1.1.1.1集合的含义
课时达标训练
1.下列各组对象不能组成集合的是 ( )
A.中央电视台的著名节目主持人
B.联合国的常任理事国
C.上海市所有的中学生
D.中国古代四大发明
【解析】选A.“著名”无明确标准,因而A不能组成集合,对于B,C,D,对象都是确定的,能组成集合.
2.若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数
为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.方程x2-5x+6=0有两个不同的解2,3,方程x2-x-2=0也有两个不同的解-1,2,其中2是相同的,在集合M中作为一个元素,故共有三个元素.
3.设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的是 ( )
A.0∈A
B.a A
C.a∈A
D.a=A
【解析】选C.由于集合A中只含有一个元素a,由元素与集合的关系知,a∈A.
4.若是集合A中的元素,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为________.
【解析】由题意得=a,所以a2+2a-1=0且a≠-1,所以a=-1±.
答案:-1±
5.若集合A有两个元素2和a+1,且4∈A,则a=________.
【解析】因为4∈A,且A中含有两个元素2和a+1,所以4=a+1,即a=3.
答案:3
6.已知集合A中含有三个元素m-1,3m,m2-1,若-1∈A,求实数m的值.
【解析】当m-1=-1时m=0,3m=0,
m2-1=-1,不满足集合中元素的互异性.
当3m=-1时,m=-,m-1=-,m2-1=-,符合题意.
当m2-1=-1时,m=0,m-1=-1,3m=0,不满足集合中元素的互异性.
综上可知,实数m的值为-.函数的表示法
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知f(2x)=+3,则f= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.因为f(2x)=+3,所以f(x)=+3,所以f=+3=5.
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=(x-a)2(b-x)
B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)
D.f(x)=(x-a)2(x-b)
【解析】选A.由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<0,故排除D.
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为 ( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.由y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(2)=1,f(1)=2,所以f=f(1)=2.
4.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)= ( )
A.3x+2
B.3x-2
C.2x+3
D.2x-3
【解析】选B.设f(x)=kx+b(k≠0),
因为2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
所以即
解得所以f(x)=3x-2.
5.(2017·衡水高一检测)已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是 ( )
A.f(x)=x2+6x
B.f(x)=x2+8x+7
C.f(x)=x2+2x-3
D.f(x)=x2+6x-10
【解析】选A.f(x-1)=x2+4x-5 f(x)=(x+1)2+4(x+1)-5=x2+6x.
6.(2017·邯郸高一检测)若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,则f(2)的值
为 ( )
A.1
B.-1
C.-
D.
【解析】选B.①-②×2得-3f(2)=3,所以f(2)=-1.
【一题多解】选B.由f(x)+2f=3x ①
以代x,得f+2f(x)= ②
②×2-①得3f(x)=-3x,
所以f(x)=-x,所以f(2)=-2=-1.
7.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式
为 ( )
A.y=20-2x
B.y=20-2x(0
C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(5【解析】选D.由周长为20,腰长为x,
所以底边长y=20-2x,又20-2x>0,所以x<10,
又三边长必须构成三角形,所以2x>y,又2x+y=20,
所以x>5,故y=20-2x(58.若二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,且过点(0,0),二次项系数为1,则此二次函数的解析式为 ( )
A.f(x)=x2-1
B.f(x)=-(x-1)2+1
C.f(x)=(x-1)2+1
D.f(x)=(x-1)2-1
【解析】选D.根据已知可设f(x)=(x-1)2+c,由于点(0,0)在二次函数的图象上,所以f(0)=(0-1)2+c=1+c=0,所以c=-1,所以f(x)=(x-1)2-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·海淀高一检测)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2016年5月1日
12
35
000
2016年5月15日
48
35
600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为________升.
【解题指南】解答本题的关键是每次加油都把油箱加满.由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.
【解析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8.
答案:8
10.已知函数H(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的反比例函数,g(x)是x的正比例函数,且H=8,H(1)=16,则H(x)的解析式为________.
【解析】设f(x)=,g(x)=k2x,
则H(x)=+k2x,由得解得k1=1,k2=15.所以H(x)=+15x.
答案:H(x)=+15x
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.作出下列函数的图象并写出其值域:
(1)y=,x∈[2,+∞).
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2].
【解析】(1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].
(2)列表:
x
-2
-1
0
1
2
y
0
-1
0
3
8
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].
12.(2017·临汾高一检测)已知函数f(x-1)=x2-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式.
【解析】已知f(x-1)=x2-4x,令x-1=t,则x=t+1,代入上式得,f(t)=(t+1)2
-4(t+1)=t2-2t-3,
即f(x)=x2-2x-3(x∈R).
因此f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4.
【能力挑战题】
已知函数p=f(m)的图象如图所示.求:
(1)函数p=f(m)的定义域.
(2)函数p=f(m)的值域.
(3)p取何值时,有唯一的m值与之对应.
【解析】(1)观察函数p=f(m)的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是-3≤m≤0或1≤m≤4,由图知定义域为[-3,0]∪[1,4].
(2)由图知值域为[-2,2].
(3)由图知:p∈(0,2]时,有唯一的m值与之对应.
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11.3
习题课—函数的基本性质
课时达标训练
1.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)= ( )
A.5
B.10
C.8
D.不确定
【解析】选B.由题意知,f(-4)=f(4)=5,
所以f(4)+f(-4)=10.
2.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)与f(-10)的大小关系
为 ( )
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)与f(-10)关系不定
【解析】选A.因为f(x)是偶函数,所以f(-10)=f(10),
又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,且1<10,
所以f(1)>f(10),即f(1)>f(-10).
3.若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在区间[-5,-2]上
有( )
A.最小值6
B.最小值-6
C.最大值-6
D.最大值6
【解析】选C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.
4.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则x>0时,f(x)=________.
【解析】当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x+1,
又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=-x+1.
答案:-x+1
5.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)=____________.
【解析】由题干中图象知f(x)是奇函数,
所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.
答案:0
6.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.
【解析】因为x<0,所以-x>0,
所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)=x|x+2|.
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1补集及综合应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩(B)= ( )
A.{3}
B.{2,5}
C.{1,4,6}
D.{2,3,5}
【解析】选B.A={2,3,5},B={2,5},则A∩(B)=.
2.(2016·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(P)∪Q= ( )
A.{1}
B.{3,5}
C.{1,2,4,6}
D.{1,2,3,4,5}
【解析】选C.(P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.
3.设全集U=R,集合M={x|x>1,或x<-1},N={x|0A.{x|-1≤x≤1}
B.{x|0C.{x|-1≤x≤0}
D.{x|x<1}
【解析】选C.M∪N={x|x>0,或x<-1},
所以(M∪N)={x|-1≤x≤0}.
【延伸探究】本题条件不变,求(M∩N).
【解析】M∩N={x|x>1,或x<-1}∩{x|04.设全集U=R,集合P={x|-2≤x<3},则P= ( )
A.{x|x<-2或x≥3}
B.{x|x<-2或x>3}
C.{x|x≤-2或x>3}
D.{x|x≤-2或x≥3}
【解析】选A.在数轴上表示出集合P,如图,
所以P={x|x<-2或x≥3}.
5.(2016·山东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则= ( )
A.{2,6}
B.{3,6}
C.{1,3,4,5}
D.{1,2,4,6}
【解析】选A.A∪B=,所以={2,6}.
6.(2017·太原高一检测)设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩B=( )
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
【解析】选B.由题可得B={x|x≤1},A∩B={x|07.已知集合A={x|x是 ( )
A.a≤2
B.a<1
C.a≥2
D.a>2
【解析】选C.B={x|x≤1,或x≥2},若A∪(B)=R,则a≥2.
8.(2017·郑州高一检测)已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(A)∩B={2},(B)∩A={4},则A∪B= ( )
A.{2,3,4}
B.{2,3}
C.{2,4}
D.{3,4}
【解析】选A.因为(A)∩B={2},(B)∩A={4},所以2∈B,4∈A,则42+4p+12=0,22-5×2+q=0,解得p=-7,q=6,则A={x|x2-7x+12=0}={3,4},
B={x|x2-5x+6=0}={2,3},满足题意.则A∪B={2,3,4}.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2},则(A∩B)=________.
【解析】因为B={x|2x-4≥x-2}={x|x≥2},所以A∩B={x|-1≤x<3}∩{x|x≥2}={x|2≤x<3}.
所以(A∩B)={x|x<2或x≥3}.
答案:{x|x<2或x≥3}
10.(2017·济宁高一检测)设全集U=R,集合A={x|(x-1)(x-4)<0},B={x|2x-3>0},则A∩(B)=________.
【解析】A={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1B={x|2x-3>0}=,
B=,故A∩(B)=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·齐齐哈尔高一期中)若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
【解析】若集合M={x|ax2+3x+2=0}至多有一个元素,则M只有一个元素或为空集,则a=0或Δ=32-4×2a=9-8a≤0,所以a=0或a≥.
12.(2017·雅安高一检测)已知集合A={x|0<2x+a≤3},B=.
(1)当a=1时,求(B)∪A.
(2)若AB,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,A=,
又因为B=,
则B=,
所以(B)∪A=.
