，得x2－3x－＝0，
x2－3x＋＝＋，
＝，x－＝±，
所以x1＝＋，x2＝－.
(3)移项，得－x2－x－＝0，
两边都乘－6，得x2＋3x＋2＝0，
x2＋3x＋＝－2＋，
＝，x＋＝±，
所以x1＝－1，x2＝－2.
(4)2x2＋4x＋6＝0，
x2＋2x＋3＝0，
x2＋2x＝－3，
x2＋2x＋1＝－3＋1，
(x＋1)2＝－2，
所以原方程无解．
6．解：把x＝－5代入方程5x2＋kx－10＝0，得
5×(－5)2－5k－10＝0，
解得k＝23.
∴5x2＋23x－10＝0.
两边都除以5，得x2＋x－2＝0，
配方，得x2＋x＋＝2＋，
＝，x＋＝±，
∴x1＝，x2＝－5.
∴方程的另一个根为.
7．[解析]
根据相反数的意义建立方程2x2＋7x－1＝－(x2－19)，再解这个方程求出x的值．
解：由题意，得2x2＋7x－1＝－(x2－19)，
整理，得3x2＋7x＝20.
两边都除以3，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋＝＋，
＝，
开平方，得x＋＝±，
所以x1＝－4，x2＝.
即当x＝－4或时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数．
【拓展题】
解：(1)m2－4mn＋3n2＝m2－4mn＋4n2－4n2＋3n2＝(m－2n)2－n2＝(m－n)(m－3n)．
(2)m2－4m＋2015＝m2－4m＋4＋2011＝(m－2)2＋2011，
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋2011≥2011.
∴当m＝2时，代数式m2－4m＋2015的值最小，最小值是2011.1.2 第4课时 用公式法解一元二次方程
当堂检测
1．用公式法解方程－x2＋3x＝1时，a，b，c的值依次为( )
A．－1，3，－1
B．1，－3，－1
C．－1，－3，－1
D．1，－3，－1
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )
A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0 C．b2－4ac＞0 D．b2－4ac＜0
3．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x1，2＝
B．x1，2＝
C．x1，2＝
D．x1，2＝
4．用公式法解下列方程．
(1)x2－x＝－2；
解：(1)方程整理，得________＝0，这里a＝________，b＝________，c＝________．
∵b2－4ac＝________＜0，∴方程________．
(2)x2－2x＝2x＋1.
解：方程整理，得________，
这里a＝________，b＝________，c＝________．
∵b2－4ac＝________，∴x＝________＝________，
∴x1＝________，x2＝________．
课后训练
一、选择题
1．方程3x2－2＝x中，a，b，c的值分别是( )
A．3，－2，1
B．3，－1，2
C．3，－1，－2
D．3，1，2
2．一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是( )
A．1＋
B.
C.
D.
3．一元二次方程x2＋2
x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝3
二、填空题
4．方程2x2－3x＝4中，a＝______，b＝______，c＝______.
5．方程2x2＋3x－2＝0中，b2－4ac＝________．
6．方程2x2＋5x－3＝0的解是______________．
7．写出以x＝为根的一个一元二次方程为________________．
三、解答题
8．用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)t2＝2t－1；
(3)3y2＋1＝2
y;
(4)5x2－
x－6＝0.
9．用两种方法解方程：2x2－8x－1＝0.
10．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
拓展题：阅读理解：
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x＝.方程y2＋by＋ac＝0的根是x＝.因此，要求方程ax2＋bx＋c(a≠0)的根，只要求出方程y2＋by＋ac＝0的根，再除以a就可以了．
举例：解方程：72x2＋8x＋＝0.
解：先解方程y2＋8y＋72×＝0，得
y1＝－2，y2＝－6，
∴方程72x2＋8x＋＝0的两根是x1＝，x2＝，
即x1＝－，x2＝－.
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程：49x2＋6x－＝0.
答案及解析
当堂检测
1．A [解析]
∵－x2＋3x＝1，∴－x2＋3x－1＝0，∴a＝－1，b＝3，c＝－1.故选A.
2．A
3．D [解析]
∵3x2＋4＝12x，∴3x2－12x＋4＝0，∴a＝3，b＝－12，c＝4，
x1，2＝.故选D.
4．(1)x2－x＋2 1 －1 2 －7 无解
(2)x2－4x－1＝0 1 －4 －1 20 2± 2＋ 2－
课后训练
1．[解析]
C 方程3x2－2＝x可化为3x2－x－2＝0.
2．[解析]
B ∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴x＝＝，
∴一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是.
故选B.
3．[解析]
C ∵a＝1，b＝2
，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×(－6)＝32，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝－3
.故选C.
4．[答案]
2 －3 －4
5．[答案]
25
6．[答案]
x1＝，x2＝－3
[解析]
运用公式法，∵a＝2，b＝5，c＝－3，b2－4ac＝49，
∴x1＝
＝＝，
x2＝＝＝－3.
7．[答案]
x2＋5x＋5＝0(答案不唯一)
8．解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝＝，
∴x＝－2±
，
即x1＝－2＋
，x2＝－2－
.
(2)整理，得2t2－6t＋3＝0.
∵a＝2，b＝－6，c＝3，
b2－4ac＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，
∴t＝＝，
即t1＝，t2＝.
