2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介+Word版含解析

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名称 2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介+Word版含解析
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文件大小 168.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2017-09-16 20:59:01

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文档简介

第一讲
坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1.空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是(  )
A.    
B.
C.
D.
解析:由P(ρ,θ,z),当θ=时,点P在平面Oyz内.
答案:A
2.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),
因为点M的球坐标为,
所以x=1·sin
cos
=,
y=1·sin
sin
=,
z=1·cos
=.
所以M的直角坐标为.
答案:B
3.设点M的直角坐标为
(2,0,2),则点M的柱坐标为(  )
A.(2,0,2)
B.(2,π,2)
C.(,0,2)
D.(,π,2)
解析:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),
所以ρ==2,tan
θ==0,
所以θ=0,z=2,所以点M的柱坐标为(2,0,
2).
答案:A
4.在空间直角坐标系中的点M(x,y,z),若它的柱坐标为,则它的球坐标为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:因为M点的柱坐标为M,设点M的直角坐标为(x,y,z).
所以x=3cos
=,y=3sin
=,z=3,
所以M点的直角坐标为.
设点M的球坐标为(γ,φ,θ).
γ是球面的半径,φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角,θ为向量OM与z轴正方向夹角.
所以r=
=3,容易知道φ=,同时结合点M的直角坐标为,
可知cos
θ===,
所以θ=,
所以M点的球坐标为.
答案:B
5.在直角坐标系中,点(2,2,2)关于z轴的对称点的柱坐标为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:(2,2,2)关于z轴的对称点为(-2,-2,2),
则ρ==2,tan
θ===1,
因为点(-2,-2)在平面Oxy的第三象限内,
所以θ=,
所以所求柱坐标为.
答案:C
二、填空题
6.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为_______,它的柱坐标是________.
答案:(-2,2,2) 
7.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在数轴Oy上的射影为N,则|OM|=________,|MN|=________.
解析:设点M在平面Oxy上的射影为P,连接PN,则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
因为MN⊥直线Oy,MP⊥平面Oxy,
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|=ρ=2,|PN|==1,
所以|OM|===3.
在Rt△MNP中,∠MPN=90°,
所以|MN|===.
答案:3 
8.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为________.
解析:设点M的直角坐标为(x,y,
z),
则由(r,φ,θ)=,
知x=4sincos=-2,
y=4sinsin=2,
z=4cos=2,
所以点M的直角坐标为(-2,2,2).
故点M到Oz轴的距离为=2.
答案:2
三、解答题
9.设点M的直角坐标为(1,1,),求点M的柱坐标与球坐标.
解:由坐标变换公式,可得ρ==,
tan
θ==1,
θ=
(点1,1)在平面xOy的第一象限.
r===2.
由rcos
φ=z=(0≤φ≤π),得cos
φ==,φ=.
所以点M的柱坐标为,球坐标为.
10.在柱坐标系中,点M的柱坐标为,求点M到原点O的距离.
解:设点M的直角坐标为(x,y,z).
由(ρ,θ,z)=知
x=ρcos
θ=2cosπ=-1,y=2sinπ=,
因此|OM|===3.
B级 能力提升
1.空间点P的柱坐标为(ρ,θ,z),点P关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0<θ≤π)(  )
A.(-ρ,-θ,-z)
B.(ρ,θ,-z)
C.(ρ,π+θ,-z)
D.(ρ,π-θ,-z)
解析:点P(ρ,θ,z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ,π+θ,-z).
答案:C
2.以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为Oxy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在平面为Ozx坐标面,如图所示,若某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可表示为________.
解析:由球坐标的定义可知,该地的球坐标为.
答案:
3.在柱坐标系中,求满足围成的几何体的体积.
解:根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹如图所示,是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径r=1,h=2,
所以V=Sh=πr2h=2π.