2.1
合情推理与演绎推理（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )
A．28
B．32
C．33
D．27
[解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.
2．下列关于归纳推理的说法错误的是( A )
①归纳推理是由一般到一般的推理过程；
②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；
③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；
④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
[解析] 归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( B )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[解析] 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N
)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )
A．
B．△
C．□
D．○
[解析] 图形涉及○、△、□三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色 符号，即应画上才合适．
6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( C )
A．
B．
C．
D．不可类比
[解析] 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，∴S扇＝lr.
二、填空题
7．已知：sin2
30°＋sin2
90°＋sin2
150°＝；sin2
5°＋sin2
65°＋sin2
125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin2
α＋sin2
(α＋60°)＋sin2
(α＋120°)＝ .
[解析] 观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin2
α＋sin2
(α＋60°)＋sin2
(α＋120°)＝.
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式： ＋＋＋…＋≥
[解析] 不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式＋＋＋…＋≥成立．
三、解答题
9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数.
(1)求f(4)；
(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．
[解析] (1)如图所示，可得f(4)＝5.
(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，
f(5)＝9＝f(4)＋4，
f(6)＝14＝f(5)＋5.
……
∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，
累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
B级 素养提升
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )
A．27
B．28
C．29
D．30
[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )
A．白色
B．黑色
C．白色的可能性大
D．黑色的可能性大
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
3．(2015·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C．
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
二、填空题
4．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝__30__.
[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a＝21，b＝9，故a＋b＝30.
5．(2016·天津五区县高二检测)在等差数列{an}中，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)，则am＋an＝2ap，类比上述结论，在等比数列{bn}中，若m＋n＝2p，则得到的结论是__bmbn＝b__.
[解析] 设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，
∴bm·bn＝bqm＋n－2，
b＝bq2p－2，
∵m＋n＝2p，∴bmbn＝bq2p－2＝b.
6．(2015·陕西文)观察下列等式
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
……
据此规律，第n个等式可为 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ .
[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．
三、解答题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式.
[解析] 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－；∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N
)．
C级 能力提高
1．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为__S＝S△OBC·S△DBC__.
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．
2．若a1、a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.
[解析] 本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：≥()2，
≥()2，…，
≥()2；
第二类型：≥()3，≥()4，…，≥()n；
第三类型：≥()3，…，≥()m.
上述a1、a2、…、an∈R＋，m、n∈N
.2.1
合情推理与演绎推理（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin
(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin
(x2＋1)是奇函数．以上推理( C )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
[解析] 函数f(x)＝sin
(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．
2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( D )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠A＝∠B
B．某校高一(1)班有45人，高一(2)班有46人，高一(3)班有48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过50
C．由平面上圆的性质，推测空间球的性质
D．数列{an}满足：a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠A＝∠B，因此是演绎推理．
4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( A )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
[解析] “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线”错误，故选A．
5．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( A )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
6．若a>b>0，c
A．>
B．<
C．>
D．<
[解析] ∵cb>0，∴<.选B．
二、填空题
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形__.
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提__所有一次函数的图象都是一条直线__．
小前提__函数y＝2x＋5是一次函数__．
结论__函数y＝2x＋5的图象是一条直线__．
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理.
[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，
则这两个三角形全等．(大前提)
如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)
则这两个三角形全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC △ABC≌△CDA．
②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)
如果△ABC和△CDA全等，(小前提)
则它们的对应角相等，(结论)
符号表示：
△ABC≌△CDA ∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．
③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)
直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]
则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]
④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)
四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)
四边形ABCD为平行四边形．(结论)
符号表示：AB∥DC且AD∥BC 四边形ABCD为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( A )
A．省略了大前提
B．省略了小前提
C．是完整的三段论
D．推理形式错误
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( B )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．
3．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( A )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A．
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．
二、填空题
5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A城市__.
[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
6．以下推理中，错误的序号为__①__.
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
7．已知数列{an}满足a1＝，且前n项和Sn满足Sn＝n2an，则an＝ .
[解析] 解法一：(归纳法)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
寻找分母的规律，
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
所以an＝.
解法二：(演绎推理)Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，所以(n2＋2n)an＋1＝n2an，
所以＝，＝，…，＝，＝，＝，
所以＝.
因为a1＝，所以an＋1＝.
又因为a1＝＝.
三、解答题
8．用三段论证明：已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝，n＝1,2,3…，证明{bn}为等比数列.
[解析] 因为lga1，lga2，lga4成等差数列，
所以2lga2＝lga1＋lga4，
即a＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，这样d2＝a1·d，从而d(d－a1)＝0.
而d＝0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d，
bn＝＝·.
这时{bn}是首项为b1＝，公式为的等比数列．
综上知{bn}为等比数列．
C级 能力提高
1．(2017·北京文，14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__6__；
(2)该小组人数的最小值为__12__.
[解析] (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.
(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.
2．已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1.
(2)当－1≤x≤1，求证：－2≤g(x)≤2.
[解析] (1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.
(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，
所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.
当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.3.1
数系的扩充和复数的概念（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( C )
A．0
B．－3
C．－3i
D．3
[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.
3．复数z＝1＋(2－sin
θ)i在复平面内对应的点所在的象限为( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵1>0,2－sin
θ>0，
∴复数对应的点在第一象限．
4．复数z与它的模相等的充要条件是( D )
A．z为纯虚数
B．z是实数
C．z是正实数
D．z是非负实数
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( A )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．
6．复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模为( B )
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
[解析] |z|＝＝＝＝2|cos
|.
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos
<0，
∴2|cos|＝－2cos，故选B．
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z＝1＋2i，则|z|＝ .
[解析] |z|＝＝.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是__(1,2)__.
[解析] 由已知，得，
解得1三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( A )
A．－B．x<2
C．x>－
D．x<－或x>2
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－2．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( C )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴D不正确，∴C正确．
3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( D )
A．1
B．2
C．
D．3
[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z－i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.
4．在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵<2<π，∴sin
2>0，cos
2<0.∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)位于第四象限．
二、填空题
5．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x
O＋y
O(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.∴x＋y＝5.
6．设(1＋i)sin
θ－(1＋icos
θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan
θ的值为 .
[解析] 由题意，得sin
θ－1＋sin
θ－cos
θ＋1＝0，
∴tan
θ＝.
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝__12__.
[解析] 由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
C级 能力提高
1．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
2．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i，证明对一切实数m，该复数z所对应的点不可能位于第四象限.
[解析] 设z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i对应的点Z(m2＋m－6，m2＋m－2)位于第四象限，
则有解得
显然此不等式组无解，因此对一切实数m，
该复数所对应的点不可能位于第四象限．3.1
数系的扩充和复数的概念（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．全集I＝{复数}，集合M＝{有理数}，N＝{虚数}，则( IM)∩( IN)＝( D )
A．{复数}
B．{实数}
C．{有理数}
D．{无理数}
[解析] IM＝{无理数、虚数}， IN＝{实数}，∴( IM)∩( IN)＝{无理数}．
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( D )
A．－2
B．
C．－
D．2
[解析] 由题意得2＋(－b)＝0，∴b＝2.
3．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( A )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋i
D．＋i
[解析] 复数2i－的虚部为2，复数i＋2i2＝－2＋i，∴其实部为－2，故选A．
4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( D )
A．0或－1
B．0
C．1
D．－1
[解析] ∵z为纯虚数，∴，
∴m＝－1，故选D．
5．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( A )
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
[解析] 依题意得，
解得，故选A．
6．复数z＝a2＋b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( D )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a≤0
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，
故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝ ，y＝__1__.