(3)移项，得3y2－2
y＋1＝0.
∵a＝3，b＝－2
，c＝1，
b2－4ac＝(－2
)2－4×3×1＝0，
∴y＝，
即y1＝y2＝.
(4)∵a＝5，b＝－
，c＝－6，
b2－4ac＝5－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝－.
9．解：方法1：方程变形，得x2－4x＝，
配方，得x2－4x＋4＝，
即(x－2)2＝，
开方，得x－2＝±，
解得x1＝，x2＝.
方法2：∵a＝2，b＝－8，c＝－1，
b－4ac＝64＋8＝72，
∴x＝＝，
解得x1＝，x2＝.
10．[解析]
(1)利用求根公式x＝解方程；
(2)利用(1)中x的值来确定m的值．
解：(1)根据题意，得m≠1.
∵a＝m－1，b＝－2m，c＝m＋1，
b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
∴x1＝＝，
x2＝＝1.
(2)由(1)知，x1＝＝1＋.
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m－1＝1或m－1＝2，
解得m＝2或3.
即当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
【拓展题】
解：先解方程y2＋6y－49×＝0，
即y2＋6y－7＝0，
解得y1＝1，y2＝－7，
∴方程49x2＋6x－＝0的两根是x1＝，x2＝－.1.2
第2课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)
当堂检测
1．用配方法解方程x2－5x＝4，应把方程的两边同时( )
A．加上
B．加上
C．减去
D．减去
2．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )
A.＝－4＋36
B.＝4＋36
C.＝－4＋9
D.＝4＋9
3．将下列各式配方：
(1)x2－4x＋(________)＝(x－________)2；
(2)x2＋12x＋(________)＝(x＋________)2；
(3)x2－x＋(________)＝(x－________)2；
(4)x2＋2
x＋(________)＝(x＋________)2.
4．把方程x2－12x－3＝0化为(x＋m)2＝n(其中m，n为常数)的形式后为________．
5．用配方法解方程x2－2x－2＝0.
解：移项，得____________，
配方，得________，即________，
开方，得________．
解得x1＝________，x2＝________．
课后训练
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程x2＋x＝－2，下一步骤配方正确的是( )
A．x2＋x＋12＝－2＋12
B．x2＋x＋22＝－2＋22
C．x2＋x＋()2＝－2＋()2
D．x2＋x＋9＝－2＋9
2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得( )
A．(x＋5)2＝16
B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91
D．(x＋10)2＝109
3．把方程x2－6x＋3＝0化成(x－m)2＝n的形式，则m，n的值是( )
A．3，12
B．－3，12
C．3，6
D．－3，6
4．方程x2＋4x＝2的正根为( )
A．x＝2－
B．x＝2＋
C．x＝－2－
D．x＝－2＋
5.用配方法将二次三项式a2－4a＋5变形，结果是( )
A．(a－2)2＋1
B．(a＋2)2＋1
C．(a＋2)2－1
D．(a－2)2－1
二、填空题
6．填空：x2＋6x＋(________)＝(________)2.
7．用配方法解一元二次方程x2－x＝1时，应先两边都加上________．
8．已知二次三项式x2－ax＋4是完全平方式，则a＝________．
9．[2014·岳阳]
方程x2－3x＋2＝0的根是__________．
10．若方程x2＋px＋q＝0可化为(x＋)2＝的形式，则pq＝________．
三、解答题
11．用配方法解下列方程：
(1)y2－2y＝3； (2)x2－6x－6＝0；
(3)x2＋9＝6x;
(4)x2－x－＝0.
12．对于多项式x2－3x＋，任意取x的值，多项式的值总为正数，你能说明其中的道理吗？你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？
拓展题
把关于x的方程x2－2x＋2＝0配方成为a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的形式．
答案及解析
当堂检测
1．B [解析]
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，应把方程的两边同时加上.故选B.
2．D [解析]
先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方，即x2－6x＝4，x2－6x＋9＝4＋9，＝4＋9.故选D.
3．(1)4 2 (2)36 6 (3) (4)2
4．(x－6)2＝39 [解析]
移项，得x2－12x＝3，配方，得x2－12x＋36＝3＋36，即(x－6)2＝39.
5．x2－2x＝2 x2－2x＋1＝2＋1 (x－1)2＝3 x－1＝± 1＋ 1－
课后训练
1．[解析]
C 由x2＋x＝－2，得x2＋x＋()2＝－2＋()2.故选C.
2．[解析]
A 方程x2＋10x＋9＝0，整理，得x2＋10x＝－9，配方，得x2＋10x＋25＝16，即(x＋5)2＝16.故选A.
3．[解析]
C 方程x2－6x＋3＝0变形得x2－6x＝－3，配方，得x2－6x＋9＝6，即(x－3)2＝6，可得m＝3，n＝6.故选C.
4．[解析]
D ∵x2＋4x＝2，∴(x＋2)2＝6，∴x1＝－2＋
，x2＝－2－
，∴方程x2＋4x＝2的正根为x＝－2＋
.故选D.
5．[解析]
A a2－4a＋5＝a2－4a＋4＋1＝(a－2)2＋1.
6．[答案]
9 x＋3
7．[答案]
[解析]
两边加上一次项系数一半的平方，即两边应加上(－)2＝.