(2)因为A=,若AB,
则当A=时,-≥,
所以0≥3不成立,所以A≠,
所以解得:-1所以a的取值范围是{a|-1【补偿训练】设全集U=R,集合A={x|-51},集合C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件.
①C (A∩B);②C (A)∩(B).
【解析】因为A={x|-51},所以A∩B={x|1又A={x|x≤-5,或x≥4},B={x|-6≤x≤1},
所以(A)∩(B)={x|-6≤x≤-5}.
而C={x|x当C (A)∩(B)时,m>-5,所以m≥4.
【能力挑战题】
已知集合A={x|2m-1【解题指南】可先求A∩B=时m的取值范围,再求其补集,即为使A∩B≠的m的取值范围.
【解析】当A∩B=时.
(1)若A=,则2m-1≥3m+2,
解得m≤-3,此时A∩B=.
(2)若A≠,要使A∩B=,则
即所以-≤m≤1.
综上所述,当A∩B=时,m≤-3或-≤m≤1,
所以当m>1或-3【拓展延伸】补集性质的应用
(1)集合A的补集A包含两个方面的意义:首先必须具备AU;其次A={x|x∈U,且x A}.
(2)在求解集合问题时,若直接求解有困难,可利用补集思想求解,即注意补集思想的应用.
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1分段函数及映射
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·湖北高考)设x∈R,定义符号函数sgnx=则 ( )
A.|x|=x|sgnx|
B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnx
D.|x|=xsgnx
【解析】选D.
选项
具体分析
结论
A
右边=x|sgnx|=而左边==
错误
B
右边=xsgn|x|=而左边==
错误
C
右边=|x|sgnx=而左边==
错误
D
右边=xsgnx=而左边==
正确
2.(2017·大连高一检测)点(x,y)在映射f下的对应元素为,则点(2,0)在f作用下的对应元素为 ( )
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(,1)
D.(,-1)
【解析】选D.由点(x,y)在映射f下的对应元素为,令x=2,y=0,则=,=-1,所以点(2,0)在f作用下的对应元素为(,-1).
3.(2017·周口高一检测)已知f(x)=则f+f的值等
于( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
【解题指南】解答本题先求出f,再求出f,最后求两值之和.
【解析】选B.当x=时,f=2×=,当x=-时,f=f=f=2×=,
所以f+f=4.
4.(2015·山东高考改编)设函数f(x)=若f=4,则
b= ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.f=-b,若-b<1,即b>时,3×-b=4,解得b=,不符合题意,舍去;若-b≥1,即b≤时,得2=4,得b=.
5.已知f(2x)=+3,则f= ( )
A.4
B.7
C.19
D.5
【解析】选C.因为f(2x)=+3=+3,
所以f(x)=+3,
所以f=+3=19.
6.给定映射f:(x,y)→(x+2y,2x-y),在映射f下与(4,3)对应的(x,y)为 ( )
A.(2,1)
B.(4,3)
C.(3,4)
D.(10,5)
【解析】选A.由映射的概念,知解得
【延伸探究】本题条件不变,则(4,3)在映射f作用下对应的点是什么
【解析】由映射f:(x,y)→(x+2y,2x-y),所以(4,3)在映射f作用下对应的点是(4+2×3,2×4-3),即(10,5).
7.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为 ( )
A.[-1,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
【解析】选A.原不等式等价于或
解得-1≤x≤1.
8.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13立方米
B.14立方米
C.18立方米
D.26立方米
【解析】选A.该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=由y=16m,可知x>10.
令2mx-10m=16m,解得x=13(立方米).
【补偿训练】(2017·深圳高一检测)已知f(x)=若f(x)=10,则x=________.
【解题指南】当x≤0时,由x2+1=10,求得x的值,当x>0时,由2x=10,求得x的值.
【解析】当x≤0时,由x2+1=10,得x=-3.当x>0时,由2x=10,得x=5.
答案:-3或5
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·开封高一检测)已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为________.
【解析】当0≤x≤1时,f(x)=-1;
当1则解得
此时f(x)=x-2.
综上,f(x)=
答案:f(x)=
10.(2015·浙江高考)已知函数f(x)=则f(f(-2))=__________,f(x)的最小值是__________.
【解析】f(-2)=(-2)2=4,所以f(f(-2))=f(4)=4+-6=-.当x≤1时,f(x)≥0,当x>1时,f(x)≥2-6,当x=,即x=时取到等号,因为2-6<0,所以函数的最小值为2-6.
答案:- 2-6
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·咸阳高一检测)已知函数f(x)
=
(1)求f(-4),f(3),f(f(-2))的值.
(2)若f(a)=10,求a的值.
【解析】(1)f(-4)=-4+2=-2,
f(3)=2×3=6,
f(-2)=-2+2=0,f(f(-2))=f(0)=02=0.
(2)当a≤-1时,由a+2=10,得a=8,不符合;
当-1当a≥2时,由2a=10,得a=5,符合.
所以a=5.
12.如图所示,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动.设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式.
(2)作出函数的图象,并根据图象求f(x)的值域.
【解析】(1)函数的定义域为(0,12),当0(2)图象如图所示.从图象可以看出f(x)的值域为(0,8].
【能力挑战题】
已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象.
(2)利用图象判断关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数.
【解题指南】先整理函数f(x)的解析式,去掉绝对值号,再作函数图象;可以利用图象交点判断关于x的方程的解的个数.
【解析】(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),
去绝对值符号得f(x)=
可得f(x)的图象如图所示.
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数就是直线y=1与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图.
由图可知,y=1与y=|x-2|(x+1)的图象有3个交点,
所以方程|x-2|(x+1)=1有3个解.
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11.2.1
函数的概念
课时达标训练
1.已知f(x)=x2+1,则f(f(-1))= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.f(-1)=(-1)2+1=2,
所以f(f(-1))=f(2)=22+1=5.
2.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数是 ( )
A.f:x→y=x
B.f:x→y=x
C.f:x→y=x
D.f:x→y=
【解析】选C.对于选项C,当x=4时,y=>2不符合题意.
3.若f(x)=
,且f(a)=2,则a=________.
【解析】由f(a)=
=2,得a=2,或a=.
答案:2或
4.函数y=的定义域为________.
【解析】由y=,故x-1≥0,所以x≥1,故函数的定义域为{x|x≥1}.
答案:{x|x≥1}
5.若f(x)=
(x≠-1),求f(1),f(1-a)(a≠2),f(f(2)).
【解析】f(1)=
=0,f(1-a)=
=,因为f(2)=
=-,所以f(f(2))=f==2.
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11.1.3.2
补集及综合应用
课时达标训练
1.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合(A∪B)= ( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0【解析】选D.因为A={x|x≤0},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x≤0或x≥1},
所以(A∪B)={x|02.全集U={0,1,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},则集合(A)∪B= ( )
A.{0,2,3,6}
B.{0,3,6}
C.{2,1,5,8}
D.
【解析】选A.
A={0,3,6},所以(A)∪B={0,2,3,6}.
3.已知全集U=R,M={x|-1【解析】因为U=R,
N={x|0所以N={x|x≤0或x≥2},
所以M∪N={x|-1答案:{x|x<1或x≥2}
4.已知全集U=R,集合A={x|-1【解析】因为B={x|x≤0或x≥5},故A∩(B)={x|-1答案:{x|-15.设全集U={1,2,x2-2},A={1,x},求A.
【解析】若x=2,则x2-2=2,U={1,2,2},与集合中元素的互异性矛盾,故x≠2,从而x=x2-2,解得x=-1或x=2(舍去).故U={-1,1,2},A={-1,1},则A={2}.
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11.3.2
奇偶性
课时达标训练
1.已知函数f(x)为定义在区间[3-a,5]上的奇函数,则a= ( )
A.-2
B.3
C.8
D.无法确定
【解析】选C.由f(x)为奇函数,得其定义域[3-a,5]关于原点对称,所以3-a+5=0,所以a=8.
2.f(x)=x3+的图象关于 ( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.y=x对称
D.y=-x对称
【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
f(-x)=(-x)3+
=-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(x)的图象关于原点对称.
3.函数f(x)=x在定义域R上是________函数.(填“奇”或“偶”)
【解析】由于f(-x)=-x=-f(x),且定义域为实数集R,
故该函数是奇函数.
答案:奇
4.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,若f(2)=4,则f(-2)=________.
【解析】根据偶函数的定义,有f(-2)=f(2)=4.
答案:4
5.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=x|x|.
【解析】(1)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),
所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.
(2)f(x)=x|x|的定义域为R,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
所以f(x)=x|x|为奇函数.
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1习题课——函数的基本性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·吉林高一检测)f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是 ( )
A.f(0)B.f(3)>f(2)
C.f(-1)D.f(2)【解析】选C.因为函数为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(-1)=f(1)2.(2017·济南高一检测)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x(1-x),当x<0时,f(x)= ( )
A.-x(x-1)
B.-x(x+1)
C.x(x-1)
D.x(x+1)
【解析】选D.当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=-x(1+x),
又f(x)为R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).
