2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道匀变速直线运动的概念及其种类.
2．理解匀变速直线运动的v t图象特点，会应用v t图象分析解决相关问题．(难点)
3．掌握匀变速直线运动的速度与时间的关系公式，能进行有关计算．(重点、难点)
匀
变
速
直
线
运
动
及
v t
图
象
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的直线运动；
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的直线运动．
3．图象：匀变速直线运动的v t图象是一条倾斜的直线．
1．匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动．(√)
2．物体的加速度为负值时，不可能是匀加速直线运动．(×)
3．加速度不变的运动一定是匀变速直线运动．(×)
某物体的速度—时间图象如图2 2 1所示，试说明该物体做什么运动？
图2 2 1
【提示】 由于物体的v t图象是一条倾斜直线，故物体做匀变速直线运动；又由于它在0～t1时间段内的速度逐渐减小，即该段时间内物体做匀减速直线运动；在t1～t2时间段内的速度逐渐增大，该段时间内物体做匀加速直线运动．
探讨：请描述如图2 2 2所示的v t图象表示的物体的运动情况，取相等的时间间隔，看它们的速度变化量有什么特点？这样的特点说明什么？
图2 2 2
【提示】 物体做匀加速直线运动；无论Δt选在什么区间，对应的速度v的变化量Δv都相等(如图所示)；这说明在任意一段Δt上都一样，即物体运动的加速度保持不变．
通过v t图象，可以明确以下信息：
图线上某点的纵坐标
正负号
表示瞬时速度的方向
绝对值
表示瞬时速度的大小
图线的斜率
正负号
表示加速度的方向
绝对值
表示加速度的大小
图线与坐标轴的交点
纵截距
表示初速度
横截距
表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点
表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点
表示速度相等的时刻
图线与横轴所围图形的面积
表示位移，面积在横轴上方位移为正值，在横轴下方位移为负值
1．物体从静止开始做直线运动，v t图象如图2 2 3所示，则该物体( )
图2 2 3
A．在第8
s末相对于起点的位移最大
B．在第4
s末相对于起点的位移最大
C．在第2
s末到第4
s末这段时间内的加速度最大
D．在第4
s末和第8
s末在同一位置上
【解析】 由图可知，6
s内物体一直沿正方向运动，6～8
s时物体反向运动，故6
s时相对于起点的位移最大，故A错误，B错误；图象的斜率表示物体的加速度，由图可知，4～8
s的加速度最大，故C错误；4～6
s内和6～8
s内物体的位移大小相等方向相反，故8
s时物体回到4
s所在的位置，故D正确．
【答案】 D
2．A、B两个物体在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图2 2 4所示，则以下说法正确的是( )
图2 2 4
A．A、B两物体运动方向一定相反
B．A、B两物体的加速度方向相同
C．t＝4
s时，A、B两物体的速度相同
D．A物体的加速度比B物体的加速度大
【解析】 A、B两物体都向正方向运动，运动方向相同，A错；又因A加速运动，B减速运动，故A、B的加速度方向相反，B错；t＝4
s时，两物体的速度相同，C对；两物体的v t图象，B的斜率较大，即B物体的加速度较大，D错．
【答案】 C
3．甲、乙两车从同一地点沿同一方向出发，如图2 2 5所示是甲、乙两车的速度图象，由图可知( )
图2 2 5
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．t1时刻甲、乙两车的加速度相等
C．t1时刻甲、乙两车相遇
D．0～t1时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
【解析】 由所给甲、乙两车的速度图象的斜率知，甲车的加速度小于乙车的加速度，A、B错误；t1时刻甲、乙两车速度相等，由于之前甲车的速度一直大于乙车的速度，故此时甲车位于乙车的前方，C错误；由甲、乙两车的速度图象与时间轴所围图形的面积知，0～t1时间内，甲车比乙车的位移大，故该段时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确．
【答案】 D
分析v t图象时的两点注意
1．加速度是否变化看v t图线有无折点：在折点位置，图线的斜率改变，表示此时刻物体的加速度改变．v t图象为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变．
2．速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变．
速
度
与
时
间
的
关
系
式
1．速度公式：v＝v0＋at.
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.
1．公式v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动．(√)
2．速度随时间不断增加的运动叫做匀加速直线运动．(×)
3．在匀变速直线运动中，由公式v＝v0＋at可知，经过相同时间t，v0越大，则v越大．(×)
4．在匀变速直线运动中，由公式v＝v0＋at可知，初速相同，加速度a越大，则v越大．(×)
1．速度公式v＝v0＋at中的“at”的物理意义是什么？
【提示】 at就是时间t内物体速度的变化量．
2．做匀变速直线运动的物体的初速度与加速度方向相反，则物体的速度将一直减小，这种说法对吗？
【提示】 不一定．当物体的速度减小到零后，若加速度仍存在且保持不变，则物体将反向做匀加速直线运动．
探讨1：设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫做初速度)，加速度为a，求t时刻物体的瞬时速度v.
【提示】 由加速度的定义式a＝＝＝，整理得：v＝v0＋at.
探讨2：由v＝v0＋at可知，物体的初速度越大，加速度越大，末速度越大，这种说法对吗？
【提示】 不对．物体的初速度和加速度越大，如果加速度方向与初速度方向相反，速度在减小，末速度变小．
对速度公式v＝v0＋at的进一步理解
1．公式的矢量性
(1)公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式v＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较：
速度公式v＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动．
(2)a＝还可适用于匀变速曲线运动．
4．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5
s时间，汽车的加速度为2
m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15
m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为( )
A．2
m/s
B．10
m/s
C．2.5
m/s
D．5
m/s
【解析】 由题意知v＝15
m/s，a＝2
m/s2，t＝5
s，根据v＝v0＋at得，v0＝v－at＝15
m/s－2×5
m/s＝5
m/s，故选D.