8．[答案]
±4
[解析]
二次项系数为1的二次三项式配方口诀：首平方，尾平方，积的二倍在中央．
配方的秘诀：加减一次项系数一半的平方．
x2－ax＋4＝x2－2··x＋22，即＝4，解得a＝±4.
9．[答案]
x1＝1，x2＝2
[解析]
由方程x2－3x＋2＝0，得x2－3x＝－2，则x2－3x＋＝－2＋，(x－)2＝，开方，得x－＝±，则x1＝1，x2＝2.
10．[答案]
－
[解析]
(x＋)2＝x2＋x＋＝，即x2＋x－＝0，
即p＝1，q＝－，
则pq＝－.
11．解：(1)配方，得y2－2·y·1＋1＝3＋1，
即(y－1)2＝4，
开平方，得y－1＝±2，
所以y1＝3，y2＝－1.
(2)移项、配方，得(x－3)2＝15，
即x－3＝±，
所以x1＝3＋，x2＝3－.
(3)移项，得x2－6x＋9＝0，
即(x－3)2＝0，
解这个方程，得x1＝x2＝3.
(4)移项，得x2－x＝，
配方，得x2－2·x·＋＝＋，
即＝1，
开平方，得x－＝±1，
所以x1＝，x2＝－.
12．[解析]
多项式x2－3x＋可配方变形为(x－)2＋，而≥0，
所以＋≥，
故原多项式的最小值为.
解：x2－3x＋＝＋.
∵≥0，
∴＋≥，
即原多项式的值总为正数．
当x＝时，多项式的值最小，最小值是.
【拓展题】
[解析]
此题把x－2看作整体，用配方法可化为(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.
解：方法一：
∵x2－2x＋2＝x2－4x＋4＋2x－4＋2＝(x－2)2＋2(x－2)＋2，
∴方程x2－2x＋2＝0配方成为a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的形式为(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.
方法二：(待定系数法)
显然可设x2－2x＋2＝(x－2)2＋b(x－2)＋c，由于两边恒等，
故当x＝2时，两边也相等，即22－2×2＋2＝02＋b×0＋c，
∴c＝2.
从而x2－2x＋2＝(x－2)2＋b(x－2)＋2，
∴x(x－2)＝(x－2)2＋b(x－2)，
∴x＝(x－2)＋b，
∴b＝2，
从而x2－2x＋2＝(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.1.2 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
当堂检测
1．解方程：x2＝5.
解：∵x2＝________，
∴x＝________，
∴x1＝________，x2＝________．
2．解方程：(x＋2)2＝3.
解：直接开平方，得x＋2＝________，
x＋2＝________或x＋2＝________，
解得x1＝________，x2＝________．
3．解方程：2(x－1)2－8＝0.
解：移项，得________，
两边同时除以2，得________，
两边直接开平方，得________或________，
解得x1＝________，x2＝________．
4．若方程(x－4)2＝a有实数根，则a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a≥0
C．a＞0
D．无法确定
5．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
课后训练
一、选择题
1．一元二次方程x2－4＝0的根为( )
A．x＝2
B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－2
D．x＝4
2．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是( )
A．3
B．－3
C．0
D．1
3．若2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x为( )
A.
B．2
C．±2
D．±
4．关于x的一元二次方程(x－5)2＝m－7，若能用直接开平方法解，则m的取值范围是( )
A．m＞0
B．m≥7
C．m>7
D．任意实数
5．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法中正确的是( )
A．有两个解为x＝±
B．当b≥0时，有两个解为x＝±
＋a
C．当b≥0时，有两个解为x＝±
－a
D．当b≥0时，方程无实数根
6．关于x的方程a(x＋m)2＋n＝0(a，m，n均为常数，m≠0)的解是x1＝－2，x2＝3，则方程a(x＋m－5)2＋n＝0的解是( )
A．x1＝－2，x2＝3
B．x1＝－7，x2＝－2
C．x1＝3，x2＝－2
D．x1＝3，x2＝8
二、填空题
7．方程4x2＝9的解是________________．
8．方程(x＋3)2－2＝0的解为_________________．
9．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋4x＋a2－1＝0的一根是0，则a＝________．
10．若关于x的方程x2－m＝0的一个根为，则另一个根为__________．
11．[2014·济宁]
若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________．
三、解答题
12．解方程：
(1)4＝x2－1； (2)16x2－49＝0；
(3)2(x－2)2＝；
(4)(2x－1)2＝(x＋1)2.
13．若2y＝(x－2)2＋1，且y的算术平方根是，求x＋2y的值．
14．已知等腰直角三角形的两直角边长都增加1
cm，则斜边长变为5
cm，求原三角形直角边的长．
拓展题
阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，如＝2×5－3×4＝－2.如果＝6，求x的值．
答案及解析
当堂检测
1．5 ± － 2.± － －2＋ －2－
3．2(x－1)2＝8 (x－1)2＝4 x－1＝2 x－1＝－2 3 －1
4．B [解析]
利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负性列出关于a的不等式a≥0.故选B.
5．C [解析]
A．由原方程得到x2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以该方程有解．C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以该方程无解．D.(x＋1)2＝0，所以该方程有解．故选C.