3.(2017·北京高一检测)下列各函数为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数的
是 ( )
A.f(x)=x+3
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=x|x|
D.f(x)=-|x|
【解析】选D.A.f(x)=x+3的图象不关于y轴对称,不是偶函数,所以该选项不符合题意;
B.x=-1时,f(x)=0,x=1时,f(x)=2,
所以f(-1)≠f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;
C.x=-1时,f(x)=-1,x=1时,f(x)=1,
所以f(-1)≠f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;
D.f(x)=-|x|的定义域为R,且f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),所以该函数为偶函数;
x≥0时,f(x)=-|x|=-x为减函数,所以该选项符合题意.
4.(2017·大连高一检测)若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间
(-∞,-1]上是增函数,则 ( )
A.fB.f(2)C.f(2)D.f(-1)【解析】选B.因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,
所以f(2)=f(-2),
又因为f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-<-1,
所以f(2)5.(2017·天津高一检测)已知f(x)在[a,b]上是奇函数,且f(x)在[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为 ( )
A.2m+3
B.2m+6
C.6-2m
D.6
【解析】选D.因为奇函数f(x)在[a,b]上的最大值为m,所以它在[a,b]上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.
6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法:
①f(0)=0;②若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1;③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若x>0时,f(x)=2x2-x,则x<0时,f(x)=-2x2-x.
其中正确的说法的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.f(x)是R上的奇函数,
则f(0)=0,①正确;
其图象关于原点对称,
且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反,
且互为相反数,所以②正确,③不正确;
对于④,x<0时,-x>0,f(-x)=2(-x)2-(-x),
又因为f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-2x2-x,④正确.
7.(2017·襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式是 ( )
A.f(x)=-x(x-2)
B.f(x)=x(|x|-2)
C.f(x)=|x|(x-2)
D.f(x)=|x|(|x|-2)
【解析】选B.设x<0,则-x>0,
因为当x≥0时,f(x)=x2-2x,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=x2+2x,所以f(x)=-x2-2x,
故在R上,f(x)的表达式是f(x)=x(|x|-2).
8.(2017·济宁高一检测)已知f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,且它在定义域内单调递减,若a满足f(1-a)+f(2a-3)<0,则a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.(2,+∞)
D.
【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(1-a)+f(2a-3)<0,
所以f(1-a)<-f(2a-3)=f(3-2a).
又因为f(x)为(-4,4)上的减函数,
所以解得2所以a的取值范围是.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f的大小关系是________.(用“<”连接)
【解析】因为y=f(x+2)为偶函数,
所以y=f(x)关于x=2对称.
又因为y=f(x)在(-∞,2)上为增函数,
所以y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而f(-1)=f(5),所以f答案:f10.(2017·哈尔滨高一检测)已知函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,函数的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是____________.
【解析】因为f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且x<0的图象已知,根据对称性,x>0时的图象如图,结合图象可得不等式x·f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪
(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)
【延伸探究】若将本题中“奇函数”改为“偶函数”,则不等式x·f(x)>0的解集是________.
【解析】由f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且x<0的图象已知,
根据对称性,可得x>0时的图象如图,
结合图象可得不等式x·f(x)>0的解集为(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞).
答案:(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(f(-1))的值.
(2)求函数f(x)的解析式.
【解析】(1)因为f(-1)=-f(1)=0,所以f(f(-1))=f(0).
因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
所以f(f(-1))=0.
(2)当x=0时,由奇函数的性质知f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
所以f(x)=-f(-x)=-=-x2-4x-3,
综上所述,f(x)=
12.定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0.又f(1)=-.
(1)求证:f(x)为奇函数.
(2)求证:f(x)在R上是减函数.
(3)求函数f(x)在[-3,3]上的值域.
【解析】(1)令x=y=0,定义在R上的函数f(x),
对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),
则f(0)=0,令y=-x,
则f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)令x+y=x1,y=x2且x1>x2,x=x1-x2>0,
当x>0时,f(x)<0.f(x1)-f(x2)<0,f(x1)故f(x)在R上是减函数.
(3)由f(1)=-.
所以f(2)=-,f(3)=-2,f(-3)=2,
所以函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-2,2].
【能力挑战题】
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+x2.
(1)求x<0时,f(x)的解析式.
(2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6],若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x+x2,
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以x<0时,f(x)=-f(-x)=x-x2,即x<0时,f(x)的解析式为f(x)=x-x2.
(2)假设存在这样的数a,b,
因为a≥0,且f(x)=x+x2在x≥0时为增函数,
所以x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6],
所以
即或或或
考虑到0≤a可得符合条件的a,b值分别为或或
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11.1.3.1
并集、交集
课时达标训练
1.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N= ( )
A.{1,4}
B.{-1,-4}
C.{0}
D.
【解析】选D.因为M={-4,-1},N={4,1},所以M∩N= .
2.若集合A={x|-2A.{x|0≤x<1}
B.{x|-2C.{x|-2D.{x|0≤x≤1}
【解析】选C.在数轴上分别表示出集合A,B,得A∪B={x|-23.设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=( )
A.[-4,+∞)
B.(-2,+∞)
C.[-4,1]
D.(-2,1]
【解析】选D.已知S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},在数轴上表示集合S,T,可知S∩T={x|-24.若集合A={x|-1【解析】借助数轴如下:
所以A∪B=R,A∩B={x|-1答案:R {x|-15.已知集合A={(x,y)|y=x+3},B={(x,y)|y=3x-1},则A∩B=__________.
【解析】因为A={(x,y)|y=x+3},B={(x,y)|y=3x-1},
所以A∩B=={(2,5)}.
答案:{(2,5)}
6.集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},A∩B=B,求a的取值范围.
【解析】由题意,得A={1,2},因为A∩B=B,所以当B= 时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},符合题意;当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2},不合题意.综上所述,a≥2.
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11.2.2.2
分段函数及映射
课时达标训练
1.设函数f(x)=
则f的值为 ( )
A.-1
B.
C.
D.4
【解析】选C.f(2)=22+2-2=4,
=,f
=1-=
.
2.下列对应为A到B的函数的是 ( )
A.A=R,B={y|y>1},f:x→y=|x|
B.A=Z,B=N
,f:x→y=x2
C.A=Z,B=Z,f:x→y=
D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0
【解析】选D.由函数的定义可知,对于A,0∈R,且|0|=0 B,故A不是A到B的函数;对于B,0∈Z,且02=0 N
,故B不是A到B的函数;对于C,当x<0时,如-2∈Z,但无意义,故C不是A到B的函数;对于D,是多对一的情形,符合函数的定义,是A到B的函数.
3.已知f(x)=
则f(x)的定义域为 ( )
A.R
B.(-∞,1]
C.(-∞,2)
D.(1,+∞)
【解析】选C.分段函数的定义域是每段定义域的并集,故f(x)的定义域为{x|x≤1}∪{x|14.设函数f(x)=
则f(f(2))=________;函数f(x)的值域是________.
【解析】f(2)=
,f(f(2))=f=-,
当x>1时,f(x)∈(0,1),当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞),
所以f(x)∈[-3,+∞).
答案:-
[-3,+∞)
5.设A=Z,B={x|x=2n-1,n∈Z},且从A到B的映射是x→2x-1,则A中的元素1在B中与之对应的元素是________.
【解析】与A中元素1对应的B中元素为2×1-1=1.
答案:1
6.已知y=f(x)的图象如图,则f(x)=________.
【解析】当0≤x≤1时,设y=kx,将(1,1)代入得k=1,所以y=x;
当1≤x≤2时,设y=k′x+b,将(1,1),(2,0)代入得k′=-1,b=2,所以y=2-x.故f(x)=
答案:
7.设函数f(x)=
若方程f(x)=t有三个不等实根,求t的取值范围.
【解析】作出函数f(x)=
的图象如图,
因为方程f(x)=t有三个不等实根,所以y=f(x)的图象与y=t的图象有三个不同交点,结合图象可得0故t的取值范围是(0,1).
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1奇 偶 性
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·温州高一检测)函数f(x)= ( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选B.因函数f(x)=的定义域为R,
且f(-x)===f(x),故f(x)为偶函数.
2.(2017·商丘高一检测)下列函数是偶函数的是 ( )
A.f(x)=|x-3|
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=x2-x
D.f(x)=
【解析】选D.A,B,C选项中的定义域均为实数集R,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以都为非奇非偶函数,只有选项D中f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称.
【补偿训练】下面四个结论中正确的个数为 ( )
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=,故①错,③对;奇函数的图象不一定通过原点,如y=,故②错;既奇又偶的函数除了满足f(x)=0,还要满足定义域关于原点对称,④错,故选A.
3.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有 ( )
A.f(x)-f(-x)>0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
【解析】选C.奇函数满足f(-x)=-f(x),
所以f(-x)·f(x)≤0.
4.(2017·吉林高一检测)已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)= ( )
A.-15
B.15
C.10
D.-10
【解析】选A.设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,
因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.
【一题多解】选A.f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·35+3b-5)
-10=-f(3)-10=5,所以f(3)=-15.
5.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能
是 ( )
【解析】选A.由图象知y=f(x)为偶函数,
y=g(x)为奇函数,所以y=f(x)·g(x)为奇函数且x≠0,由图象知x∈时f(x)>0,g(x)<0,x∈时f(x)<0,g(x)<0,所以x∈时y=f(x)·g(x)<0,
x∈时,y=f(x)·g(x)>0.