[解析] 由复数相等可知
，∴.
8．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是 2＋，0.618，i2 .
[解析] 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
三、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[分析] 按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．
[解析] (1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0①
且有意义②
解①得a＝－1且a＝6，
解②得a≠±1，
∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0③
且有意义④
解③得a≠－1且a≠6，
解④得a≠±1，
∴a≠±1且a≠6，
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，，
此方程组无解，
∴不存在实数a使z为纯虚数．
B级 素养提升
一、选择题
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1，
B．1＋，0
C．0,1＋
D．0，(1＋)i
[解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( B )
A．－1
B．4
C．－1或4
D．不存在
[解析] 由条件知，，
∴，∴m＝4.
3．若a、b∈R,
且a>b，那么( D )
A．ai>bi
B．a＋i>b＋i
C．ai2>bi2
D．bi2>ai2
[解析] ∵i2＝－1，a>b，∴ai24．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
[解析] 由题意得，解得a＝－4.
二、填空题
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3.
6．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝__－1__.
[解析] ∵z<0，∴∴m＝－1.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
C级 能力提高
1．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为__2__.
[解析] (1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以
解得所以＝2.
2．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．
(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是，解得1(2)若z是纯虚数，则其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是，解得m＝2.第二章
推理与证明
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( C )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析] 大前提是错误的，故选C．
2．已知aA．a2B．<1
C．a<4－b
D．<
[解析] 令a＝－2，b＝－1，满足ab2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C．
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<”，索的因应是( C )
A．a－b>0
B．a－c<0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．
只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－c2－ac>0，即证a2－c2＋a2－ac>0，即证(a＋c)(a－c)＋a(a－c)>0，即证(a－c)[(a＋c)＋a]>0.又b＝－(a＋c)，即证(a－c)(a－b)>0.故选C．
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( C )
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab.
7．(2017·全国Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D．
8．已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2016(x)等于( A )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
[解析] 由已知，有f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sin
x，f4n＋1(x)＝cos
x，f4n＋2(x)＝－sin
x，
f4n＋3(x)＝－cos
x(n∈N
)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sin
x.
9．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N
.下列命题中真命题是( A )
A．若 n∈N
总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若 n∈N
总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若 n∈N
总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若 n∈N
总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
[解析] ∵对 n∈N
总有cn∥bn，则存在实数λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差数列．
10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( A )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A．
11．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( B )
A．b
B．－b
C．
D．－
[解析] f(x)定义域为(－1,1)，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( A )
A．一定大于零
B．一定等于零
C．一定小于零
D．正负都有可能
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．“因为AC、BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形对角线互相垂直且平分__.
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ .
[解析] 由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上类比得到的结论正确的是__①②__.
[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
16．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3
13＋23＝9
1＋2＋3＝6
13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10
13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝ .(n∈N
，用含有n的代数式表示)
[解析] 由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
＝[]2＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：≥.
[解析] 分析法：要证≥，
只需证：≥()2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
综合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥.
18．(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明．
[解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.
∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
19．(本题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin2
13°＋cos2
17°－sin
13°cos
17°.
(2)sin2
15°＋cos2
15°－sin
15°cos
15°.
(3)sin2
18°＋cos2
12°－sin
18°cos
12°.
(4)sin2
(－18°)＋cos2
48°－sin
(－18)°cos
48°.
(5)sin2
(－25°)＋cos2
55°－sin
(－25)°cos
55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] ①选择(2)式计算如下sin2
15°＋cos2
15°－sin
15°cos
15°＝1－sin2
30°＝.
②三角恒等式为
sin2
α＋cos2
(30°－α)－sin
αcos
(30°－α)＝.
证明如下：sin2
α＋cos2
(30°－α)－sin
αcos
(30°－α)＝sin2
α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sinα
(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2
α＋cos2
α＋sin
αcos
α＋sin2
α－
sin
αcos
α－sin2
α
＝sin2
α＋cos2
α＝.
20．(本题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C为等差数列，且a，b，c分别为角A、B、C的对边.
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[分析] 利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．
[解析] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3.
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cosB＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
21．(本题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
[解析] (1)设等差数列公差为d，
则3a1＋d＝9＋3，
解得d＝2，∴an＝1＋＋(n－1)×2＝2n＋－1，
Sn＝n＝n(n＋)．
(2)bn＝＝n＋.用反证法证明．
设bn，bm，bk成等比数列(m、n、k互不相等)，则bnbk＝b，即(n＋)(k＋)＝(m＋)2，整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何不同三项都不可能成等比数列．
22．(本题满分12分)(2017·哈六中期中)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.
[解析] (1)f
′(x)＝(x－1)(ex－1)，
当x＜0或x＞1时，f
′(x)＞0，当0＜x＜1时，f
′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，
则g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，则u′(x)＝ex－，
当x≥1时，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x.4.2
结构图
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是( B )
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构的
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
[解析] 在结构图中除了“树”形结构也经常会出现一些“环”形结构，这种情形常在表达逻辑先后关系时出现，故B这种说法不正确．
2．如图所示为某公司的组织结构图，总经理的直接下属是( C )
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和七个部
[解析] 由结构图，注意“直接”一词，与“总经理”直接连线的是选项C．
3．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( B )
A．并列关系
B．从属关系
C．包含关系
D．交叉关系
[解析] 它们的关系是从属关系．
4．如图，等腰三角形可排在构成要素( )之后.( D )
A．①
B．②
C．③
D．都不对
[解析] 等腰三角形有可能为锐角三角形，也有可能为直角三角形，还有可能为钝角三角形．
5．如图所示的框图中是结构图的是( D )
A．→→→
[解析] 因为A，B，C都是描述具有时间特征的动态过程，为流程图；只有D描述系统结构，为结构图．
6．计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( D )
[解析] 计算机系统可分为硬件系统与软件系统，硬件系统又包括存储器与CPU.
二、填空题
7．阅读如图所示的知识结构图．“求简单函数的导数”的“上位”要素有__3__个.
[解析] “求简单函数的导数”的上位要素有“基本求导公式”、“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”3个．
8．在工商管理学中，MRP指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示.
从图中可以看出，基本MRP直接受__生产计划__，__产品结构__和__库存状态__．
[解析] 影响基本MRP的直接因素就是箭头直接指向它的框中的因素．
三、解答题
9．要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁和工程设计可以同时进行．工程设计分为两个部分，即土建设计与设备采购，且这两项又可以同时进行．当拆迁工作和土建设计进行完才能进行厂房土建工程，在厂房土建工程和设备采购进行完才能进行设备安装、调试，待此工序完成后，才能进行试生产，试画出该工厂由拆迁、设计、购买设备、厂房建设、设备安装调试到试生产的工序流程图.
[解析] 工序流程图为：
B级 素养提升
一、选择题
1．把两条直线的位置关系依次填入下图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是( C )
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交
A．①②③④
B．①④②③
C．①③②④
D．②①④③
[解析] 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交，故选C．
2．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( D )
A．流程图用来描述一个动态过程
B．结构图是用来刻画系统结构的
C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各要素的先后关系
D．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
[解析] 结构图中表达各要素之间关系有时用连线，有时用方向箭头，如组织结构图中一般用连线即可．
3．下列结构图中各要素之间表示从属关系的是( B )
A．→→
D．→
[解析] “合情推理”与“演绎推理”从属于“推理”，所以只有B选项正确．
4．下列结构图中各要素之间表示逻辑先后关系的是( A )
A．→→
[解析] 结构图A表示的是逻辑先后关系．
二、填空题
5．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有__4__部分.