课后训练
1．[解析]
C 移项，得x2＝4，
直接开平方，得x1＝2，x2＝－2.
2．[解析]
A ∵x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，
∴a(－3)2＝c，即c＝9a，
∴把c＝9a代入原方程可得ax2＝9a，即x2＝9，解得x1＝3，x2＝－3，
∴该方程的另一个根是x＝3.
故选A.
3．[解析]
D ∵2x2＋3与2x2－4互为相反数，∴2x2＋3＋2x2－4＝0，化简，得4x2＝1，x2＝，∴x＝±.故选D.
4．[解析]
B 方程(x－5)2＝m－7能用直接开平方法求解，只要满足m－7≥0即可，即m≥7.
5．[解析]
B ∵方程中的b不确定，∴当b＜0时，方程无实数根；当b≥0时，x－a＝±
，即方程有两个解为x＝±
＋a.故选B.
6．[解析]
D ∵关于x的方程a(x＋m)2＋n＝0的解是x1＝－2，x2＝3(a，m，n均为常数，m≠0)，∴方程a(x＋m－5)2＋n＝0可变形为a[(x－5)＋m]2＋n＝0，即此方程中x－5＝－2或x－5＝3，解得x＝3或x＝8.故选D.
7．[答案]
x1＝，x2＝－
[解析]
由4x2＝9，得x2＝，两边直接开平方，得x＝±，
∴原方程的解是x1＝，x2＝－.
[点评]
先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式，然后运用直接开平方法求解．
8．[答案]
x1＝－3，x2＝－－3
[解析]
将x＋3看作一个整体，则原方程可变形为(x＋3)2＝2，从而可以运用直接开平方法求解．
移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝±，∴x＋3＝或x＋3＝－.∴原方程的解是x1＝－3，x2＝－－3.
9．[答案]
1
[解析]
∵一元二次方程的一根是0，
∴(a＋1)×02＋4×0＋a2－1＝0，
∴a2－1＝0，即a＝±1.
∵a＋1≠0，
∴a≠－1，∴a＝1.
10．[答案]
－
[解析]
方法一：由方程的一个根为可求出m＝2，然后直接开平方求出另一根．
方法二：由方程x2－m＝0的根的特点：两根互为相反数，从而得出另一个根．
11．[答案]
4
[解析]
∵x2＝(ab＞0)，∴x＝±，∴方程的两个根互为相反数，即m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴m＋1＝2，∴＝22＝4.
12．解：(1)x2＝5，x＝±
，
即x1＝，x2＝－
.
(2)x2＝，
即x1＝，x2＝－.
(3)2(x－2)2＝，(x－2)2＝，x－2＝±，
即x1＝，x2＝.
(4)(2x－1)2＝(x＋1)2，
即2x－1＝x＋1或2x－1＝－(x＋1)，
即x1＝2，x2＝0.
13．[解析]
先求得y的值，再求得x的值，代入即可得出x＋2y的值．
解：∵y的算术平方根是，
∴y＝5.
∵2y＝(x－2)2＋1，
∴10＝(x－2)2＋1，
移项，得(x－2)2＝9，
开方，得x－2＝±3，
解得x1＝－1，x2＝5，
∴x＋2y＝15或9.
14．[解析]
设原三角形直角边的长为x
cm，则增加后两直角边的长为(x＋1)cm，可根据勾股定理求解，注意结果要符合题意．
解：设原三角形直角边的长为x
cm，则增加后两直角边的长为(x＋1)
cm.
依题意可列方程为(x＋1)2＋(x＋1)2＝52，
2(x＋1)2＝25，(x＋1)2＝，
即x＋1＝±
，
即x1＝－1＋
，x2＝－1－
.
因为边长不能为负数，
故x＝－1－
应舍去，
即原三角形直角边的长为cm.
【拓展题】
解：根据题意，得＝(x＋1)2－(1－x)(x－1)＝6，
整理，得x2＝2，
两边直接开平方，得x＝±.1.3 一元二次方程的根与系数的关系
当堂检测
1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
2．一元二次方程x2－2x－3＝0的两根之和为________，两根之积为________．
3．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．
4．如果x1，x2是一元二次方程x2－6x－5＝0的两个实数根，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________，x12＋x22＝________．
5．已知α，β是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，求下列各式的值．
(1)α2＋β2；
(2)β2－2α.
课后训练
一、选择题
1．
若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．－10 B．10 C．－16 D．16
2．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是( )
A．－10
B．10
C．－6
D．2
3．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是( )
A．19
B．25
C．30
D．31
4．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( )
A．5
B．－5
C．1
D．－1
5．若方程x2＋x－1＝0的两实数根为α，β，则下列说法不正确的是( )
A．α＋β＝－1
B．αβ＝－1
C．α2＋β2＝3
D.＋＝－1
6.已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是( )
A．3
B．1
C．3或－1
D．－3或1
7．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
8．[2014·包头]
若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是( )
A．m≤
B．m≤且m≠0
C．m<1
D．m<1且m≠0
二、填空题
9．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．
10．若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝________．
11．
若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为________．
12．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．
13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是________．
14．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是________．
15．若关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝3，则m＝________．
16．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2015＝________．
三、解答题
17．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0的两个实数根分别为－2，m，求m，n的值．
18．已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求实数m的值．
19．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．
答案及解析
当堂检测
1．D [解析]
x1x2＝－3.故选D.