6.(2017·温州高一检测)如图是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的是 ( )
A.奇函数而非偶函数
B.偶函数而非奇函数
C.奇函数且偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选C.因为f(x)=0,x∈{-2,2},满足f(-x)=±f(x).所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数.
7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【解析】选C.把x=-1代入已知得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)=1.
8.(2017·冀州高一检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0),又f(x)是定义域上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2-7,则f(-2)=________.
【解析】因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(2×22-7)=-1.
答案:-1
10.(2017·西安高一检测)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=________,g(x)=________.
【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,
由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得,
f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,
两式联立得:f(x)=x2-2,g(x)=x.
答案:x2-2 x
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+.
(2)f(x)=x2+|x+a|+1.
(3)f(x)=
【解析】(1)f(x)的定义域为,不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)①当a=0时,f(x)为偶函数.
②当a≠0时,因为对所有x∈R,|x+a|≠|-x+a|.
所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1
=-x3+3x2-1
=-(x3-3x2+1)=-f(x)
②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1
=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
【拓展延伸】判断分段函数奇偶性的步骤
(1)分析定义域是否关于原点对称.
(2)对x进行分段讨论,寻求f(-x)与f(x)在各段上的关系.
(3)综合(2)在定义域内f(-x)与f(x)的关系,从而判断f(x)的奇偶性.
12.(2017·北京高一检测)已知函数f(x)=x2-2x,设g(x)=·f(x+1).
(1)求函数g(x)的表达式,并求函数g(x)的定义域.
(2)判断函数g(x)的奇偶性,并证明.
【解析】(1)由f(x)=x2-2x,得f(x+1)=x2-1,
所以g(x)=·f(x+1)=,定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
(2)结论:函数g(x)为奇函数.
证明:由(1)知,g(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且g(-x)==-g(x),
所以,函数g(x)为奇函数.
【能力挑战题】
(2017·成都高一检测)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数.
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).
【解析】(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),
令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
所以f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
(2)因为f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),
所以f(12)=-4a.
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11.2.2.1
函数的表示法
课时达标训练
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-1)+f(0)+f(1)等于 ( )
A.2
B.-2
C.0
D.1
【解析】选C.由图知f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,
所以f(-1)+f(0)+f(1)=-1+0+1=0.
2.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)= ( )
A.2x+1
B.2x-1
C.2x-3
D.2x+7
【解析】选B.由f(x)=2x+3,
所以f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1,故g(x)=2x-1.
3.已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=-
B.f(x)=
C.f(x)=3x
D.f(x)=-3x
【解析】选B.设f(x)=
,由f(-3)=-1,得
=-1,所以k=3,所以f(x)=
.
4.已知函数y=f(x)由表格给出,若f(a)=3,则a=________.
x
3
-1
2
y
2
3
-1
【解析】满足f(a)=3,只有a=-1才适合题意.
答案:-1
5.已知f=2x+3,且f(m)=6,则m=________.
【解析】令2x+3=6,得x=
,
所以m=-1=×-1=-
.
答案:-
6.定义两种运算:a b=,a b=,求函数f(x)=
的解析式.
【解析】由新定义可得,f(x)=
=,显然函数的定义域为x∈[-2,0)∪(0,2],因此解析式可整理为f(x)=-
.
PAGE
1集合间的基本关系
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·杭州高一检测)已知AB,AC,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8},则A可以是 ( )
A.{1,2}
B.{2,4}
C.{2}
D.{4}
【解析】选C.因为AB且AC,所以集合A中的元素是集合B,C的公共元素,故A={2}.
2.(2017·枣庄高一检测)已知集合A={x|3A.3B.3≤a≤4
C.3D.
【解析】选B.由AB得解得3≤a≤4.
3.(2017·菏泽高一检测)集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共
有 ( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【解题指南】根据题意,列举出A的子集中含有元素0的子集,进而可得答案.
【解析】选B.根据题意,在集合A的子集中含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},4个.
4.设B={1,2},A={x|xB},则A与B的关系是 ( )
A.AB
B.BA
C.A∈B
D.B∈A
【解题指南】由xB,可知x为集合B的子集,即可求出A中元素,从而判断A,B关系.
【解析】选D.因为B的子集为{1},{2},{1,2}, ,
所以A={x|xB}={{1},{2},{1,2}, }.
所以B∈A.
【误区警示】本题易错选B,错选的原因是不能分清集合B是集合A的元素还是子集.
5.(2017·大庆高一检测)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是 ( )
A.1
B.-1
C.0,1
D.-1,0,1
【解析】选D.因为集合A有且仅有两个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.
当a=0时,方程化为2x=0,此时A={0},符合题意;
当a≠0时,Δ=22-4·a·a=0,
即a2=1,故a=±1.
此时A={-1}或A={1},符合题意.
综上所述,a=0或a=±1.
6.(2017·铜陵高一检测)集合A={y|y=-x2+4,x∈N,y∈N}的真子集的个数
为 ( )
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】选C.由x∈N,y∈N,所以当x=0时,y=4,当x=1时,y=3,当x=2时,y=0.
所以集合A={y|y=-x2+4,x∈N,y∈N}={0,3,4}中有3个元素,
则其子集有23=8个,真子集的个数为8-1=7.
7.(2017·贵阳高一检测)设A={1,4,2x},B={1,x2},若BA,则x= ( )
A.0
B.-2
C.0或-2
D.0或±2
【解析】选C.因为A={1,4,2x},B={1,x2},若BA,则x2=4或x2=2x,
解得x=2或x=-2或x=0.
当x=2时,集合A={1,4,4}不成立.
当x=-2时,A={1,4,-4},B={1,4},满足条件BA.
当x=0时,A={1,4,0},B={1,0},满足条件BA.
故x=0或x=-2.
8.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的所有可能取值的集合为 ( )
A.{-1}
B.{1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
【解析】选D.当a=0时,B= ,满足题意,
当a≠0时,B=,由BA,
所以-=1或-=-1,故a=-1或a=1.
故a的取值集合为{-1,0,1}.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·南宁高一检测)已知集合A={x|x<5},集合B={x|x【解析】将集合A在数轴上表示出来,如图所示,
要满足AB,表示数m的点必须在表示5的点处或在其右边,故m≥5.
答案:m≥5
【补偿训练】(2017·杭州高一检测)设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且BA,则实数k的取值范围是________.
【解析】因为B={x|2k-1≤x≤2k+1},故B≠ ,又BA,所以有即-1≤k≤.
答案:-1≤k≤
10.(2017·成都高一检测)已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},则A的子集个数为________.
【解析】集合A中元素为方程x2-3x+4=0的根,
由于Δ=(-3)2-4×4=-7<0,
所以方程x2-3x+4=0无解,
故A= ,所以A的子集个数为1.
答案:1
【延伸探究】若“集合A={x∈R|x2-3x+4=0}”改为“集合A={x∈R|x2-3x-4=0}”,则结论如何
【解析】集合A中元素为方程x2-3x-4=0的根,
即(x-4)(x+1)=0,所以x=-1或x=4,
所以A={-1,4},因此集合A的子集为:
,{-1},{4},{-1,4}共4个.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·重庆高一检测)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},问是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,b≠2),都有AB.若存在,求出对应的a值;若不存在,说明理由.
【解析】不存在.因为对任意的实数b都有AB,所以1,2是A中的元素,又因为A={a-4,a+4},所以或这两个方程组均无解,即这样的实数a不存在.
12.(2017·日照高一检测)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数.
(2)若A B,求m的取值范围.
【解析】化简集合A得A={x|-2≤x≤5}.
(1)因为x∈Z,所以A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,所以A的非空真子集个数为28-2=254(个).
(2)①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B= A;
②当m-1<2m+1,即m>-2时,B={x|m-1则解得-1≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是{m|-1≤m≤2或m≤-2}.
【能力挑战题】
(2017·巢湖高一检测)已知集合A={x|x2-1=0},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,且BA,求实数a,b的值.
【解析】因为A={x|x2-1=0}={1,-1},B={x|x2-2ax+b=0},所以若B≠ ,且BA,所以B={1}或{-1}或{1,-1},
若B={1},则即成立.
此时a=1,b=1.
若B={-1},则即成立.
此时a=-1,b=1.
若B={1,-1},则即
满足条件.此时a=0,b=-1.
综上a=1,b=1或a=-1,b=1或a=0,b=-1.函数的概念
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·日照高一检测)下列对应是集合M上的函数的个数是 ( )
①M=R,N=N
,对应关系f:对集合M中的元素取绝对值,与N中的元素对应;
②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈M,y∈N;
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:对M中的三角形求面积,与N中的元素对应.
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选A.①的M中元素0在N中无对应元素;③的M中的元素不是数集,故选A.
2.若f(x)=,则f(1)的值为 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.由f(x)=,得f(1)==.
【延伸探究】本题条件不变,若f(a)=,则a的值为多少
【解析】由f(a)=,得=,
整理得:a2-2a+2=0,即(a-)2=0,所以a=.
3.(2017·潍坊高一检测)函数f(x)=-的定义域是 ( )
A.[-,1]
B.
C.
D.