[解析] 由框图的结构知共4个部分．
6．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：
如果某人用手机查询该机卡上余额，操作的流程图是 →→ .
三、解答题
7．请设计“空间几何体”的知识结构图.
[解析]
8．网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统，它在网络上建立了一个虚拟的购物商场，使购物过程变得轻松、快捷、方便．网上购物系统可分为前台管理和后台管理，前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户信息维护等功能；后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块．根据这些要求画出该系统的结构图.
[解析] 网上购物系统的结构图如图．
C级 能力提高
1．某班有50名学生，现将某科的成绩分为三个等级，80～100分为A,60～79分为B,60分以下(不包括60分)为C．试设计一个流程图表示输出每一名学生成绩的等级的算法.
[解析] 流程图如图所示．
2．阅读下面文字，然后按获取的信息画出结构图.
英国物理学家汤姆生对阴极射线进行了一系列实验研究．直到1897年，他根据阴极射线在电场和磁场中偏转断定它的本质是带负电的粒子流，这一粒子流的组成成分就是后来我们所知道的电子，随着对电子的认识，他提出了一种正负电荷在原子内的存在模型——枣糕模型．但英籍物理学家卢瑟福用粒子散射实验推翻了汤姆生最初的“枣糕模型”，从而确定了卢瑟福的核式结构模型．随着科技的发展，人们又知道质子与中子组成了原子核，原子核间的作用力可以放出巨大的能量，这就是我们所熟悉的核能．
[解析]
PAGE
11.2
独立性检验的基本思想及其应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于等高条形图的叙述正确的是( C )
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条例形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
[解析] 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能找出频率，无法找出频数，故B错．
2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强( A )
A．与
B．与
C．与
D．与
[解析] 与相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．
3．在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属于两个分类变量的是( C )
A．吸烟，不吸烟
B．患病，不患病
C．是否吸烟、是否患病
D．以上都不对
[解析] “是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值；吸烟和不吸烟；“是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病．可知A、B都是一个分类变量所取的两个不同值．故选C．
4．下列是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则该表中a、b的值分别为( C )
A．94,96
B．52,50
C．52,54
D．54,52
[解析] a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.
5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( C )
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
A．①
B．①③
C．③
D．②
[解析] ①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B，③正确．排除D，选C．
6．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( D )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
[解析] 比较|－|.
选项A中，|－|＝；
选项B中，|－|＝；
选项C中，|－|＝；
选项D中，|－|＝.故选D．
二、填空题
7．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
合计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
根据列表数据，求得K2的观测值k≈__7.469__.
[解析] K＝≈7.469.
8．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)
性别与喜欢文科还是理科列联表
喜欢文科
喜欢理科
总计
男生
8
28
36
女生
20
16
36
总计
28
44
72
中学生的性别和喜欢文科还是理科__有__关系．(填“有”或“没有”)
[解析] 通过计算K2的观测值k＝≈8.42>7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．
三、解答题
9．运动员参加比赛前往往做热身运动，下表是一体育运动的研究机构对160位专业运动员追踪而得的数据，试问：由此数据，你认为运动员受伤与不做热身运动有关吗？
受伤
不受伤
总计
做热身
19
76
95
不做热身
45
20
65
总计
64
96
160
[解析] ∵a＝19，b＝76，c＝45，d＝20，a＋b＝95，c＋d＝65，a＋c＝64，b＋d＝96，n＝160.
∴由计算公式得K2＝≈38.974.
∵38.974>6.635，
∴有99%的把握认为运动员受伤与不做热身运动有关．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2016·天津五区县高二检测)某研究中心为研究运动与性别的关系得到2×2列联表如下：
喜欢运动
不喜欢运动
合计
男生
60
20
80
女生
10
10
20
合计
70
30
100
则随机变量K2的观测值约为( A )
A．4.762
B．9.524
C．0.011
9
D．0.023
8
[解析] K2＝≈4.762.
2．某研究机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：
心脏病
无心脏病
秃发
20
300
不秃发
5
450
根据表中数据得到K2＝≈15.968>6.635，所以断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为( D )
A．0.1
B．0.05
C．0.025
D．0.01
[解析] ∵K2>6.635，∴有99%的把握说秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性有1－0.99＝0.01.
3．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( B )
A．99%
B．95%
C．90%
D．无充分依据
[解析] 由表中数据得k＝
≈5.059>3.841.
所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．
4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.( D )
A．99.9%
B．99.5%
C．99%
D．97.5%
[解析] 可以先作出如下列联表(单位：人)：
糖尿病患者与遗传列联表
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到K2的观测值为
k＝≈6.067>5.024.
故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
5．有两个分类变量X，Y，其一组的2×2列联表如下所示，
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为( C )
A．8
B．9
C．8,9
D．6,8
[解析] 根据公式，得K2的观测值k＝＝>3.841，数据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．
二、填空题
6．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过__0.25__的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重
不超重
总计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
总计
7
13
20
[解析] 根据公式K2＝得，K2的观测值k＝≈5.934，
因为k>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．
7．两个分类变量X、Y，它们的取值分别为x1、x2和y1、y2，其列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
若两个分类变量X、Y独立，则下列结论：
①ad≈bc；②≈；③≈；④≈；
⑤≈0.
其中正确的序号是__①②⑤__.
[解析] ∵分类变量X、Y独立，
∴≈×，
化简得ad≈bc，故①⑤正确；
②式化简得ad≈bc，故②正确．
三、解答题
8．(2016·重庆八中高二检测)2016年夏季奥运会在巴西里约热内卢举行．体育频道为了解某地区关于奥运会直播的收视情况．随机抽取了100名观众进行调查．其中40岁以上的观众有55名．下面奥运会直播时间的频率分布表(时间：min)：
分组
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
[100,120)
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
将每天收看奥运会直播的时间不低于80
min的观众称为“奥运迷”．已知“奥运迷”中有10名40岁以上的观众．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表；
非“奥运迷”
“奥运迷”
合计
40岁以下
40岁以上
合计
(2)并据此资料你是否有95%以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关．
附：K2＝
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
[解析] (1)由题意得100名观众中“奥运迷”共有(0.2＋0.05)×100＝25名，其中40岁以上的“奥运迷”有10名，∴40岁以下的“奥运迷”有15名，∴2×2列联表如下：
非“奥运迷”
“奥运迷”
合计
40岁以下
30
15
45
40岁以上
45
10
55
合计
75
25
100
(2)K2＝
≈4.862>3.841，
∴有95%以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关．
C级 能力提高
1．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
K2＝≈4.844，
因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .
[解析] ∵k>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.
2．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
合计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
合计
146
684
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
[解析] (1)提出假设H0：传染病与饮用水的卫生程度无关．
由公式得K＝≈54.21.
因为54.21>10.828，因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关．
(2)依题意得2×2列联表：
得病
不得病
合计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
合计
14
72
86
由公式得K＝≈5.785.