2．2 －3
3．3 [解析]
根据题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以x1＋x2－x1x2＝2－(－1)＝3.
4．6 －5 46
5．解：∵α，β是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，∴α＋β＝－2，αβ＝－3.
(1)原式＝(α＋β)2－2αβ＝4＋6＝10.
(2)原式＝3－2β－2α＝3－2(α＋β)＝3－2×(－2)＝7.
课后训练
1．[解析]
A 在已知方程中，因为a＝1，b＝10，c＝16，所以x1＋x2＝－＝－＝－10.故选A.
2．[解析]
A ∵关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，
∴－2＋4＝－m，－2×4＝n，
解得m＝－2，n＝－8，∴m＋n＝－10.故选A.
3．[解析]
D ∵x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，
∴x1＋x2＝－5，x1x2＝－3，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25＋6＝31.
故选D.
4．[解析]
B 先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出结果．
∵x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，
∴原式＝＝＝＝－5.
故选B.
[点评]
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
5．[解析]
D 由一元二次方程根与系数的关系，知α＋β＝－1，αβ＝－1，因此，α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－1)2－2×(－1)＝3，显然选项A，B，C均正确．故选D.
6．[解析]
A 根据条件，知
α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2，
∴＋＝＝＝－1，
即m2－2m－3＝0，
∴
解得m＝3.
故选A.
[点评]
本题考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况：
(1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac＜0 方程没有实数根．
7．[解析]
C ∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝0，解得m＝6或m＝－2.又∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵b2－4ac＝0，∴m＝3不符合题意，舍去，即m＝－2.故选C.
8．[解析]
B 因为一元二次方程有实数根，所以b2－4ac＝4(m－1)2－4m2＝4－8m≥0，所以m≤.因为x1＋x2＝－2(m－1)>0，所以m<1.因为x1x2＝m2>0，所以m≠0.所以m≤且m≠0.故选B.
9．[答案]
25
[解析]
∵m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，
∴m＋n＝4，mn＝－3，
则m2－mn＋n2＝(m＋n)2－3mn＝16＋9＝25.
10．[答案]
4
[解析]
∵关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，
∴由根与系数的关系，得2＋b＝a＋5，2b＝8a，解得a＝1，b＝4，∴ab＝1×4＝4.
11．[答案]
0
[解析]
∵m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝－1，m2＋m＝1，则原式＝(m2＋m)＋(m＋n)＝1－1＝0.
12．[答案]
16
[解析]
设矩形的长和宽分别为x，y，根据题意，得x＋y＝8，所以矩形的周长＝2(x＋y)＝16.
13．[答案]
2
[解析]
∵方程x2－6x＋k＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，
＋＝＝＝3，
解得k＝2.
14．[答案]
－2或－
[解析]
∵(x1－2)(x1－x2)＝0，∴x1－2＝0或x1－x2＝0，解得x1＝2或x1＝x2.当x＝2时，原方程可变为22＋(2k＋1)×2＋k2－2＝0，解得k＝－2；当x1＝x2时，此时一元二次方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即(2k＋1)2－4(k2－2)＝0，解得k＝－.故答案为－2或－.
15．[答案]
0
[解析]
∵x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2－1，
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3，
∴(2m－1)2－2(m2－1)＝3，
解得m1＝0，m2＝2.
∵方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝(2m－1)2－4(m2－1)≥0，
解得m≤.
∴m＝0.
故答案为0.
16．[答案]
2026
[解析]
由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，
所以m，n是一元二次方程x2－x－3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m＋n＝1，mn＝－3.
又因为n2＝n＋3，
则2n2－mn＋2m＋2015
＝2(n＋3)－mn＋2m＋2015
＝2n＋6－mn＋2m＋2015
＝2(m＋n)－mn＋2021
＝2×1－(－3)＋2021
＝2＋3＋2021
＝2026.
17．解：由题意，得m＋(－2)＝－1，
∴m＝1.
又∵－2m＝n，
∴n＝－2.
18．解：原方程可变形为x2－2(m＋1)x＋m2＝0.
∵x1，x2是原方程的两个实数根，
∴4(m＋1)2－4m2≥0，
∴8m＋4≥0，
解得m≥－.
又∵x1，x2满足|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝－x2，
即b2－4ac＝0或x1＋x2＝0.
由b2－4ac＝0，
即8m＋4＝0，得m＝－；
由x1＋x2＝0，
即2(m＋1)＝0，得m＝－1(不合题意，舍去)．
故当|x1|＝x2时，m的值为－.
19．[解析]
(1)根据方程有两个不相等的实数根可得b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，求出k的取值范围；
(2)首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k＋1＝k2＋1，结合k的取值范围解方程即可．
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，
解得k＞.
(2)∵k＞，
∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵|x1|＋|x2|＝x1x2，
∴2k＋1＝k2＋1，
∴k1＝0，k2＝2.
又∵k＞，
∴k＝2.
20．解：(1)方程整理，得x2－2(k＋1)x＋k2＋2k＝0.