【解析】选B.由1-x>0,3x+1>0可得,-4.下列各组函数中是相等函数的是 ( )
A.f(x)=x+1与f(x)=
B.f(x)=x2+1与g(t)=t2+1
C.f(x)=2x与f(x)=2x(x≥0)
D.f(x)=(x+1)2与f(x)=x2
【解析】选B.对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为{x|x≠1},不是相等函数;对于选项B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是相等函数;对于选项C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是相等函数;对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数.
5.(2017·平湖高一检测)下列几个图形中,可以表示函数关系y=f(x)的图象的
是 ( )
【解析】选A.A中满足每一个自变量对应唯一的函数值;B,C,D中对于某一部分自变量值对应两个函数值,因此不能构成函数关系.
6.设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则M= ( )
A.{x|x≥1}
B.{x|x<1且x≠-1}
C.{x|x≥1或x=-1}
D.{x|x≥1且x=-1}
【解析】选C.因为f(x)=,所以即x<1且x≠-1,所以M={x|x<1且x≠-1},所以M={x|x≥1或x=-1}.
7.(2017·东莞高一检测)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是 ( )
【解题指南】仔细观察图形,正确选项中x的取值范围必须是[0,2],y的取值范围必须是[1,2],由此进行选取.
【解析】选D.A和B中y的取值范围不是[1,2],不合题意,故A和B都不成立;
C中x的取值范围不是[0,2],y的取值范围不是[1,2],不合题意,故C不成立;
D中,0≤x≤2,1≤y≤2,且对于定义域中的每一个x值,都有唯一的y值与之对应,符合题意.
8.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ( )
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x
【解析】选C.对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)成立,
对于B,f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)成立,对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x),对于D,f(2x)=-2x=2f(x)成立.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·济宁高一检测)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(2)=________.
【解析】因为函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2,
则2f(2)+f(-2)=3×2+2=8, ①
2f(-2)+f(2)=3×(-2)+2=-4, ②
由①②消去f(-2)得3f(2)=20,所以f(2)=.
答案:
10.(2017·肇庆高一检测)已知定义域为R,函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈R),且f(x)>0,若f(1)=,则f(-2)等于________.
【解题指南】函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈R),且f(x)>0,令x=0可求f(0),然后由f(1)=可求f(2),然后由f(0)=f(2)f(-2)可求f(-2).
【解析】因为函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈R),且f(x)>0,所以f(0)=f2(0),
所以f(0)=1,
因为f(1)=,所以f(2)=f(1)·f(1)=,
所以f(0)=f(2)f(-2)=1,所以f(-2)=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的定义域.
(1)y=-.(2)y=.
【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1,且x≠-1,即函数定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3,
即函数定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.
12.(2017·重庆高一检测)已知f(x)=,计算f(1)+f(2)+…+f(2016)+f+f+…+f.
【解题指南】先计算f(x)+f的值,再对式子分组,然后求和.
【解析】f(x)+f=+=+=1,
故f+f(2)=1,f+f(3)=1,…,f+f(2016)=1,又f(1)==,
所以f(1)+f(2)+…+f(2016)+f+f+…+f
=f(1)+++…+
=+2015=.
【能力挑战题】
若函数f(x)=的定义域为R,求m的取值范围.
【解析】要使函数f(x)有意义,必须mx2+x+3≠0.
又因为函数的定义域为R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.
当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.当m≠0时,有Δ=12-12m<0,得m>.
综上可知m的取值范围是.
PAGE
1函数的单调性
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·兰州高一检测)如果函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是 ( )
A.a≤2
B.a>3
C.2≤a≤3
D.a≥3
【解析】选D.函数对称轴为x=,由函数在区间上是减函数,所以≥1,所以a≥3.
2.函数f(x)=的单调减区间是 ( )
A.(-∞,+∞)
B.
C.
D.
【解析】选C.由-2x+1≥0,得x≤,
又一次函数y=-2x+1为R上的减函数,
故f(x)=的单调减区间为.
3.(2017·石家庄高一检测)若函数f(x)=ax+1在R上递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是 ( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,-2)
【解析】选B.因函数f(x)=ax+1在R上递减,所以a<0,
所以g(x)=a(x2-4x+3)的增区间为h(x)=x2-4x+3的单调减区间,又h(x)=x2-4x+3在(-∞,2)上单调递减,故g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是(-∞,2).
4.(2017·朔州高一检测)已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是 ( )
A.f(1)≥25
B.f(1)=25
C.f(1)≤25
D.f(1)>25
【解析】选A.由题意得≤-2 m≤-16,所以f(1)=9-m≥25.
【补偿训练】(2017·哈尓滨高一检测)已知函数f(x)=4x2+kx-1在区间[1,2]上是单调函数,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-16]∪[-8,+∞)
B.[-16,-8]
C.(-∞,-8]∪[-4,+∞)
D.[-8,-4]
【解析】选A.对称轴位于区间两则,即-≤1或-≥2,解得k≥-8或k≤-16.
5.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上
是 ( )
A.减函数且f(0)<0
B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0
D.增函数且f(0)>0
【解析】选A.因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以必有a<0,而y=-在(0,+∞)上是减函数,则b<0,所以f(x)=bx+a在R上是减函数且f(0)=a<0.
6.(2017·德州高一检测)若函数f(x)=则g(x)=x2+xf(x)-2的单调增区间为 ( )
A.(-∞,+∞)
B.[0,+∞)
C.[1,2]
D.[-2,0]
【解析】选B.g(x)=x2+xf(x)-2=
当x≥0时,g(x)=2x2-2单调递增;
当x<0时,g(x)=-2为常数,所以g(x)的单调增区间为[0,+∞).
7.(2017·焦作高一检测)f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是减函数知,一方面满足每一段函数图象是单调递减的,即3a-1<0且-a<0,解之得0【误区警示】本题易忽视在分段点x=1处值的大小比较,从而误选答案C而致错.
8.(2017·长沙高一检测)已知函数f(x)=1-(x>0),若存在实数a,b(aA.m<
B.0C.m<且m≠0
D.m>
【解析】选B.因为函数f(x)=1-(x>0)为定义域内的单调递增函数,要使得y=f(x)的定义域为(a,b)时,值域为(ma,mb),则,即a,b为方程1-=mx的两个实数根,整理得mx2-x+1=0有两个不相等的实数根,所以m≠0,则Δ=(-1)2-4m>0,解得m<,又由题设中给出的区间可知m>0,所以实数m的取值范围是0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)【解析】由f(x)在[0,+∞)上递增,所以得解得≤x<.
答案:
10.(2017·湛江高一检测)函数f(x)=的单调增区间为________.
【解析】函数的定义域为(-∞,0]∪[4,+∞),
令t=x2-4x,则f(t)=,因为f(t)=为增函数,
而t=x2-4x在区间[2,+∞)上为增函数,
与定义域取交集得函数f(x)=的单调增区间为[4,+∞).
答案:[4,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·亳州高一检测)已知函数f(x)=,f(2)=1.
(1)求a的值.
(2)求证:函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.
【解析】(1)由已知得f(2)==1,所以a=2.
(2)由(1)知f(x)==+(x≠0),
设任意x1,x2∈(-∞,0),且x1所以f(x1)-f(x2)=-
=.
因为x1,x2∈(-∞,0),且x1所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.
12.(2017·葫芦岛高一检测)用函数单调性定义证明:
f(x)=x+在x∈(0,)上是减函数.
【证明】设x1,x2是(0,)上的任意两个值,且x10,
f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)·.
因为x1,x2∈(0,),所以00,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)【能力挑战题】
设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1.
(1)求f(1)的值.
(2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值.
(3)若f(x-2)>2,求x的取值范围.
【解析】(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),
所以f(1)=0.
(2)因为f=1,
所以f=f=f+f=2,
所以m=.
(3)因为f(x-2)>2=f,
所以则2PAGE
11.3.1.1
函数的单调性
课时达标训练
1.设f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则有 ( )
A.a≥
B.a≤
C.a>-
D.a<
【解析】选D.因为y=(2a-1)x+b在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<.
2.下列函数中,定义域为R且为增函数的是 ( )
A.y=
B.y=x3
C.y=x2
D.y=|x|
【解析】选B.A中y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
B中,y=x3在R上为增函数,
C中,y=x2在(0,+∞)上为增函数;在(-∞,0)上为减函数,
D中,y=|x|=
在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数的单调增区间为________.
【解析】由图知单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞).
答案:(-∞,-1),(1,+∞)
4.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m-1)>f(2m-1),则实数m的取值范围是________.
【解析】由f(m-1)>f(2m-1)且f(x)是R上的减函数,得m-1<2m-1,所以m>0.
答案:m>0
5.利用单调性的定义证明函数f(x)=
在(0,+∞)上为单调减函数.
【证明】设0-
==,
因为00,x2-x1>0,x1+x2>0,
即>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上为单调减函数.
6.若f(x)=
是R上的单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】因为f(x)=
是R上的单调函数,所以
解得:a≥,故实数a的取值范围为
.