由5.785>5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种传染病与饮用水的卫生程度有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但(1)问中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)问中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性．回归分析的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( C )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[解析] 图1中的数据y随x的增大而减小，因此变量x与y负相关；图2中的数据随着u的增大，v也增大，因此变量u与v正相关，故选C．
2．已知x和y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程＝x＋必过点( D )
A．(2,2)
B．(，0)
C．(1,2)
D．(，4)
[解析] ∵＝(0＋1＋2＋3)＝，＝(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程＝x＋必过点(，4)．
3．关于回归分析，下列说法错误的是( D )
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能准确反应变量间的关系
[解析] 用散点图反映两个变量间的关系，存在误差，故选D．
4．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( B )
A．越大
B．越小
C．可能大也可能小
D．以上均错
[解析] 当R2越大时，残差平方和越小．
5．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( A )
A．l1和l2有交点(s，t)
B．l1与l2相关，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行
D．l1与l2必定重合
[解析] 由题意知(s，t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心，而线性回归直线恒过样本点的中心，故选A．
6．关于随机误差产生的原因分析正确的是( D )
(1)用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差；
(2)忽略某些因素的影响所产生的误差；
(3)对样本数据观测时产生的误差；
(4)计算错误所产生的误差．
A．(1)(2)(4)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(1)(2)(3)
[解析] 理解线性回归模型y＝bx＋a＋e中随机误差e的含义是解决此问题的关键，随机误差可能由于观测工具及技术产生，也可能因忽略某些因素产生，也可以是回归模型产生，但不是计算错误．
二、填空题
7．回归分析是处理变量之间__相关__关系的一种数量统计方法.
[解析] 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．
8．已知x、y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋a，则a的值为__2.6__.
[解析] 由已知得＝2，＝4.5，而回归方程过点(，)，则4.5＝0.95×2＋a，
∴a＝2.6.
三、解答题
9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
(1)以工作年限为自变量，推销金额为因变量y，作出散点图；
(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
[解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，
(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为＝x＋.
则＝＝＝0.5，＝－＝0.4，
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
(3)由(2)可知，当x＝11时，
＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．
B级 素养提升
一、选择题
1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( B )
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
[解析] ＝＝10，
＝＝8，
＝－＝8－0.76×10＝0.4，
所以当x＝15时，＝x＋＝11.8.
2．由一组数据(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)得到的回归直线方程＝x＋，则下列说法不正确的是( B )
A．直线＝x＋必过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)中的一个点
C．直线＝x＋的斜率为
D．直线＝x＋和各点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( D )
A．y＝2x－2
B．y＝()x
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
[解析] 可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差平方和最小的便是拟合程度最高的．
4．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．y＝2x
B．y＝log2x
C．y＝(x2－1)
D．y＝2.61cosx
[解析] 作散点图，从图中观察可知，应为对数函数模型．
二、填空题
5．已知线性回归方程＝0.75x＋0.7，则x＝11时，y的估计值是__8.95__.
[解析] 将x＝11代入＝0.75x＋0.7，求得＝8.25＋0.7＝8.95.
6．某市居民2011～2015年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
收入x
11.5
12.1
13
13.5
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__13__，家庭年平均收入与年平均支出有__正__线性相关关系．
[解析] 把2011～2015年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
三、解答题
7．(2015·重庆文)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，
＝，＝－
.
[解析] (1)
序号
t
y
t2
ty
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
15
36
55
120
由上表，＝3，＝＝7.2，＝55，iyi＝120.
∴＝＝1.2.
＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.
∴所求回归直线方程＝1.2t＋3.6.
(2)当t＝6时，代入＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
∴预测该地区2015年的人民币储蓄存款为10.8千亿元．
C级 能力提高
1．在如图所示的5组数据中，去掉__D(3,10)__后，剩下的4组数据线性相关性更强.
[解析] 根据散点图判断两变量的线性相关性，样本数据点越集中在某一直线附近，其线性相关性越强，显然去掉D(3,10)后，其余各点更能集中在某一直线的附近，即线性相关性更强．
2．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5，(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．
[解析] 由(1)可得yi－与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝155，(yi－)2＝1
000.
∴R＝1－＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－1
－5
8
－9
－3
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝180，(yi－)2＝1
000.
∴R＝1－＝1－＝0.82.
∵R＝0.845，R＝0.82,0.845>0.82，
∴R>R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．第一章 推理与证明
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过对随机变量K2的研究，得到了若干个临界值，当其观测值k≤2.072时，对于两个事件A与B，我们认为( C )
A．有95%的把握认为A与B有关系
B．有99%的把握认为A与B有关系
C．没有充分理由说明事件A与B有关系
D．确定事件A与B没有关系
[解析] 依临界值表排除A、B，选项D不正确，故选C．
2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( D )
A．身高一定是145.83cm
B．身高在145.83cm以上
C．身高在145.83cm以下
D．身高在145.83cm左右
[解析] 线性回归方程只能近似描述，不是准确值．
3．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( C )
P(K2≥k)
…
0.25
0.15
0.10
0.025
0.010
0.005
…
k
…
1.323
2.072
2.706
5.024
6.635
7.879
…
A．90%
B．95%
C．97.5%
D．99.5%
[解析] ∵K2＝6.023>5.024，故其可信度为97.5%.
4．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( A )
实验效果教学措施
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A．有关
B．无关
C．关系不明确
D．以上都不正确
[解析] 由公式计算得K2＝≈8.306>6.635，则认为“实验效果与教学措施有关”的概率为0.99.
5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
19
6
25
女生
9
16
25
总计
28
22
50
根据表中的数据及K2的公式，算得K2≈8.12.
临界值表：
P(K2>k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是( C )
A．97.5%
B．99%
C．99.5%
D．99.9%
[解析] ∴7.879故有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别之间有关系．
6．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( A )
[解析] 题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A．
7．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②
y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析] y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝x＋中，x的系数>0(或<0)，故①④错．
8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表2，则与性别有关联的可能性最大的变量是( D )
表1
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩
B．视力
C．智商
D．阅读量
[解析] 因为K＝
＝，
K＝＝，
K＝＝，
K＝＝，
则K>K>K>K，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．
9．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝x＋必过( D )
A．(2,2)点
B．(1.5,0)点
C．(1,2)点
D．(1.5,4)点
[解析] 计算得＝1.5，＝4，由于回归直线一定过(，)点，所以必过(1.5,4)点．
10．下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从下图可以看出( C )
A．性别与是否喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生中喜欢理科的比为60%
[解析] 从图中可以看出，男生喜欢理科的比例为60%，而女生比例为仅为20%，这两个比例差别较大，说明性别与是否喜欢理科是有关系的，男生比女生喜欢理科的可能性更大一些．
11．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，得
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确的结论是( C )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
12．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( D )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A、B、C点；
③已知直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，得到的直线＝bx＋才是回归直线，
∴①不对；②正确；
将x＝25代入＝0.50x－0.81，得＝11.69，
∴③正确；④正确，故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；
②两种药物治疗同一种病是否有关系；
③吸烟者得肺病的概率；
④吸烟人群是否与性别有关系；
⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系．
其中，用独立性检验可以解决的问题有__②④⑤__.
[解析] 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．
14．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则在犯错误的概率不超过__0.001__的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．
[解析] 可计算K2的观测值k＝11.377>10.828.
15．在2016年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为 ＝－3.2x＋40 .
[解析] iyi＝392，＝10，＝8，(xi－)2＝2.5，代入公式，得＝－3.2，所以，＝－＝40，故回归直线方程为＝－3.2x＋40.
16．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为__70__杯．(已知回归系数＝，＝－b)
[解析] 根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40.
∴＝－＝40－(－2)×10＝60，∴＝－2x＋60，当x＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析.
培养液处理
未处理
合计
青花病
25
210
235
无青花病
80
142
222
合计
105
352
457
附：K2＝
p(K2≥k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.83
[解析] 根据公式
K2＝≈41.61，
由于41.61>10.828，
说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的．
18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：
产量x(千件)
生产费用(千元)
40
150
42
140
48
160
55
170
65
150
79
162
88
185
100
165
120
190
140
185
(1)计算x与y的相关系数；
(2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验；
(3)设回归方程为＝x＋，求回归系数．
[解析] (1)根据数据可得：
＝77.7，＝165.7，x＝70
903，y＝277
119，
xiyi＝132
938，所以r＝0.808，
即x与y之间的相关系数r≈0.808.