∵b2－4ac＝4(k＋1)2－4(k2＋2k)＝4＞0，
∴实数k的取值范围是任意实数．
(2)根据题意，得x1＋x2＝2(k＋1)，x1x2＝k2＋2k，
x12＋x22－x1·x2＋1＝(x1＋x2)2－3x1x2＋1＝4(k＋1)2－3(k2＋2k)＋1＝k2＋2k＋5＝(k＋1)2＋4.
∴当k＝－1时，代数式x12＋x22－x1·x2＋1取得最小值，该最小值为4.
21．解：(1)b2－4ac＝4＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，
即4＋4k＞0，
∴k＞－1.
(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k，
∴＋＝＝＝＝2.
【数学活动】
[解析]
(1)根据判别式的意义得到b2－4ac＝(2m－1)2－4m2≥0，然后解不等式即可；
(2)把x＝1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
(3)根据根与系数的关系得到α＋β＝－(2m－1)，αβ＝m2，利用α2＋β2－αβ＝6得到(α＋β)2－3αβ＝6，则(2m－1)2－3m2＝6，然后解方程后利用(1)中m的取值范围确定m的值．
解：(1)根据题意，得
b2－4ac＝(2m－1)2－4m2≥0，
解得m≤.
(2)把x＝1代入方程，得1＋2m－1＋m2＝0，
解得m1＝0，m2＝－2.
即m的值为0或－2.
(3)存在．
根据题意，得α＋β＝－(2m－1)，αβ＝m2.
∵α2＋β2－αβ＝6，
∴(α＋β)2－3αβ＝6，
即(2m－1)2－3m2＝6，
整理，得m2－4m－5＝0，
解得m1＝5，m2＝－1.
∵m≤，
∴m的值为－1.
＝－1.1.2 第5课时 一元二次方程的根的判别式
当堂检测
1．方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
2．若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
3．若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是( )
A．－1
B．1
C．－4
D．4
4．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．
求证：方程有两个不相等的实数根．
课后训练
一、选择题
1．[2015·滨州]
一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2．[2015·温州]
若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是( )
A．－1
B．1
C．－4
D．4
3．若方程x2－4x＋n＝0有两个不相等的实数根，则实数n的值可以是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
4．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m≤3
B．m＜3
C．m＜3且m≠2
D．m≤3且m≠2
5.已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
二、填空题
6．[2015·徐州]
已知关于x的一元二次方程x2－2
x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
7．如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．
8．[2015·绥化]
若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解，则a的取值范围是________．
9．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是________．
10．请给出一元二次方程x2－4x＋________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根(填在横线上，填一个答案即可)．
三、解答题
11．不解方程，判别下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x＋5＝0；(2)x2－2
x＋2＝0.
12．[2015·咸宁]
已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
13．[2015·梅州]
已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一个根．
拓展题
已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边，且关于x的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
答案及解析
当堂检测
1．C [解析]
∵a＝11，b＝－2，c＝3，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，∴方程没有实数根．故选C.
2．C [解析]
因为关于x的一元二次方程有实数根，所以b2－4ac＝4－4a≥0，解得a≤1.故选C.
3．[解析]
B ∵一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝42－4×4c＝0，∴c＝1.故选B.
4．证明：原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.∵b2－4ac＝(－5)2－4×(4－p2)＝4p2＋9＞0，∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
课后训练
1．[解析]
C 原方程可化为4x2－4x＋1＝0.
∵b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C.
2．[解析]
B ∵一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝42－4×4c＝0，∴c＝1.故选B.
3．[解析]
D 由题意，得b2－4ac＝16－4n＞0，即n＜4，所以选项D符合题意．故选D.
4．[解析]
D ∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，
∴m－2≠0且b2－4ac≥0，
即22－4×(m－2)×1≥0，
解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.故选D.
5．[解析]
A ∵b2－4ac＝(2c)2－4(a＋b)2＝4[c2－(a＋b)2]＝4(a＋b＋c)(c－a－b)，根据三角形三边关系，得c－a－b＜0，a＋b＋c＞0，∴b2－4ac＜0，∴该方程没有实数根．故选A.
6．[答案]
－3
[解析]
∵关于x的一元二次方程x2－2
x－k＝0有两个相等的实数根，
∴b2－4ac＝0，即(－2
)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，解得k＝－3.
7．[答案]
m＜－4
[解析]
∵一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，
∴b2－4ac＝16－4(－m)＜0，
解得m＜－4.
故答案为m＜－4.
8．[答案]
a＜－1
[解析]
∵关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解，
∴a≠0且b2－4ac＝22－4×a×(－1)＜0，
解得a＜－1，∴a的取值范围是a＜－1.
9．[答案]
8
[解析]
①当a＝6时，方程为－8x＋6＝0，是一元一次方程，有实数根；②当a≠6时，b2－4ac≥0，∴64－4×(a－6)×6≥0，整理，得a≤，∴整数a的最大值是8.
10．[答案]
小于4的任意一个数即可，如3
[解析]
设这个常数项为c，则这个一元二次方程为x2－4x＋c＝0.
∵此方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，
∴42－4c＞0，
即c＜4，
∴这个常数项为小于4的任意一个数即可．
11．解：(1)∵b2－4ac＝32－4×2×5＝－31＜0，
∴方程没有实数根．
(2)∵b2－4ac＝(－2
)2－4×1×2＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
12．[解析]
(1)求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
解：(1)证明：b2－4ac＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.