【答案】 D
5．在平直公路上，一辆汽车以108
km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6
m/s2，求：
(1)刹车后3
s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6
s末汽车的速度大小．
【解析】 v0＝108
km/h＝30
m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6
m/s2，汽车刹车所用的总时间t0＝＝
s＝5
s.
(1)t1＝3
s时的速度v1＝v0＋at＝30
m/s－6×3
m/s＝12
m/s.
(2)由于t0＝5
s＜t2＝6
s，故6
s末时汽车已停止，即v2＝0.
【答案】 (1)12
m/s (2)0
6．一质点从静止开始以1
m/s2的加速度做匀加速运动，经5
s后做匀速运动，最后2
s的时间质点匀减速到静止，则质点匀速运动时速度多大？减速运动时加速度多大？
【解析】 质点的运动过程包括加速→匀速→减速三个阶段，如图所示，AB段为加速阶段，BC段为匀速阶段，CD段为减速阶段．
则匀速运动的速度即为加速阶段的末速度vB.以初速度方向为正方向，则
vB＝vA＋at＝(0＋1×5)
m/s＝5
m/s
而质点做匀减速运动的初速度即为匀速运动的速度，即
vC＝vB＝5
m/s
而末速度vD＝0，由vD＝vC＋a′t′得
a′＝＝
m/s2＝－2.5
m/s2
负号表示a′与初速度的方向相反．
【答案】 5
m/s 2.5
m/s2
应用v＝v0＋at的一般思路
1．画出运动过程的草图，标上已知量．
2．选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向．判断各量的正负，利用v＝v0＋at由已知量求未知量．
3．对汽车刹车类问题，一定要注意刹车时间，不要认为在给定的时间内汽车一定做匀减速运动，可能早已停止．4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系．(重点)
2．会应用速度与位移的关系式分析有关问题．(难点)3．能用匀变速直线运动的规律解决追及相遇等问题．(重点、难点)
速
度
与
位
移
的
关
系
式
1．公式：v2－v＝2ax.
2．推导
速度公式：v＝v0＋at.
位移公式：x＝v0t＋at
2.
由以上两式可得：v2－v＝2ax.
1．公式v2－v＝2ax中v前面的“－”号表示v0的方向．(×)
2．加速度公式a＝和a＝，既适用于匀变速直线运动，又适用于非匀变速直线运动．(×)
3．计算位移的关系式x＝v0t＋at
2、x＝t和x＝都是只适用于匀变速直线运动．(√)
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，你应该如何来设计飞机跑道的长度？
【提示】 (1)飞机跑道应为较宽阔的直线跑道；
(2)由速度位移关系式v2－v＝2ax得，飞机跑道的最小长度为x＝＝.
物体做初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动，取初速度的方向为正方向，应用公式v2－v＝2ax求解运动位移x时的速度v，v有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？
【提示】 物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉．
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．
3．两种特殊形式：
(1)当v0＝0时，v2＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)．
(2)当v＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)．
1．汽车正在以12
m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15
m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6
m/s2，刹车后3
s末汽车和障碍物之间的距离为( )
A．3
m
B．6
m
C．12
m
D．9
m
【解析】 汽车从刹车到静止用时t＝＝2
s，刹车后3
s末汽车已静止，此过程汽车前进的距离x＝＝
m＝12
m，故刹车后3
s末汽车和障碍物之间的距离为15
m－12
m＝3
m，A正确．
【答案】 A
2．已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的时，它沿斜面已下滑的距离是( )
A.
B.
C.
D．
【解析】 若物体到达底端时的速度为v，对于整个下滑过程有v2－0＝2aL，若当物体速度为时，下滑的距离为L′，则有－0＝2aL′，由以上两式可得，L′＝，B正确．
【答案】 B
3．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到4v时所发生的位移是( )
A.x
B.x
C.x
D．x
【解析】 令物体做匀加速直线运动时的加速度为a，则根据匀变速直线运动的速度位移关系v2－v＝2ax有：
(2v)2－v2＝2ax，则有a＝
当物体速度由3v增加到4v时，同样根据速度位移关系有：
(4v)2－(3v)2＝2ax′
代入a＝得：x′＝x.故选D.
【答案】 D
运动学问题的一般求解思路
1．弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．
2．弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．
3．列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．
匀
变
速
直
线
运
动
的
几
个
推
论
探讨1：物体做匀加速直线运动，一段过程的中间时刻与中间位置的速度哪个大些？
【提示】 中间位置的速度大，因为物体做加速运动，后一半时间内的平均速度较大，故经过一半的时间时，还没有到达中间位置．
探讨2：物体做匀减速直线运动，一段过程的中间时刻与中间位置的速度哪个大些？
【提示】 中间位置的速度大，因为物体做减速运动，后一半时间内的平均速度较小，故经过一半的时间时，已经经过了中间位置，即先经过中间位置后到达中间时刻．
1．中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v－v＝2a，对后一半位移v2－v＝2a，即v－v＝v2－v，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过前x、前2x、前3x…位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
4．做匀加速运动的列车出站时，车头经过站台某点O时的速度是1
m/s，车尾经过O点时的速度是7
m/s，则这列列车的中点经过O点时的速度为( )
A．5
m/s
B．5.5
m/s
C．4
m/s
D．3.5
m/s
【解析】 以火车为参考系，设O点通过列车中点时的速度为v，
有v2－v＝2a，v－v2＝2a，
联立两式得v＝＝
m/s＝5
m/s，
所以列车中点经过O点的速度为5
m/s.故A正确，B、C、D错误．
【答案】 A
5．如图2 4 1所示，一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
图2 4 1
A．v1∶v2＝2∶1
B．v1∶v2＝∶1
C．t1∶t2＝1∶
D．t1∶t2＝(－1)∶1
【解析】 初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；
由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶(－1)，则所求的速度之比为(－1)∶1，故A、B错误；故选D.