(2)因为r>0.75，所以可认为x与y之间具有线性相关关系．
(3)＝0.398，＝134.8.
19．(本题满分12分)(2016·江西抚州市高二检测)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
附：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
K2＝
[解析] 将2×2列联表中的数据代入计算公式，
得K2的观测值k＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下可以认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
20．(本题满分12分)某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响.
[解析] 根据题目所给数据得如下2×2列联表：
合格品数
次品数
总计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场
493
17
510
总计
1
475
25
1
500
所以ad－bc＝982×17－8×493＝12
750，|ad－bc|比较大，说明甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．
相应的等高条形图如图所示．
图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现象时样本中次品数的频率．图此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．
21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅰ文，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)
附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝，≈0.09.
[解析] (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数
r＝
≈≈－0.18.
由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)①由于＝9.97，s≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
(16×9.97－9.22)＝10.02，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
≈16×0.2122＋16×9.972≈1
591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
(1
591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.
22．(本题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：K2＝，
当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
[解析] (1)
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
K2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a、b、c、d、e，其中a、b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de共10种，其中ab、ac、ad、ae、bc、bd、be为有利事件数，因此所求概率P＝.第四章
框图
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．起止框正确的画法是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] A表示输入、输出框；B表示处理框；C表示判断框；D表示起止框，表示框图的开始或结束．
2．要表示直线与圆的位置关系，最好用下列哪种框图来表示( C )
A．流程图
B．程序框图
C．结构图
D．统筹图
[解析] 直线与圆属于知识方面的，用结构图来表示．
3．执行如图所示的程序框图，输出的k的值为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 初值为a＝3，k＝0，进入循环体后，a＝，k＝1；a＝，k＝2；a＝，k＝3；a＝，k＝4；此时a<，退出循环，故k＝4.
4．如图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中依次应填入( C )
A．整理数据、求函数关系式
B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数关系式
D．整理数据、进行模型修改
[解析] 清楚数据拟合的基本过程即可．
5．下图是函数性质的知识结构图，在处应填入( C )
A．图象变换
B．对称性
C．奇偶性
D．解析式
[解析] 函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性，而对称性是由研究奇偶性得到的．
6．如下图所示，某电脑由以下设备与主机相连，则外存储器是指( D )
A．显示器
B．打印机
C．游戏杆
D．磁盘驱动器、磁带机
[解析] 由题图可知，选D．
7．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为( B )
A．工序流程图
B．程序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
[解析] 根据二分法原理求解方程x2－2＝0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A、C、D，答案为B．
8．在下面的图示中，结构图是( B )
A．→→→
C．
D．
[解析] A是流程图，C是直方图，D是韦恩图，B是结构图．
9．(2016·四川文，8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n、x的值分别为3、2，则输出v的值为( C )
A．35
B．20
C．18
D．9
[解析] 根据程序框图有：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0，所以v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0，所以v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0，所以v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，不满足条件，跳出循环，输出v＝18.
10．如图是高中课程结构图：
生物所属课程是( D )
A．技术
B．人文与社会
C．艺术
D．科学
[解析] 根据课程结构图可知，生物所属课程是科学．
11．执行如图所示的程序框图．如果输入n＝3，则输出的S＝( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 即根据所给程序框图不难得到所求S值即是求递推数列的连续前3项的和，即＋＋＝，故选B．
12．若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( D )
A．k＝9
B．k≤8
C．k<8
D．k>8
[解析] 运行过程依次为k＝10，S＝1→S＝11，k＝9→S＝20，k＝8→输出S＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k>8.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．流程图描述__动态__过程；结构图刻画__系统__结构.
14．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容依次是__有理数__，__整数__，__零__.
15．(2016·天津文，11)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为__4__.
[解析] 第一次循环：S＝8，n＝2；第二次循环：S＝2，n＝3；第三次循环：S＝4，n＝4，此时结束循环，则输出S的值为4.
16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填__i≤6？__，输出的s＝__a1＋a2＋…＋a6__.
[解析] 因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6？，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则被选为班长；若票数相同，则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程.
[分析] 按照工序流程图的画法进行作图即可．
[解析]
18．(本题满分12分)一个老农带一匹狼、一只羊和一筐青菜准备过河，但因船小，过河时每次只能带一样东西，然而老农不在时，狼会把羊吃掉，羊也会把青草吃掉，问老农怎样过河才能使所有的东西全部带到对岸，请画出解决问题的流程图.
[解析]
19．(本题满分12分)用l、m、n、s表示直线，P、Q表示平面，A表示点．给出两个推理如下：
在这两个推理中，第一个推理表达的内容是“从线线垂直到线面垂直，又从线面垂直到线线垂直”；第二个推理表达的内容是“从线面垂直到面面垂直，又从面面垂直回到线面垂直，最后从线面垂直回到了线线垂直”．
画图表达这两个推理．
[解析] 这两个推理如图所示．体会略．
→→
(1)
→→→
(2)
20．(本题满分12分)建立数学模型一般都要经历下列过程：从实际情景中提出问题，建立数学模型，通过计算或推导得到结果，结合实际情况进行检验，如果合乎实际，就得到可以应用的结果，否则重新审视问题的提出、建模、计算和推导得到结果的过程，直到得到合乎实际的结果为止．请设计一个流程图表示这一过程.
[解析]
21．(本题满分12分)计算1＋＋＋…＋的值，写出算法，画出程序框图.
[解析] 用i表示循环次数，用sum表示总和，算法如下：
第一步 输入i，sum，i的初始值为1，sum的初始值为0；
第二步 从1开始循环到1000，sum＝sum＋1/i；
第三步 循环结束后，输出sum.
程序框图如图所示．
22．(本题满分12分)高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
画出该事件的流程图．
[解析] 如图所示：
PAGE
1学业质量标准自测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数＝( B )
A．1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
[解析] ＝＝＝1－i.
2．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查了充要条件的判断．
当a＝3时，A＝{2,3}，故A B，若A B a＝1或a＝3，故为充分不必要条件．
3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( C )
A．邻补角不互补
B．互补的两个角是邻补角
C．不是邻补角的两个角不互补
D．不互补的两个角不是邻补角
[解析] “邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C．
4．(2016·江西抚州高二检测)为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x(小时)与报酬y(元)的数据，分别是(2,30)、(4,40)、(5，m)、(6,50)、(8,70)，他用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则其中m为( D )
A．45
B．50
C．55
D．60
[解析] 由题意知＝＝5，又∵点(，)在回归直线＝6.5x＋17.5上，
∴＝6.5×5＋17.5＝50，
∴50＝，
∴m＝60，故选D．
5．用反证法证明命题“＋是无理数”时，下列假设正确的是( D )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
[解析] “＋是无理数”的否定是“＋不是无理数”，故选D．
6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( D )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln
x＋2x－6
D．f(x)＝sin
x
[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f(x)＝sin
x为奇函数，且存在零点，故选D．
7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( D )
p(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
p(K2>k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A．25%
B．75%
C．2.5%
D．97.5%
[解析] 查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．
8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是( A )
A．类比
B．综合法
C．反证法
D．分析法
[解析] 据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A．
9．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( C )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
[解析] 如图由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，
|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，
且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90°，
故∠A1FB1＝90°.
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是( D )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
[解析] 由题知c＝，设双曲线方程为－＝1(t>0)
由消去y得，
(7－2t)x2＋2tx－8t＋t2＝0.