∵不论m为何值，(m－2)2≥0，
∴b2－4ac≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解方程，得x＝，
即x1＝，x2＝1.
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2.
当m＝2时，x1＝x2＝1，不合题意，
∴m＝1.
13．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－4a＞0，解得a＜3.
∴a的取值范围是a＜3.
(2)把x＝1代入原方程，得1＋2＋a－2＝0.解得a＝－1.
把a＝－1代入原方程，得x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.
∴a的值是－1，该方程的另一个根为－3.
【拓展题】
解：∵关于x的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，
∴b2－4ac＝0，且c－b≠0，即c≠b.
∴4(b－a)2－4(c－b)(a－b)＝0，
∴(b－a)(c－a)＝0，
∴b－a＝0或c－a＝0，
∴b＝a或c＝a，
∴此三角形为等腰三角形．1.2 第6课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是( )
A．x＝0
B．x＝1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝0，x2＝1
2．方程x2－6x＝0的解为( )
A．x＝0
B．x＝6
C．x1＝0，x2＝－6
D．x1＝0，x2＝6
3．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是__________．
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－1)＝2(x－1)；
(2)(2x－1)2＝9.
课后训练
一、选择题
1．方程x2－3x＝0的解为( )
A．x＝0
B．x＝3
C．x1＝0，x2＝－3
D．x1＝0，x2＝3
2．方程(y－1)2＝y－1的根是( )
A．y＝1
B．y1＝1，y2＝2
C．y＝2
D．y1＝0，y2＝1
3．用因式分解法解方程3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变形为( )
A．2x－1＝0
B．3x＝2
C．(3x－2)(2x－1)＝0
D．6x2－7x＋2＝0
4．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )
A．(x＋1)(x－3)＝2
B．2(x－2)2＝x2－4
C．x2＋3x－1＝0
D．5(2－x)2＝3
二、填空题
5．[2015·厦门]
方程x2＋x＝0的解是________．
6．[2015·大庆]
方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是____________．
7．若实数x满足(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，则x＝________．
三、解答题
8．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0； (2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.
9．规定两实数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48.
(1)求3※5的值；
(2)若不论x为何实数，总有a※x＝x，求a的值．
拓展题
阅读下面的文字，并回答问题．
解方程：x4－5x2＋4＝0.
解：令x2＝y，
则原方程可变形为y2－5y＋4＝0，①
即(y－1)(y－4)＝0.
解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1；
当y＝4时，x2＝4，∴x3＝2，x4＝－2.
问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是( )
A．数形结合思想
B．整体思想
C．分类讨论思想
(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？
(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．
(4)用上面的解法解方程：(2x＋1)2－4(2x＋1)＋3＝0.
答案及解析
当堂检测
1．D [解析]
由x(x－1)＝0，可得x＝0或x－1＝0，解得x1＝0，x2＝1.故选D.
2．D [解析]
由x2－6x＝0，得x(x－6)＝0，∴x＝0或x－6＝0，解得x1＝0，x2＝6.故选D.
3．x1＝－2，x2＝4 [解析]
原式可化为(x＋2)(x－3)－(x＋2)＝0，
提取公因式，得(x＋2)(x－4)＝0，
故x＋2＝0或x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
4．解：(1)x(x－1)＝2(x－1)，x(x－1)－2(x－1)＝0，(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0，x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.
(2)(2x－1)2＝9，(2x－1)2－9＝0，(2x－1＋3)(2x－1－3)＝0，(2x＋2)(2x－4)＝0，2x＋2＝0或2x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝2.
课后训练
1．[解析]
D 因为x2－3x＝0，所以x(x－3)＝0，所以x＝0或x－3＝0，所以x1＝0，x2＝3.故选D.
2．[解析]
B 把y－1看成一个整体，移项、提取公因式，得(y－1)(y－2)＝0，∴y1＝1，y2＝2.
3．[解析]
C 3x(2x－1)＝4x－2，3x(2x－1)－(4x－2)＝0，3x(2x－1)－2(2x－1)＝0，(2x－1)(3x－2)＝0.故选C.
4．[解析]
B A，C，D项不适合用分解因式法解方程，B项最适合用分解因式法解方程．故选B.
5．[答案]
x1＝0，x2＝－1
[解析]
x(x＋1)＝0，x＝0或x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－1.
6．[答案]
x1＝5，x2＝
[解析]
移项，得3(x－5)2－2(x－5)＝0，
分解因式，得(x－5)[3(x－5)－2]＝0，
可得x－5＝0或3x－17＝0，
解得x1＝5，x2＝.
7．[答案]
5
[解析]
(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，(x－1－4)2＝0，(x－5)2＝0，x1＝x2＝5.
8．[解析]
(1)用提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)用平方差公式因式分解求出方程的根；
(3)化简方程，提取公因式(x＋3)，即可得解．
解：(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－.
(3)根据题意，原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴原方程的解为x1＝，x2＝－3.
9．[解析]
按所给运算公式计算即可．
解：(1)3※5＝4×3×5＝60.
(2)∵a※x＝x，
∴4ax＝x，
∴a＝.