【答案】 D
6．(多选)光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
【解析】 全程的平均速度＝＝，A对；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错；若末速度为v，则＝，v＝，故中间位置的速度v中＝＝，C对；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at
2，＝at′2，所以t′＝t，D对.
【答案】 ACD
解题时巧选公式的基本方法
1．如果题目中无位移x，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
2．如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at
2；
3．如果题中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax；
4．如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用＝＝计算比较方便．
追
及
相
遇
问
题
1．追及问题
(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．
(2)追及问题满足的两个关系：
①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．
②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
2．相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．
(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．
7．(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是( )
A．两质点速度相等
B．甲与乙在这段时间内的平均速度相等
C．乙的瞬时速度是甲的2倍
D．甲与乙的位移相同
【解析】 由题意可知，二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，再由＝＝v乙，所以甲的瞬时速度是乙的2倍，故选B、D.
【答案】 BD
8．(多选)如图2 4 2所示，物体A、B由同一位置沿同一方向做直线运动．他们运动的速度v随时间t的变化关系如图所示，由图可知( )
图2 4 2
A．物体A、B在4
s末相遇
B．物体A、B在2
s末相遇
C．物体A、B在4
s末的速度大小相等
D．物体A、B在2
s末的速度大小相等
【解析】 根据图象，4
s末A、B图线与时间轴围成的面积相等，则位移相等，可知物体A、B相遇，故A正确；2
s末，B图线与时间轴围成的面积大于A图线与时间轴围成的面积，所以B的位移大于A的位移，两物体未相遇，B错误；在4
s末A的速度为10
m/s，B的速度为5
m/s，速度不相等，C错误；在2
s末，A、B的速度相等，D正确．
【答案】 AD
9．摩托车先由静止开始以
m/s2的加速度做匀加速运动，之后以最大行驶速度25
m/s做匀速运动，追赶前方以15
m/s的速度同向匀速行驶的卡车．已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000
m，则：
(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少？
(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？
【解析】 (1)由题意得，摩托车做匀加速运动的最长时间t1＝＝16
s.
位移s1＝＝200
mm，
所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车，则追上卡车前两车速度相等时间距最大．
设从开始经过t2时间速度相等，最大间距为sm，
于是有：at2＝v，
所以t2＝＝9.6
s，
最大间距sm＝s0＋v·t2－at＝1000
m＋15×9.6
m－××9.62
m＝1
072
m.
(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车，
则有：s1＋vm(t－t1)＝s＋v·t，
解得：t＝120
s.
【答案】 (1)1
072
m (2)120
s
解决追及与相遇问题的常用方法
1．物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．
2．图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
3．数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．(共28张PPT)
本章整合
匀变速直线运动的研究
匀变速直线运动的研究
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 匀变速直线运动常用的解题方法
匀变速直线运动的规律、解题方法较多,常有一题多解的情况,对于具体问题要具体分析,方法运用恰当能使解题步骤简化,起到事半功倍的效果,现对常用方法总结如下:
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 竖直上抛运动
将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出,抛出的物体只受重力作用,这个物体的运动就是竖直上抛运动,竖直上抛运动的加速度大小为g,方向竖直向下,竖直上抛运动是匀变速直线运动。对竖直上抛运动应把握以下几点:
1.竖直上抛运动的性质
初速度v0≠0,加速度a=-g的匀变速直线运动(通常规定以初速度v0的方向为正方向)。
2.竖直上抛运动的基本规律
速度公式:v=v0-gt
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
4.竖直上抛运动的处理方法
整个竖直上抛运动分为上升和下降两个阶段,但其本质是加速度恒为g的完整的匀变速运动,所以处理时可采用两种方法:
(1)分段法:上升过程是a=-g、v=0的匀变速直线运动,下落阶段是自由落体运动。
(2)整体法:将全过程看作是初速度为v0、加速度是-g的匀变速直线运动,上述三个基本规律可直接用于全过程。但必须注意方程的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时正在上升,v<0时正在下降;x为正时物体在抛出点的上方,x为负时物体在抛出点的下方。
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题2】
一个做竖直上抛运动的物体,当它经过抛出点上方0.4
m处时,速度是3
m/s,当它经过抛出点下方0.4
m处时,速度应为多少 (g取10
m/s2,不计空气阻力)
解析:抛出的物体只受重力,取向上的方向为正方向,可取整个过程分析,也可分段研究。
解法一 设位移x1=0.4
m时速度为v1,到达抛出点上方0.4
m处时还能上升高度h
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 分析纸带的常用方法
纸带的分析与计算是研究物体运动规律的常用方法,也是高考的热点,因此应该掌握有关纸带问题的处理方法。
1.判断物体的运动性质
(1)根据匀速直线运动特点:x=vt,若纸带上各相邻点的间距相等,则可判定物体做匀速直线运动。
(2)由匀变速直线运动的推论:Δx=aT2,若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等,则说明物体做匀变速直线运动。
专题一
专题二
专题三
专题四
3.求加速度
(1)逐差法
(2)v-t图象法
利用上述2的方法,求出纸带上各点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、v5、v6,建立平面直角坐标系,以v为纵轴,t为横轴,描点、画直线,利用直线的斜率求加速度。
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题3】
某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中,用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况,在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点。其相邻点间的距离如图所示,每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.10
s,试完成下面问题。
专题一
专题二
专题三
专题四