PAGE
11.2
习题课—函数及其表示
课时达标训练
1.函数y=2x+1,x∈N
,且2≤x≤4,则函数的值域是 ( )
A.(5,9)
B.[5,9]
C.{5,7,9}
D.{5,6,7,8,9}
【解析】选C.由题意知函数的定义域为{2,3,4},当x=2时,y=5;当x=3时,y=7;当x=4时,y=9,故函数的值域为{5,7,9}.
2.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],则f(3x-5)的定义域为( )
A.[
,
] B.[-8,10] C.[
,+∞) D.[8,10]
【解析】选A.由题意-1≤3x-5≤5,解得≤x≤.
3.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是 ( )
【解析】选B.
y=-|x|=
中,y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x上满足0≤x≤2的一条线段(包括端点),y=x(-2≤x<0)是直线y=x上满足-2≤x<0的一条线段(包括左端点,不包括右端点),其图象在原点及x轴的下方.
4.已知函数f的定义域为(1,2),则f(x)的定义域为________.
【解析】由1故f(x)的定义域为
.
答案:
5.(2015·福建高考改编)若函数f(x)=
的值域为[4,+∞),求实数a的取值范围.
【解析】当x≤2时,-x+6≥4成立;
当x>2时,2+a2x的值域应是[4,+∞)的子集,
因此2+a2x≥4,即a2x≥2,所以a2≥1,即a≥1或a≤-1.
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1集合的表示
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·德州高一检测)下列关系中,正确的是 ( )
A.∈Q
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.2∈{1,2}
D.{1,2}={(1,2)}
【解析】选C.是无理数,故A错误;(a,b)和(b,a)表示不同的两点,故B错误;{1,2}是数集,{(1,2)}是点集,故D错误.
2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数
为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},所以a+b的值可能为:1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以M中元素只有:5,6,7,8,共4个.
3.已知集合M={(x,y)|y2=x+1},下列关系中正确的是 ( )
A.-1,0∈M
B.{-1,0}∈M
C.(-1,0)∈M
D.(-1,0) M
【解析】选C.集合M中元素是点集,且x=-1,y=0满足y2=x+1,所以(-1,0)∈M.
4.(2017·天津高一检测)已知集合A={1,a,a-1},若-2∈A,则实数a的值
为 ( )
A.-2
B.-1
C.-1或-2
D.-2或-3
【解题指南】根据元素与集合的关系、集合的特点及对a分类讨论即可求出.
【解析】选C.由实数-2∈A,
所以①若-2=a,则A={1,-2,-3},满足集合元素的互异性;
②若-2=a-1,则a=-1,此时A={1,-1,-2},满足集合元素的互异性.综上可知:a=-2或-1.
【补偿训练】(2017·潍坊高一检测)已知M={x|x≥3},若m=5,则 ( )
A.m M
B.m∈M
C.{m}与M相等
D.M∈m
【解析】选B.因为5≥3,所以m∈M.
5.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 ( )
A.1
B.3
C.5
D.9
【解析】选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0,
故B中含有元素-2,-1,0,1,2共5个.
6.(2017·济宁高一检测)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( )
A.3
B.6
C.8
D.10
【解析】选D.因为B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},
故满足条件的元素(x,y)有:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),
(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共10个.
7.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是( )
A.x1·x2∈A
B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B
D.x1+x2+x3∈A
【解析】选D.集合A表示奇数集,B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3是偶数,所以D错误.
8.(2017·柳州高一检测)已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若集合A中至多有一个元素,则实数a的值是 ( )
A.a=0
B.a≥
C.a=0或a≥
D.不能确定
【解析】选C.当a=0时,原方程可化为-3x+2=0,解得x=,符合题意;
当a≠0时,原方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,由Δ=9-8a≤0得a≥,即方程此时无实根或有一个实根(两个相等的实根),符合题意.
综上可知,a=0或a≥.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·郑州高一检测)已知P=,Q={a-b,0,a2},若P与Q相等,则a2+b2017的值为________.
【解析】由P与Q相等可知0∈P,由有意义可知a≠0,故=0,所以b=0.所以Q={a,0,a2},P={a,4,0}.由P与Q相等可知4∈Q,由集合P中元素的互异性可知a≠4,故a2=4.所以a2+b2017=4.
答案:4
10.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=________.
【解析】由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,
则方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}.
答案:{1,3}
【补偿训练】若1∈{x|x2+px+q=0},2∈{x|x2+px+q=0},求p,q的值.
【解题指南】首先注意集合的代表元素,然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x2+px+q=0的解,最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.
【解析】因为1∈{x|x2+px+q=0},2∈{x|x2+px+q=0},所以1,2都是方程x2+px+q=0的解,即1,2都适合方程.分别代入方程,得
②-①得3+p=0,所以p=-3 ③.
将③代入①,得q=-(p+1)=2.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·六安高一检测)设y=x2-ax+b,A={x|y-x=0},B={x|y-ax=0},若A={-3,1},试用列举法表示集合B.
【解析】将y=x2-ax+b代入集合A中的方程并整理得x2-(a+1)x+b=0.
因为A={-3,1},
所以方程x2-(a+1)x+b=0的两根为-3,1.
由根与系数的关系得解得
所以y=x2+3x-3.
将y=x2+3x-3,a=-3代入集合B中的方程并整理得x2+6x-3=0,解得x=-3±2,所以B={-3-2,-3+2}.
12.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).
【解题指南】根据题意,分别讨论①②③④四个条件中一个正确,其他三个错误时的对应情况.讨论时注意不重不漏,同时密切注意集合中的元素是否满足互异性.
【解析】若只有①对,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;
若只有②对,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);
若只有③对,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④对,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).
【补偿训练】已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________.
【解析】①若a≠2正确,则b=2不正确,
即b≠2,所以c=2.
但是c≠0不正确,所以c=0,矛盾;
②若b=2正确,则a≠2不正确,
所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;
③若c≠0正确,则a≠2不正确,故a=2.
又c≠0,所以c=1.故b=0.符合题意.
所以a=2,b=0,c=1.
所以100a+10b+c=201.
答案:201
【能力挑战题】
已知集合M的元素均是自然数,且满足:如果x∈M,那么(4-x)∈M,请回答下列问题:
(1)写出只有一个元素的集合M.
(2)写出元素的个数为2的集合M.
(3)满足题设条件的集合M共有多少个
【解析】(1)设集合M中的仅有的一个元素为x,因为x=4-x,解得x=2,所以只有一个元素的集合M为{2}.
(2)设集合M中的仅有的两个元素为x,y,则x≠y,
因为(4-x)∈M,所以4-x=y,所以x+y=4,
则或或(舍去)或或
所以元素的个数为2的集合M为:{0,4}{1,3}.
(3)满足题设条件的集合M为:{2},{0,4},{1,3},{0,2,4},{1,2,3},
{0,1,3,4},{0,1,2,3,4},共有7个.函数的最大值、最小值
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·青岛高一检测)函数y=x-在[1,2]上的最大值为 ( )
A.0
B.
C.2
D.3
【解析】选B.因为函数y=x-在[1,2]上是增函数,所以ymax=2-=.
2.若函数f(x)=则f(x)的最大值为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【解析】选B.当x≤1时,f(x)=4x+5,此时f(x)max=f(1)=9;
当x>1时,f(x)=-x+9,
此时f(x)<8.综上f(x)max=9.
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为 ( )
A.每个95元
B.每个100元
C.每个105元
D.每个110元
【解析】选A.设售价为x元,利润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80)
=-20(x-95)2+4500(80≤x≤110),所以当x=95时,y有最大值4500.
4.设a,b∈R,且a>0,函数f(x)=x2+ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上g(x)的最大值为2,则f(2)等于( )
A.4
B.8
C.10
D.16
【解析】选B.因为a>0,所以g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,又g(x)的最大值为2,所以a+b=2.所以f(2)=4+2a+2b=4+2(a+b)=8.
5.(改编)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值
是 ( )
A.2
B.-2
C.2或-2
D.0
【解析】选C.当a=0时,不满足题意;
当a≠0时,f(x)=ax+1在[1,2]上单调,
故|f(1)-f(2)|=2,即|a+1-(2a+1)|=2,
所以a=±2.
6.(2017·贵阳高一检测)函数y=+的值域为 ( )
A.[1,]
B.[2,4]
C.[,2]
D.[1,]
【解析】选C.因为y=+,所以y2=2+2,所以y2∈[2,4],所以y∈[,2].
【补偿训练】函数f(x)=+x的值域是 ( )
A.
B.
C.(0,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选A.因为y=和y=x在上都是增函数,所以f(x)在上是增函数.所以f(x)≥f(x)min=f=.
7.已知f(x)=,则f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为 ( )
A.与
B.与1
C.与
D.与
【解析】选A.由f(x)=,所以y=f(x+2)=,
因为y=在[2,8]上单调递减,
所以ymin=f(8)=,ymax=f(2)=.
8.(2017·大庆高一检测)函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,a]上的最大值为3,最小值为2,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,2]
B.[0,2]
C.[1,+∞)
D.[1,2]
【解析】选D.由f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2知,当x=1时,f(x)最小,且最小值为2.当f(x)=3,即x2-2x+3=3时,得x=0或x=2,结合图象知1≤a≤2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·北京高考)函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.
【解题指南】把x-1看成t,再分离常数转化为反比例函数问题.