由题意知＝－，
∴x1＋x2＝＝－，∴t＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( B )
A．12，－15
B．5，－15
C．5，－4
D．－4，－15
[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)·(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，
∴x＝－1舍去．
列表如下：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
5
?
极小值－15
?
－4
由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B．
12．已知函数f(x)(x∈R)满足f
′(x)＞f(x)，则( D )
A．f(2)B．f(2)≤e2f(0)
C．f(2)＝e2f(0)
D．f(2)>e2f(0)
[分析] 所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较与的大小，故构造函数F(x)＝解决．
[解析] 设F(x)＝，则f
′(x)＝>0，
∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，
∴>，即f(2)>e2f(0)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知命题p： x∈R，使sin
x＝，则 p＝ x∈R，使sin
x
≠ .
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
14．(2016·福建宁德市高二检测)已知复数z满足z(1＋i)＝1(i为虚数单位)，则z＝ －i .
[解析] z＝＝＝－i.
15．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__.
[解析] 第1个等式有1项，从1开始；
第2个等式有3项，从2开始；
第3个等式有5项，从3开始；
第4个等式有7项，从4开始．
每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
16．已知点A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间的函数图象的上方，因此有结论>a成立．运用类比的思想方法可知，若点A(x1，sin
x1)、B(x2，sin
x2)是函数y＝sin
x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有 成立.
[解析] 依据函数y＝sin
x(x∈(0，π))的图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，所以有.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)计算()2＋；
(2)复数z＝x＋yi(x、y∈R)满足z＋2i＝3＋i，求复数z的对应点Z所在的象限．
[解析] (1)原式＝＋
＝i＋＝＋i.
(2)由z＋2i＝3＋i得
(x＋2y)＋(y＋2x)i＝3＋i，
∴，
解得x＝－，y＝，
∴z＝－＋i，
∴复数z对应点Z的坐标为(－，)，即在第二象限．
18．(本题满分12分)已知命题p：方程＋＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p∨q为真， q为真，求实数m的取值范围.
[解析] p：，∴m>2.
故p：m>2.
q：△＝16(m－2)2－16<0，
即m2－4m＋3<0，
∴1故q：1又∵p∨q为真， q为真，
∴p真q假，
即，
∴m≥3.
19．(本题满分12分)(2016·广东河源市高二检测)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
年龄不低于45岁
年龄低于45岁
合计
支持
不支持
合计
参考数据：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解析] 列联表如下：
年龄不低于45岁
年龄低于45岁
合计
支持
3
29
32
不支持
7
11
18
合计
10
40
50
由公式得K2＝
＝≈6.272<6.635.
故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．
20．(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
[解析] 解法一：(分析法)
要证＋＋>3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6.
而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，
得＋>2，＋>2，＋>2.
从而＋＋＋＋＋>6.
故＋＋>3得证．
解法二：(综合法)
∵a、b、c全不相等，
∴与，与，与全不相等．
∴＋>2，＋>2，＋>2.
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴(＋－1)＋(＋－1)＋(＋－1)>3，
即＋＋>3.
21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
[解析] (1)解：不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，
则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又点C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x2－)．
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，
可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22．(本题满分12分)(2017·全国Ⅱ文，21)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
[解析] (1)解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex.
令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；
当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)
在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－，－1＋)单调递增．
(2)解：f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.
当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，
则h′(x)＝－xex<0(x>0)，
因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．
而h(0)＝1，故h(x)≤1
所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
当0则g′(x)＝ex－1>0(x>0)，
所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．
而g(0)＝0，故ex≥x＋1.
当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，
取x0＝，
则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，
故f(x0)>ax0＋1.
当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．第三章
数系的扩充与复数的引入
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数i(3－2i)＝( C )
A．2－3i
B．3＋2i
C．2＋3i
D．3－2i
[解析] i(3－2i)＝3i－2i2＝3i＋2，故选C．
2．(2016·北京文，2)复数＝( A )
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
[解析] ＝＝＝i.
3．(2016·云南芒市一中高二检测)已知i为虚数单位，则＝( B )
A．－i
B．＋i
C．＋i
D．－i
[解析] ＝＝＝＋i.
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
6．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( D )
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
[解析] 设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴，∴.
∴x＋y＝－1－i.
7．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数 x＝1，故选A．
8．已知复数z满足＝1＋2i，则＝( D )
A．4＋3i
B．4－3i
C．－i
D．i
[解析] 由＝1＋2i，得z＝＝＝＝－i，∴＝i.
9．若z＝cos
θ－isin
θ，则使z2＝－1的θ值可能是( B )
A．0
B．
C．π
D．2π
[解析] z2＝cos2
θ－2isin
θcos
θ－sin2
θ＝cos
2θ－i
sin
2θ＝－1，
∴，∴θ＝.
10．若复数z＝lg(m2－2m＋2)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m的值为( C )
A．1
B．－4
C．1或－4
D．以上都不对
[解析] 由已知，得，
即，
解得m＝1或－4.
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵in＝k∈Z，∴i＋i2＋i3＋…＋i2
013＝503×(i＋i2＋i3＋i4)＋i2
013＝503×0＋i＝i，
∴z＝＝＝，在复平面内的对应点(，)在第一象限．
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)
z3＝(z1]( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ∵ω1]．
∴①左边＝(z1＋z2)3，右边＝z1＋z2＝(z1＋z2)，左边＝右边，正确．
②左边＝z1()＝z1(＋)，右边＝z1＋z1＝z1(＋)，左边＝右边，正确．
③左边＝(z1)，右边＝z1(z2)＝z1(z3)，左边≠右边，不正确．
④左边＝z1，右边＝z2，左边≠右边，不正确，选B．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x＝__1__，y＝__2__.
[解析] (x＋i)(1－i)＝x－xi＋i＋1
＝(x＋1)＋(1－x)i＝y，
∴，
∴.
14．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝__6－2i__.
[解析] ∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，
∴z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i
＝5＋1－2i＝6－2i.
15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝ －4i .
[解析] 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
则，∴.∴z＝－4i.
16．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第__四__象限.
[解析] ∵a、b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴，解得.
∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．(本题满分12分)已知z＝1＋i，a、b∈R.若＝1－i，求a、b的值.
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，所以
＝
＝
＝a＋2－(a＋b)i＝1－i.
所以，所以.
19．(本题满分12分)已知z1、z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
[解析] 设z1＝x＋yi(x、y∈R)，
∴(3＋i)z1＝(3＋i)(x＋yi)
＝3x－y＋(x＋3y)i，
∴x＋3y＝0，∴x＝－3y.
∴z2＝＝＝
＝＝－y＋yi，
∵|z2|＝5，∴|z2|2＝50，
∴(－y)2＋y2＝50，
∴y＝±5，
当y＝5时，
z2＝－5＋5i，
当y＝－5时，z2＝5－5i.
20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)、B(0,2)、C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，
B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝×2×1＝1.
21．(本题满分12分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R).
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
[解析] (1)由已知，得
解①得－1故不等式组的解集为{m|－1因此m的取值范围是{m|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
整理得log2[(1＋m)(3－m)]＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±.
22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
[分析] (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
[解析] (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝.
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1.3.2
复数代数形式的四则运算（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·重庆八中高二检测)复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为( A )
A．1－i
B．1＋i
C．－1＋i
D．－1－i
[解析] z＝＝＝＝1－i.
2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i为虚数单位，则()2＝( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[解析] ()2＝＝－1.
3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝( A )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
[解析] －3i(a＋i)＝－3ai＋3，
∴－3a＝3，∴a＝－1.
4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( D )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
[解析] ∵＝3＋i，
∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
∴a＝4，选D．
5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得a<－1.