(1)根据纸带上各个测量点间的距离,某同学已将1、2、3、5点对应的时刻的瞬时速度进行计算并填入表中,请你将4点对应的时刻的瞬时速度填入表中。(要求保留3位有效数字)
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)在图中所示的直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。
(3)由图象求出小车的加速度a= m/s2。
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 追及、相遇问题
1.追及问题
(1)追及的特点:两个物体在同一时刻到达同一位置。
(2)追及问题满足的两个关系:
①时间关系:从后面的物体追赶开始,到追上前面的物体时,两物体经历的时间相等。
②位移关系:x2=x0+x1,其中x0为开始追赶时两物体之间的距离,x1表示前面被追赶物体的位移,x2表示后面追赶物体的位移。
(3)临界条件:当两个物体的速度相等时,可能出现恰好追上、恰好避免相撞,相距最远、相距最近等情况,即出现上述四种情况的临界条件为v1=v2。
专题一
专题二
专题三
专题四
2.相遇问题
(1)特点:在同一时刻两物体处于同一位置。
(2)条件:同向运动的物体追上即相遇;相向运动的物体,各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇。
(3)临界状态:避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时,两者的相对速度为零。
3.处理“追及”“相遇”问题的三种方法
(1)物理方法:通过对物理情景和物理过程的分析,找到临界状态和临界条件,然后列出方程求解。
(2)数学方法:由于在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方,我们可列出位移方程,利用二次函数求极值的方法求解。
(3)图象法:对于定性分析的问题,可利用图象法分析,避开繁杂的计算、快速求解。
专题一
专题二
专题三
专题四
4.解决追及、相遇问题的步骤
(1)根据对两物体运动过程的分析,画出两物体运动的示意图。
分析运动过程时,要注意两点:一是速度相等时两者的位置关系,二是位置相同(即相遇)时两者的速度关系。
(2)根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,要注意将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间关系的方程,这是关键。
(4)联立方程求解,并对结果进行简单分析。
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题4】
汽车A以vA=4
m/s的速度向右做匀速直线运动,前方相距x0=7
m处以vB=10
m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2
m/s2。从此刻开始计时。求:
(1)A追上B前,A、B间的最远距离是多少
(2)经过多长时间A才能追上B
专题一
专题二
专题三
专题四
解析:汽车A和B运动过程的典型状态如图所示。
专题一
专题二
专题三
专题四1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
一、实验目的
1．进一步练习使用打点计时器．
2．利用v t图象处理数据，并据此判断物体的运动性质．
3．能根据实验数据求加速度．
二、实验原理
1．利用打点计时器所打纸带的信息，代入计算式vn＝，即用以n点为中心的一小段时间间隔的平均速度代替n点的瞬时速度．
2．用描点法作出小车的v t图象，根据图象的形状判断小车的运动性质．若所得图象为一条倾斜直线则表明小车做匀变速直线运动．
3．利用v t图象求出小车的加速度．
三、实验器材
打点计时器、一端附有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源.
一、实验步骤
1．如图2 1 1所示，把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路．
图2 1 1
2．把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端固定在小车的后面．
3．把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后，释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一列小点．
4．换上新的纸带，重复实验两次．
5．增减所挂钩码，按以上步骤再做两次实验．
二、数据处理
1．表格法
(1)从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的地方找一个点，作为计数始点，以后依次每五个点取一个计数点，并标明0、1、2、3、4、…，如图2 1 2所示．
图2 1 2
(2)依次测出01、02、03、04、…的距离x1、x2、x3、x4、…，填入表中.
位置
1
2
3
4
5
6
长度
x1
x2
x3
x4
x5
x6
各段长度
0～2
1～3
2～4
3～5
4～6
时间间隔
v/(m·s－1)
(3)1、2、3、4、…各点的瞬时速度分别为：v1＝、v2＝、v3＝、v4＝、….将计算得出的各点的速度填入表中．
(4)根据表格中的数据，分析速度随时间变化的规律．
2．图象法
(1)在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点．
(2)画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，如图2 1 3所示．
图2 1 3
(3)观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律．
(4)根据所画v t图象求出小车运动的加速度a＝.
三、误差分析
1．木板的粗糙程度不同，摩擦不均匀．
2．根据纸带测量的位移有误差，从而计算出的瞬时速度有误差．
3．作v t图象时单位选择不合适或人为作图不准确带来误差．
四、注意事项
1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器．
2．先接通电源，等打点稳定后，再释放小车．
3．打点完毕，立即断开电源．
4．选取一条点迹清晰的纸带，适当舍弃点密集部分，适当选取计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少秒．
5．要防止钩码落地，避免小车跟滑轮相碰，当小车到达滑轮前及时用手按住．
6．要区分打点计时器打出的计时点和人为选取的计数点，一般在纸带上每隔4个点取一个计数点，即时间间隔为t＝0.02×5
s＝0.1
s.
7．在坐标纸上画v t图象时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图象尽量分布在较大的坐标平面内．
实验探究1 实验过程与实验操作
在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，按照实验进行的先后顺序，将下述步骤的代号填在横线上
．
A．把穿过打点计时器的纸带固定在小车后面
B．把打点计时器固定在长木板没有滑轮的一端，并连好电路
C．换上新的纸带，再重做两次
D．把长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面
E．使小车停在靠近打点计时器处，接通电源，放开小车，让小车运动
F．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下边吊着合适的钩码
G．断开电源，取出纸带
【解析】 实验步骤可简化为放置→固定→连接→先接后放→开始实验→重复实验．把长木板平放在实验桌上，把打点计时器固定在木板的一端，并连好电路．把穿过打点计时器的纸带固定在小车后面，在小车上拴上吊着钩码的细绳，然后使小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，再放开小车．让小车运动，打完一条纸带，断开电源，取下纸带．换上新纸带，再重做两次．
【答案】 DBAFEGC
实验探究2 利用v t图象求加速度
在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图2 1 4所示给出了从0点开始，每5个点取一个计数点的纸带，其中0,1,2,3,4,5,6都为计数点．测得：x1＝1.40
cm，x2＝1.90
cm，x3＝2.38
cm，x4＝2.88
cm，x5＝3.39
cm，x6＝3.87
cm.那么：
图2 1 4
(1)在计时器打出点1,2,3,4,5时，小车的速度分别为v1＝
cm/s，v2＝
cm/s，v3＝
cm/s，v4＝
cm/s，v5＝
cm/s.
