2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲三简单曲线的极坐标方程+Word版含解析

第一讲
坐标系
三、简单曲线的极坐标方程
A级　基础巩固
一、选择题
1．极坐标方程ρcos
θ＝－6表示(　　)
A．过点(6，π)垂直于极轴的直线
B．过点(6，0)垂直于极轴的直线
C．圆心为(3，π)，半径为3的圆
D．圆心为(3，0)，半径为3的圆
解析：将ρcos
θ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．
答案：A
2．圆ρ＝(cos
θ＋sin
θ)的圆心的极坐标是(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.
答案：A
3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为(　　)
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
解析：将圆ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos
θ＝2.
答案：A
4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是(　　)
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝－
D．ρ＝
解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．
答案：C
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：由ρ＝2cos
θ，得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
答案：B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
解析：因为直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．
解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cos.
答案：ρ＝6cos
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin
θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
解析：极坐标系中的圆ρ＝4sin
θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0，2)．
直线θ＝在直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
所以圆心(0，2)到直线x－3y＝0的距离为
＝.
答案：
三、解答题
9．(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解：圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin
θ－2ρcos
θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为.
10．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，
l：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ2，θ)，
则|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos
θ＋sin
θ)(ρ≠0)．
B级　能力提升
1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)
A．4
B.
C．2
D．2
解析：ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)．
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，
由勾股定理，得切线长为＝2.
答案：C
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin
θ与ρcos
θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
ρcos
θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.
联立解得
点(－1，1)的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
OA＝ODcos或OA＝ODcos，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin
θ＋cos
θ)＝1，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心．
因此直线l被圆C所截得的弦长为2.