故选B．
6．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( B )
A．1±3i
B．3±i
C．3＋i
D．3－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得，即z＝3±i.
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.
[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
＝1－i2＋1＋4i＋4i2
＝1＋1＋1＋4i－4
＝－1＋4i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
三、解答题
9．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
[解析] (1)(－＋i)(2－i)(3＋i)
＝(－＋i)(7－i)＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
B级 素养提升
一、选择题
1．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( C )
A．0
B．1
C．
D．2
[解析] ∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝＝1－i，
∴|z＋1|＝.
2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.
3．若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m的值是( B )
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析] (m2＋i)(1＋mi)＝m2＋i＋m3i＋mi2＝(m2－m)＋(m3＋1)i.
∵(m2＋1)(1＋mi)为实数，
∴m3＋1＝0，
∴m＝－1.故选B．
4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( C )
A．－1＋2i
B．1－2i
C．3＋2i
D．3－2i
[解析] 易知z＝3－2i，所以＝3＋2i.
二、填空题
5．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为 .
[解析] 方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，从而，解得
故|z|＝＝.
方法二：因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝.
6．(2015·重庆理)设复数a＋bi(a、b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝__3__.
[解析] 由题易得＝，故a2＋b2＝3.
(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
7．(2017·浙江，12)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.
[解析] (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
三、解答题
8.＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值.
[解析] ∵＝1－ni，
∴＝1－ni，
∴m－mi＝2－2ni，
∴，∴.
C级 能力提高
1．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝ 1－i .
[解析] ∵z0＝3＋2i，
∴z·z0＝3z＋2iz＝3z＋z0，
∴2i·z＝z0.设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴2i(a＋bi)＝3＋2i，即－2b＋2ai＝3＋2i.
∴解得
∴z＝1－i.
2．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，
解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.2.2
直接证明与间接证明（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( C )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．
2．“对任意角θ，都有cos4
θ－sin4
θ＝cos2
θ”的证明过程：“cos4
θ－sin4
θ＝(cos2
θ－sin2
θ)(cos2
θ＋sin2
θ)＝cos2
θ－sin2
θ＝cos2
θ”应用了( B )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．间接证法
[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．
3．若aA．<
B．a＋>b＋
C．b＋>a＋
D．<
[解析] ∵a，
又∵b>a，∴b＋>a＋.
4．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( B )
A．p≥q
B．p≤q
C．p>q
D．不确定
[解析] q＝≥＝＋＝p.
5．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( A )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
6．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.
[解析] a＋b>a＋b a＋b－a－b>0 a(－)＋b(－)>0 (a－b)(－)>0 (＋)(－)2>0
只需a≠b且a、b都不小于零即可．
7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__.
[解析] 设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，
即a＋4b＝30，＋＝(＋)·
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝2b时等号成立．
又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5.
三、解答题
8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
[解析] 解法一(分析法)：
要证lg＋lg＋lg>lg
a＋lg
b＋lg
c，
即要证lg(··)>lg(abc)，
只需证··>abc.
∵≥>0，≥>0，≥>0，
∴··≥abc>0.(
)
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴(
)式中等号不成立，∴原不等式成立．
解法二(综合法)：∵a、b、c∈R
，
∴≥>0，≥>0，·≥>0.
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴··>abc.
∴lg(··)>lg
(abc)．
∴lg＋lg＋lg>lg
a＋lg
b＋lg
c.
B级 素养提升
一、选择题
1．设0A．a
B．b
C．c
D．不确定
[解析] ∵b－c＝1＋x－＝<0，
∴b又∵b＝1＋x>＝a，
∴a2．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分与不必要条件
[解析] ∵·>0，∴∠A为锐角，但∠B、∠C的大小不确定，故选B．
3．在R上定义运算⊙︰a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( B )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1＋∞)
D．(－1,2)
[解析] x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0 x2＋x－2<0 －24．要使－<成立，a、b应满足的条件是( D )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析] －< a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
二、填空题
5．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为__m>n__.
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
6．已知sin
x＝，x∈(，)，则tan
(x－)＝__－3__.
[解析] ∵sin
x＝，x∈(，)，∴cos
x＝－，
∴tan
x＝－，∴tan
(x－)＝＝－3.
7．若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝ － .
[解析] 条件变为sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋cos
β＝－cos
γ，两式平方相加可推得结论cos
(α－β)＝－.
三、解答题
8．已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
[分析] 这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a＋b＋c＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．
[解析] 解法一：(综合法)
(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝··＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
解法二：(分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证··≥8成立．
∵a＋b＋c＝1，∴只需证··≥8成立，即··≥8.只需证··≥··≥8成立．而··≥8显然成立，∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
C级 能力提高
1．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__①③⑤__(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1 ②＋≤ ③a2＋b2≥2 ④a3＋b3≥3 ⑤＋≥2
[解析] 本题考查了不等式的有关性质和推理论证能力．
令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2 ab≤1，命题①正确；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；＋＝＝≥2，命题⑤正确.
2．已知：a≥－，b≥－，a＋b＝1.
求证：＋≤2.
下面是证明过程：
要证＋≤2，
只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
∵a＋b＝1，∴即证·≤2，
只需证(2a＋1)(2b＋1)≤4，
即证ab≤.∵≤，∴ab≤2＝.
∵ab≤成立，因此＋≤2成立．
试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正．
[解析] 上述解法中，对ab≤的证明是错误的．
因为≤成立的条件是a≥0，b≥0，
而原题条件是a≥－，b≥－，不满足上述条件．
正确解答为：在错解中，得·≤2.
∵a≥－，b≥－，
∴2a＋1≥0,2b＋1≥0.
∴·≤
＝＝2，即·≤2成立，
因此原不等式成立．2.2
直接证明与间接证明（2）
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( C )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．
2．如果两个数之和为正数，则这两个数( D )
A．一个是正数，一个是负数
B．都是正数
C．不可能有负数
D．至少有一个是正数
[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为( D )
A．自然数a、b、c都是奇数
B．自然数a、b、c都是偶数
C．自然数a、b、c中至少有两个偶数
D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数
[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．
4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( B )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
[解析] ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.
5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( B )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
[解析] 三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．
6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( A )
A．a＋>b＋
B．>
C．a＋>b＋
D．>
[解析] 可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．
二、填空题
7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于 .
[解析] 假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一个数不小于.
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__.
[解析] 假设AC与BD共面于平面
α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB α，CD α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
三、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.
[解析] 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
而b2＝ac，即b＝，
则有a＋c＋2＝4.
即(－)2＝0.
所以＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题不适合用反证法证明的是( C )
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1
[解析] A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．
2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.
3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2
只有当＞0时，才有＋≥2成立，
∴应选C．
二、填空题
5．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是__①__.
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为 p∈(－3，) .
[解析] 解法一：(补集法)
令，
即，
即，
∴p≤－3或p≥，
∴实数p的取值范围是－3解法二：(直接法)
依题意，有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
∴－7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__丙__.
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝ax＋(a>1).
用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
[解析] 假设x0为方程f(x)＝0的负根，
则有ax0＋＝0，
即ax0＝＝＝－1＋，
显然x0≠－1.
1°当0>x0>－1时，1>x0＋1>0，
>3，－1＋>2.
而x0>－1的解．
2°当x0<－1时，x0＋1<0，<0，－1＋<－1.
而ax0>0，矛盾，即不存在x0<－1的解．
综上所述方程f(x)＝0没有负数根．
C级 能力提高
1．设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( C )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
[解析] ∵a＋b＋c＝(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2＋2＋2＝6，
∴a，b，c三个数中至少有一个不小于2，否则会出现a＋b＋c<6.故选C．
2．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数.