(2)在图2 1 5所示的平面直角坐标系中作出速度—时间图象．
图2 1 5
【导学号：57632024】
(3)分析小车运动速度随时间变化的规律．
【解析】 (1)由题意可知，两相邻的计数点之间的时间间隔为T＝0.02×5
s＝0.1
s，对应各点速度分别为
v1＝＝
cm/s＝16.50
cm/s
v2＝＝
cm/s＝21.40
cm/s
v3＝＝
cm/s＝26.30
cm/s
v4＝＝
cm/s＝31.35
cm/s
v5＝＝
cm/s＝36.30
cm/s.
(2)利用描点法作出v t图象如图所示．
(3)小车运动的v t图象是一条倾斜向上的直线，说明速度随时间均匀增加，它们呈“线性关系”．
【答案】 (1)16.50 21.40 26.30 31.35 36.30 (2)见解析图 (3)速度随时间均匀增加
图象法处理数据时的两点注意
1．作图时，要用平滑曲线将这些点连起来，要让尽可能多的点分布在线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，离线较远的点删去，注意不可用折线连接．
2．利用v
t图象求加速度时，应选用直线上相距较远的两个点来求直线的斜率，即加速度．不能采用量出点线的倾斜角，然后求出其正切值的方法来计算加速度，因为该倾斜角还与坐标轴的标度有关．5 自由落体运动
6 伽利略对自由落体运动的研究
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道物体做自由落体运动的条件.
2．通过实验探究自由落体运动加速度的特点，建立重力加速度的概念．知道重力加速度的大小、方向．(重点)3．掌握自由落体运动的规律，并能解决相关实际问题．(难点)4．了解伽利略对自由落体运动的研究方法，领会伽利略的科学思想．(难点)
自
由
落
体
运
动
及
自
由
落
体
加
速
度
1．自由落体运动
(1)定义
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
(2)运动性质
初速度为0的匀加速直线运动．
2．自由落体加速度
(1)定义
在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同．这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示．
(2)方向
竖直向下．
(3)大小
在地球上不同的地点，g的大小一般是不同的．一般的计算中，可以取g＝9.8
m/s2或g＝10
m/s2.
1．物体仅在重力作用下的运动就是自由落体运动．(×)
2．物体由静止释放，当空气阻力很小，可忽略不计时可以看做自由落体运动．(√)
3．月球上的重力加速度也是9.8
m/s2.(×)
4．在地球上不同地方的重力加速度大小略有不同．(√)
1．枯萎的叶子，由树枝上自由下落的运动是不是自由落体运动？
【提示】 不是，树叶在下落时虽然初速度为零，但由于它受到的空气阻力不能忽略，故不是做自由落体运动．
2．自由落体加速度的方向能说成垂直地面向下吗？
【提示】 不能，由于地面不一定水平，垂直地面向下不一定是竖直向下．
探讨1：在空气中，将一张纸片和一石块从同一高度同时释放，哪个下落得快？若把这张纸片团紧成一团，再与石块从同一高度释放，情况会怎样？
【提示】 石块下落得快；纸团和石块几乎同时着地．
探讨2：牛顿管实验：玻璃管中有羽毛、小软木片、小铁片等，玻璃管中抽成了真空，将物体聚于一端，再将玻璃管倒立，让所有物体同时下落．看到什么现象？说明什么问题？
【提示】 物体下落快慢相同．在没有空气阻力影响的情况下，所有物体下落快慢是相同的，与质量无关．
1．自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动．
(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看做自由落体运动．如在空气中自由下落的石块可看做自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看做自由落体运动．
2．自由落体加速度
(1)产生原因：由于处在地球上的物体受到重力作用而产生的，因此也称为重力加速度．
(2)大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关．
①在地球表面会随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极最大，但差别很小．
②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变．通常情况下取g＝9.8
m/s2或g＝10
m/s2.