【拓展题】
解：(1)B (2)换元法
(3)不完整．补充：∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
(4)设2x＋1＝y，则原方程可变形为y2－4y＋3＝0，
即(y－1)(y－3)＝0.
解得y1＝1，y2＝3.
当y＝1时，2x＋1＝1，
∴x＝0；
当y＝3时，2x＋1＝3，
∴x＝1.
∴原方程的解为x1＝0，x2＝1.1.1 一元二次方程课时训练
当堂检测
1．解方程：x2＝5.
解：∵x2＝________，
∴x＝________，
∴x1＝________，x2＝________．
2．解方程：(x＋2)2＝3.
解：直接开平方，得x＋2＝________，
x＋2＝________或x＋2＝________，
解得x1＝________，x2＝________．
3．解方程：2(x－1)2－8＝0.
解：移项，得________，
两边同时除以2，得________，
两边直接开平方，得________或________，
解得x1＝________，x2＝________．
4．若方程(x－4)2＝a有实数根，则a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a≥0
C．a＞0
D．无法确定
5．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
课后训练
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A．x2＋＝1
B．xy＋1＝0
C．(x＋1)(x－2)＝0
D．(x－1)(x＋1)＝x2＋2x
2．一元二次方程4x2＋5x＝81的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．4，5，81
B．4，5，－81
C．4，5，0
D．4x2，5x，－81
3．[2015·衡阳]
绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
二、填空题
4．方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是__________．
5．若方程mx2＋3x－4＝3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__________．
6．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为________．
三、解答题
7．把下列方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后计算b2－4ac的值．
(1)3x(x＋2)＝11＋2(3x－5)；
(2)(x＋1)(x－3)＝－4.
8．[教材问题情境变式题]
根据下面各题的题意，列出方程并判断所列方程是否为一元二次方程．
(1)5个连续整数，前3个数的平方和等于后两个数的平方和，设中间的一个整数为x；
(2)一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，如图K－1－1所示，梯子的顶端距地面的垂直距离为8
m，如果梯子的顶端下滑1
m，那么梯子的底端滑动多少？设梯子的底端滑动x
m.
图K－1－1
拓展题
已知关于x的方程(m－1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)若方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来．
答案及解析
当堂检测
1．5 ± － 2.± － －2＋ －2－
3．2(x－1)2＝8 (x－1)2＝4 x－1＝2 x－1＝－2 3 －1
4．B [解析]
利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负性列出关于a的不等式a≥0.故选B.
5．C [解析]
A．由原方程得到x2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以该方程有解．C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以该方程无解．D.(x＋1)2＝0，所以该方程有解．故选C.
课后训练
1．[解析]
C 选项A中x2＋＝1不是整式方程，故选项A是错误的．
选项B中xy＋1＝0含有两个未知数，故选项B是错误的．
选项C中(x＋1)(x－2)＝0可化为x2－x－2＝0，故选项C是正确的．
选项D中化简后为2x＋1＝0，不是一元二次方程，故选项D是错误的．故选C.
[点评]
一元二次方程需满足的条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．
2．[解析]
B 一元二次方程4x2＋5x＝81化为一般形式为4x2＋5x－81＝0，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，5，－81.故选B.
3．[解析]
B 因为绿地的宽为x米，则长为(10＋x)米．
根据矩形的面积公式可得：x(x＋10)＝900.
故选B.
4．[答案]
x2－5x＋5＝0
[解析]
由x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0，得x2－6x＋4＋x＋1＝0，整理，得x2－5x＋5＝0.
5．[答案]
m≠3
[解析]
方程可化为(m－3)x2＋3x－4＝0，然后根据二次项系数不为零确定．
6．[答案]
x(x－1)＝2×5
[解析]
每支球队都需要与其他球队赛(x－1)场，但每两个队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x(x－1)＝2×5.
7．[解析]
将各个方程整理为一般形式，求出b2－4ac的值即可．
解：(1)方程整理，得3x2－1＝0，
可得a＝3，b＝0，c＝－1，
则b2－4ac＝0＋12＝12.
(2)方程整理，得x2－2x＋1＝0，
可得a＝1，b＝－2，c＝1，
则b2－4ac＝4－4＝0.
8．解：(1)(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)2，即x2－4x＋4＋x2－2x＋1＋x2＝x2＋2x＋1＋x2＋4x＋4，化简为x2－12x＝0.根据一元二次方程的定义可知，所列的方程是一元二次方程．
(2)(6＋x)2＋(8－1)2＝102，
即36＋12x＋x2＋49＝100，化简为x2＋12x－15＝0.
根据一元二次方程的定义可知，所列的方程是一元二次方程．
【拓展题】
[解析]
(1)根据一元二次方程的定义可得m2＋1＝2，且m－1≠0，解方程即可；
(2)根据一元一次方程的定义可得①m2＋1＝1，且m－1＋m－2≠0，即可得到m的值；②m＝1，再把m的值代入原方程，解方程可得x的值．
解：(1)根据题意，得当m2＋1＝2，且m－1≠0时，方程是一元二次方程，解得m＝－1.
(2)①当m2＋1＝1，且m－1＋m－2≠0时，方程是一元一次方程，解得m＝0，
则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－.
②当m＝1时，方程(m－1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0也是一元一次方程，
此时方程变为－x－1＝0，解得x＝－1.