[解析] 解法一：假设＋为有理数，令＋＝t，
则＝t－，两边平方，得b＝t2－2t＋a，
∴＝.
∵a、b、t均为有理数，∴也是有理数．
即为有理数，这与已知为无理数矛盾．
故假设不成立．
∴＋一定是无理数．
解法二：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数，即a－b为有理数．
∴为有理数，∴－为有理数．
∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．3.2
复数代数形式的四则运算（1）
A级 基础巩固
一、选择题
1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C )
A．2＋i
B．4＋3i
C．2＋3i
D．3＋2i
[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i－1＋i＝2＋3i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，
所以z的虚部是4.
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( D )
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴，∴，
∴a＋bi＝－2－i.
4．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( C )
A．18＋10i
B．18－10i
C．－10＋18i
D．10－18i
[解析] ∵z＝11－20i，
∴1－2i－z＝1－2i－11＋20i
＝－10＋18i.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( D )
A．
B．5
C．
D．5
[解析] ∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
6．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝( D )
A．－＋i
B．－i
C．－－i
D．＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
因此有，解得，
故z＝＋i，故选D．
二、填空题
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝__－1__.
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴，解得a＝－1.
8．在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么对应的复数为__4－4i__.
[解析] B＝－
＝－(＋)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数．
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得，对应的复数，先求出向量、对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
B级 素养提升
一、选择题
1．复数(3m＋mi)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是( A )
A．m<
B．m<1
C．D．m>1
[解析] (3m＋mi)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，由题意得，∴m<.
2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( A )
A．a＝－3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4
D．a＝3，b＝4
[解析] 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，
故，解得a＝－3，b＝－4.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( D )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[解析] 依题意有＝＝－，
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.
故选D．
4．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( C )
A．
B．i
C．＋i
D．＋2i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋＝5＋i，
∴，解得.
∴z＝＋i，故选C．
二、填空题
5．(2016·济南高二检测)设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝__4__.
[解析] ＋＝＋＝(＋)＋(＋)i，
而＝＝＋i，
所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，∴.∴.
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a、b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__3__.
[解析] z1－z2＝[a＋(a＋1)i]－[－3b＋(b＋2)i]＝(a＋3b)＋(a＋1－b－2)i＝4，
∴，解得，∴a＋b＝3.
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x、y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1、z2.
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以，解得.
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
C级 能力提高
1．(2016·青岛高二检测)已知复数z＝.
(1)求复数z.
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[解析] (1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
2．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C、D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴，解得.
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos
B，
∴cos
B＝＝＝.∴sin
B＝.
∴S＝||||sin
B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.4.1
流程图
A级 基础巩固
一、选择题
1．流程图描述动态过程，关于其“终点”的描述中，较为恰当的是( C )
A．只允许有一个“终点”
B．只允许有两个“终点”
C．可以有一个或多个“终点”
D．可以无“终点”
[解析] 流程图可以有一个或多个“终点”．
2．下面是求过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填( A )
A．x1＝x2
B．x1≠x2
C．y1＝y2
D．y1≠y2
[解析] 根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
3．下列表示旅客搭乘火车的流程中正确的是( D )
A．买票→候车→上车→检票
B．候车→买票→上车→检票
C．候车→买票→检票→上车
D．买票→候车→检票→上车
[解析] 本题是流程图在实际问题中的应用，旅客搭乘火车，首先“买票”，再“候车”，再“检票”，最后“上车”．
4．(2016·北京文，3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( B )
A．8
B．9
C．27
D．36
[解析] 通过程度框图知，该题为当型循环结构，执行循环的结果如下：s＝0，k＝0；s＝0，k＝1；s＝1，k＝2；s＝9，k＝3>2，此时不满足循环条件，跳出循环，所以输出的s＝9.
5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( C )
A．s≤
B．s≤
C．s≤
D．s≤
[解析] 第一次：k＝2，s＝；第二次：k＝4，s＝；第三次：k＝6，s＝；第四次：k＝8，s＝；输出k＝8，s≤.
6．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( A )
A．设备安装
B．土建设计
C．厂房土建
D．工程设计
二、填空题
7．景泰蓝是深受人们喜爱的手工艺品．现在我们把它的制作流程叙述如下：第一步制胎，第二步掐丝，第三步点蓝，第四步烧蓝，第五步打磨，打六步镀金．请你在图中用工序流程图画出以上工序：
→→→→→
[解析] 按工序流程填入即可．
8．(2016·江苏，6)下图是一个算法的流程图，则输出的a的值是__9__.
[解析] 该流程图循环2次，第1次，a＝5，b＝7；第2次，a＝9，b＝5，结束循环，故输出的a的值为9.
9．一名中学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来擦地或者浇花，洗衣服的水留下冲卫生间．这样全家一个月节省水费10多元，一年就节约120多元．下表中(1)为__做饭、淘米、洗菜的水__；(2)__冲卫生间__.
B级 素养提升
1．(2015·陕西文)根据下边框图，当输入x为6时，输出的y＝( D )
A．1
B．2
C．5
D．10
[解析] 该程序框图运行如下：x＝6－3＝3＞0，x＝3－3＝0，x＝0－3＝－3＜0，y＝(－3)2＋1＝10，故答案选D．
2．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( D )
A．26
B．24
C．20
D．19
[解析] 路线D→C→B的最大信息量是3；
路线D→E→B的最大信息量为4；
路线G→F→B的最大信息量为6；
路线G→H→B的最大信息量为6.
故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
3．某工厂加工某种零件的工序流程图如图．
按照这个工序流程图，一件成品至少经过( )道加工和检验程序.( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 由流程图可知，该零件加工过程中，最少要经历：①粗加工 ②检验 ③精加工 ④最后检验，共4道工序，故答案为B．
4．两个形状一样的杯子A和B中分别装有红葡萄酒和白葡萄酒．现在利用空杯子C将A和B两个杯子里所装的酒对调，下面画出的流程图正确的是( A )
[解析] 把A中的酒倒入空杯子C中，然后把B中的酒倒入A中，最后再把C中的酒倒入B中，即A→C，B→A，C→B．
二、填空题
5．某算法的程序框图如图所示，若输出，则输入的实数x的值为 .
[解析] 由程序框图知：该算法是求分段函数y＝的函数值，∴由y＝，得x＝.
6．某工程的工序流程图如图所示(工时单位：天)，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为__4__天.
[解析] 设工序c所需工时为x天，由题意知：
工序：①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9天，
工序：①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8天，
∴工序：①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．
∴1＋x＋4＋1＝10.∴x＝4.
[点评] 在工序流程图中，如果工序分几条进行，则最短工时应为各条工时中最长的．
7．(2017·全国Ⅰ文，10)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1
000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入__A≤1_000和n＝n＋2__.
[解析] 因为题目要求的是“满足3n－2n>1
000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1
000”．
三、解答题
8．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
[解析] 流程图如图所示．
C级 能力提高
1．某地残次木材系列资源开发利用的具体过程是：建立木材加工厂，利用残次木材加工各种小件木制用具(如打气筒手柄)，再把加工后的下脚料粉碎，用于培养袋栽食用菌．试画出此资源开发利用的工序流程图.
[解析] 确定工序及各工序之间的关系为：(1)建立木材加工厂；(2)加工各种小件木制用具；(3)粉碎加工后的下脚料；(4)培养袋栽食用菌．由此画出工序流程图如图所示．
→→
→
2．某药厂生产某种产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装包装；
(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品，画出生产该产品的工序流程图．
[解析] 工序流程图如图所示：
PAGE
1