1．关于自由落体运动，下列说法错误的是( )
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C．只在重力作用下从静止开始下落的运动就是自由落体运动
D．自由落体运动只有在没有空气的空间里才能发生，在有空气的空间里，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略不计时，物体从静止开始下落也可以看做是自由落体运动
【解析】 物体只在重力作用下，并且从静止开始下落的运动才是自由落体运动．实际下落中，空气阻力很小，可以忽略不计时，才可以看做是自由落体运动，C、D正确，A错误；自由落体运动的性质是初速度为零的匀加速直线运动，B正确．
【答案】 A
2．“自由落体”演示实验装置如图2 5 1所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，
下列说法正确的是( )
图2 5 1
A．时间相同，加速度相同
B．时间相同，加速度不同
C．时间不同，加速度相同
D．时间不同，加速度不同
【解析】 轻重不同的物体在真空管中，不受阻力，做自由落体运动．所以加速度相同，都为g.高度相同，运动时间相同．故A正确，B、C、D错误．
【答案】 A
3．(多选)一个铁钉和一团棉花同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为( )
A．铁钉比棉花团重
B．棉花团受到的空气阻力不能忽略
C．棉花团的加速度比重力加速度小
D．铁钉的重力加速度比棉花团的重力加速度大
【解析】 铁钉受到的空气阻力与其重力相比较小，可以忽略，而棉花受到的空气阻力与其重力相比较大，不能忽略，所以铁钉的下落加速度较大，而它们的重力加速度是相同的，故只有B、C正确．
【答案】 BC
自
由
落
体
运
动
的
规
律
探讨1：匀变速直线运动的基本规律对于自由落体运动是否适用？
【提示】 适用，自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的基本规律都能适用．
探讨2：月球表面没有空气，在月球表面附近自由下落的物体的运动规律是否与地球上的自由落体运动规律相似？
【提示】 相似．在月球表面附近自由下落的物体也是自由落体运动，它的运动规律与地球上的自由落体运动规律完全相同，但两者的重力加速度不同．
1．几个重要公式
自由落体运动是匀变速直线运动的特例，因此匀变速直线运动规律也适用于自由落体运动．只要将匀变速直线运动公式中的v0换成0，a换成g，x换成h，匀变速直线运动公式就变为自由落体运动公式．
2．关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；
(2)前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2；
(3)第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)；
(4)通过第1个h，第2个h，第3个h，…第n个h所用时间之比：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
4．(多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．它是v0＝0、a＝g、方向竖直向下的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1
s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1
s末的速度大小之比是1∶2∶3
D．从开始运动下落4.9
m、9.8
m、14.7
m所经历的时间之比为1∶2∶3
【解析】 由自由落体运动的性质和规律可知A、B、C正确，D错误．
【答案】 ABC
5．物体自楼顶处自由下落(不计阻力)，落到地面的速度为v.在此过程中，物体从楼顶落到楼高一半处所经历的时间为( )
A.
B.
C.
D．
【解析】 设楼顶到地面的高度为h，物体从楼顶落到楼高一半处的速度为v′，则有：
2gh＝v2,2g＝v′2，解得：v′＝v，得：t＝＝.故选C.
【答案】 C
6．从离地面500
m的空中自由落下一个小球，g取10
m/s2，求小球：
(1)经过多长时间落到地面；
(2)自开始下落计时，在第1
s内的位移和最后1
s内的位移为多少；
(3)下落时间为总时间的一半时的位移．
【解析】 (1)由h＝gt
2，得落地时间
t＝＝
s＝10
s.
(2)第1
s内的位移
h1＝gt＝×10×12
m＝5
m
因为从开始运动起前9
s内的位移为
h9＝gt＝×10×92
m＝405
m
所以最后1
s内的位移为
h′1＝h－h9＝500
m－405
m＝95
m.
(3)下落一半时间即t′＝5
s，其位移为h5＝gt′2＝×10×25
m＝125
m.
【答案】 (1)10
s (2)5
m 95
m (3)125
m
重
力
加
速
度
的
三
种
测
量
方
法
利用打点计时器测量重力加速度时，选用密度较大的重锤，这样做的目的是什么？
【提示】 重锤重而体积小，下落时所受空气阻力可以忽略，它的运动可以近似看做自由落体运动．
1．打点计时器法
(1)按如图2 5 2所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹．
图2 5 2
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT
2求出重力加速度的大小．
2．频闪照相法
(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置．
图2 5 3
(2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT
2可求出重力加速度g＝.也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，可求出重力加速度g.
3．滴水法
图2 5 4
如图2 5 4所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去．
用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启秒表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3……，当数到n时按下秒表停止计时，读出秒表时间t，则每一滴水滴下落的时间为T＝，由h＝gT
2得g＝＝.
由于h＝gT
2，则h∝T
2，因此先画出h T
2图象，利用图线的斜率来求重力加速度更准确．
7．如图所示是用照相机对一小球做自由落体运动频闪拍摄的照片，符合实际的是( )
A B C D
【解析】 因频闪拍摄的频率是固定的，因此，小球做自由落体运动，越向下运动，相邻小球之间的距离越大，故D正确．
【答案】 D
8．(多选)在一次利用滴水法测重力加速度的实验中：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴恰好离开水龙头．从第1次听到水击盘声时开始数“1”并开始计时，数到“n”时听到水击盘声的总时间为T，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度．则
( )
A．每一滴水从水龙头落到盘子的时间为
B．每一滴水从水龙头落到盘子的时间为
C．重力加速度的计算式为
D．重力加速度的计算式为
【解析】 从第1次听到水击盘声开始计数为“1”，当数到“n”时，共经历了n－1个水滴下落的时间，故每一滴水从水龙头落到盘子的时间为t＝，A错误，B正确；由h＝gt
2，可得：g＝，C错误，D正确．
【答案】 BD
9．图2 5 5中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50
Hz.
甲
乙
丙
图2 5 5
(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5、…，经测量，第15至第17点间的距离为11.70
cm，第1至第16点间距离为43.88
cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为
m/s，测出的重力加速度值为g＝
m/s2.(要求保留三位有效数字)
【解析】 (1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力；又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理．
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝＝2.93
m/s
又根据2gH＝v
可得g＝9.78
m/s2.
【答案】 (1)甲图 (2)2.93 9.78±0.02
利用纸带求重力加速度的三种方法
1．逐差法：依据相等时间间隔内的位移差为定值，即Δx＝gT
2，则g＝.
2．平均值法：依据位移公式x＝gt
2，得g＝，并多次测量x、t，求多个g值，再取平均值．
3．图象法：用vn＝，求各打点时刻的瞬时速度，画出v t图象，由图象斜率求g值．
伽
利
略
对
自
由
落
体
运
动
的
研
究
1．问题发现
亚里士多德观点：重物下落得快，轻物下落得慢．
矛盾：把重物和轻物捆在一起下落，会得出两种矛盾的结论．
伽利略观点：重物与轻物下落得一样快．
2．猜想与假说
伽利略猜想落体运动应该是一种最简单的加速运动，并指出这种运动的速度应该是均匀变化的假说．
3．理想斜面实验
(1)如果速度随时间的变化是均匀的，初速度为零的匀变速直线运动的位移x与运动所用的时间t的平方成正比，即x∝t
2.