【解析】令t=x-1(t≥1),则x=t+1,所以y==1+(t≥1).所以0<≤1,所以1<1+≤2.所以f(x)的最大值为2.
答案:2
10.用长度为24米的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________米.
【解析】设隔墙长度为x米,场地面积为S米2,则S=x·=12x-2x2=-2(x-3)2+18.所以当x=3时,S有最大值18米2.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·浏阳高一检测)已知二次函数y=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若a=-1,写出函数的单调增区间和减区间.
(2)若a=-2,求函数的最大值和最小值.
(3)若函数在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=-1时,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,因为x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为[1,6],单调递减区间为[-4,1).
(2)当a=-2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,因为x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为[2,6],单调递减区间为[-4,2),所以函数的最大值为f(-4)=35,最小值为f(2)=-1.
(3)由y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2可得:函数的对称轴为x=-a,因为函数在[-4,6]上是单调函数,所以a≤-6或a≥4.
【补偿训练】(2017·菏泽高一检测)设y=x2+mx+n(m,n∈R),当y=0时,对应x值的集合为{-2,-1}.
(1)求m,n的值.
(2)若x∈[-5,5],求该函数的最值.
【解析】(1)当y=0时,即x2+mx+n=0,
则x1=-1,x2=-2为其两根,
由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m,
所以m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n,
所以n=2.
(2)由(1)知:y=x2+3x+2=-,
因为x∈[-5,5],所以,当x=-时,
该函数取得最小值f(x)min=f=-,
又因为f(-5)=12,f(5)=42,
所以当x=5时,该函数取得最大值f(x)max=f(5)=42.
12.(2017·石家庄高一检测)已知函数f(x)=x+.
(1)证明:函数f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是增函数.
(2)求f(x)在[4,8]上的值域.
【解析】(1)设2≤x1=(x1-x2),
因为2≤x1所以x1-x2<0,x1x2>4,
即0<<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知f(x)在[4,8]上是增函数,
所以f(x)max=f(8)=,f(x)min=f(4)=5,
所以f(x)的值域为.
【能力挑战题】
(2017·济宁高一检测)某专营店销售某运动会纪念章,每枚进价5元,同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x元,x为整数.
(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式,并写出这个函数的定义域.
(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出最大值.
【解析】(1)依题意
y=
所以y=
定义域为{x∈N
|7(2)因为y=
所以当7则x=16时,ymax=32400(元)
当20则x=23或24时,ymax=27200(元).
综上,当x=16时,该特许专营店一年内获得的利润最大,为32400元.
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11.3.1.2
函数的最大值、最小值
课时达标训练
1.函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为 ( )
A.f,f
B.f(0),f
C.f,f(0)
D.f(0),f(3)
【解析】选B.由图知,当x=0时,f(x)取最大值f(0),当x=时,f(x)取最小值f
.
2.已知函数f(x)=|x|,x∈[-1,3],则f(x)的最大值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.f(x)=|x|=
所以f(x)max=f(3)=3.
3.函数y=
在[2,3]上的最小值为 ( )
A.2
B.
C.
D.-
【解析】选B.原函数在[2,3]上单调递减,所以最小值为=.
4.函数f(x)=
在[1,b](b>1)上的最小值是,则b=________.
【解析】因为f(x)=
在[1,b]上是减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)=
=,所以b=4.
答案:4
5.函数f(x)=x2-4x+5,x∈[1,4],则f(x)的最大值为________.
【解析】f(x)=x2-4x+5的对称轴为x=2,所以最大值为f(4)=42-4×4+5=5.
答案:5
6.已知f(x)=x2-x+1,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.
【解析】因为f(x)=x2-x+1=+,又因为∈[-1,1],所以当x=时,f(x)有最小值.当x=-1时,f(x)有最大值,即f(x)min=f=
,f(x)max=f(-1)=3.
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11.1.1.2
集合的表示
课时达标训练
1.集合{x∈N|x-3<2}的另一种表示方法是 ( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
【解析】选A.由于x<5且x∈N,故x的取值为0,1,2,3,4.
2.若M={(1,3),(3,1)},则集合M中元素个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.(1,3),(3,1)表示两个不同元素,共2个.
3.已知集合A={x|x-1<,x∈R},则有 ( )
A.3∈A,且-3 A
B.3∈A,且-3∈A
C.3 A,且-3∈A
D.3 A,且-3 A
【解析】选C.因为A={x|x-1<,x∈R}={x|x<+1,x∈R},所以3 A,且-3∈A.
4.设A={4,a},B={2,ab},若集合A与集合B相等,则a+b=__________.
【解析】因为集合A与集合B相等,所以故
所以a+b=4.
答案:4
5.集合{1,
,
,2,
,…}用描述法表示为________.
【解析】1,
,
,2,
,…可表示为,,,,,…均可用表示.
答案:{x|x=,n∈N
}
6.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集.
(2)在自然数集中,小于1000的奇数构成的集合.
【解析】(1)因为方程x(x2+2x+1)=0的解为0和-1,所以解集为{0,-1}.
(2)在自然数集中,奇数可表示为x=2n+1,n∈N,故在自然数集中,小于1000的奇数构成的集合为{x|x=2n+1,且n<500,n∈N}.并集、交集
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合A={1,2,3},B={x|-3A.{-2,-1,0,1,2,3}
B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3}
D.{1,2}
【解析】选D.B中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,所以A∩B={1,2}.
2.(2015·重庆高考)已知集合A=,B=,则 ( )
A.A=B
B.A∩B=
C.AB
D.BA
【解析】选D.因为A=,B=,由集合之间的关系可知BA.
3.(2015·广东高考)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N= ( )
A.{0,-1}
B.{0}
C.{1}
D.{1,1}
【解析】选C.M∩N={-1,1}∩{-2,1,0}=.
4.已知集合A={1,2,3,4},集合B={1,3},则满足B∪C=A的集合C的个数
为 ( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.因为B∪C={1,2,3,4}且B={1,3},所以C中至少含有元素2,4.故满足条件的集合C有:{2,4},{2,4,1},{2,4,3},{2,4,1,3},共有四个.
5.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N= ( )
A.{0}
B.{0,2}
C.{-2,0}
D.{-2,0,2}
【解析】选D.M={x|x2+2x=0,x∈R}={-2,0},N={x|x2-2x=0,x∈R}={2,0},
M∪N={-2,0,2}.
【延伸探究】本题条件不变,则M∩N=______.
【解析】M={x|x2+2x=0,x∈R}={-2,0},N={x|x2-2x=0,x∈R}={2,0},所以
M∩N={0}.
答案:{0}
6.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m= ( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
【解析】选B.因为A∪B=A,所以BA.又A={1,3,},B={1,m},所以m=3或m=,由m=,得m=0或1.但m=1,不符合题意,舍去,故m=0或3.
【一题多解】选B.因为B={1,m},所以m≠1,故可排除C,D.又当m=3时,A={1,3,},B={1,3},所以A∪B={1,3,}=A,故m=3,符合题意.故选B.
7.(2016·北京高考)已知集合A={x|25},则A∩B= ( )
A.{x|2B.{x|x<4或x>5}
C.{x|2D.{x|x<2或x>5}
【解析】选C.作出数轴如下,由图可知选C.
8.(2017·临沂高一检测)设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若
A∩B=,则A∪B= ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为A∩B=,
所以
解得p=-7,q=-4.
将其代入两个方程,分别求解方程可得
A=,B=,
故A∪B=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·郑州高一检测)已知集合A={x|x≤2},B={x|x>a},如果A∪B=R,那么a的取值范围是________.
【解析】因为A={x|x≤2},B={x|x>a},A∪B=R,所以a≤2,故a的取值范围是
(-∞,2].
答案:(-∞,2]
10.(2017·扬州高一检测)已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x>5},若A∩B=,则实数a的取值范围为__________.
【解析】当A=,即2a>a+3,得a>3时,A∩B=.
当A≠时,由A∩B=,得a+3≤5,即a≤2.
所以a的取值范围是{a|a≤2或a>3}.
答案:{a|a≤2或a>3}
【补偿训练】(2017·洛阳高一检测)集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有________个.
【解析】根据题意,分析可得阴影部分所示的集合为M∩N,又由-2≤x-1≤2得-1≤x≤3,即M={x|-1≤x≤3},在此范围内的奇数有1和3.所以集合M∩N={1,3}共有2个元素.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·宜宾高一检测)已知集合U=R,A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B.
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
【解析】(1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}
={x|3≤x≤7},
A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A,所以CA,
所以a-1≥3,即a≥4.
12.(2017·菏泽高一检测)已知集合A={x|x-2>3},B={x|2x-3>3x-a},求A∪B.
【解析】A={x|x-2>3}={x|x>5},B={x|2x-3>3x-a}={x|x①当a-3≤5,即a≤8时,A∪B={x|x5}.
②当a-3>5,即a>8时,A∪B={x|x>5}∪{x|x综上,当a≤8时,A∪B={x|x5},
当a>8时,A∪B=R.
【能力挑战题】
已知集合A={x|1(1)当m=-1时,求A∪B.
(2)若AB,求实数m的取值范围.
(3)若A∩B=,求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)m=-1时,先确定集合B中的元素,然后可求出A∪B.