(2)让小球从斜面上的不同位置由静止滚下，测出小球从不同起点滚动的位移x和所用的时间t.
(3)斜面倾角一定时，判断x∝t
2是否成立．
(4)改变小球的质量，判断x∝t
2是否成立．
(5)将斜面倾角外推到θ＝90°时的情况——小球自由下落，认为小球仍会做匀加速运动，从而得到了落体运动的规律．
4．伽利略研究自然规律的科学方法：把实验和逻辑推理(包括数学推演)和谐地结合起来．他给出了科学研究过程的基本要素：对现象的一般观察→提出假设→运用逻辑得出推论→通过实验对推论进行检验→对假设进行修正和推广．
1．亚里士多德的观点是：重物、轻物下落得一样快．(×)
2．伽利略通过实验证明了，只要斜面的倾角一定，小球自由滚下的加速度是相同的．(√)
3．伽利略科学思想方法的核心是做实验．(×)
在研究自由落体运动时，伽利略进行了猜想，亚里士多德进行了猜测，两种研究方法有何不同？
【提示】 伽利略的科学猜想是根据所观察、发现的事实，把客观事实与原有的知识结合起来，科学猜想不能直接当做结论使用，只有经过实验验证，才能作为结论使用．
10．伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法，这就是( )
A．对自然现象进行总结归纳的方法
B．用科学实验进行探究的方法
C．对自然现象进行总结归纳，并用实验进行验证的方法
D．抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法
【解析】 伽利略设想物体下落的速度与时间成正比，因为当时无法测量物体的瞬时速度，所以伽利略通过数学推导证明如果速度与时间成正比，那么位移与时间的平方成正比；由于当时用滴水法计算，无法记录自由落体的较短时间，伽利略设计了让铜球沿阻力很小的斜面滚下，而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多，所用时间长的多，所以容易测量．伽利略做了上百次实验，并通过抽象思维在实验结果上做了合理外推．所以伽利略用来抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法．故选D.
【答案】 D
11．伽利略在对自由落体运动的研究过程中，开创了如图2 5 6所示的一套科学研究方法，其中方框2和4中的方法分别是( )
→→→→→
图2 5 6
A．实验检验，数学推理
B．数学推理，实验检验
C．提出假设，实验检验
D．实验检验，合理外推
【解析】 这是依据思维程序排序的问题，这一套科学研究方法，要符合逻辑顺序，即通过观察现象，提出假设，根据假设进行逻辑推理，然后对自己的逻辑推理进行实验验证，紧接着要对实验结论进行修正推广．故A、B、D错误，C正确．
【答案】 C3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道匀速直线运动的位移与v t图象中矩形面积的对应关系.
2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点)
3．知道x t图象，能应用x t图象分析物体的运动．(难点)4．了解利用极限思想推导位移公式的方法.
匀
速
直
线
运
动
的
位
移
1．位移公式：x＝vt.
2．v t图象特点：
(1)平行于时间轴的直线．
(2)位移在数值上等于v t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图2 3 1所示．
图2 3 1
1．匀速运动的速度一定是正的．(×)
2．匀速运动的位移一定是正的．(×)
3．匀速运动的加速度等于零．(√)
v t图象中图线与时间轴所围成的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？
【提示】 据v t图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值.
匀
变
速
直
线
运
动
的
位
移
1．位移在v t图象中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移对应着v t图象中的图线和时间轴包围的面积．如图2 3 2所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积．
图2 3 2
2．位移公式：x＝v0t＋at
2.
3．(1)当v0＝0时，x＝at
2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系．
(2)当a＝0时，x＝v0t，即表示匀速直线运动的位移与时间的关系．
1．位移公式x＝v0t＋at
2仅适用于匀加速直线运动．(×)
2．初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)
3．匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√)
物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大，位移也随时间均匀增大吗？
【提示】 不是，匀加速直线运动的速度公式是v＝v0＋at，速度与时间成线性关系，均匀增大；位移公式是x＝v0t＋at
2，位移与时间不成线性关系，位移虽增大，但不是均匀增大．
探讨1：如何根据v t图象中的“面积”表示位移来推导位移公式x＝v0t＋at
2
【提示】 如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA.
与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t.
由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at
2.
探讨2：利用公式x＝v0t＋at
2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？
【提示】 不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程．
对公式x＝v0t＋at
2的理解
1．适用条件：位移公式x＝v0t＋at
2适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向．
若a与v0同向，则a取正值；
若a与v0反向，则a取负值；
若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；
若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．
1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t
2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．4
m/s与2
m/s2
B．0与4
m/s2
C．4
m/s与4
m/s2
D．4
m/s与0
【解析】 对比x＝4t＋2t
2和位移公式x＝v0t＋at
2，可知其初速度v0＝4
m/s,2＝a，则加速度a＝4
m/s2.
【答案】 C
2．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3
s内通过的位移是3
m，则( )
A．前3
s的位移是6
m
B．3
s末的速度是3.6
m/s
C．3
s内的平均速度是2
m/s
D．第5
s内的平均速度是5.4
m/s
【解析】 由位移公式x＝at
2知，第3
s内的位移为a×32
m－a×22
m＝3
m，故加速度a＝1.2
m/s2，所以前3
s的位移x＝×1.2×32
m＝5.4
m，A错；第3
s末的速度v＝at＝1.2×3
m/s＝3.6
m/s，B对；3
s内的平均速度＝＝
m/s＝1.8
m/s，C错；第5
s内的平均速度等于第4.5
s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5
m/s＝5.4
m/s，D对．
【答案】 BD
3．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216
km/h，在最初2
s内滑行114
m．求：
(1)5
s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12
s内滑行多远？
【解析】 (1)最初2
s内：
x1＝v0t＋at
2，
解得：a＝－3
m/s2，
5
s末的速度：v2＝v0＋at＝45
m/s.
(2)着陆减速总时间：t＝＝20
s，
飞机着陆后12
s内的位移：
x2＝v0t＋at
2＝504
m.
【答案】 (1)45
m/s (2)504
m
对公式x＝v0t－at
2的理解
1．表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．
2．a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．
用
图
象(x t图)表
示
位
移
1．匀速直线运动的x t图象为一条倾斜直线，静止物体的x t图象为一条平行于时间轴的直线．如图2 3 3所示，A、B表示物体做匀速直线运动，C表示物体处于静止状态．
图2 3 3
2．x t图象的物理意义：描述了物体的位移随时间的变化关系．
3．x t图象的斜率等于物体的运动速度．
4．初速度为零的匀加速直线运动：由x＝at
2可知，其x t图象是一条过原点的抛物线，如图2 3 3中线D所示．
1．在x t图象中，图线与时间轴所包围的面积与物体的位移相等．(×)
2．v t图象与x t图象既能表示直线运动，也能表示曲线运动．(×)
3．在x t图象中，初速度为零的匀变速直线运动是一条倾斜直线．(×)
匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at
2，那么它的x t图象应为什么形状？
【提示】 匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x t图象应为抛物线．
探讨1：在x t图象中，纵坐标一定表示物体位移的大小吗？
【提示】 不一定．在x t图象中纵坐标表示物体相对于参考系的位移，不一定是相对于自己出发点的位移．
探讨2：物体运动的快慢和方向怎样用x t图象来表示？
【提示】 x t图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动．
x t图象的意义
位移
大小
初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向
初、末位置的纵坐标差的符号，正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向
速度
大小
斜率的绝对值
方向
斜率的符号，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动
起始位置
图线起点纵坐标
运动开始时刻
图线起点横坐标
两图线交点含义
表示两物体在同一位置(相遇)
4．如图2 3 4所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是( )
甲 乙 丙
丁
图2 3 4
A．甲是a t图象
B．乙是x t图象
C．丙是x t图象
D．丁是v t图象
【解析】 匀变速直线运动是加速度恒定、速度随时间均匀变化的运动，故a t图象是一条平行于t轴的直线，v t图象是一条倾斜的直线，A、D错误；由位移公式x＝v0t＋at
2可知位移与时间为二次函数关系，其图象为抛物线，故B错误，C正确．
【答案】 C
5．如图2 3 5是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图象．则( )
图2 3 5
A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快
B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同
C．当t＝t1时，两质点的速度相等
D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等
【解析】 位移—时间图象中，图线的斜率对应物体的速度，所以A质点的速度比B质点的速度快，A正确；位移—时间图象中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在0～t1这段时间内，A质点的位移大于B质点的位移，B错误；t1时刻时，两图象的斜率不同，两质点的速度不同，C错误；两物体都做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误．
【答案】 A
v t和x t图象的应用对比
1．确认是哪种图象，v t图象还是x t图象．
2．理解并熟记五个对应关系．
(1)斜率与加速度或速度对应．
(2)纵截距与初速度或初始位置对应．
(3)横截距对应速度或位移为零的时刻．
(4)交点对应速度或位置相同．
(5)拐点对应运动状态发生改变．
匀
变
速
直
线
运
动
的
两
个
结
论
1．平均速度公式：＝v＝
即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x＝v0t＋at
2得，
①
平均速度＝＝v0＋at.
②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a，
③
由②③得＝v.
④
又v＝v＋a
，
⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
2．逐差相等
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT
2.
推导：x1＝v0T＋aT
2，x2＝v0·2T＋a·T
2，x3＝v0·3T＋aT
2，…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT
2；xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT
2；xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT
2，…，
故xⅡ－xⅠ＝aT
2，xⅢ－xⅡ＝aT
2，…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT
2.
6．(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4
s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6
s到达B点停止，总共通过的位移是30
m，则下列说法正确的是( )
A．汽车在AC段与BC段的平均速度相同
B．汽车通过C点时的速度为3
m/s
C．汽车通过C点时的速度为6
m/s
D．AC段的长度为12
m
【解析】 设汽车通过C点时的速度为vC，由＝可知，汽车在AC段与BC段的平均速度均为＝，A正确；由t1＋t2＝xAB，t1＋t2＝10
s可得vC＝6
m/s，C正确，B错误；由xAC＝t1可得：xAC＝12
m，D正确．
【答案】 ACD
7．有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24
m和64
m，连续相等的时间为4
s，求质点的初速度和加速度大小.
【解析】 (1)常规解法：由位移公式得
x1＝vAT＋aT
2，
x2＝－.
将x1＝24
m，x2＝64
m，T＝4
s代入两式求得
vA＝1
m/s，a＝2.5
m/s2.
(2)用平均速度求解：
设物体通过A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，
则有＝，＝，
＝，
解得vA＝1
m/s，vB＝11
m/s，
vC＝21
m/s，所以，加速度为
a＝＝
m/s2＝2.5
m/s2.
(3)用推论公式求解：
由x2－x1＝at
2得64－24＝a·42，
所以a＝2.5
m/s2，再代入x1＝vAT＋aT
2可求得vA＝1
m/s.
【答案】 1
m/s 2.5
m/s2
应用推论＝v＝解题时的四点注意：
1．推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式，应注意v0与v的正负．
2．该推论是求瞬时速度的常用方法．
3．当v0＝0时，v＝；v＝0时，v＝.
4．经常与公式x＝
t结合，求位移．