(2)AB,说明A中的元素都在B中且B≠,从而求得m的取值范围.
(3)A∩B=,说明A中的元素都不在B中或B为空集,因为空集与任何集合的交集都是空集,分两种情况讨论可求得m的取值范围.
【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2则A∪B={x|-2(2)由AB知:
得m≤-2,即实数m的取值范围为m≤-2.
(3)由A∩B=得:
①若2m≥1-m即m≥时,B=,符合题意.
②若2m<1-m即m<时,
需或得0≤m<或,即0≤m<,
综上知m≥0,即实数m的取值范围为m≥0.
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1习题课——函数及其表示
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则A∩B=( )
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.[2,+∞)
D.(0,+∞)
【解题指南】要分清集合A,B中的元素各是什么,求出集合A,B,再求交集.
【解析】选C.集合A表示函数y=的定义域,得A=[1,+∞),集合B表示函数y=x2+2的值域,得B=[2,+∞),所以A∩B=[2,+∞).
2.(2017·成都高一检测)已知函数f(x)的定义域为[0,2],则的定义域
为 ( )
A.{x|0B.{x|0≤x≤4}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0【解析】选D.函数的定义域满足: 03.(2017·石家庄高一检测)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则m的取值范围是 ( )
A.(2,4)
B.[2,4)
C.(2,4]
D.[2,4]
【解析】选D.二次函数的对称轴为x=2,当x=2时取得最小值-8,当x=0时函数值为-4,由对称性可知x=4时函数值为-4,所以m的取值范围是[2,4].
4.(2017·烟台高一检测)已知函数f(2x+1)的定义域为,则f(x)的定义域为 ( )
A.
B.
C.(-3,2)
D.(-3,3)
【解析】选C.-2故f(x)的定义域为(-3,2).
5.(2017·重庆高一检测)对任意的实数x,y,函数f(x)都满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成立,则f(2)+f(-2)= ( )
A.-4
B.0
C.-2
D.2
【解析】选A.x=y=0 f(0)=f(0)+f(0)+2 f(0)=-2;
x=2,y=-2 f(0)=f(2)+f(-2)+2 f(2)+f(-2)=-4.
6.将满足f=-f(x)的函数,称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:
①y=f(x)=x-;②y=f(x)=x+;③y=f(x)=中满足“倒负”变换的函数是 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①
【解析】选C.对于①,f=-x=-f(x),满足条件;
对于②,f=+x≠-f(x),不满足条件;
对于③,f=
满足条件f=-f(x),所以①③满足.
7.(2017·济南高一检测)已知f(x)的定义域为(0,1),则g(x)=f(x+c)+f(x-c)在0A.(-c,1+c)
B.(1-c,c)
C.(1+c,-c)
D.(c,1-c)
【解析】选D.要使函数有意义,需即又08.(2017·正定高一检测)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则实数m的取值范围是( )
A.(0,4)
B.[,4]
C.[,3]
D.[,+∞)
【解析】选C.将已知函数配方得y=-,
因为函数的值域为[-,-4],定义域为[0,m],而f=-,f(0)=-4,结合图象知m≥(否则取不到最小值-)且m-≤(否则超出最大值-4),所以≤m≤3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·德州高一检测)f(x)的图象如图,则f(x)的值域为__________.
【解析】根据函数的图象可知,-4≤y≤3,故f(x)的值域为[-4,3].
答案:[-4,3]
10.(2017·安顺高一检测)函数f(x)=的值域是________.
【解析】作出y=f(x)的图象,如图所示:
由图象可知,f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
答案:[0,2]∪{3}
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知函数f(x)=(a∈R且x≠a),当f(x)的定义域为时,求f(x)的值域.
【解析】f(x)==-1+,
当a+≤x≤a+时,-a-≤-x≤-a-,
所以-≤a-x≤-,即-3≤≤-2,
于是-4≤-1+≤-3,
故f(x)的值域为[-4,-3].
12.已知函数f(x)=
(1)求f(-8),f,f,f的值.
(2)作出函数的简图.
(3)求函数的值域.
【解析】函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]
=[-1,2].
(1)因为-8 [-1,2],所以f(-8)无意义.
因为-1≤x<0时,f(x)=-x,
所以f=-=.
因为0≤x<1时,f(x)=x2,
所以f==.
因为1≤x≤2时,f(x)=x,所以f=.
(2)在同一坐标系中画出函数的图象,如图所示:
(3)由第(2)问中画出的图象可知,函数的值域为[0,2].
【能力挑战题】
已知二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件f=f,且方程f(x)=7x+a有两个相等的实根,求f(x)的值域.
【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件f=f,所以f(x)=ax2+bx+a=ax2-ax+a,又因为方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根,即ax2-x=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-]2=0,解得a=-2,故f(x)=-2x2+7x-2.
所以f(x)=-2[x2-x+-]-2
=-2+.
故f(x)≤,所以f(x)的值域为(-∞,].
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1集合的含义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·安庆高一检测)关于集合下列正确的是 ( )
A.-1 N
B.∈Q
C.π R
D.Q∈Z
【解析】选A.由N,Q,Z,R的意义知,A正确.
2.方程x2-2x+1=0的解集中元素个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=1,根据元素的互异性知其解集中有1个元素.
3.(2017·中山高一检测)下列各组对象中不能构成集合的是 ( )
A.某校高一(2)班的全体男生
B.某校全体学生的家长
C.李明的所有家人
D.王明的所有好朋友
【解析】选D.A,B,C中的元素都是确定的,而D中元素不确定,故构不成集合.
4.已知集合A由元素1和a2组成,实数a不能取的值是 ( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.不能确定
【解析】选C.因为1和a2是集合A中的元素,故a2≠1,即a≠1或a≠-1.
5.(2017·菏泽高一检测)由形如x=3k-1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是 ( )
A.-1 A
B.-11∈A
C.3k+2 A
D.3k2-1∈A
【解析】选D.A中,当k=0时,x=-1,所以-1∈A;
B中,令-11=3k-1,得k=- Z,所以-11 A;
C中,3k+2=3(k+1)-1,因为k+1∈Z,所以3k+2∈A;
D中,由于3k2-1,k2∈Z,所以3k2-1∈A.
6.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是 ( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
【解题指南】根据集合中元素的互异性判断.
【解析】选A.由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们构成的四边形的四条边互不相等,因此选A.
【误区警示】解答本题易忽视集合中元素必须具有“互异性”这一特征而错选答案,因此集合元素的特性是分析解决该类问题的切入点.
【补偿训练】若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选D.根据集合中元素的互异性知,集合M中任何两个元素都不相同,即对于三角形而言任何两边都不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
7.若集合A中含有三个元素1,a+b,a;集合B中含有三个元素0,,b,若集合A与集合B相同,则b-a= ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选C.由题意知a+b=0且a≠0,即a=-b,=-1,所以b=1,a=-1,故b-a=2.
8.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是 ( )
A.3∈A,-1 A
B.3∈A,-1∈A
C.3 A,-1∈A
D.3 A,-1 A
【解题指南】对x,y取值的正负分别讨论,去掉绝对值号,从而求出z的值.
【解析】选B.当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;
当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;
当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·贵阳高一检测)方程x2-2x-3=0的解集与集合A相等,若集合A中的元素是a,b,则a+b=________.
【解析】由x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故集合A中的元素为-1和3,所以a+b=2.
答案:2
10.设y=2x+3上的点集为P,点(1,5)与点集P的关系为(1,5)________P(填“∈”或“ ”).
【解析】因为y=2x+3,当x=1时,y=2×1+3=5,
所以(1,5)∈P.
答案:∈
三、解答题
11.(10分)(2017·武汉高一检测)已知集合A中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
【解析】因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,所以a=-1,或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以a=-1舍去.
当a=-时,经检验,符合题意,
所以a=-.
【延伸探究】本题中若将条件“且-3∈A”去掉,则a的取值范围是什么
【解析】由集合中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,
得即
故a的取值范围是a≠-1且a≠-4且a≠且a≠14.1.1.2
集合间的基本关系
课时达标训练
1.已知集合M={8},集合P={1,4,8},则有 ( )
A.M=P
B.P M
C.PM
D.MP
【解析】选D.由于8∈P,则M P,又M≠P,则MP.
2.已知集合A {0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为 ( )
A.6
B.5
C.4
D.3
【解析】选A.集合{0,1,2}的子集为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},
{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个.
3.下列四个集合中,是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
【解析】选D.A中集合为{0},B中为{(0,0)},C中为{0},而D中方程无解,是空集.
4.已知M={x|x>2},N={x|x>a},若M N,则a的取值范围是________.
【解析】因为M={x|x>2},N={x|x>a}且M N,所以a≤2.
答案:a≤2
5.设A={x|x2-5x+m=0},B={x|x-3=0},且B A,则m=________.
【解析】因为B={3} A,所以3∈A,即9-15+m=0,所以m=6.
答案:6
6.已知A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+a<0},当B A时,求实数a的取值范围.
【解析】因为A={x|x<-1或x>2},
B={x|4x+a<0}=,
因为A B,所以-≤-1,即a≥4,
所以a的取值范围是a≥4.